Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2017, № 1

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 / № 1

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2017 / № 1

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW STATE
REGIONAL UNIVERSITY

Научный журнал основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён в 
«Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук» Высшей аттестационной 
комиссии при Министерстве образования и науки Российской 
Федерации (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России) по наукам: Математика (01.01.00); Физика 
(01.04.00); Педагогические науки (13.00.00). 

The academic journal is established in 1998

«Bulletin of Moscow State Regional University. Series: Physics and 
Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission 
of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation 
into “the List of leading reviewed academic journals and periodicals 
recommended for publishing in corresponding series basic research 
thesis results for a Ph.D. Candidate or Doctorate Degree” (See: the 
online List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation) in Physics and Mathematics: Mathematics (01.01.00); Physics 
(01.04.00); Pedagogics (13.00.00).

серия

series

Журнал включен в базу данных Российского индекса научного 
цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую версию 
в Интернете на платформе Научной электронной библиотеки 
(www.elibrary.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru)

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Опубликованные в журнале материалы могут использоваться 
только в некоммерческих целях. Ответственность за содержание 
статей несут авторы. Мнение редколлегии серии может не совпадать с точкой зрения автора. Рукописи не возвращаются. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. – 2017. – № 1. – 126 с.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-Математика» зарегистрирован 
в Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного 
наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС77-26136

Индекс серии «Физика-Математика» 
по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723
© МГОУ, 2017.
© ИИУ МГОУ, 2017.
Адрес Отдела по изданию научного журнала 
«Вестник Московского государственного
областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала «Вестник Московского государственного областного университета»: 
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Редакционная коллегия серии 
«Физика-Математика»

Выходит 4 раза в год

Редакционно-издательский совет 
«Вестника Московского государственного 
областного университета»

Хроменков П.Н. – к.филол.н., проф., ректор МГОУ (председатель совета)
Ефремова Е.С. – к. филол. н., и.о. проректора по научной работе МГОУ (зам. председателя);
Клычников В.М. – к.ю.н., к.и.н., проф., проректор по учебной работе и международному сотрудничеству МГОУ (зам. председателя) 
Антонова Л.Н. – д.пед.н., проф., академик РАО, Комитет Совета Федерации по науке, образованию и культуре
Асмолов А.Г. – д.псх.н., проф., академик РАО, директор Федерального института развития образования
Климов С.Н. – д.ф.н., проф., Московский государственный 
университет путей сообщения (МИИТ)
Клобуков Е.В. – д. филол. н., проф., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Манойло А.В. – д.пол.н., проф., МГУ им. М.В. Ломоносова
Новоселов А.Л. – д.э.н., проф., Российский экономический 
университет им. Г.В. Плеханова
Пасечник В.В. – д.пед.н., проф., МГОУ
Поляков Ю.М. – к. филол. н., главный редактор «Литературной газеты»
Рюмцев Е.И. – д.ф-м.н., проф., Санкт-Петербургский государственный университет
Хухуни Г.Т. – д.филол.н., проф., МГОУ
Чистякова С.Н. – д. пед. н., проф., Российская академия образования (г. Москва)

Ответственный редактор серии:
Бугаев А.С. – д. ф.-м. н., академик РАН, МФТИ
Заместитель ответственного редактора:
Жачкин В.А. – д.ф.-м.н., проф. МГОУ
Ответственный секретарь:
Васильчикова Е.Н. – к. ф.-м. н., доц., МГОУ
Члены редакционной коллегии:
Беляев В.В. – д.т.н., проф., МГОУ; 
Богданов Д.Л. – д. ф.-м. н., проф., МГОУ;
Бугримов А.Л. – д. т. н., проф., МГОУ;
  Латышев А.В.   – д. ф.-м. н., проф., МГОУ;
Рассудовская М.М. – к.п.н., проф., МГОУ;
Осипов М.А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);
Чигринов В.Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

