Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2017, № 3

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 / № 3

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2017 / № 3

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW STATE
REGIONAL UNIVERSITY

Научный журнал основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён в 
«Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук» Высшей аттестационной 
комиссии при Министерстве образования и науки Российской 
Федерации (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России) по наукам: Математика (01.01.00); Физика 
(01.04.00); Педагогические науки (13.00.00). 

The academic journal is established in 1998

«Bulletin of Moscow State Regional University. Series: Physics and 
Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission 
of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation 
into “the List of leading reviewed academic journals and periodicals 
recommended for publishing in corresponding series basic research 
thesis results for a Ph.D. Candidate or Doctorate Degree” (See: the 
online List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation) in Physics and Mathematics: Mathematics (01.01.00); Physics 
(01.04.00); Pedagogics (13.00.00).

серия

series

Журнал включен в базу данных Российского индекса научного 
цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую версию 
в Интернете на платформе Научной электронной библиотеки 
(www.elibrary.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru)

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Опубликованные в журнале материалы могут использоваться 
только в некоммерческих целях. Ответственность за содержание 
статей несут авторы. Мнение редколлегии серии может не совпадать с точкой зрения автора. Рукописи не возвращаются. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. – 2017. – № 3. – 122 с.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-Математика» зарегистрирован 
в Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного 
наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС77-26136

Индекс серии «Физика-Математика» 
по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723
© МГОУ, 2017.
© ИИУ МГОУ, 2017.
Адрес Отдела по изданию научного журнала 
«Вестник Московского государственного
областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала «Вестник Московского государственного областного университета»: 
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Редакционная коллегия серии 
«Физика-Математика»

Выходит 4 раза в год

Редакционно-издательский совет 
«Вестника Московского государственного 
областного университета»

Хроменков П.Н. – к.филол.н., проф., ректор МГОУ (председатель совета)
Ефремова Е.С. – к. филол. н., и.о. проректора по научной работе МГОУ (зам. председателя);
Клычников В.М. – к.ю.н., к.и.н., проф., проректор по учебной работе и международному сотрудничеству МГОУ (зам. председателя) 
Антонова Л.Н. – д.пед.н., проф., академик РАО, Комитет Совета Федерации по науке, образованию и культуре
Асмолов А.Г. – д.псх.н., проф., академик РАО, директор Федерального института развития образования
Климов С.Н. – д.ф.н., проф., Московский государственный 
университет путей сообщения (МИИТ)
Клобуков Е.В. – д. филол. н., проф., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Манойло А.В. – д.пол.н., проф., МГУ им. М.В. Ломоносова
Новоселов А.Л. – д.э.н., проф., Российский экономический 
университет им. Г.В. Плеханова
Пасечник В.В. – д.пед.н., проф., МГОУ
Поляков Ю.М. – к. филол. н., главный редактор «Литературной газеты»
Рюмцев Е.И. – д.ф-м.н., проф., Санкт-Петербургский государственный университет
Хухуни Г.Т. – д.филол.н., проф., МГОУ
Чистякова С.Н. – д. пед. н., проф., Российская академия образования (г. Москва)

Ответственный редактор серии:
Бугаев А.С. – д. ф.-м. н., академик РАН, МФТИ
Заместитель ответственного редактора:
Жачкин В.А. – д.ф.-м.н., проф. МГОУ
Ответственный секретарь:
Васильчикова Е.Н. – к. ф.-м. н., доц., МГОУ
Члены редакционной коллегии:
Беляев В.В. – д.т.н., проф., МГОУ; 
Богданов Д.Л. – д. ф.-м. н., проф., МГОУ;
Бугримов А.Л. – д. т. н., проф., МГОУ;
Рассудовская М.М. – к.п.н., проф., МГОУ;
Осипов М.А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);
Чигринов В.Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

