Математические методы и модели исследования операций


            А. С. Шапкин, В. А. Шапкин


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Учебник

7-е издание

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 061800 “Математические методы в экономике”



Москва Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 2019

УДК 519.87:330.4(075.8)
ББК 65.05
      Ш23


Рецензенты:
кафедра математических методов в экономике Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова
(доктор экономических наук, профессор Н. П. Тихомиров) и доктор экономических наук, профессор Б. А. Лагоша










        Шапкин А. С.

Ш23

    Математические методы и модели исследования операций: Учебник / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. — 7-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2019.— 398 с


           ISBN 978-5-394-02736-9


           В учебнике изложены экономико-математические методы и модели для решения прикладных задач управления экономическими процессами. Рассмотрены некоторые вопросы применения ЭВМ для принятия управленческих решений.
           Для студентов, аспирантов, преподавателей экономических вузов, а также лиц, занимающихся практической деятельностью в экономической области.













ISBN 978-5-394-02736-9

         © А. С. Шапкин, В. А. Шапкин, 2005
                                   © ООО «ИТК «Дашков и К°», 2017

    СОДЕРЖАНИЕ



ПРЕДИСЛОВИЕ............................................7

Раздел I ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ..................................11
  1.1. Математическое моделирование экономических систем.11
  1.2. Классификация экономико-математических моделей................16
  1.3. Постановка задачи линейного программирования...25
  1.4. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования................................28
Глава 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД............................34
  2.1. Обыкновенные жордановы исключения..............34
  2.2. Применение жордановых исключений в линейной алгебре..............................36
  2.3. Модифицированные жордановы исключения............................44
  2.4. Экстремумы линейной функции....................46
  2.5. Симплексный метод на основе полных таблиц.........................47
  2.6. Симплексный метод на основе укороченных таблиц.56
  2.7. Симплексный метод на основе модифицированных жордановых исключений...........................57
  2.8. Задача минимизации линейной функции................................72
  2.9. Решение задач линейной алгебры и линейного программирования на ЭВМ.............81


3

Раздел II ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ..................91
   3.1. Прямая и двойственная задачи линейного программирования...................................91
   3.2. Основные теоремы двойственности..................94
   3.3. Двойственный симплексный метод..................102
   3.4. Экономическая интерпретация двойственных задач..111
Глава 4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА............................119
   4.1. Постановка задачи и ее математическая модель....119
   4.2. Построение первоначального опорного плана.......122
   4.3. Оптимальность базисного решения. Метод потенциалов.................................124
   4.4. Улучшение плана перевозок.......................125
   4.5. Задача определения оптимального плана перевозок.127
   4.6. Открытая модель транспортной задачи.............131
   4.7. Понятие о распределительной задаче..............134
   4.8. Решение транспортной задачи на ЭВМ..............140
Глава 5. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.................146
   5.1. Постановка задачи...............................146
   5.2. Задача определения оптимального плана производства................................150
Глава 6. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА...........................155
   6.1. Модель межотраслевого баланса...................156
   6.2. Общая модель межотраслевого баланса продукции...159
   6.3. Понятие о косвенных затратах....................163
   6.4. Полные внутрипроизводственные затраты...........164
   6.5. Оптимизация межотраслевого баланса..............173
   6.6. Программа составления межотраслевого баланса на ЭВМ....................................177

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ.............180
   7.1. Предмет теории игр. Основные понятия............181
   7.2. Нижняя и верхняя цены игры. Принцип “минимакса”.184

4

  7.3. Вполне определенные игры..................186
  7.4. Игры, не содержащие седловой точки. Смешанные стратегии......................................187
  7.5. Элементарные методы решения матричных игр 2x2, 2xn, mx2..............................190
  7.6. Решение матричных игр mln.................197
  7.7. Сведение задачи линейного программирования к матричной игре...............................208

Раздел III
     МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 8. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...................210
  8.1. Общая постановка задачи...................210
  8.2. Графическое решение задач нелинейного программирования...............................211
  8.3. Метод множителей Лагранжа.................216
Глава 9. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...............................225
  9.1. Формулировка задачи.......................225
  9.2. Графическое решение.......................226
Глава 10. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ..........232
  10.1. Постановка задачи........................232
  10.2. Алгоритм решения задач методом динамического программирования...............................235
  10.3. Решение задач............................239

Раздел IV
ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Глава 11. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ......................251
  11.1. Области применения сетевого планирования и управления....................................251
  11.2. Назначение, характеристика и структура систем СПУ......................................252