The journal is included into the database of the Russian 
Science Citation Index, has a full text network version on 
the Internet on the platform of Scientific Electronic Library 
(www.elibrary.ru), as well as at the site of the Moscow State 
Regional University (www.vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of the 
Moscow State Regional University» is obligatory. The materials published in the journal are for non-commercial use only. 
The authors bear all responsibility for the content of their 
papers. The opinion of the Editorial Board of the series does 
not necessarily coincide with that of the author Manuscripts 
are not returned. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)
Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2017. – № 1. – 126 p.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the Moscow 
State Regional University is registered in Federal service on supervision of legislation observance in sphere of mass communications and 
cultural heritage protection. The registration certificate ПИ № ФС7726136

Index of the series «Physics and Mathematics» according 
to the union catalog «Press of Russia» 40723
© MSRU, 2017.
© Information & Publishing department of MSRU, 2017.

Founder of journal «Bulletin of the Moscow State Regional University»: 
Moscow State Regional University

Publishing council «Bulletin of the 
Moscow State Regional University»

Editor-in-chief :
A.S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of 
RAS, MIPT
Deputy editor-in-chief:
V.A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU
Executive secretary:
E.N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate 
Professor, MSRU
Members of Editorial Board:
V.V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, MSRU 
D.L. Bogdanov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU
A.L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, MSRU
  A.V. Latyshev   – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU 
M.M. Rassudovskaya – Ph.D. in Pedagogical Sciences, Professor, MSRU
M.A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Strathclyde University (UK)
V.G. Chigrinov – University of Science and Technology (Hong 
Kong, China)

Series editorial board 
«Physics and Mathematics»

Issued 4 times a year 

P.N. Khromenkov – Ph. D. in Philology, Professor, Principal of 
MSRU (Chairman of the Council)
E.S.Yefremova – Ph. D. in Philology, Acting Vice-Principal for 
scientific work of МSRU (Vice-Chairman of the Council)
V.M. Klychnikov – Ph.D. in Law, Ph. D. in History, Professor, VicePrincipal for academic work and international cooperation of МSRU 
(Vice-Chairman of the Council)
L.N. Antonova – Doctor of Pedagogics, Professor, Member of 
the Russian Academy of Education, The Council of the Federation 
Committee on Science, Education and Culture
A.G. Asmolov – Doctor of Psychology, Professor, Member of the 
Russian Academy of Education, Principal of the Federal Institute of 
Development of Education
S.N. Klimov – Doctor of Phylosophy, Professor, Moscow State 
University of Railway Engineering
E.V. Klobukov – Doctor of Philology, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.V. Manoylo – Doctor of Political Science, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.L. Novosjolov – Doctor of Economics, Professor, Plekhanov 
Russian University of Economics
V.V. Pasechnik – Doctor of Pedagogics, Professor, MSRU
Yu. M. Polyakov – Ph.D. in Philology, Editor-in-chief of 
“Literaturnaya Gazeta”
E.I. Rjumtsev – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Saint Petersburg State University
G. T. Khukhuni – Doctor of Philology, Professor, MSRU
S.N. Chistyakova – Doctor of Pedagogics, Professor, the Russian 
Academy of Education

The Editorial Board address:
Moscow State Regional University

10А Radio st., office 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Сучков М.В., Трифоненков В.П. О ПРИНЦИПЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ 
ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 
В ОБЛАСТЯХ, НЕ СОДЕРЖАЩИХ ТОЧЕК РАЗРЫВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Шабанова Г. И. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА
ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Бедрикова Е.А.,  Латышев А.В.  СУЩЕСТВОВАНИЕ 
И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ СТОКСА 
ДЛЯ БОЗЕ–ГАЗОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

 Латышев А.В. , Сулейманова С. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 
В ПРОБЛЕМЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАЗМЫ С РАВНОВЕСНЫМ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ФЕРМИ-ДИРАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Андроникова Е.О. О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ 
ВСЕЛЕННОЙ ГЁДЕЛЯ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Макарова А.В., Демчук А.А., Новикова С.С. О НЕКОТОРЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ, СВОДЯЩИХСЯ 
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ТЕКУЩИМИ 
СКОРОСТЯМИ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

