Метод конечных элементов для моделирования устройств и систем

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

Ю. В. КЛУННИКОВА

С. П. МАЛЮКОВ
М. В. АНИКЕЕВ

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 

ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ

Учебное пособие

заведений, обучающихся по направлению подготовки

11.03.03 Конструирование и технология электронных средств

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2019

 

УДК 621.382 (075.8)
ББК 32.85я73

К142

Печатается по решению кафедры конструирования электронных 

средств Института нанотехнологий, электроники и 

приборостроения Южного федерального университета

(протокол № 8 от 27 марта 2019 г.)

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент кафедры нанотехнологий и 

микросистемной техники ИНЭП ЮФУ А. М. Светличный

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой 

информатики Таганрогского института имени А. П. Чехова (филиал) 

«Ростовского государственного экономического университета (РИНХ)»

Я. Е. Ромм

Клунникова, Ю. В.

К142   
Метод конечных элементов для моделирования устройств и систем : 

учебное пособие / Ю. В. Клунникова, С. П. Малюков, М. В. Аникеев ; 
Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2019. – 85 с.

ISBN 978-5-9275-3277-3
В учебном пособии излагаются основы метода конечных элементов, явля
ющегося одним из эффективных методов численного решения инженерных 
задач при моделировании устройств и систем в объеме, предусмотренном 
стандартом для подготовки магистров по направлению 11.03.04 «Конструирование и технология электронных средств». Пособие рекомендовано для студентов, обучающихся по данному направлению, а также для специалистов в 
области конструирования электронных средств.

УДК 621.382 (075.8)

ББК 32.85я73

ISBN 978-5-9275-3277-3

© Южный федеральный университет, 2019
© Клунникова Ю. В., Малюков С. П., 

Аникеев М. В., 2019

© Оформление. Макет. Издательство 

Южного федерального университета, 2019

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………….......
4

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ …………………………………………..........
6

1.1. Методы математического моделирования ………………...
6

1.2. Пространственная задача теории упругости ………………
14

2. МЕТОД КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ………………………......
17

2.1. Описание свойств конечного элемента …………………....
17

2.2. Система уравнений метода конечных элементов для конструкций ……………………………………………………….....
18

2.3. Линейный тетраэдральный элемент ……………………….
20

2.4. Особенности применения метода конечных элементов ……
23

3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ КОНСТРУКЦИЙ ………………
26

3.1. Построение расчетной сетки с применением GMSH для 
решения задач методом конечных элементов ………………….
30

3.2. Использование алгоритмического языка Python для программной реализации метода конечных элементов …………...
33

3.3. Основные сведения о синтаксисе языка Python …………...
36

3.4. Базовый математический пакет Numpy алгоритмического 
языка Python ……………………………………………...............
41

3.5. Рекомендации по реализации метода конечных элементов 
на алгоритмическом языке Python ………………………...........
47

4. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕРМОУПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ В 
КРИСТАЛЛАХ САПФИРА ………………………………………
65

5. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ 
ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА ……………………………………
71

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………….....
73

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………
75

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ………………………………
77

ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………
82

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время при моделировании устройств и систем довольно 

сложно использовать аналитическое описание. Одним из эффективных инструментов для широкого спектра инженерных задач является метод конечных элементов. Область применения данного метода включает как анализ деформаций и напряжений, действующих на здания, самолеты, мосты, 
так и анализ процессов теплопередачи, течения жидкости и ряда других. 
В данном учебном пособии приводится вся необходимая информация для 
понимания базовой теории, техники моделирования и вычислительных особенностей метода конечных элементов.

В методе конечных элементов вся область, занимаемая телом, де
лится на конечные элементы (это могут быть треугольники в двумерном 
случае и тетраэдры в трехмерном). Внутри каждого такого элемента задаются некоторые функции формы, которые позволяют определить перемещения внутри элемента по перемещениям в узлах, т.е. в местах соединения 
конечных элементов [1–13].

В настоящее время метод конечных элементов широко используется 

при решении самых разнообразных задач математической физики, несмотря на то что первые работы по данному методу были выполнены в 
строительной механике. Данное обстоятельство повлияло на терминологию метода. 

Метод конечных элементов, по существу, сводится к аппроксимации 

сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью 
подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. 
Затем между этими элементами каким-то образом устанавливается взаимосвязь. Основной целью данного пособия является изучение теоретических 
основ и приобретение практических навыков использования метода конечных элементов для изучения широкого класса задач техники и физики. 

Численные методы исследований предполагают использование ком
пьютеров для всего расчёта: от введения сведений о геометрии и топологии 
конструкции, её физических свойствах и нагрузках до получения результатов расчета напряжённого и деформированного состояний. Метод конечных элементов представляет собой методику, предназначенную для рас

Введение

5

чета на компьютерах, именно поэтому огромное внимание в учебном пособии уделяется вычислительным программам. В данном пособии имеется 
ряд подпрограмм, реализующие стандартные этапы расчета методом конечных элементов, с помощью которых студенты могут разработать собственную программу.