The journal is included into the database of the Russian 
Science Citation Index, has a full text network version on 
the Internet on the platform of Scientific Electronic Library 
(www.elibrary.ru), as well as at the site of the Moscow State 
Regional University (www.vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of the 
Moscow State Regional University» is obligatory. The materials published in the journal are for non-commercial use only. 
The authors bear all responsibility for the content of their 
papers. The opinion of the Editorial Board of the series does 
not necessarily coincide with that of the author Manuscripts 
are not returned. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)
Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2017. – № 3. – 122 p.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the Moscow 
State Regional University is registered in Federal service on supervision of legislation observance in sphere of mass communications and 
cultural heritage protection. The registration certificate ПИ № ФС7726136

Index of the series «Physics and Mathematics» according 
to the union catalog «Press of Russia» 40723
© MSRU, 2017.
© Information & Publishing department of MSRU, 2017.

Founder of journal «Bulletin of the Moscow State Regional University»: 
Moscow State Regional University

Publishing council «Bulletin of the 
Moscow State Regional University»

Editor-in-chief :
A.S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of 
RAS, MIPT
Deputy editor-in-chief:
V.A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU
Executive secretary:
E.N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate 
Professor, MSRU
Members of Editorial Board:
V.V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, MSRU 
D.L. Bogdanov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU
A.L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, MSRU
M.M. Rassudovskaya – Ph.D. in Pedagogical Sciences, Professor, MSRU
M.A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Strathclyde University (UK)
V.G. Chigrinov – University of Science and Technology (Hong 
Kong, China)

Series editorial board 
«Physics and Mathematics»

Issued 4 times a year 

P.N. Khromenkov – Ph. D. in Philology, Professor, Principal of 
MSRU (Chairman of the Council)
E.S.Yefremova – Ph. D. in Philology, Acting Vice-Principal for 
scientific work of МSRU (Vice-Chairman of the Council)
V.M. Klychnikov – Ph.D. in Law, Ph. D. in History, Professor, VicePrincipal for academic work and international cooperation of МSRU 
(Vice-Chairman of the Council)
L.N. Antonova – Doctor of Pedagogics, Professor, Member of 
the Russian Academy of Education, The Council of the Federation 
Committee on Science, Education and Culture
A.G. Asmolov – Doctor of Psychology, Professor, Member of the 
Russian Academy of Education, Principal of the Federal Institute of 
Development of Education
S.N. Klimov – Doctor of Phylosophy, Professor, Moscow State 
University of Railway Engineering
E.V. Klobukov – Doctor of Philology, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.V. Manoylo – Doctor of Political Science, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.L. Novosjolov – Doctor of Economics, Professor, Plekhanov 
Russian University of Economics
V.V. Pasechnik – Doctor of Pedagogics, Professor, MSRU
Yu. M. Polyakov – Ph.D. in Philology, Editor-in-chief of 
“Literaturnaya Gazeta”
E.I. Rjumtsev – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Saint Petersburg State University
G. T. Khukhuni – Doctor of Philology, Professor, MSRU
S.N. Chistyakova – Doctor of Pedagogics, Professor, the Russian 
Academy of Education

The Editorial Board address:
Moscow State Regional University

10А Radio st., office 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Андроникова Е.О., Матвеев О.А. ЛЕВОЕ ТОЖДЕСТВО БОЛА В ТЕОРИИ 
СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ  . . . . . . . . .6

Боброва И.А., Бугримов А.Л., Кузнецов В.С. О ПРИМЕНИМОСТИ ДРОБНЫХ 
ПРОИЗВОДНЫХ В ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Масина О.Н., Сидоров А.В., Токарев А.М. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ 
ЧЕТЫРЁХМЕРНОЙ МОДЕЛИ МЕЖВИДОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ С 
ПОМОЩЬЮ ПЕРВОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Рустамова С.О. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ 
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ 

И НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Бозиев О.Л. О ПРИБЛИЖЁННО-АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ 
НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОРОДНЫМИ 
НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ
Калашников Е.В., Крылова Н.А. ДВА ТИПА ДЕФЕКТОВ, УЧАСТВУЮЩИХ 
В ПЕРЕМЕЩЕНИИ АТОМОВ ГЕЛИЯ В НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ СТРУКТУРЕ 
КВАРЦА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Кузьмин М.К., Хасанов А.С. ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ 
ПОЛНОГО ИСПАРЕНИЯ АЭРОЗОЛЬНЫХ КАПЕЛЬ С УЧЁТОМ 
КОЭФФИЦИЕНТОВ ИСПАРЕНИЯ И ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ  . . . .68

Соломатин А.С., Мащенко В.И., Беляев В.В., Маргарян А.Л., Акопян Н.Г. 
УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НА ОСНОВЕ 
ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ КОМПОЗИТОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Ефремов В.Е., Кузьмин М.К. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 
ВЫЧИСЛЕНИЯ МОДУЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ 
ДИФФУЗИОФОРЕТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ТВЁРДОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ 
ЧАСТИЦЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Мащенко В.И., Соломатин А.C., Шашкова Ю.О., Беляев В.В. 
МИКРОСТРУКТУРЫ ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ КОМПОЗИТОВ НА 
ОСНОВЕ БОРОСИЛОКСАНА. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИСПЕРСНОЙ 
ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ НА ИХ ОСНОВЕ. . . . . . . . . . . . .97

ÐÀÇÄÅË III. ÒÅÎÐÈß È ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÎÁÓ×ÅÍÈß È ÂÎÑÏÈÒÀÍÈß
Власова Е.А., Попов В.С., Пугачёв О.В. О МАТЕМАТИЧЕКИХ ОЛИМПИАДАХ 
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

5

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS
E. Andronikova, O. Matveyev. THE LEFT BOL IDENTITY IN THE THEORY 
OF SYMMETRIC SPACES WITH AN AFFINE CONNECTION. . . . . . . . . . . . . . . . . .6

I. Bobrova, A. Bugrimov, V. Kuznetsov. APPLICATION OF FRACTIONAL 
DERIVATIVES IN PHYSICAL MODELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

O. Masina, A. Sidorov, A. Tokarev. ANALYSIS OF STABILITY OF 
A FOUR-DIMENSIONAL MODEL OF TRANS-SPECIES COMPETITION 
BY LYAPUNOV’S FIRST METHOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

S. Rustamova. A MIXED PROBLEM FOR SYSTEMS OF SEMILINEAR 
HYPERBOLIC EQUATIONS WITH NONLINEAR DISSIPATION AND 
NONLINEAR SOURCE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

O. Boziev. ON THE APPROXIMATE-ANALYTIC METHOD OF SOLVING 
A NONLINEAR HYPERBOLIC EQUATION WITH HOMOGENEOUS 
INITIAL CONDITIONS  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

SECTION II. PHYSICS
E. Kalashnikov, N. Krylova. TWO TYPES OF DEFECTS INVOLVED 
IN THE TRANSPORTATION OF HELIUM ATOMS IN THE DISORDERED 
STRUCTURE OF QUARTZ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

M. Kuzmin, A. Khasanov. FORMULA FOR CALCULATING THE COMPLETE 
EVAPORATION TIME OF AEROSOL DROPS WITH ALLOWANCE FOR 
THE EVAPORATION AND SURFACE TENSION COEFFICIENTS  . . . . . . . . . . . . .68

A. Solomatin, V. Mashchenko, V. Belyaev, A. Margaryan, N. Hakobyan 
CONTROLLABLE LC-COMPOSITE DIFFRACTIVE OPTICAL ELEMENTS. . . . .76

V. Efremov, M. Kuzmin. APPROXIMATE FORMULAE FOR CALCULATING 
THE MODULUS OF A NONSTATIONARY DIFFUSIOPHORESIS VELOCITY 
COMPONENT OF A SOLID SPHERICAL PARTICLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