ÐÀÇÄÅË II.
ÔÈÇÈÊÀ
Бегларян М.Е. О ЯВЛЕНИИ РЕКОННЕКЦИИ В НИЖНИХ СЛОЯХ 
МАГНИТНОЙ ТРУБКИ. ЭКСПЕРИМЕНТ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Терезанова К.В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ КЮРИ 
ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО СПЛАВА С СОДЕРЖАНИЕМ Fe-B-Cr  . . . . . . . . .73

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

5

Горелик В.С., Яшин М.М. СПЕКТРОСКОПИЯ СТОП-ЗОН 
ОДНОМЕРНОГО ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА НА ОСНОВЕ ОКСИДА 
АЛЮМИНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

Дадиванян А.К., Соколов А.А., Васильчикова Е.Н., Богданов Д.Л. 
ВЛИЯНИЕ СОСТАВА НА СЕГМЕНТНУЮ ОПТИЧЕСКУЮ 
АНИЗОТРОПИЮ СОПОЛИМЕРОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

ÐÀÇÄÅË III.
ÒÅÎÐÈß È ÌÅÒÎÄÈÊÀ 
ÎÁÓ×ÅÍÈß È ÂÎÑÏÈÒÀÍÈß

Власова Е.А., Попов В.С. ИННОВАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 
И ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКОМ 
ВУЗЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Хасанов А.С. ОБ ОСОБЕННОСТЯХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ 
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 
С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ ДОПУСТИМЫХ 
РЕШЕНИЙ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

ПАМЯТИ АНАТОЛИЯ ВАСИЛЬЕВИЧА ЛАТЫШЕВА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

6

CONTENTS

SECTION I.
MATHEMATICS
M. Suchkov, V. Trifonenkov. ON THE LOCALIZATION PRINCIPLE 
FOR THE LAPLACE OPERATOR WITH A DISCONTINUOUS 
COEFFICIENT IN DOMAINS WITHOUT DISCONTINUITY POINTS . . . . . . . . . .8

G. Schabanowa. SOME PROPERTIES OF THE SPECTRAL FUNCTION 
OF STURM – LIOUVILLE OPERATOR   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

E. Bedrikova,  A. Latyshev.  EXISTENCE AND UNIQUENESS 
OF THE SOLUTION TO THE SECOND STOKES PROBLEM FOR BOSE 
GASES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

 A. Latyshev,  S. Suleymanova. THE BOUNDARY VALUE RIEMANN 
PROBLEM IN THE PROBLEM ABOUT OSCILLATIONS OF A PLASMA 
WITH THE EQUILIBRIUM FERMI-DIRAC DISTRIBUTION. . . . . . . . . . . . . . . . . .40

E. Andronikova. ON GEOMETRIC PROPERTIES OF GODEL 
UNIVERSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

A. Makarova, A. Demchuk, S. Novikova. ON SOME DIFFERENTIAL INCLUSIONS, 
WHICH REDUCE TO DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH THE CURRENT 
VELOCITIES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

SECTION II.
PHYSICS
M. Beglaryan. ABOUT THE RECONNECTION PHENOMENON 
IN THE LOWER LAYERS OF A MAGNETIC TUBE. EXPERIMENT  . . . . . . . . . . . .66

K. Terezanova. DETERMINATION OF THE CURIE TEMPERATURE 
FOR THE FERROMAGNETIC ALLOY WITH Fe-B-Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

7

V. Gorelik, M. Yashin. SPECTROSCOPY OF STOP-BANDS 
OF ONE-DIMENSION PHOTONIC CRYSTALS – POROUS ALUMINIUM 
OXIDE  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

A. Dadivanyan, A. Sokolov, Ye. Vasil’chikova, D. Bogdanov. 
EFFECT OF COMPOSITION ON SEGMENTAL OPTICAL ANISOTROPY 
OF COPOLYMERS   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

SECTION III.
THEORY AND METHODS
TRAINING AND EDUCATION
E. Vlasova, V. Popov. INNOVATIVE METHODS AND TECHNOLOGIES 
OF TEACHING MATHEMATICS IN TECHNICAL UNIVERSITY. . . . . . . . . . . . .100

A. Khasanov. PECULIARITIES OF ALGORITHMS FOR SOLVING 
LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS WITH UNBOUNDED FEASIBLE 
REGIONS   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

