Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2015, № 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«Тульский государственный университет»

16+
ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 3

ТУЛА

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

2015

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015.
318 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в области естественных наук.

Редакционный совет

М.В.
Грязев
—
председатель,
В.Д.
Кухарь
—
зам.
председателя,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
И.А. Батанина, О.И. Борискин, А.Ю. Головин, В.Н. Егоров, В.И. Иванов,
Н.М. Качурин, В.М. Петровичев

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
И.М. Буркин (Тула), Н.М. Добровольский (Тула), Д.М. Левин (Тула),
А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора, Е.Н. Музафаров (Тула),
Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын (Тула) — отв. секретарь,
В.Г. Кротов (Минск, Беларусь), В.В. Литвиненко (Харьков, Украина),
Н.П. Матвейко (Минск, Беларусь), В.М. Мирсалимов (Баку, Азербайджан),
Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов (Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

Сборник
зарегистрирован
в
Федеральной
службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций
(Роскомнадзор).
ПИ
№
ФС
77-61106
от
19 марта 2015 г.
«Известия
ТулГУ»
входят
в
перечень
ведущих
научных
журналов
и
изданий,
выпускаемых
в
Российской
Федерации,
в
которых
должны
быть
опубликованы
научные
результаты
диссертаций
на
соискание
ученой
степени
доктора
наук

c⃝ Авторы научных статей, 2015
c⃝ Издательство ТулГУ, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Вепринцев Р. А. Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на
сфере с весом Данкля, связанным с абелевой группой Zd
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Иванов В. И. Об одном числовом неравенстве и его применении. . . . . . . . . . . . . . .
28

Иванов В. И., Смирнов О. И. Неравенство Джексона в пространстве Lp(Rd) со
степенным весом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Мельников П. А. Модель условного случайного поля на основе вероятностных
свойств его элементов для задач анализа изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

Руренко Е. Н. Оптимальное решение одной задачи распределения ресурсов. . .
81

Саидусайнов М.С. О значении поперечников и наилучших линейных методах
приближения в весовом пространстве Бергмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Фам К. Т., Копылов А. В. Анализ видов парно-потенциальных функций для
байесовского восстановления изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Федосеев А. А. Модификация модели Марковица путем учитывания дополнительных характеристик ценных бумаг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Юсупов Г. А. Структурные и конструктивные характеристики в L2 и значения
поперечников некоторых функциональных классов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

МЕХАНИКА

Ларин Н. В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой 145
Ларин Н. В. Рассеяние звука твердым цилиндром с неоднородным термоупругим покрытием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Левина Л. В., Пеньков В. Б., Рыбакова М. Р. Применение алгорифма Шварца
к пространственным задачам теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Маркин А. А., Харламов А. С. Формоизменение поперечных сечений балки при
ее конечном чистом изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Соколова М. Ю. Инвариантные свойства чистых сдвигов для одноосных кристаллов и квазикристаллов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Сухоруков Д. А. Формулировка задачи определения надежности заряда твердого топлива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Толоконников Л. А., Ходюшина Е. В. Определение радиуса концентрической
полости упругой сферы по известному рассеянному акустическому полю. . 211

Толоконников Л. А., Юдачев В. В. Отражение и преломление плоской звуковой
волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Содержание

ФИЗИКА

Баранов В. П., Степанова В. Э. Трехуровневое моделирование замедленного
разрушения металлов под действием водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

ХИМИЯ

Дмитриева Е. Д., Горячева А. А., Сюндюкова К. В., Акатова Е. В. Фракционирование гуминовых веществ, выделенных из торфов различного происхождения электрофоретическим методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Зайцева А. С., Косарева Е. И., Арляпов В. А., Алферов В. А. БПК-биосенсор
на основе дрожжей Debaryomyces hansenii
и бимедиаторной системы
ферроцен-метиленовый синий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Матвейко Н. П., Брайкова А. М., Косарева Е. И., Алферов С. В. Экологическая
проблема использования сигарет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

БИОЛОГИЯ

Горелова С. В., Волкова Е. М. Физиологические параметры древесных растений как основа для биоиндикации и биомониторинга состояния естественных и антропогенных экосистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Короткова А. А., Дубинин М. С. Трофическая структура энтомофауны в районах линий электропередач в Тульской области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Минайчев В. В.,
Сиголаева Т. Е.,
Кузнецов Д. А.,
Иванищев В. В.
Влияние
ионов цинка и никеля на формирование проростков Pisum sativum L. . . . . . 292