Для практического использования метода конечных элементов требу
ется не только овладение теорией, но и преодоление больших трудностей 
при программировании. Несмотря на актуальность рассматриваемой проблемы, имеющаяся литература по методу конечных элементов не отражает 
большую часть вопросов, возникающих на практике.

Учебное пособие представляет собой изложение основных идей и 

принципов моделирования устройств и систем методом конечных элементов, а также список контрольных вопросов для проверки знаний студентов конструкторских направлений. Разделы учебного пособия изложены весьма подробно и лаконично, основываются на знании электроники, физики, физико-химических положений технологии электронных 
средств.

Учебное пособие дает возможность формировать у студентов

навыки самостоятельного обучения новым методам исследования, организации исследовательских и проектных работ; способности к определению 
и развитию законов деформирования, повреждения и разрушения материалов; выявлению новых связей между структурой материалов, характером 
внешних воздействий и процессами деформирования и разрушения; а 
также эффективных методов решения технологических проблем. Обучающиеся получают умение решать научно-исследовательские задачи в области математического моделирования устройств и систем. Данное учебное 
пособие предназначено для аспирантов, магистрантов, студентов старших 
курсов и инженеров.

Практические примеры, рассматриваемые в учебном пособии, поз
волят распространить данный метод на другие области физики и техники.

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ                     

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1.1. Методы математического моделирования 

Математическое моделирование позволяет инженеру-исследователю

изучать объекты в тех случаях, когда на реальном объекте это выполнить 
практически невозможно или нецелесообразно. Сущность моделирования
состоит в замене исходного технологического объекта его математической
моделью и в дальнейшем его исследовании. Этот метод познания, конструирования, проектирования объекта сочетает в себе преимущества теории и
эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его
моделью дает возможность относительно быстро и без значительных затрат
исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. Имитационные эксперименты с моделями объектов дают возможность достаточно глубоко исследовать объекты с минимальными затратами [14].

Аналитические методы реализации модели дают возможность с 

меньшими вычислительными затратами исследовать свойства объекта, используя широко развитые математические методы анализа аналитических 
функций.

В последнее время существенный интерес к аналитическим методам 

при реализации моделей связан с появлением пакетов математических вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica, Scientific WorkPlace и ряда других). Количество решаемых задач данными пакетами все 
время возрастает (элементарная математика, символьные операции с полиномами, производными и интегралами, с векторами и матрицами, задачи 
теории поля и векторного анализа и другие). Использование данных программных средств дает возможность не только упростить процедуру получения аналитического решения, но и дальнейший анализ полученного решения с помощью различных визуализаторов [15, 16].

Существующие в настоящее время математические методы дают 

возможность получить аналитические решения только для довольно несложных математических моделей в достаточно малом диапазоне значений 
параметров. Во многих случаях при изучении моделей следует применять 
алгоритмические подходы, дающие возможность получить лишь приближенные значения искомых параметров.

1.1. Методы математического моделирования

7

В случае численного моделирования набор математических соотно
шений модели заменяется конечномерным аналогом, что достигается дискретизацией исходных соотношений, а именно переходом от функций непрерывного к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи осуществляется построение вычислительного алгоритма, 
дающего возможность за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Степень приближения определяемых с помощью численного метода параметров в модели зависит как от погрешностей самого метода, связанных с заменой модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, появляющихся при реализации любых компьютерных вычислений. Важным требованием к вычислительному алгоритму является 
необходимость получения решения задачи с заданной точностью за определенное количество шагов.

К данному моменту перечень вопросов, касающихся разработки и 

использования численных методов, а также создания на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в отдельный раздел – вычислительную 
математику.

Разработка и исследование элементной базы современных микроэлек
тронных систем касается решения задач математической физики, к которым 
относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие 
другие. Задача анализа процессов в конструкциях зачастую сводится к исследованию различных полей (тепловых и электромагнитных) или механических явлений (вибрации и распределении напряжений в конструкции). Данные процессы описываются с помощью дифференциальных уравнений, таким образом, их анализ сводится к решению дифференциального уравнения 
в частных производных. 

В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных про
изводных второго порядка с n независимыми переменными имеет вид [17]

),
(
)
(
)
(
)
(

1
1
,

2

x
f
u
x
C

x

u
x
B

x
x

u
x
A

n
n





























(1)

где 


nx
x
x
x
,...,
,
2
1

– вектор (матрица-строка) независимых переменных; 

u – искомая функция независимых переменных; 
)
(x
A
, 
)
(x
B
, 
)
(x
C
, 
)
(x
f
–

некоторые вещественные функции независимых переменных.

1. Численные методы решения задач математической физики

8

Уравнение (1) можно привести к одной из трех стандартных канони
ческих форм. По соотношению значений 
)
(x
A
уравнения относят к эллип
тическим, параболическим или гиперболическим в точке x .

Для дифференциальных уравнений в частных производных второго 

порядка с двумя независимыми переменными x , y , которые могут быть 

представлены в виде 

),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(

)
,
(
)
,
(
)
,
(

2

2
2

2

2

y
x
f
u
y
x
C

y
u
y
x
B

x
u
y
x
B

y
u
y
x
A

y
x

u
y
x
A

x
u
y
x
A

y
x

yy
xy
xx


























(2)

тип дифференциального уравнения определяется знаком выражения, называемого дискриминантом

).
,
(
)
,
(
4
)
,
(
)
,
(

2
y
x
A
y
x
A
y
x
A
y
x
D
yy
xx


(3)

Если 
)
,
(
y
x
D
< 0, дифференциальное уравнение считается эллипти
ческим в точке 
)
,
(
y
x
.

