Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И. С. Шабаршина, Е. В. Корохова, В. В. Корохов

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ. 

Задачи системного анализа и управления

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2019

УДК 004.4:303.732:519.8:517:519.71
ББК 32.973-018.2я73

Ш 12 

Печатается по решению кафедры системного анализа и управления

Института высоких технологий и пьезотехники Южного федерального 

университета (протокол № 1 от 24 января 2018 г.)

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и телемеханика»

Южно-Российского государственного политехнического 

университета (НПИ) им. М. И. Платова К. Ю. Соломенцев

кандидат технических наук, доцент кафедры информационных и измерительных 

технологий Института высоких технологий и пьезотехники Южного федерального 

университета А. В. Нагаенко

Шабаршина, И. С.
Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и 
управления : учебное пособие / И. С. Шабаршина, Е. В. Корохова, 
В. В. Корохов ; Южный федеральный университет. – Ростов-наДону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2019. – 142 с.

ISBN 978-5-9275-3118-9

Учебное пособие предназначено для студентов Южного федерального универси
тета, 
обучающихся 
по 
направлениям 
укрупненных 
групп 
специальностей 

27.00.00 «Управление в технических системах», 01.00.00 «Математика и механика», 
09.00.00 «Информатика и вычислительная техника», для формирования компетенций, 
связанных с применением компьютерных технологий при решении задач моделирования, 
анализа и управления различными системами, в том числе организационно-экономическими. Пособие может быть использовано преподавателями вузов, а также студентами 
бакалавриата и магистратуры инженерных и естественнонаучных направлений при изучении основ компьютерной математики, организационно-экономического и математического моделирования и других дисциплин, а также в своей практической 
деятельности.

УДК 004.4:303.732:519.8:517:519.71
ББК 32.973-018.2я73

ISBN 978-5-9275-3118-9

© Южный федеральный университет, 2019
© Шабаршина И. С., Корохова Е. В., Корохов В. В., 2019
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2019

Ш 12

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ...............................................................................................................4

1. Основы работы с системой Mathcad ..........................................................8
1.1. Основные понятия и приемы работы в системе........................................8
1.2. Матричные вычисления.............................................................................16
1.3. Символьные преобразования ....................................................................22
1.4. Основы графической визуализации данных............................................26
1.5. Основы программирования .......................................................................36

2. Основы математических расчетов...........................................................41
2.1. Решение уравнений и неравенств.............................................................41
2.2. Решение систем уравнений и неравенств ................................................48
2.3. Нахождение пределов, производных, интегралов ..................................52
2.4. Вычисление сумм и произведений ...........................................................59

3. Решение задач оптимизации .....................................................................62
3.1. Поиск экстремума функции одной переменной......................................62
3.2. Поиск экстремума функции нескольких переменных............................64
3.3. Решение задач линейного программирования ........................................67

4. Решение прикладных задач системного анализа  и управления.......81
4.1. Численное решение дифференциальных уравнений и систем ..............81
4.2. Интегральные и Z-преобразования...........................................................84
4.3. Аналитическое решение задач исследования  процессов систем, 
описываемых дифференциальными  и разностными уравнениями.............88
4.4. Решение задач моделирования экономических систем..........................95

Задания для самостоятельной работы ......................................................110
Индивидуальные задания............................................................................115
Тестовые задания...........................................................................................123
Литература......................................................................................................140

ВВЕДЕНИЕ

Работа современного инженера, менеджера, ученого предполагает нали
чие системного мышления и свободного владения информационными технологиями и математическими методами. Целью учебного пособия является 
формирование актуальных компетенций, необходимых при решении практических задач системного анализа и управления с использованием математического пакета Mathcad. Основная концепция данной книги заключается 
в том, чтобы показать, как, используя системы компьютерной математики, 
можно уничтожить рутину математических расчетов при решении задач и 
обработке экспериментальных данных. Это стимулирует интерес учащихся 
одновременно к математике, новейшим информационным технологиям и 
программированию, раскрывает возможности практического применения 
полученных знаний в своей профессиональной деятельности. Работая с системами компьютерной математики, учащийся не только осваивает и применяет возможности математики, но и закрепляет и существенно расширяет 
свои навыки работы с прикладными программами. Одновременно он осваивает и основы визуально-ориентированного прикладного программирования.