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Кийко Игорь Анатольевич (некролог) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 313

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 5–27

Математика

УДК 517.5

Оценка снизу константы Джексона
в пространствах Lp на сфере
с весом Данкля, связанным
с абелевой группой Zd
2
∗

Р. А. Вепринцев

Аннотация. Получена оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ⩽ p < 2, на единичной сфере Sd−1 в Rd, d ⩾ 3, с весом
Данкля, связанным с абелевой группой Zd
2 или группой перемен
знаков. Эта оценка совпадает с оценкой сверху, полученной автором
в случае произвольного веса Данкля. Таким образом, установлена
точность константы Джексона в случае абелевой группы Zd
2. Аналогичный результат при d = 2 получен автором ранее.
Ключевые слова: евклидова сфера, вес Данкля, κ-сферические
гармоники, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона, абелева группа Zd
2.

Введение

Неравенства между величиной наилучшего приближения функции и ее
модулем непрерывности в пространствах Lp, 1 ⩽ p < ∞, называют неравенствами Джексона. Наименьшая (или минимальная) константа, при которой
неравенство Джексона выполняется для всех функций из пространства Lp,
называется константой Джексона, или точной константой в неравенстве
Джексона. Исследование константы Джексона проводят в два этапа: получение оценки сверху и получение оценки снизу. Задача о константе Джексона
является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений.
Точные неравенства Джексона (или неравенства Джексона с точной константой) не известны в пространствах Lp, p > 2.
Будем рассматривать неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 ⩽
⩽ p < 2, на единичной сфере Sd−1 в евклидовом пространстве Rd с весом
Данкля. В [1] получена оценка сверху константы Джексона, аналогичная
оценке Д. В. Горбачева в безвесовом случае [2]. В случае, когда вес Данкля

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00045), Министерства образования и науки Российской Федерации (госзадание № 1.1333.2014K).

Р. А. Вепринцев

инвариантен относительно группы диэдра, в [3] получена оценка снизу константы Джексона, которая доказывает точность неравенства Джексона в [1].
Цель работы — получение аналогичной оценки снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ⩽ p < 2, на единичной сфере Sd−1 в Rd, d ⩾ 3,
с весом Данкля, связанным с абелевой группой Zd
2, или группой перемен
знаков.
Поскольку абелева группа Z2
2 совпадает с группой диэдра I2, то поставленная проблема решена при d = 2 в [3]. Используя результаты работы [3],
мы решаем проблему и при d ⩾ 3.
Исследование константы Джексона использует развитый гармонический
анализ Данкля на единичной евклидовой сфере, основы которого вместе с
необходимым алгебраическим аппаратом изложены в [4–6].
В рассматриваемом случае нет необходимости обращаться к общим определениям и понятиям. Вместо этого мы даем соответствующие спецификации (т. е. частные определения и понятия) для случая абелевой группы Zd
2
(см. [5, Chap. 7], [6, Sect. 7.5]).

1. Предварительные обозначения и сведения

Пусть N — множество всех натуральных чисел, N0 = N ∪ {0}, Nd
0 = {α =
= (α1, . . . , αd): αj ∈ N0, 1 ⩽ j ⩽ d} (d ∈ N), |α| = α1 + . . . + αd, R (соответственно C) — поле действительных (соответственно комплексных) чисел,
R+ = {c ∈ R: c ⩾ 0}, Rd (d ∈ N) — d-мерное действительное евклидово

пространство со стандартным скалярным произведением ⟨u, v⟩ =
d∑

j=1
ujvj,

⟨u, v⟩(j) =
j∑

i=1
uivi (1 ⩽ j ⩽ d), ∥u∥ =
√

⟨u, u⟩ — норма (или длина) век
тора u, ⟨u⟩ = {cu: c ∈ R} — линейная оболочка, натянутая на вектор u,
{ej}d
j=1 — стандартный ортонормированный базис в Rd, |x(j)| = xj + . . . + xd
для x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd и 1 ⩽ j ⩽ d, Sd−1 = {x ∈ Rd : ∥x∥ = 1} (d ⩾ 2) —
единичная сфера в Rd, dω — лебегова мера на Sd−1, Bd = {x ∈ Rd : ∥x∥ ⩽ 1} —
единичный шар в Rd, Γ(x) — гамма-функция. Символ Похгаммера определяется для t ∈ R по формулам

(t)0 = 1,
(t)n = t(t + 1). . . (t + n − 1),
n ∈ N.