5

   11.3. Сетевой график. Критический путь............254
   11.4. Временные параметры сетей. Резервы времени.......258
   11.5. Временные параметры вероятностных сетей..........267
   11.6. Сетевое планирование в условиях неопределенности.270
   11.7. Оптимизация сетевых моделей.................272
Глава 12. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МИКРОЭКОНОМИКЕ..................................279
   12.1. Моделирование спроса и предложения..........279
   12.2. Влияние эластичности спроса и предложения и налогообложения на коммерческую деятельность....294
   12.3. Соотношения между суммарными, средними и предельными величинами в экономике..............312
   12.4. Функция полезности..........................318
   12.5. Исследование микроэкономических моделей на ЭВМ...324
Глава 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ............................333
   13.1. Введение....................................333
   13.2. Распределение входящего потока и распределение времени обслуживания..............341
   13.3. Система массового обслуживания с отказами...354
   13.4 Системы массового обслуживания с ожиданием...365
   13.5. Система массового обслуживания с очередью...373
   13.6. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди..................................386
   13.7. Расчет параметров СМО на ЭВМ................393
ЛИТЕРАТУРА...........................................395

6

            ПРЕДИСЛОВИЕ



    Особенностью развития современного общества является сложный характер рыночной экономики, характеризуемый изменением и быстрой сменяемостью условий экономической деятельности, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственной деятельности. В этих условиях использование серьезных методов анализа в экономических исследованиях приобретает первостепенное значение. Математическое моделирование экономических ситуаций на базе современной вычислительной техники позволяет автоматизировать сбор и обработку первичной информации, выделить основные параметры, влияющие на деятельность фирмы, рассчитать различные варианты деятельности (проектирования) фирмы, определить наиболее целесообразные мероприятия, обеспечивающие необходимую эффективность производства или предпринимательства, и на основе этих данных принять решение о выборе оптимальной стратегии по управлению деятельностью фирмы (формы бизнеса).
    Учебник содержит четыре раздела.
    В разделе 1 (гл. 1—2) “Основы линейного программирования” рассмотрены модели линейного программирования. В главе 1 “Экономико-математические методы и модели” раскрываются основные понятия моделирования систем и процессов, рассматриваются особенности применения методов математического моделирования в экономике, приводится классификация экономико-математических методов. В п. 1.3 рассматриваются постановка задачи линейного программирования и геометрическое решение задач линейного программирования.

7

    Глава 2 “Симплексный метод” посвящена описанию симплексного метода, который относится к числу наиболее распространенных вычислительных методов, реализующих идею последовательного улучшения решения. Этот метод может быть применен при решении любой задачи линейного программирования, т. е. является универсальным. Выводятся и рассматриваются обыкновенные жордановы исключения и на их основе обращается матрица и решаются системы линейных уравнений; вводятся модифицированные жордановы исключения. Решается широкий круг оптимизационных задач на нахождение максимума или минимума линейной целевой функции. В п. 2.9 рассмотрены методы решения задач линейной алгебры и линейного программирования на ЭВМ с помощью программ Excel и Mathcad 2000.
    Раздел 2 (гл. 3—7) “Экономико-математические модели задач линейного программирования” посвящен классу экстремальных задач, определяемых линейным функционалом на множестве, задаваемом линейными ограничениями. В главе 3 “Элементы теории двойственности” показано, что рассмотрение пар двойственных задач является эффективным средством исследования проблем линейного программирования и построения различных методов и играет большую роль при экономическом анализе результатов вычисления.
    В главе 4 “Транспортная задача” рассмотрена задача оптимального плана перевозок груза из пунктов изготовления в пункты потребления, причем, рассматривается как закрытая, так и открытая модель задачи. Приводится метод решения транспортной задачи с помощью вычислительной техники.
    Глава 5 “Целочисленное программирование” посвящена решению экономических задач, в которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции.
    В главе 6 “Основы планирования межотраслевого баланса” рассмотрена проблема применения балансового метода в экономических исследованиях, описана схема межотраслевого баланса, приведен порядок расчета основных параметров модели. Изложен метод расчета параметров балансовой модели на ЭВМ.

8

    В главе 7 “Элементы теории игр в задачах моделирования экономических операций” изучаются экономические задачи, в которых достаточно часто решения приходится принимать в условиях неопределенности, то есть в таких условиях, когда или процесс выполнения операции является неопределенным, или нам сознательно противодействует противник, или нет ясных и четких целей (задач) операции. Показан метод сведения матричной игры к задаче линейного программирования.
    Раздел 3 (гл. 8—10) “Модели нелинейного программирования” посвящен решению экономических задач, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В главе 8 “Классические методы нелинейного программирования” рассмотрен процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации и с помощью метода множителей Лагранжа.
    В главе 9 “Понятие о выпуклом программировании” изучаются задачи, в которых целевая функция является выпуклой функцией, рассматривается градиентный метод решения подобных задач.
    В главе 10 “Динамическое программирование” рассматривается решение таких задач, как задача распределения средств между предприятиями и задача о замене оборудования с помощью математического аппарата, позволяющего осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.
    Раздел 4 (гл. 11—13) “Прикладные модели исследования операций и экономических процессов” посвящен рассмотрению ряда прикладных задач менеджмента, маркетинга и других областей управления в экономике. В главе 11 “Модели сетевого планирования и управления” рассмотрены задачи планирования разнообразных по своему содержанию работ, процесс выполнения которых нельзя отразить в формальных зависимостях. Приводятся методы определения критических путей, резервов времени, оптимизации сетевых графиков.