V. Mashchenko, A. Solomatin, Yu. Shashkova, V. Belyaev. MICROSTRUCTURES 
OF LIQUID CRYSTALLINE COMPOSITES BASED ON BOROSILOXANE. 
OPTICAL PROPERTIES OF THEIR DISPERSION LIQUID CRYSTALLINE 
STRUCTURE   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

SECTION III. THEORY AND METHODS OF TEACHING AND EDUCATION
E. Vlasova, V. Popov, O. Pugachev. ON MATHEMATICAL OLYMPIADS FOR 
STUDENTS OF TECHNICAL UNIVERSITIES  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

ÐÀÇÄÅË I.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 514.76 + 512.54
DOI: 10.18384-2310-7251-2017-3-6-11

ËÅÂÎÅ ÒÎÆÄÅÑÒÂÎ ÁÎËÀ  ÒÅÎÐÈÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒ 
ÀÔÔÈÍÍÎÉ ÑÂßÇÍÎÑÒÈ

Андроникова Е.О.1, Матвеев О.А.2

1 Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»
127994, г. Москва, Вадковский пер., д. 1, Российская Федерация

2 Московский государственный областной университет
105005, Москва, ул. Радио, д. 10А, Российская Федерация
Аннотация. В работе рассматриваются геометрические и алгебраические свойства 
локально симметрического дифференцируемого многообразия аффинной связности. Обсуждаются тождества, выполняющиеся в геодезической лупе симметрического пространства аффинной связности. Используя левое тождество Бола, которому 
удовлетворяет геодезическая лупа в каждой точке пространства, можно вывести алгебраическое тождество, которому удовлетворяют геодезические симметрии локально плоских пространств. Полученные результаты применяются для решения задач на 
построение.
Ключевые слова: пространства аффинной связности, локально симметрические многообразия аффинной связности, геодезические линии, теория луп, геодезическая лупа, 
тождество Бола.

THE LEFT BOL IDENTITY IN THE THEORY OF SYMMETRIC SPACES WITH 
AN AFFINE CONNECTION

E. Andronikova1, O. Matveyev2

1 Moscow State University of Technology “STANKIN”
Vadkovskii per. 1, 105005 Moscow, Russian Federation

2 Moscow Region State University
ul. Radio 10A, 105005 Moscow, Russian Federation
Abstract. We consider the geometric and algebraic properties of a locally symmetric differentiable 
manifold of an affine connection. The identities in the geodesic loop of a symmetric affine 
connection space are discussed. Using the left Bol identity, which the geodesic loop satisfies at 

© Андроникова Е.О., Матвеев О.А., 2017.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

7

each point of space, we derive an algebraic identity that is satisfied by the geodesic symmetries 
of locally flat spaces. The results obtained are used to solve construction problems.

Key words: spaces with affine connection, locally symmetric manifolds with affine connection, 
geodesic lines, loop theory, geodesic loop, Bol loops.

Тождества Бола (Bol, 1937) (левое и правое), обобщения тождества ассоциативности сначала изучались в рамках алгебраической теории луп вне какойлибо связи с геометрией. Позднее тождества Бола ярко проявили себя в теории 
тканей [1], а затем и в теории симметрических и некоторых других пространствах аффинной связности [2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10].
Выпишем левое тождество Бола в чисто алгебраической форме:

 
(x(zx))a = x(z(xa)), 
(1)

