Методы оптимальных решений

МЕТОДЫ 
ОПТИМАЛЬНЫХ 
РЕШЕНИЙ

А.В. БОРОДИН
К.В. ПИТЕЛИНСКИЙ

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 330.46(075.8)
ББК 65.050я73
 
Б83

Бородин А.В.
Б83 
 
Методы оптимальных решений : учебное пособие / А.В. Бородин, 
К.В. Пителинский. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 203 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_5bf281507f9
6c2.75870898.

ISBN 978-5-16-012308-0 (print)
ISBN 978-5-16-106589-1 (online)
Учебное пособие формирует представления о различных принципах 
и технологиях управления экономическими и технологическими системами и процессами. В пособии приведены сравнительный анализ принципов построения и синергетического управления различными организационными структурами; теоретические основы оптимизационных 
и статистических методов, используемых для построения экономико-математических моделей. Теоретический материал сопровождается примерами и контрольными вопросами для самопроверки. Даны также варианты 
контрольных заданий и примеры практической реализации изложенных 
методов в среде MS Excel.
Соответствует требованиям Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент».

УДК 330.46(075.8)
ББК 65.050я73

А в т о р ы :
Бородин А.В., доктор технических наук, профессор, профессор 
Московской государственной академии ветеринарной медицины 
и биотехнологии — MBA имени К.И. Скрябина (разд. 2 и 3);
Пителинский К.В., кандидат технических наук, доцент, Master of 
Business Administration, доцент Московского политехнического университета (разд. 1)

Р е ц е н з е н т ы:
Дардик В.Б., доктор экономических наук, профессор, заслуженный 
экономист РСФСР, почетный работник высшего профессионального 
образования Минобразования Российской Федерации;
Корниенко А.А., доктор технических наук, профессор

ISBN 978-5-16-012308-0 (print)
ISBN 978-5-16-106589-1 (online)
© Бородин А.В., Пителинский К.В., 
2019

Введение

Поспешай медленно

Экономика — сложная холическая система, обеспечивающая 
жизнедеятельность каждого человека и общества. Реализация эффективного управления экономическими системами чрезвычайно 
трудна. Принимаемые в экономической сфере решения затрагивают 
интересы широких социальных слоев и оказывают влияние на жизнь 
людей даже через много лет после их принятия. Экономические модели развития страны, предлагаемые сейчас в огромном количестве 
различного рода «профессионалами», не должны ускоренными темпами применяться на практике, ведь речь идет о жизни реальных 
людей. Это соображение должно накладывать определенные ограничения на процессы принятия экономических решений на макро-, 
мезо- и микроэкономическом уровнях.
Современные экономические системы (и их составная часть — 
технологические системы и процессы) имеют большую размерность — порядка нескольких тысяч управляемых переменных в пространстве состояний. Анализ эволюции этих многомерных объектов 
(как правило, обладающих свойствами структурной нестационарности во временной области) существенно осложнен нелинейными 
свойствами и интервальными значениями системных характеристик. 
Для проведения исследования данных свойств экономических систем 
управления необходим мощный и детально проработанный математический аппарат, сочетающий в себе аналитические и численные 
методы, допускающие наглядную визуализацию и интерпретацию 
получаемых результатов. Такой аппарат немыслимо реализовать без 
использования современных средств вычислительной техники и инновационных технологий управления.
Важным инструментом проведения экспериментального исследования систем различной природы, как детерминированных, 
так и содержащих элементы неопределенности, является имитационное (алгоритмическое) моделирование. Сейчас существует довольно много программного обеспечения для реализации данной 
методологии. Главной их составляющей выступает наличие программно- (реже аппаратно-) реализованных генераторов псевдослучайных последовательностей чисел.
Цель данного труда — формирование представления о различных принципах и технологиях управления экономическими 