Вектор ξ ∈ Rd \ {0} назовем положительным, если первая его ненулевая
координата ξi в разложении по базису e1, . . . , ed положительна:

ξ = ξ1e1 + . . . + ξded,
ξi > 0, ξj = 0, 1 ⩽ j < i ⩽ d.

Пусть Πd — пространство полиномов от d переменных с комплексными
коэффициентами, Pd
n — подпространство однородных полиномов степени n ∈
∈ N0.

Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
7

Учитывая замену переменных (x1, x2) = (sin φ, cos φ), φ ∈ [0, 2π), т. е. полярные координаты на сфере S1, функции, заданные на S1 и одномерном
торе T = [0, 2π), можно отождествить. Справедлива следующая формула:
∫

S1 f(x) dω(x) =
∫ 2π

0
f(sin φ, cos φ) dφ.

В пространстве Rd, d ⩾ 2, введем сферические координаты (r, φ, Θ) (при
d = 2 такие координаты (r, φ) называются полярными), Θ = (θ1, . . . , θd−2),
где 0 ⩽ r < ∞, 0 ⩽ φ < 2π, 0 ⩽ θj ⩽ π, j = 1, . . . , d − 2. Переход от декартовых
координат точки x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd к сферическим координатам будем
обозначать через x = x(r, φ, Θ) (при d = 2 — через x = x(r, φ)):















x1 = r sin θd−2. . . sin θ1 sin φ,
x2 = r sin θd−2. . . sin θ1 cos φ,
. . .
xd−1 = r sin θd−2 cos θd−3,
xd = r cos θd−2.

(1)

Очевидно, что для каждой точки x ∈ Rd найдется система параметров
(r, φ, Θ), связанная с ней формулами (1). Если же точка x = (x1, . . . , xd)
такова, что (x1, x2) ̸= (0, 0) (или x2
1 + x2
2 > 0), то такая система параметров
однозначно определена. Таким образом, для почти всех x ∈ Bd, а также для
почти всех x ∈ Sd−1, однозначно определяются их сферические координаты
(см. [7, с. 431]).
Для вектора x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd, d ⩾ 3, который выражается через
сферические координаты по формулам (1), через x будем обозначать вектор
(r sin φ, r cos φ) ∈ R2:

x = (x1, x2) = x(r, φ) = (r sin φ, r cos φ).

При r = 1 используем следующие записи, в которых указание на параметр
r опускается:

x = x(1, φ, Θ) = x(φ, Θ),
x = x(1, φ) = x(φ) = (sin φ, cos φ).

Мера Лебега dω в сферических координатах принимает вид

dω(x) =

d−2
∏

j=1
(sin θj)j dθ1dθ2. . . dθd−2dφ = Ψ(Θ) dΘdφ,
Ψ(Θ) =

d−2
∏

j=1
(sin θj)j.

Интеграл по сфере Sd−1 можно записать следующим образом:
∫

Sd−1 f(x) dω(x) =
∫ 2π

0

∫

[0,π]d−2 f(x(φ, Θ)) dφ Ψ(Θ) dΘ.

Р. А. Вепринцев

Каждой функции f на торе T (или на сфере S1) можно поставить в
соответствие следующую функцию Ff на сфере Sd−1, d ⩾ 3:

Ff(x) = Ff(x1, . . . , xd) =
{0,
x2
1 + x2
2 = 0,

f(φ),
иначе.
(2)

Очевидно, что в этом случае
∫

Sd−1 Ff(x) dω(x) =
∫ 2π

0
f(φ) dφ ·
∫

[0,π]d−2 Ψ(Θ) dΘ.
(3)

Пусть λ > 0. Введем весовые пространства Lp,λ[−1, 1], 1 ⩽ p < ∞, комплекснозначных измеримых по Лебегу функций g на отрезке [−1, 1] с конечной нормой

∥g∥p,[−1,1],λ =
(∫ 1

−1
|g(t)|p dmλ(t)
)1/p
,
dmλ(t) = bλ(1 − t2)λ−1,

где bλ =
(∫ 1
−1(1 − t2)λ−1 dt
)−1
— нормировочная константа, пространство
L∞,λ[−1, 1] измеримых по Лебегу, существенно ограниченных функций g на
отрезке [−1, 1] с нормой

∥g∥∞,[−1,1],λ = esssup
−1⩽t⩽1
|g(t)|,

и пространство C[−1, 1] комплекснозначных непрерывных на отрезке [−1, 1]
функций.
При 1 ⩽ p ⩽ ∞ имеем [8, с. 184]