(здесь мы ради краткости не пишем знак умножения). Если в левой лупе Бола 
выполняется тождество ассоциативности: x(yz) = (xy)z, то она является левой 
группой.
Определение 1. Пусть Х – дифференцируемое многообразие. Частичную гладкую локальную алгебру χ = < X, (ωt)t∈R с однопараметрическим семейством бинарных операций (ωt)t∈R на Х называем многообразием с гомотетиями, если: 
а) для любой точки e из Х существует такая открытая окрестность U, что для любых x и y из U и для любого вещественного числа t, принадлежащего некоторому 
открытому интервалу, содержащему отрезок [0,1], ωt(x, y) = txy определенно и 
принадлежит U; б) если txy определенно, то ux(txy) определенно тогда и только 
тогда, когда (ut)хy определенно, и в этом случае ux(txy) = (ut)хy (t, u ∈ R, x ∈ X, 
y ∈ X); в) локально выполняется тождество геометричности: txy = (1 – t)yx; 
г) имеет место тождество: 1xy = y, 1 ∈ R. При фиксированном действительным 
числе t, не равном нулю и единице, (локальное) отображение ωt(x) : y → txy, 
определённое в достаточно малой открытой окрестности точки х, называем (локальной) гомотетией с центром в x с коэффициентом (растяжения или сжатия) t.
Предложение 1 [2]. Категория дифференцируемых многообразий с локальными гомотетиями эквивалентна категории многообразий аффинной связности с 
нулевым полем тензора кручения, причём множество точек вида {txy}, где действительное число t принадлежит связному открытому интервалу, содержащему отрезок [0,1], является геодезической линией, проходящей через точки х и у. 
Имеет место формула: ωt(y, z) = tyz = Expy(t(Expy)–1z), где Exp – экспоненциальное 
отображение.
Определение 2 [9]. Дифференцируемое многообразие аффинной связности называется локально симметрическим, если его поле тензора кручения T 
нулевое, а первая ковариантная производная тензора кривизны равна нулю 
(T = 0, ∇R = 0).
Определение 3 [2]. Многообразие с гомотетиями χ = < X, (ωt)t∈R > называется 
локально симметрическим, если выполняются тождества (когда правые и левые 
части равенств одновременно имеют смысл):

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

8

 
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
−
−
−
= −
−
−
=
−




1
,
1
1
1
1
.
1
1
x
x
y
y
y
x
t y
t x
y
x
x
t
t
 
(2)

Предложение 2 [2]. Категория дифференцируемых локально симметрических 
многообразий с гомотетиями эквивалентна категории локально симметрических многообразий аффинной связности.
Левые сдвиги (двусторонней) квазигруппы M–1 = M, C, ω, \, / есть геодезические симметрии симметрического пространства аффинной связности (здесь в 

наших обозначениях 
(
)
(
)
⎛
⎞
⋅
= −
= −
= ⎜
⎟
⎝
⎠

1
1
,   \
1
,   \
.
2
x
x
x
x y
y
x y
y
y x
y  Главный левый
 
изотоп этой квазигруппы есть геодезическая лупа симметрического пространства аффинной связности, левые сдвиги L которой (параллельный перенос вдоль 
геодезического отрезка [y, x]) подчиняются формуле (формула Эли Картана):

 

(
)
(
)
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
= −
° −
1
2
1
.
1

y

y
x
x
y
L
 
(3)

Геодезическая лупа в каждой точке симметрического пространства подчиняется левому тождеству Бола, т. е. для геодезической лупы с нейтралом у можно 
записать: 

 
(x[y](z[y]x))[y]a = x[y](z[y](x[y]a)). 
(4)

В этой формуле выражение «x[y]z» обозначает умножение х на z в точке у, т. е. 

y
x
L z  = x[y]z, где 
y
x
L z  – левый сдвиг (параллельный перенос) точки z геодезиче
ской лупы с нейтралом у из точки у в х. (Подробнее, 
(
)
(
)
−
=
τ
1
,
y
y
x
x
x
y
L z
Exp
Exp
z
 где
 