и технологическими системами и процессами. Выполнен сравнительный анализ принципов построения и синергетического управления различными типами организационных структур. Все эти 
проблемы затронуты в разделе 1 данного учебного пособия.
Оптимизационные задачи связаны с нахождением оптимального решения — оптимума (наилучшего варианта достижения цели 
с наименьшими затратами времени, сил и ресурсов). Цели могут 
быть самыми различными и отличаться друг от друга качественно 
и количественно.
Примерами подобных задач могут служить различные задачи 
оптимального использования сырьевых ресурсов для получения 
максимального количества продукции заданного ассортимента, 
минимизации отходов, максимизации прибыли, составления сбалансированных рационов питания при минимизации затрат на их 
составление; составления графиков перевозки готовой продукции, 
обеспечивающих минимизацию транспортных расходов, и др.
Постановка задачи оптимизации связана с выбором целевой 
функции (далее — ЦФ) L (x1, …, xn), подлежащей оптимизации, 
и ограничений по аргументам xi, вытекающим из физического 
смысла задачи.
Результатом решения задачи оптимизации будут значения аргументов, при которых достигается максимальное (или минимальное) 
значение целевой функции при заданных ограничениях.
Обсуждаемые в разделе 2 данного учебного пособия модели и методы оптимизации представляют собой важнейший класс решаемых 
в экономической практике задач, возникающих при управлении 
производством и связанных с составлением различных планов, производственных программ и графиков обслуживания, рационов питания, выбором оптимальных режимов технологических процессов, 
оптимальным распределением ресурсов, расходом материалов и др.
Изложение теоретического материала сопровождается решением примеров и контрольными вопросами для самопроверки.
В разделе 3 даны варианты контрольных заданий и примеры 
практической реализации изложенных методов в среде MS Excel.
После изучения представленного учебного пособия студенты 
должны:
знать
 
• законы развития природы, общества, мышления;
 
• области приложения законов развития природы, общества 
и мышления;
 
• основные этапы эволюции теории управления;
 
• основы управления информацией и знаниями;

уметь
 
• применять законы развития природы, общества, мышления 
в профессиональной деятельности;
 
• анализировать и оценивать социоэкономические явления, события и процессы;
 
• решать задачи профессиональной деятельности, анализировать 
и оценивать социоэкономические явления, события и процессы;
 
• решать задачи профессиональной управленческой деятельности;
 
• выявлять проблемы, определять цели, оценивать альтернативы, 
выбирать оптимальный вариант решения, оценивать результаты 
и последствия принятого управленческого решения;
 
• осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых 
для решения профессиональных задач;
владеть
 
• методами исследования системной динамики;
 
• методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследований социоэкономических систем;
 
• информационно-коммуникационными технологиями;
 
• методами, способами и средствами получения, хранения и обработки информации.
Кроме того, студенты приобретут опыт использования методов количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования социоэкономических 
систем и применения уже имеющихся наработок в области теории 
и практики управления; овладеют навыками компьютерной обработки информации.

Раздел 1. 

ПРИНЦИПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 
ЭКОНОМИЧЕСКИХ 
И ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Глава 1. 

ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ 
СЛОЖНЫМИ СИСТЕМАМИ

1.1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ЭКСКУРС 
В РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Важное место в обществе занимает процесс создания структур 
управления. Управляющие структуры связаны и с экономическим 
развитием страны. Отражая интересы господствующих слоев, 
управляющие структуры объединяли последовательно этнические, национальные, и государственные сообщества, решая при 
этом специфические задачи (сильного государственного аппарата, 
армии и др.). Частная собственность оставляла государству (или 
его главе) возможность принимать государственные акты, в ограниченных размерах влияющие на развитие производительных сил, 
но не на само общественное развитие. До XVIII в. влияние государства на экономику было опосредовано особенностями внутренней и внешней политики.
Роль вопросов управления растет с XIX в., и ныне они занимают 
видное место в эволюции общества. Верное (с точки зрения рыночной экономики) решение проблем управления — решающий 
фактор процветания компании. Большинство банкротств — следствие ошибок управления или ошибочных решений некомпетентного руководства. Жесткость отбора вызывает повышенную заинтересованность управляющих в улучшении управления. Увы, 
управление экономикой сейчас носит производственно-коммерческий (т.е. ограниченный) характер, ибо оно ориентировано 
на конкретное предприятие, в лучшем случае на корпорацию. Однако управление экономикой в сфере оборонного бизнеса выходит 
на национальный уровень.