Учебник состоит из 4 разделов. В разделе 1 происходит освоение первых 

шагов в работе с одной из самых популярных и массовых систем – Mathcad; 
описаны особенности создания и редактирования массивов данных и операции с ними; показано, как применять возможности символьного процессора 
при различных алгебраических преобразованиях; а также освещены основы 
графической визуализации данных для двумерного и трехмерного случаев, 
описаны методы задания, редактирования и форматирования графиков. В 
разделе 2 изучены методы решения уравнений, сис-тем линейных и нелинейных уравнений средствами Mathcad; рассмотрены способности системы 
Mathcad в области решения неравенств и системы неравенств, а также основы математических вычислений и методы их реализации в данной системе, такие как нахождение производных и интегралов, вычисление пределов, сумм и произведений. В разделе 3 изложены методы поиска экстремума 
функций одной и нескольких переменных, решения задач линейного программирования, транспортных задач с правильным и неправильным балансом. В разделе 4 описаны способы численного решения дифференциальных

Введение
5

уравнений и систем в Mathcad; методы нахождения интегральных преобразований функций-оригиналов, в том числе и периодических, и Z-преобразований последовательностей; операционные методы решения дифференциальных и разностных уравнений и систем; рассмотрены прикладные задачи 
построения и анализа экономико-математических моделей. В пособии приведены упражнения как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной 
работы студентов. 

Учебное пособие соответствует программе дисциплины «Основы компь
ютерной математики», разработано для студентов, обучающихся по направлениям укрупненных групп специальностей 27.00.00 «Управление в технических системах», 01.00.00 «Математика и механика», 09.00.00 «Информатика и вычислительная техника»,
для формирования компетенций, 

связанных с применением компьютерных технологий при решении задач 
моделирования, анализа и управления различными системами, в том числе 
организационно-экономическими. Пособие может быть использовано преподавателями вузов, а также студентами бакалавриата и магистратуры инженерных и естественнонаучных направлений при изучении основ компьютерной математики, организационно-экономического и математического 
моделирования и других дисциплин, а также в своей практической деятельности. Материал, содержащийся в пособии, может быть полезен как студентам, изучающим данный курс, в самостоятельной работе в течение семестра 
и при подготовке к зачетам и экзаменам, так и преподавателям при планировании и проведении аудиторных занятий. 

Пособие может быть интересно уже работающим специалистам, а также 

слушателям соответствующих курсов повышения квалификации, которые 
получат реальную возможность самостоятельно ставить и решать многие 
практические задачи в сфере инженерных расчетов.

Цели, задачи и требования к результатам освоения дисциплины
Цели освоения дисциплины «Основы компьютерной математики»: 
– сформировать у студентов теоретические основы знаний;
– показать значимость применения современных информационных тех
нологий; 

– познакомить с основными средствами компьютерной математики для 

решения математических, физических, технических задач, задач системного 

Введение

анализа, с наиболее известными системами компьютерной математики, такими как Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad; 

– изучить теоретические основы и инструментальные средства системы 

Mathcad; 

– освоить практические аспекты применения популярного математиче
ского пакета в математических и инженерных расчетах. 

Задачи освоения дисциплины:
– выработка знаний, умений и навыков, необходимых студентам для ре
шения задач; 

– формирование у студентов целостного системного представления о со
временных системах компьютерной математики, об особенностях программных продуктов, реализующих основные вычислительные процессы, и 
умении применять полученные знания и навыки при решении прикладных 
задач. 

Учебная дисциплина «Основы компьютерной математики» относится к 

циклу дисциплин вариативной части блока 1. Для изучения данной учебной 
дисциплины необходимы следующие знания, умения и навыки, формируемые предшествующими и текущими дисциплинами «Информатика», «Математика», «Физика»:

знания – основных понятий алгебры и аналитической геометрии, мате
матического анализа, общей физики, структур алгоритмов; структур данных; 

умения – выполнение основных операций с текстом в текстовом редак
торе, решение уравнений, неравенств, систем, выполнение операций с матрицами, вычисление пределов, техника дифференцирования и интегрирования, исследование функций, разложения по формуле Тейлора, параметрическое задание кривых и поверхностей, решение задач по общей физике; 

навыки – владение типовыми методами работы с файловой системой 

компьютера; методами работы со стандартными приложениями Windows; 
методами создания и редактирования документов с помощью текстового 
процессора. 

Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы 

знания, умения и навыки, формируемые данной учебной дисциплиной: 
«Объектно-ориентированное программирование», «Численные методы», 
«Математические основы теории управления», «Основы статистического 

Введение
7

анализа», «Теория автоматического управления», «Методы оптимизации», 
«Системный анализ и принятие решений» и др.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов 

следующих компетенций в соответствии с образовательным стандартом ВО
ЮФУ по направлению подготовки 27.03.03 – Системный анализ и управление:

ОПК-5 – способность эффективно применять технические и программ
ные средства и технологии в профессиональной деятельности;

ПК-4 – способность создавать прикладное программное обеспечение для 

решения задач системного анализа и синтеза сложных систем.

Таблица 1

Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине, 

соотнесенных c планируемыми результатами освоения 

образовательной программы 

Шифр и формули
ровка 

компетенций (ре
зультаты 

освоения ОП)

Элементы компетенций, формируемые 

дисциплиной

Общепрофессиональные компетенции (ОПК)

ОПК-5: способность эффективно 
применять технические и 
программные 
средства и технологии в профессиональной 
деятельности

Знания: сформировать базовые знания о функционале 
системы компьютерной математики Mathcad, 
об использовании инструментария системы для 
использования в профессиональной деятельности
Умения: эффективно использовать системы компьютерной математики обеспечения с учетом задач профессиональной деятельности
Навыки: овладеть приемами эффективной работы
в системе компьютерной математики Mathcad для решения задач профессиональной деятельности

Профессиональные компетенции (ПК)

ПК-4: способность 
создавать прикладное программное 
обеспечение для 
решения задач 
системного 
анализа и синтеза 
сложных систем

Знания: формирование целостного системного представления о 
современных системах компьютерной математики, об особенностях программных продуктов, реализующих основные вычислительные процессы, о методах решения прикладных задач системного анализа с помощью системы Mathcad
Умения: закрепить и существенно расширить умение в работе с 
прикладными программами, параллельно освоить основы визуально-ориентированного прикладного программирования
Навыки: применения системы компьютерной 
математики Mathcad для решения задач системного
анализа

1. ОСНОВЫ РАБОТЫ С СИСТЕМОЙ MATHCAD

1.1. Основные понятия и приемы работы в системе

Mathcad – одна из наиболее распространенных систем компьютерной ма
тематики, направленная на выполнение как аналитических, так и численных 
расчетов с использованием естественного математического языка (подробнее с составом, возможностями, особенностями использования системы 
Mathcad можно ознакомиться в [14]). 

Отличительной чертой и неоспоримым достоинством системы Mathcad

является его сравнительная простота. Каждый, кто знаком с математической 
формой записи и владеет основными навыками работы на компьютере и не 
обладает специальными знаниями в области программирования, имеет возможность воспользоваться всеми преимуществами указанной системы. 
Пользователь, фактически, оформляет в среде Mathcad свои математические 
расчеты с использованием встроенного редактора формул, как при написании на бумаге.

Взаимодействие пользователя с системой Mathcad происходит на уровне 

так называемого входного языка, максимально приближенного к стандартному языку описания математических задач. Входной язык Mathcad относится к интерпретирующему типу. Это означает, что система при опознании 
какого-либо объекта немедленно выполняет указанные в блоке операции. 
Объектами системы могут быть формульные, текстовые и графические 
блоки. При этом формульные блоки могут иметь особые признаки – атрибуты, например, активности, пассивности и оптимизации.

Кроме элементов управления, которые являются характерными для ти
пового текстового редактора, Mathcad обладает дополнительными средствами для ввода и редактирования математических символов, к которым 
относится панель инструментов Math. На рисунке 1.1 представлены все рабочие панели семейства Math.

Необходимо учесть, что Mathcad осуществляет действия над блоками в 

строгом порядке – блоки анализируются слева направо и сверху вниз. Это означает, что недопустимо располагать блоки в документе в произвольном порядке. 
Блоки, готовящие какие-либо операции, должны предшествовать блокам, осуществляющим эти операции. Иначе появится сообщение об ошибке. 