IN MEMORY OF ANATOLY VASILIEVICH LATYSHEV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

ÐÀÇÄÅË I.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 517.927.25
DOI: 10.18384/2310-7251-2017-1-8-17

Î ÏÐÈÍÖÈÏÅ ËÎÊÀËÈÇÀÖÈÈ ÄËß ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ËÀÏËÀÑÀ Ñ ÐÀÇÐÛÂÍÛÌ 
ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÎÌ Â ÎÁËÀÑÒßÕ, ÍÅ ÑÎÄÅÐÆÀÙÈÕ ÒÎ×ÅÊ ÐÀÇÐÛÂÀ

Сучков М.В., Трифоненков В.П. 
Научно-исследовательский ядерный университет «МИФИ»
115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31, Российская Федерация

Аннотация. В статье показывается, что для оператора Лапласа с разрывным коэффициентом для произвольных областей размерности N = 2 или N = 3 наличие разрыва не оказывает влияния на выполнение принципа локализации в областях, не содержащих точек 
разрыва. Если же N  5, то даже наличие бесконечной гладкости разлагаемой функции 
не обеспечивает выполнения принципа локализации в точках, «далёких» от поверхности 
разрыва коэффициента.
Ключевые слова: оператор Лапласа с разрывным коэффициентом, принцип локализации, спектральное разложение функции.

ON THE LOCALIZATION PRINCIPLE FOR THE LAPLACE OPERATOR WITH 
A DISCONTINUOUS COEFFICIENT IN DOMAINS WITHOUT DISCONTINUITY 
POINTS

M. Suchkov, V. Trifonenkov
National Research Nuclear University MEPhI
Kashirskoe sh. 31, 115409 Moscow, Russian Federation

Abstract. This paper studies the Laplace operator with the discontinuous coefficient. We prove 
that for the case of arbitrary domains of dimension N = 2 or N = 3, the localization principle in 
domains without discontinuity points is preserved despite the discontinuity of the coefficient. 
If N ≥ 5, then the localization principle is violated in points located "far" from the surface of 
the discontinuity of the coefficient, even in case of infinite smoothness of the decomposed 
function.

© Сучков М.В., Трифоненков В.П., 2017.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

9

Keywords: Laplace operator with a discontinuous coefficient, localization principle, spectral 
decomposition of the function.

Хорошо известно, что в одномерном случае для любой интегрируемой функции f(x) сходимость ряда Фурье этой функции в данной точке зависит лишь от 
поведения функции в достаточно малой окрестности этой точки. Это и называется принципом локализации. Для кратных тригонометрических рядов Фурье и 
разложений по собственным функциям самосопряжённых эллиптических операторов с гладкими коэффициентами для выполнения принципа локализации 
уже недостаточно гладкости разлагаемой функции в малой окрестности рассматриваемой точки. Нужна определённая гладкость функции, зависящая от размерности области, в точках, «далёких» от рассматриваемой [3]. Если же изучать 
спектральные разложения, отвечающие самосопряженным эллиптическим операторам с разрывными коэффициентами, то оказывается, что в условиях, при 
которых справедлив принцип локализации в областях, не содержащих точек 
разрыва, размерность рассматриваемой области играет более существенную 
роль. Этот эффект и обсуждается в данной статье. 
Пусть N-мерная область g с границей Γ разбивается некоторой лежащей внутри неё замкнутой поверхностью C на две подобласти g1, лежащую внутри C, и 
g2. Рассмотрим в (g + Γ) следующую задачу на собственные функции:

 
1
1
0;
k
u
u
x
g
Δ + λ
=
∈

2
2
0;
k
u
u
x
g
Δ + λ
=
∈
 
(1)

 