Проблемы организации и управления никогда не могут быть 
полностью решены. Совершенствование (изменение) организации 
управления — трудная научная проблема, имеющая также психологический аспект. Косность и привычки персонала создают 
сопротивление при реализации управления: изменения организационных структур завязаны на судьбы людей, их интересы, цели, 
статус. Роль буфера играет образование: чем образованнее общество, тем легче ему принять перемены, отступить от традиций, изменить привычные образ жизни и стиль мышления. Обсуждение 
проблем организации управления жизнью общества должно носить 
максимально широкий характер.
Мыслители издавна пытались сформулировать принципы идеального общественного устройства и определить качества, необходимые идеальному управленцу. Можно вспомнить рекомендации 
Платона относительно дестабилизирующей роли поэтов и других 
восторженно настроенных личностей (пассионариев, по Л. Гумилеву), мудрые в своем временном контексте советы государям 
Конфуция и Макиавелли, утопические мечты о светлом будущем 
Т. Мора и Т. Кампанеллы. Про классические примеры планов построения рая на земле с помощью повсеместной электрификации 
и химизации не следует и напоминать.
В Элладе возникла наука (система правил), регламентирующая 
поведение кибернета (κονηητ — лицо, принимающее решения 
(далее — ЛПР)) в тех или иных условиях, которую и стоило бы 
назвать кибернетикой. Для людей XIX в., получивших классическое образование, слово «кибернетика» означало систему взглядов, 
которую должен был иметь управляющий, чтобы эффективно 
управлять своим киберно (объектом управления). Современный 
термин «кибернетика» — это теория управления технологическими 
системами (т.е. управление объектами, элементами которых являются люди).
В XIX в. вышла книга польского профессора философии 
Б. Трентовского «Отношение философии к кибернетике как искусству управления народом», содержащая изложение его университетского курса лекций по философии кибернетики [1].
Общество и каждая его часть — единство несопоставимого, 
а в снятии противоречий заложено его развитие в любой системе 
(рис. 1.1). Руководитель (кибернет) примиряет разные взгляды 
и стремления и использует их на общее благо, создавая и направляя деятельность различных субъектов так, чтобы из их противоречивых стремлений рождалось согласованное эволюционное 
движение. Б. Трентовский подчеркивает талант управляющего 

и вводит термин «искусство управления» (в чем и состоит основное 
отличие его кибернетики от древнегреческой).

Интуиция/Воля

1. Накопление информации 
и создание знаний
2. Оценка рисков и принятие 
управленческих решений

3. Обеспечение 
экономической и информационной безопасности

Практическое назначение 
всем интуитивно понятно, 
но формализация описания для последующего   
применения трудна и нетривиальна

Практическое назначение 
понятно далеко не всем, 
но формализация описания для последующего 
применения сравнительно 
проста

Средства реализации: 
поэзия, философия, живопись, скульптура, музыка, 
юриспруденция, религия, 
риторика, история, психология и т.д.

Средства реализации: 
математика, физика, химия 
и прочие естественные 
науки, которые замкнуты 
в себе и узко специализированы из-за отсутствия 
системного подхода

Менеджмент

Теория управления

Разум
Информационные 
технологии 
(уже вещь в себе, 
а не инструмент 
науки)

Спираль Бусыгина—Маслоу

Триада управления

В безопасности

Физиологические

В самоактуализации

Эстетические

В признании
В принадлежности 
и любви

В здоровом 
образе жизни
В познании 
и понимании

удовлетворение 
жизнью
Ноосферное 
здоровье и 

Рис. 1.1. Триада управления социоэкономическими системами

Управленческий процесс — не просто сумма административных 
акций, ибо с развитием общества все большую роль в управлении 
играет научный анализ, а ЛПР обретает черты ученого. Б. Трентовский понимал, что по мере прогрессивного развития человеческого 
общества процесс управления все более приобретает черты научного исследования, а ЛПР постепенно начинает напоминать ученого (прежде чем принять то или иное решение, ЛПР дотошно изучает обстановку и оценивает возможные последствия). При этом 
ЛПР надо полагаться как на научную теорию, так и на свой опыт 
и интуицию. Печальными примерами волюнтаристских отступлений от этих принципов является правление императоров Калигулы, Нерона и Гелиогабала, а из недавней истории — деятельность 
Н.С. Хрущева.
По мнению Б. Трентовского, человек является главной целью 
и объектом управления. Кибернет должен изучать обстановку, 