1. Основы работы с системой Mathcad
9

Рис. 1.1. Рабочие панели семейства Math

Ввод математических выражений производится с помощью клавиатуры 

и кнопок панелей инструментов. Арифметические операции в рабочем окне 
Mathcad представляются в обычной математической нотации – произведение как точка, деление как дробная черта и т. д. Если в конце выражения 
ввести оператор вывода « = », Mathcad тут же отобразит результат вычислений, поскольку по умолчанию установлен режим автоматических вычислений.

Рассмотрим возможности задания переменных и функций в системе 

Mathcad.

Переменные – это некоторые обобщенные объекты данных, значения ко
торых могут изменяться по ходу выполнения документа. Используя имя переменной, можно обращаться к ней из любого участка документа, расположенного ниже или правее выражения ее задания. Для названия переменных 
можно использовать произвольный набор латинских и греческих букв в сочетании с арабскими цифрами, главное, чтобы этот набор не начинался с 
цифры. Имена переменных чувствительны к регистру, например, Sum1 и 
sum1 – это разные переменные.

В Mathcad очень активно используются ранжированные переменные, 

т. е. переменные, имеющие ряд равноотстоящих друг от друга (на величину 

1. Основы работы с системой Mathcad

шага) значений, как аналог программных операторов цикла. В отличие от 
обычной переменной, все значения ранжированной переменной не сохраняются в памяти, а генерируются «на лету» при обращении к ней. Ранжированная переменная определяется следующим выражением:

𝑥 ≔ 𝑎 [, 𝑎 + ℎ] . . 𝑏,

где a – начальное значение, h – шаг, b – конечное значение, в квадратных 
скобках указан необязательный параметр. Если его нет, то шаг, по умолчанию, равен 1. Двоеточие [..] вводится кнопкой 𝐦 . . 𝐧 панели Matrix.

Пример 1.1. Определим ранжированную переменную на отрезке [2; 4] с 

шагом 0,3. Результат представлен на рисунке 1.2.

Отметим, что если разность между конечным и начальным значениями 

не кратна шагу, то конечное значение не входит в последовательность значений дискретной переменной. Заметим также, что в Mathcad имеются следующие встроенные математические константы: 

Конструкция, применяемая в Mathcad для определения функции, не 

отличается от той, что используется в большинстве учебников по математике. При задании имени функции применяется такое же правило, как 
и при задании имени переменной. Если правая часть определения функции содержит буквенные параметры, все они должны иметь численное 
значение. Иначе неопределенные параметры необходимо включить в 
список аргументов функции в левой части определения, разделяя их запятыми.

Рис. 1.2. Задание ранжированной переменной

e
2.718
=

3.142
=
%
0.01
=

1
10307

=

x
2 2.3
 
4

=
x

2

2.3

2.6

2.9

3.2

3.5

3.8

=

1. Основы работы с системой Mathcad
11

Помимо этого, Mathcad имеет множество встроенных элементарных, 

специальных и статистических функций. Наиболее известные из них могут 
вводиться с клавиатуры прямо их обозначениями, например, sin(x), cos(x),
ln(x) и т. д. На первом этапе освоения системы для облегчения ввода математических функций можно воспользоваться кнопкой панели инструментов 
𝒇(𝒙) , которая выведет окно с полным перечнем функций, разбитым на тематические разделы (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Окно Insert Function

В Mathcad реализовано два принципиально разных подхода к вычисле
ниям – численный и символьный. Численный расчет характеризуется тем, 
что подсчет значения функции или выражения производится приблизительно, для чего используются специальные численные алгоритмы. Символьный же подсчет происходит с помощью различных аналитических преобразований. Чтобы система могла определить, каким именно способом должен быть произведен расчет, существуют два оператора вывода: численный 
« = » и символьный « → » (рис. 1.4).

Отметим, что для символьного вывода не требуется предварительного 

определения переменных, входящих в левую часть выражения. Что дает возможность решать уравнения с параметрами, вычислять неопределенные интегралы, производные функций и т. д. (рис. 1.4).