1
2
0
0
0
0
;
;
0,
C
C
C
C

u
u
u
u
k
k
u
n
n
−
+
Γ
−
+

∂
∂
=
=
=
∂
∂

где k1 и k2 – положительные постоянные. Символы C – 0 и C + 0 означают предельные значения соответственно с внутренней и внешней стороны поверхности C по отношению к области g1; C, Г С2,().
Определение. Классической собственной функцией задачи (1) называется 
функция u(x)
1) u(x) Õ 0; 2) u(x)  C1 (g1 + C)C2(g1); 3) u(x)  C1 (g2 + C + Г)C2(g2); 
4) u(x)  C (g + Г); 5) u(x) при некотором  удовлетворяет всем условиям 
задачи (1).
Из работы [1] известно, что задача (1) имеет дискретный спектр, состоящий 
из положительных собственных значений n (с единственной бесконечно удалённой предельной точкой), которым соответствует полная ортонормированная система в L2(g) собственных функций un(x). Причём эта система совпадает 
с системой обобщённых собственных функций задачи (1) (в обычном смысле 
удовлетворяющих некоторому интегральному тождеству). Покажем, что если 
размерность N области g равна 2 или 3, то разрыв коэффициента не оказывает никакого влияния на выполнение принципа локализации, то есть условия на 
разлагаемую функцию будут такими же, как и для обычного оператора Лапласа с 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

10

задачей Дирихле. Для доказательства этого факта будем следовать терминологии 
В.А.Ильина. Пусть  – строго внутренняя подобласть областей g1 или g2. Будем 
называть ФСФ (фундаментальной системой функций) оператора k1u(k2u) относительно  полную ортонормированную в L2(g) систему функций, удовлетворяющих уравнению k1u + u = 0 (k2u + u = 0) в .
Сформулируем теорему В.А. Ильина о сходимости спектральных разложений 
по указанной ФСФ. 

Теорема (В.А.Ильин). Пусть 
( )
( )

1
2
2

N
f x
W
g

−
∈
 и 

1
2
2

1
.

N

n
n
n
f

−
∞

=
λ
< ∞
∑
 Здесь fn – 

коэффициент Фурье функции f(x) по ФСФ оператора k1u (k2u) относительно 
, n – собственные значения задачи (1). Тогда в области  справедлив принцип 
локализации (то есть, если f(x) обращается в нуль в области , то ее ряд Фурье 
по рассматриваемой ФСФ равномерно стремится к нулю в любой строго внутренней подобласти области ).
Будем теперь в качестве ФСФ рассматривать нашу систему классических 
собственных функций задачи (1). Опираясь на сформулированную теорему 
В.А. Ильина, установим следующее утверждение.

Теорема. Пусть 
( )
( )
1
2
3;
f x
W
g N
∈
=



( )
( )

12
2
2;
f x
W
g N
∈
=

( )

12
2
(W
g

 – класс 

функций из 
(
)

12
2
2
W
R
 с носителем в (g + Γ). Тогда в области  справедлив прин
цип локализации для ФСФ задачи (1).
Доказательство. 
Используя теорему В.А. Ильина, достаточно для N = 3 установить оценку 

1
2

2
2

1
;
n
n
W
n
f
C
f

∞

=
λ ≤
⋅
∑

 С > 0 – константа. Так как ФСФ задачи (1) совпадает с систе
мой обобщённых собственных функций задачи (1), то для этой системы такая 

классическая оценка хорошо известна [4]. Для N = 2 оценка 

12
2

1
n
n
n
f

∞

=
λ
< ∞
∑
 полу
чается с помощью теоремы Лионса об интерполяции (одна пара пространств в 

этой теореме – это пространства функций, для которых сходятся ряды 
2

1
n
n
n
f

∞

=
λ
∑

 

и, соответственно, 
2

1
,
n
n
f

∞

=∑
 а другая пара пространств – это пространства 
( )
1
2
W
g



 
и 
2( )).
L
g

Таким образом, при N = 2,3 условия, при которых выполнен принцип локализации для системы обственных функций задачи (1), в областях, не содержащих 
точек поверхности разрыва коэффициента, остаются точно такими же, как и для 
обычного оператора Лапласа (задача Дирихле). Причём эти условия неулучшаемы в классах Соболева дробного порядка [2].