9

    В главе 12 “Экономико-математические методы в микроэкономике” рассматриваются модели спроса и предложения, устанавливается влияние факторов рыночного равновесия, эластичности спроса и предложения и налогообложения на производственную деятельность фирм, изучаются соотношения между суммарными, средними и предельными величинами в экономике. Даются методы исследования перечисленных в этой главе моделей на ЭВМ с помощью Mathcad 2000.
    Глава 13 “Моделирование систем массового обслуживания” посвящена области прикладной математики, занимающейся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления и др. Рассмотренные задачи носят оптимизационный характер и включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания. Эти параметры определяются с помощью ЭВМ.

10

                Раздел I
                ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ





Глава 1

    ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ


    1.1. Математическое моделирование экономических систем

1.1.1. Модели и моделирование

    Модель — один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования (или управления). Модель “конструируется субъектом исследования (или управления) так, чтобы отобразить характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры и т. п. ), существенные для цели исследования. Поэтому вопрос о качестве такого отображения — адекватности модели объекту — правомерно решать лишь относительно определенной цели. Практическое значение модель может иметь при условии, что ее анализ более доступен субъекту исследования в соответствии с имеющимися у него средствами, чем непосредственное изучение объекта.
    Конструирование модели на основе предварительного изучения объекта и выделения его существенных характеристик, экспериментальный и теоретический анализ модели, сопоставление результатов с данными об объекте, корректировка модели и т. д. составляют содержание метода моделирования.
    Таким образом, процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследова-


11

ния, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Сущность процесса моделирования схематически может быть представлена рис. 1.1.


Рис. 1.1

    Предпосылкой относительно большей доступности модели для анализа в сравнении с объектом является то, что моделирование, как правило, приводит к упрощенному образу объекта. Однако, в каждом отдельном исследовании необходимо хорошо понимать, на чем основана уверенность в возможности перенесения полученных в исследовании результатов с модели на объект.
    Итак, модели выбираются таким образом, чтобы они были значительно проще для исследования, чем интересующие нас объекты. Более того, некоторые объекты вообще не удается исследовать активно. Невозможно, например, на экономике страны ставить эксперимент, имеющий чисто познавательное значение. Однако, поскольку в модели воспроизводятся лишь некоторые наиболее важные в данном исследовании стороны исходного объекта, моделирование позволяет выявить существенные факторы, ответственные за те или иные свойства изучаемых объектов.
    Рассмотрим основные типы моделей. Модели можно классифицировать на основе различных характеристик: по 12

характеру моделируемых объектов, по сферам приложения, по глубине моделирования и т. д. Мы остановимся на классификации по характеру моделей (по средствам моделирования), так как нас интересует роль математических моделей (ММ) в исследовании экономических систем. По этому признаку методы моделирования делятся на две большие группы: материальное (предметное) моделирование и идеальное моделирование.
    Материальным называется исследование, в котором исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Например, физическое моделирование: берется модель самолета и исследуется в аэродинамической трубе, при этом снимаются характеристики изучаемых (продуваемых) моделей и на основе теории подобия эти характеристики переносятся на настоящий летательный аппарат.
    В экономических исследованиях применяется идеальное моделирование, основывающееся не на материальной аналогии моделируемого объекта модели, а на аналогии идеальной, мыслимой. Идеальное моделирование можно разбить на два подкласса: знаковое (числовое) моделирование и интуитивное моделирование.
    При знаковом (формализованном) моделировании моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, чертежи, графики, формулы и т. д., причем, знаковые образования и их элементы всегда задаются вместе с ними. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики.
    При интуитивном моделировании не используют четко фиксированных знаковых систем; оно протекает, как принято говорить, “на модельном уровне”. Такое моделирование часто встречается в тех областях науки, где познавательный процесс находится еще на начальной стадии.

13

    Исследования на основе идеальных (в том числе и ММ) моделей носят теоретический характер, т. е. отличаются от эксперимента, являющегося частичным случаем практической деятельности человека. Исследование идеальных моделей — одна из основных задач теоретического мышления.
    Роль идеального моделирования особенно велика в экономических исследованиях, поскольку возможности проведения натурного эксперимента с материальными моделями в них ограничены.

1.1.2.    Особенности применения метода математического моделирования в экономике

    Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано понятием сложная система.
    Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.).
    Сложность экономики иногда рассматривается как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования, именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
    Основополагающим для практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей.

14