(
)
(
)
τ
→
:
y
x
y
x
T
M
T
M  – параллельный перенос касательных векторов вдоль отрез
ка геодезической линии, соединяющего точки y и x, Ty – пространство касательных векторов, выходящих из точки у, Exp – экспоненциальное отображение).
Если мы подставим формулу (3) в тождество Бола (4), то получится довольно 
громоздкое выражение, которое можно упростить. Используя тождество геометричности для геодезических линий, выполняющееся в любом пространстве 
аффинной связности: tc b = (1 – t)b c, где b, c – точки, t – действительное число, 
имеем: (–1)c b = (2)b c. Также применяется характеристическое свойство симметрического пространства аффинной связности: геодезическая симметрия (–1)b: 
M → M есть изоморфизм геометрической структуры. После замены переменных 
приходим к тождествам:

 
(0,5)y(–1)a(–1)b(–1)ay = (0,5)x(–1)a(–1)b(–1)ax = (–1)аb. 
(5)

Предложение 3. В локально симметрическом многообразии аффинной связности (локально) выполняются тождества (5).
Следствие. В локально плоском многообразии аффинной связности, в частности в аффинном и евклидовом пространствах, выполняются тождества:

 
(0,5)y(–1)a(–1)b(–1)cy = (0,5)x(–1)a(–1)b(–1)cx = (0,5)с(–1)a(–1)bс. 
(6)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

9

Задача 1. В локально плоском пространстве аффинной связности (на конической или на цилиндрической поверхностях, в аффинном или евклидовом пространствах) заданы три точки d, e, f, не лежащие на одной геодезической линии. 
Известно, что эти точки лежат на серединах сторон геодезического треугольника abc, расположение вершин которого неизвестно; причём d – середина [ab], e – 
середина [cb], f – середина [ac]. Используя геодезическую симметрию, построить 
вершины геодезического треугольника.
Решение. Вершины а, b, c можно построить по формулам:
а = (0,5)x(–1)d(–1)e(–1)fx, х-произвольная точка, b = (–1)da, c = (–1)eb. Доказательство правильности построения использует тождества (6).
Задача 2. В локально плоском пространстве аффинной связности (на конической или на цилиндрической поверхностях, в аффинном или евклидовом пространствах) заданы (2n + 1) точки. Известно, что эти точки лежат на серединах сторон геодезического (2n + 1) – многоугольника. Используя геодезическую 
симметрию, построить вершины геодезического многоугольника.
Правое тождество Бола ((xz)a))z = x((za)z) также нашло своё применение в 
теории пространств аффинной связности. Интересно, что выполнение в лупе 
одновременно правого и левого тождеств Бола, равносильно справедливости 
тождества Муфанг:

 
(
) (
)
(
)
(
)
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
,
x y
z x
x
y z
x

которое также хорошо известно в дифференциальной геометрии.

ЛИТЕРАТУРА
1. Акивис М. А., Шелехов А.М. Замкнутые G-структуры, определяемые три-тканями 
// Учёные записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 
Т. 153. 2011, К. 3. Казань, Издательство Казанского университета, 2011. С. 22–28.
2. Андроникова Е.О., Дмитриева М.Н., Матвеев О.А., Матвеева Н.В. Гомотетии и параллельные переносы в проективно симметрических пространствах аффинной связности // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: 
Физика-математика. 2016. № 3. С. 8–17.
3. Матвеев О.А. Квазигрупповые свойства многообразий с траекториями // Вестник 
Московского педагогического университета. Серия: Физика-математика. № 3–4. 
1998. С. 10–15.
4. Матвеев О.А., Нестеренко Е.Л. Алгебраическая теория пространств, близких к симметрическим: монография. Lambert Academic Publishing, Germany, 2012. 125 с.
5. Матвеев О.А., Нестеренко Е.Л. О локально инвариантных пространствах аффинной связности // Вестник Московского государственного областного университета. 
Серия: Физика и математика, № 2. 2010. С. 19–27.
6. Матвеев О.А., Нестеренко Е.Л. Просимметрические пространства // Вестник 
Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. № 7 (1). М.: 
Издательство Российского университета дружбы народов. 2000. С. 114–126.
7. Матвеев О.А., Нестеренко Е.Л. Универсальные алгебры в теории пространств аффинной связности, близких к симметрическим: монография. М.: Московский государственный областной университет, 2012. 132 с.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