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

11

Покажем теперь, что при N ≥ 5 даже бесконечная гладкость в области g и финитность функции f(x) относительно g не гарантируют выполнения принципа 
локализации в областях, «далёких» от поверхности разрыва коэффициента. 
Приведём пример функции, сколь угодно гладкой в области g и финитной относительно этой области, обращающейся в нуль в некоторой подобласти  g1, 
ряд Фурье по собственным функциям задачи (1) которой расходится в некоторой точке .
Возьмём в качестве областей g1 и g концентрические шары радиусов r0 и R, соответственно, с центром в начале координат. Пусть С – сфера радиуса r0; Γ – сфера с радиусом R. Тогда задача на собственные функции (1) переходит в задачу (2):

 

1
0

2
0

0
0
0
k
u
u
r
r
k
u
u
r
r
R
Δ + λ =
≤
<
Δ + λ =
<
<
 
(2)

 

1
2
0
0
0
0
;
;
0.
C
C
C
C

u
u
u
u
k
k
u
n
n
−
+
Γ
−
+

∂
∂
=
=
=
∂
∂

Перейдём к сферическим координатам и будем искать решение задачи (2) в 
виде: u(r, ) = e(r)  (). Для собственных функций e(r), обладающих сферической симметрией и зависящих только от радиуса r, получим следующую задачу:

 

( )
( )
( )
0
1

1
0; 0
N
e
r
e r
e r
r
r
r
k
−
λ
+
⋅
+
=
<
<
′′
′

( )
( )
( )
0
2

1
0;
N
e
r
e r
e r
r
r
R
r
k
−
λ
+
⋅
+
=
<
<
′′
′
 
(3)

 

( )
( )
0
0
0
0

1
2
0
0
0
0
;
;
; 0
;
0.
r
r
r
r

de
de
e
e
k
k
e r
r
R e R
dr
dr
−
+
−
+
=
=
< ∞
≤
≤
=

Покажем, что собственные функции задачи (3) образуют полную ортонормированную систему в пространстве с весом 
(
)
1
2 0, ;
.
N
L
R r
−
 Обозначим через 

1
.
N
N
L e
r
e
−
′
⎡
⎤
= −
′
⎣
⎦
 Рассмотрим уравнение

 
,
N
L
g
ω =   
(4)

( )

( )
( )
[
]
( )
(
)

0
1
1

0
2

; 0
;
0,
;
0
.

;
;

N

g r
r
r
k
g
g r
C
R
g r r
r
R
g r
r
r
R
k

−

⎧
≤
<
⎪⎪
=
∈
< ∞
≤
≤
⎨
⎪
<
<
⎪⎩


где

Будем называть (r) решением уравнения (4), если 

 
( )(
) (
)
0
0
0
;
N
L
g r
r
r
r
r
R
ω =
<
<
<
<

 
(5)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

12

 

( )

0
0
0
0

1
2
0
0
0
0
;
;
r
r
r
r

d
d
k
k
r
dr
dr
−
+
−
+

ω
ω
ω
= ω
=
ω
< ∞  при 
( )
0
;
0.
r
R
R
≤
≤
ω
=

Если в качестве ( )
g r

 можно взять 
( ),
r
λω
 то (r) будем называть собственной 
функцией задачи (5), а  – соответствующим собственным значением. Причем, 
 = 0 не является собственным значением задачи (5), ибо тогда  = 0 было бы 
собственным значением задачи (3) и задачи (2), чего быть не может (задача 
Дирихле). Поэтому решение задачи (5) можно записать через функцию Грина 
G(x, y) в виде:

 

( )
(
) ( )

0
,
,

R
y
G x y g x dx
ω
= ∫

 
(6)

где G(x, y) имеет вид:

 

(
) (
)
(
) (
)

2
2
1
2
0
1
2
0

2
3
4
0
0
0

2
3
4
0
0
0

(0
);
(0
);

;
;

;
,

N
N

N

N

C
C y
x
y
r
C
C x
y
x
r

C
C y
r
x
y
R
r
y
R x
r

C
C x
r
y
x
R
r
x
R y
r

−
−

−

−

+
−
<
≤
≤
+
−
<
≤
≤

⎡
⎤
+
−
≤
≤
≤
≤
≤
≤
⎣
⎦
⎡
⎤
+
−
≤
≤
≤
≤
≤
≤
⎣
⎦





где 
(
)