ждать, уклоняться от прямого вмешательства, т.е. извлекать пользу 
из обычного хода вещей, но должен быть также активным: каждое 
его решение должно быть волевым и четко реализовываться. У кибернета должна быть уверенность, что вверенные ему гиберно выполнят распоряжение. Исполняющему всегда должны быть ясны 
суть и цели приказа, достигнутый результат и наказание, которое 
обязательно последует за его невыполнением. Кибернет должен 
быть образцом для своих подчиненных, действуя по принципу 
«следуй за мной и делай как я». Отданные приказы должны обязательно выполняться. Процесс управления не может существовать 
без системы заранее известных поощрений и наказаний.
Законы развития общества объективны (т.е. на больших временных интервалах они не зависят от воли управляющих). Функция 
науки — помогать предвидеть возможные варианты развития событий. Задача кибернетики не давать общие советы, а помогать 
управленцу (или исследователю) прогнозировать будущее (т.е. последствия своих решений).
В 1940-х гг. Н. Винер опубликовал работу [2], посвященную 
кибернетике — науке об управлении и о связях в машинах и животном мире. Его последователи использовали кибернетику для 
изучения социума, что вызвало резкую критику со стороны ученых 
различных направлений (особенно марксистов). Критика была 
отчасти мотивирована: обобщения идей Н. Винера не всегда учитывали объективные законы развития общества и часто носили 
механистический характер. Попытка представить в терминах технической дисциплины общество и происходящие в нем процессы 
всегда неудачна. Труды Б. Трентовского импонируют тем, что в них 
описаны общественные процессы сквозь призму человека, в зависимости от потребностей социума и от законов его эволюции.
Практическое управление трактовало роль управляющего 
в раннем капиталистическом обществе примитивно: он должен 
был уметь управлять — принуждать людей эффективно работать. 
Развитие капитализма вызвало интерес к сферам управления, 
от которых зависела деятельность предприятия или организации. 
При этом управление сводилось в основном к созданию производственных структур, обеспечивавших максимальную прибыль. Поэтому философия и социальное управление, предлагаемые Н. Макиавелли и идеальной системой Г. Гегеля, стали излишними из-за 
возникновения научной организации труда (далее — НОТ).
Начавшееся в 1940-х гг. бурное развитие техники и технологий 
усложнило управленческие процессы. Специализация и концентрация производства, потребность обработки большого объема ин

формации показали слабость прежних приемов управления, НОТ 
и других применявшихся управляющими средств. Возникла необходимость научного подхода к управлению. Поэтому «новая» кибернетика и появление книги Н. Винера «Кибернетика и общество» 
были восприняты на Западе с энтузиазмом. Альтернативу кибернетике Н. Винера составляет синергетика Р.Б. Фулера, предложенная 
им в 1940-х гг., но оказавшаяся в полной мере востребованной 
только в 1970-е гг. благодаря теоретическим изысканиям Л. фон 
Берталанфи, Б. Мандельброта, Г. Хакена, И. Пригожина, В.И. Арнольда и появлению ЭВМ (для визуализации соответствующих нелинейным хаотическим системам фрактальных множеств) [4–7].
В послевоенные годы разразился «кризис избытка информации». Если бы до войны К. Цузе не внедрил ЭВМ, то общество 
было бы задушено информацией. Кибернетика Н. Винера оказалась ориентированной именно на информационные проблемы. Он 
считал, что теория информации является базой этой дисциплины 
(точнее, теория управления является лишь частью теории информации, предложенной ранее К. Шенноном [8]).
Имея общую цель — совершенствование управления обществом, Б. Трентовский и Н. Винер трактовали ее по-разному: 
Н. Винер полагал общество биологической или технической системой, а Б. Трентовский изучал его как философ и социолог [1, 2].
Кибернетика пересекается c теорией систем и системным анализом. Сейчас эти дисциплины развились в самостоятельные отрасли научной мысли. В рамках системного анализа, изучающего 
общие свойства сложных систем, созданы и алгоритмически реализованы эффективные методы их исследования. В целях успешного 
управления сложными субъектами экономики ЛПР должны были 
изучать, понимать и правильно использовать экономические законы, что в итоге и привело к созданию экономической кибернетики.
Кибернетика также тесно связана с дисциплинами, которые занимаются проблемами использования ЭВМ, например, с теорией 
информации. Кибернетика, основываясь на философских и общеметодологических основах теории управления, дает ЛПР рецепты, 
призванные помочь ему найти в непростой ситуации верное решение. Философские позиции позволяют правильно выбрать цели 
управления, увидеть перспективу развития и разработать стратегию. 
Конкретные управленческие решения зависят от ряда обстоятельств, обусловленных факторами неопределенности, которые 
трудно учесть при стратегическом анализе, причем особое место 
среди них занимает априорная информация. При этом опасны как 
недостаток информации, так и ее избыток. Информации должно