10

8. Matveyev O.A., Nesterenko E.L. On the quasigroup properties of prosymmetric spaces with 
zero curvature // Webs and quasigroups. Tver, 2002. P. 78–84.
9. Matveyev O.A., Nesterenko E.L. Th e real prosymmetric spaces // Non – Associative Algebra 
and Its Applications. A Series of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Vol. 246. 
Chapter 19. CRS Press Taylor and Francis Group. 2006. P. 253–260.
10. Sabinin L.V., Matveyev O.A. Geodesic loops and some classes of affi  ne connected manifolds 
// Bulletin of RUDN. Series: Mathematics. 1995. No. 2(1). P. 135–243.

REFERENCES
1. Akivis M.A., Shelekhov A.M. [Closed G-structures defi ned by three fabrics]. In: Uchenye 
zapiski Kazanskogo universiteta. Seriya: Fiziko-matematicheskie nauki [Scientifi c notes 
of Kazan University. Series: physics and mathematics], vol. 153, 2011, b. 3. Kazan, Kazan 
University Publishing house Publ., 2011. pp. 22–28. 
2. Andronikova E.O., Dmitrieva M.N., Matveev O.A., Matveeva N.V. [Homothety and parallel 
shift s in the projective symmetric spaces with an affi  ne connection]. In: Vestnik Moskovskogo 
gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow 
Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2016, no. 3, pp. 8–17. 
3. Matveev O.A. [Quasi-group properties of manifolds with trajectories]. In: Vestnik 
Moskovskogo pedagogicheskogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow 
Region State University. Series: Physics and Mathematics], no. 3–4, 1998, pp. 10–15. 
4. Matveev O.A., Nesterenko E.L. [Algebraic theory of spaces close to symmetric: monograph]. 
Lambert Academic Publishing Publ., Germany, 2012. 125 p. 
5. Matveev O.A., Nesterenko E.L. [On locally invariant spaces with an affi  ne connection]. In: 
Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika i matematika 
[Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], no. 2, 2010, 
pp. 19–27. 
6. Matveev O.A., Nesterenko E.L. [Pro-symmetric space]. In: Vestnik Rossiiskogo universiteta 
druzhby narodov. Seriya: Matematika. [Bulletin of RUDN. Series: Mathematics], no. 7 (1). 
Moscow, Publishing house of the Russian University of Peoples’ Friendship Publ., 2000. 
pp. 114–126. 
7. Matveev O.A., Nesterenko E.L. Universal’nyye algebry v teorii prostranstv affi  nnoy svyaznosti, 
blizkikh k simmetricheskim: monografi ya [Universal algebras in the theory of spaces with 
an affi  ne connection close to symmetric: monograph]. Moscow, Moscow Region State 
University Publ., 2012. 132 p. 
8. Matveyev O.A., Nesterenko E.L. On the quasi-group properties of prosymmetric spaces 
with zero curvature. In: Webs and quasigroups. Tver, 2002. Pp. 78–84. 
9. Matveyev O.A., Nesterenko E.L. Th e real prosymmetric spaces. In: Non. Associative Algebra 
and Its Applications. A Series of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Vol. 246, 
chapter 19. CRS Press Taylor and Francis Group Publ.. 2006. Pp. 253–260. 
10. Sabinin L.V., Matveyev O.A. Geodesic loops and some classes of affi  ne connected manifolds. 
In: Bulletin of RUDN. Series: Mathematics, 1995, no. 2 (1), pp. 135–243. 