(
)
2
2
1
2
1
0
1
2
1
2 0

1
,
1

N
N

N
k
k
r
k R
C
N
k
k r

−
−

−
−
−
⋅
=
⋅
−

(
)
(
)

2
2
3
4
4
1
2

1
1
;
;
.
1
1

N
C
C
R
C
C
N
k
N
k

−
=
= −
=
−
−

Значения констант Ci получаются из подстановки вида решения (6) в (5). 
Таким образом, задача (3) эквивалентна интегральному уравнению

 

( )
(
) ( )
1

0
,
.

R
N
e r
x
G x y e x dx
−
= λ∫
 
(7)

Сделаем замену ( )
( )

1
2
.

N
v r
r
e r

−
=
 Тогда уравнение (7) примет вид: 

 

( )
(
) ( )

1
1
2
2

0
,
.

N
N
R
v r
r
x
G x y v x dx

−
−
= λ∫

Ядро этого уравнения 
(
)

1
1
2
2
,

N
N
r
x
G x r

−
−

 симметрично и непрерывно в квадрате 

[0, R]  [0, R], поэтому к уравнению (7) применима теория Гильберта-Шмидта, 
из которой и вытекает полнота собственных функций задачи (3) в пространстве 
с весом 
(
)
1
2 0, ;
N
L
R r
−
 и её ортогональность. Выпишем явный вид собственных 

функций задачи (3) [5, с. 332–333].

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

13

( )

(
)

(
)
(
)

2
2
2
2

2
2
2
2
2
2

1
1

0

2
2
3
2

0

/
;
0
1, 2, ...
/
/
;

N

N

N
N

N

n
n

n

n
n
n
n

C J
k
r
r
r
r
e
r
n
C J
k
r
C Y
k
r
r
r
R
r

−

−

−
−

−

⎧
λ
⋅
⎪
≤
≤
⎪
=
=
⎨
λ
⋅
+
λ
⋅
⎪
<
≤
⎪
⎩

Здесь n – последовательность собственных значений, отвечающих собственным функциям en(r), обладающим сферической симметрией и зависящим толь
ко от радиуса, 
(
)
2
2
1
/
N
n
J
k
r
−
λ
⋅
 – функция Бесселя, 
2
2
2
(
/
)
N
n
Y
k
r
−
λ
⋅
 – функция 

Неймана, C1n, C2n, C3n – константы.
Введём следующие обозначения: 
1
/
;
n
n k
α =
λ
2
/
;
n
n k
β =
λ
R
N
W
 – площадь 

поверхности N-мерной сферы радиуса R. Тогда граничные условия, условия сопряжения задачи (3) и нормировка собственных функций в шаре g дают четыре 
уравнения для определения C1n, C2n, C3n, n.

(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
1)
0;
N
N
n
n
n
n
C J
R
C Y
R
−
−
β
+
β
=

(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
0
2
0
3
0
2)
;
N
N
N
n
n
n
n
n
n
C J
r
C J
r
C Y
r
−
−
−
α
=
β
+
β

(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
0
2
2
0
3
0
3)
[
];
N
N
N
n
n
n
n
n
n
C
k J
r
k C J
r
C Y
r
α
=
β
+
β

(
)
(
)(
)
(
)

(
)
(
) (
)

(
)
(
)

2
2
2
2

2
2
2
2

2
2

2
2
2
1
0
0
2
1
0
1
0
2
0

2
2
2
1
1
2
1
0
0
2
1
2

2
2
2
3

2
4)
[
]
2
2
2

2
[
]
2
2

1
[
]
.
2

N
N

N
N

N
N

R

n
n
n
n
n

n
n
n
n
n

n
n
n
n
N

N
k
k
r
r
C J
r
C J
r
k
r

k
N
C
C
J
r
J
r
k
k
k

R
C J
R
C Y
R
W

−
−

−
−

⎡
−
−
α
−
α
+
′
⎢
λ
⋅
⎣

⎤
−
⎛
⎞
+
α
+
α
−
+
′
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
λ
⎥⎦

+
β
+
β
=

Пользуясь уравнениями (1)–(4) и асимптотикой цилиндрических функций, 
можно показать, что для достаточно больших номеров n справедливы оценки