Если 
)
,
(
y
x
D
= 0, дифференциальное уравнение считается парабо
лическим в точке 
)
,
(
y
x
.

Если коэффициенты 
xx
A , 
xy
A
, 
yy
A
постоянные и значение D не 

зависит от 
)
,
(
y
x
, то от знака D зависит, будет ли уравнение являться эл
липтическим, гиперболическим или параболическим.

Некоторые стационарные физические процессы описываются урав
нениями эллиптического типа, в частности, уравнением Пуассона [17], которое для трех направлений координат записывается следующим образом:

),
,
,
(
)
)
,
,
(
(
)
)
,
,
(
(
)
)
,
,
(
(
z
y
x
f

z

u
z
y
x
A

z
y

u
z
y
x
A

y
x

u
z
y
x
A

x





























(4)

где 
)
,
,
(
z
y
x
u
u 
– искомая функция; 
)
,
,
(
z
y
x
A
, 
)
,
,
(
z
y
x
f
– некото
рые функции независимых переменных.

К наиболее важным и часто встречающимся уравнениям прикладной 

физики эллиптического вида относится уравнение Лапласа, описывающее 

1.1. Методы математического моделирования

9

стационарное состояние поля в области без внутренних источников и стоков, являющееся частным случаем уравнения Пуассона для равной нулю 
правой части. Общий вид уравнения Лапласа имеет вид [17]

,0

2

2

2

2

2

2














z
u

y
u

x
u
(5)

где 
)
,
,
(
z
y
x
u
u 
– искомая функция.

В операторной форме уравнение Лапласа имеет вид

,0

u
(6)

где 

2

2

2

2

2

2

z
y
x












– оператор Лапласа.

Многие нестационарные физические процессы описываются уравнени
ями параболического типа. Этот вид уравнения, решаемый для однородной области, известен как уравнение диффузии или уравнение Фурье:

,
t
u
K
u




(7)

где K – постоянная времени диффузии. Величина K характеризует скорость 
затухания процесса и перехода его в стационарный процесс и определяется 
параметрами системы.

Уравнение Фурье применяется также для расчета теплового баланса 

температуры конструкции. В таких случаях получаем уравнение теплопроводности:

,
t
u
С
u





(8)

где  и С – соответственно коэффициенты теплопроводности и теплоемкости среды. Левая часть дифференциального уравнения (8) описывает теплопередачу между элементами конструкции теплопроводностью, а правая 
часть – нагрев или охлаждение конструкции.

Многие физические процессы связаны с появлением колебаний в не
которой среде. Например, колебания струны, мембраны, распространение 
звуковых колебаний и др. Они описываются волновым уравнением, относящимся к уравнениям гиперболического типа. В простейшем случае волновые дифференциальные уравнения можно записать следующим образом:

,
2

2

t
u
K
u




(9)

1. Численные методы решения задач математической физики

10

где K – постоянная величина, определяемая параметрами системы и описывающая период распространения возмущений от одной точки пространства к другой.

При расчетах элементов конструкций микро- и наноэлектромехани
ческих систем (МЭМС и НЭМС) существует два основных подхода: аналитический и моделирование с помощью сеточной аппроксимации среды, 
в данном случае исследуемый объект представляется сеточной аппроксимацией. При этом выделяют методы конечных элементов (МКЭ), методы 
контрольных объемов (МКО), методы конечных разностей (МКР). Аналитические методы наиболее часто используют для конструкций простой 
формы. Однако современные конструкции представляют собой сложные 
системы, для которых трудно построить расчетную модель.

Численные методы не имеют особых препятствий для решения 

сложных конструкций. Типичным для них является замена исходных дифференциальных уравнений алгебраическими путем дискретизации. К основным недостаткам данных методов можно отнести: необходимость решения большой системы алгебраических уравнений; присутствие погрешности при дискретизации; необходимость поиска нового решения при любом изменении конструкции.

Численные методы необходимо использовать тогда, когда аналитиче
ские методы не подходят для решения задачи. В настоящее время численные 
методы получили широкое развитие. Для расчета конструкций МЭМС и 
НЭМС с помощью метода конечных разностей необходимо искать решение
системы уравнений дискретной модели в виде единой для всей области решения задач сеточной функции – функции, определенной только на конечном множестве точек координатной и временной сеток. Метод конечных разностей базируется на аппроксимации производных, входящих в исходные
дифференциальные уравнения их дискретными аналогами. К несомненному 
преимуществу данного метода относится его высокая эффективность и несложность реализации, а также наглядность процедуры дискретизации, дающей возможность строить схемы высокого порядка точности. Однако данные 
преимущества, как правило, реализуются лишь при применении структурированной сетки, что ограничивает данный метод случаями сравнительно 
простых по геометрии расчетных областей.