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Андроникова Екатерина Олеговна – магистр, аспирант кафедры прикладной математики 
Московского государственного технологического университета «СТАНКИН»;
e-mail: ya.kmatveyeva@yandex.
ya.kmatveyeva@yandex.ru

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

11

Матвеев Олег Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры 
математического анализа и геометрии физико-математического факультета Московского 
государственного областного университета;
e-mail: matveyevoa@mail.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Ekaterina O. Andronikova – Master of Mathematics, postgraduate student at the Department of 
Applied Mathematics, Moscow State University of Technology “STANKIN”;
e-mail: ya.kmatveyeva@yandex.ru

Oleg A. Matveyev – PhD in Physics and Mathematics, associate professor at the Department 
of Mathematical Analysis and Geometry of the Faculty of Physic and Mathematics, Moscow 
Region State University;
e-mail: matveyevoa@mail.ru

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
Андроникова Е.О., Матвеев О.А. Левое тождество Бола в теории симметрических пространств аффинной связности // Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия: Физика-Математика. 2017. № 3. С. 6–11.
DOI: 10.18384/2310-7251-2017-3-6-11

CORRECT REFERENCE TO THE ARTICLE
Andronikova E.O., Matveyev O.A. Th e Left  Bol Identity in the Th eory of Symmetric Spaces 
with an Affi  ne Connection. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and 
Mathematics, 2017, no. 3, pp. 6–11.
DOI: 10.18384/2310-7251-2017-3-6-11

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 3

12

УДК 539.3
DOI: 10.18384-2310-7251-2017-3-12-22

Î ÏÐÈÌÅÍÈÌÎÑÒÈ ÄÐÎÁÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Â ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ 
ÌÎÄÅËßÕ

Боброва И.А.1, Бугримов А.Л.2, Кузнецов В.С.2

1 Общество с ограниченной ответственностью «Ноледж Лаб»
141700, Московская область, г. Долгопрудный, Лихачевский проезд, д. 4 стр. 1, 
Российская Федерация

2 Московский государственный областной университет
105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10А, Российская Федерация

Аннотация. В статье рассмотрен вопрос физического содержания и допустимости дифференцирования дробного порядка. Продемонстрирован обобщающий характер применения аппарата производных и интегралов дробного порядка при описании модели 
среды, обладающей свойствами: упругость – вязкоупругость – вязкая жидкость. Авторы 
приходят к выводу, что, с одной стороны, проявляется общность физических моделей 
сплошной среды «упругость – вязкоупругость – вязкая жидкость», с другой стороны, 
демонстрируется случай обоснованности применения аппарата дробных производных и 
интегралов дробного порядка к этим задачам.

Ключевые слова: производная дробного порядка, интеграл дробного порядка, упругость, 
вязкоупругость, вязкая жидкость, канторово множество, фрактал.

APPLICATION OF FRACTIONAL DERIVATIVES IN PHYSICAL MODELS

I. Bobrova1, A. Bugrimov2, V. Kuznetsov2

1 Limited Liability Company “Noledzh Lab”
Likhachevsky proezd 4/1, 141700 Dolgoprudnyi, Moscow region, Russian Federation

2 Moscow Region State University
ul. Radio 10A, 105005 Moscow, Russian Federation

Abstract. The problem of physical content and admissibility of differentiation of fractional 
order is considered. The generalizing character of the apparatus of derivatives and integrals 
of fractional order is demonstrated in describing the model of a medium with the elasticity – 
viscoelasticity – viscous liquid properties. A conclusion is made that, on the one hand, the 
generality of the physical models of a continuous ‘elasticity – viscoelasticity – a viscous liquid’ 
medium is manifested and, on the other hand, the case of the validity of the application of 
the apparatus of fractional derivatives and integrals of fractional order to these problems is 
demonstrated.

Key words: fractional derivative, fractional integral, elastic, viscoelasticity, viscous fluid, Cantor 
set, fractal.

© Боброва И.А., Бугримов А.Л., Кузнецов В.С., 2017.