 

2
2
1
2
;
n
S n
S n
≤ λ ≤

1
1
4
4
1
1
2
;
n
n
n
T
C
T
λ
≤
≤
λ
 
(8)

 

14
2
3
3
,
;
n
n
n
C
C
T
≤
λ

где T1, T2, T3, S1, S2 – положительные константы.
В частности, уравнение для определения собственных значений n будет 
иметь вид:

(
)
0
0

2
1

1
1
4

n
n
R
r
r
N

k
k

⎛
⎞
−
+
⎛
⎞
λ
+
=
π + −
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 1

14

(
)
(
)
12

1
2
0
0
1

1
1
arcsin
sin
cos
4
n
n

n

k
k
N
r
r
R
O
n
k

⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
−
+
⎛
⎞
⋅
⋅
α
−
π
β
−
+
+ π
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
λ
⎢
⎥
⎣
⎦

(9)

Предположим, что 

0
0

2
1
.
R
r
r

k
k

−
=
 Тогда из (9) будет следовать, что:

 

( )
(
)
0
1
1
1
8
2
n
n
N
r
o
π
+
⎛
⎞
α
=
π +
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
(10)

Перейдём теперь к конструкции примера функции, упомянутой в начале этой 
статьи. Будем использовать схему, предложенную в работе [2, с. 168]. Пусть s – 
произвольное достаточно большое натуральное число. Рассмотрим функцию 
f(r) специального вида, зависящую только от радиуса r,

 

( )

1
0
1

2
8
6
0
1
4
3
1
2
0
2

2

0;
0
;
0
...
;
;
;
0;
;

s
s

r
R
r
R
f r
a
a r
a
r
R
r
R
r
R
R
R
r
R

+
+

⎧
≤
≤
<
>
⎪
=
+
+
+
≤
≤
<
<
⎨
⎪
≤
≤
⎩

Постоянные ai i = 0,1, …, 4s + 3; выберем так, чтобы: 
( )
[
]
2 0,
;
s
f r
C
R
∈

( )
0
0.
rf
r
′
≠
 Возможность выбора таких постоянных ai доказывается так же, как и 

в работе [2, с. 168]. Пусть Γi – сфера радиуса Ri; i = 1,2; С – сфера радиуса r0; i – 
шаровой слой с границами C и Гi; i = 1,2.

Обозначим: 

( )

(
)
2
2
2
2

1

0
; 0
;

N

N

n
n

n
C J
r
T r
r
r
r

−

−
α
=
≤
≤

( )

(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2

2
3

0
;
;
1, 2, ...

N
N

N
N

n
n
n
n

n
C J
r
C Y
r
Q
r
r
r
R n
r
r

−
−

−
−
β
β
=
+
<
≤
=

Тогда собственные функции задачи (3) en(r) будут иметь вид: 

 

( )
( )
( )

0

0

;
0
;
;
.

n
n
n

T r
r
r
e
r
Q
r
r
r
R

⎧
≤
≤
⎪
= ⎨
<
≤
⎪⎩

Подсчитаем коэффициенты Фурье функции f(r) по собственным функциям 
en(r). Применим вторую формулу Грина по областям 1 и 2 s раз (используя то, 
что 
( )
1
0
( )
0; 0
,
n
n n
k
T r
T r
r
r
Δ
+ λ
=
<
<
( )
2
0
( )
0;
,
n
n
n
k
Q
r
Q r
r
r
R
Δ
+ λ
=
<
<
 и поэтому 
функции 
( )
n
T r  и 
( )
n
Q
r  можно выразить через оператор Лапласа). 

Тогда:

(
)
(
)
(
)

1
2

1
1
2
1
1
1

s
s
s
s
s
n
n
n
s
s
n
n

k
k
f
f T d
f Q d
+

Ω
Ω

⎡
⎤
−
=
Δ
Ω +
Δ
Ω
−
+
⎢
⎥
λ
λ
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