∥g∥p,[−1,1],λ = sup

{∫ 1

−1
h(t) g(t) dmλ(t): h ∈ C[−1, 1], ∥h∥p′,[−1,1],λ = 1

}

, (4)

где p′ = p/(p − 1) — показатель, сопряженный с p (1′ = ∞ и ∞′ = 1).
Если функция g(·) ∈ Lp,λ[−1, 1], где 1 ⩽ p ⩽ ∞, и неотрицательна на отрезке [−1, 1], то ввиду плотности пространства всех многочленов на отрезке
[−1, 1] в С[−1, 1] верхнюю грань в (4) можно брать только по неотрицательным многочленам на отрезке [−1, 1]:

∥g∥p,[−1,1],λ = sup

{∫ 1

−1
h(t) g(t) dmλ(t): h ∈ Π1, h(t) ⩾ 0, t ∈ [−1, 1],

∥h∥p′,[−1,1],λ = 1

}

.

(5)

Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
9

Пространство L2,λ[−1, 1] — комплексное гильбертово пространство со
скалярным произведением

(f, g)λ,[−1,1] =
∫ 1

−1
f(t) g(t) dmλ(t).

Многочлены Гегенбауэра

{
Cλ
n(·): n ∈ N0
}
ортогональны на отрезке [−1, 1]
относительно скалярного произведения (· , ·)λ+1/2,[−1,1].

Обозначим через P (γ,δ)
n
(·), γ, δ > −1, многочлен Якоби индекса (γ, δ) и
степени n ∈ N0. Обобщенные многочлены Гегенбауэра C(λ,µ)
n
(·), λ > −1/2,
µ ⩾ 0, определяются следующим образом [6, Sect. 1.5.2]:

C(λ,µ)
2n
(x) = (λ + µ)n

(µ + 1

2 )n
P (λ−1/2,µ−1/2)
n
(2x2 − 1),

C(λ,µ)
2n+1(x) = (λ + µ)n+1

(µ + 1

2 )n+1
x P (λ−1/2,µ+1/2)
n
(2x2 − 1).

Многочлены

{
C(λ,µ)
n
(·): n ∈ N0
}
ортогональны на отрезке [−1, 1] с весом
|x|2µ(1 − x2)λ−1/2.

2. Абелева группа Zd
2 и теория Данкля

Отражение вдоль вектора ej, 1 ⩽ j ⩽ d, (или отражение относительно
координатной плоскости xj = 0) обозначим через sj. Результат отражения
вдоль ej состоит в том, что j-я координата вектора x ∈ Rd в разложении по
базису e1, . . . , ed меняет свой знак на противоположный:

sj(x) = sj(x1e1 + . . . + xj−1ej−1 + xjej + xj+1ej+1 + . . . + xded) =

= x1e1 + . . . + xj−1ej−1 − xjej + xj+1ej+1 + . . . + xded,
x ∈ Rd.

Каждое отражение sj является ортогональным преобразованием, т. е. содержится в ортогональной группе O(Rd) пространства Rd.
Набор векторов R = {±ej : 1 ⩽ j ⩽ d} образует систему корней. Действительно, выполнены следующие два условия:

(1) R ∩ ⟨±ej⟩ = {±ej}, 1 ⩽ j ⩽ d;

(2) sj(R) = R, 1 ⩽ j ⩽ d.

Так как векторы ej положительны, то R+ = {ej : 1 ⩽ j ⩽ d} есть положительная подсистема в R и R = R+ ⊔ (−R+).
Абелевой группой Zd
2, или группой перемен знаков, называется группа,
порожденная отражениями {sj : 1 ⩽ j ⩽ d}. Она содержит 2d элементов.
Набор отражений, содержащихся в Zd
2, есть в точности {sj : 1 ⩽ j ⩽ d}.
Пусть X ⊂ Rd. Функция f : X → C называется инвариантной относительно группы Zd
2, если f(·) = f
(
sj(·)
)
, 1 ⩽ j ⩽ d.

Р. А. Вепринцев

Функция κ: R → R+, инвариантная относительно абелевой группы Zd
2,
называется функцией кратности (на R).
Таким образом, функция кратности κ имеет следующий вид:

κ(±ej) = κj,
κj ∈ R+,
1 ⩽ j ⩽ d.

Иначе говоря, каждая функция кратности κ задается набором (κ1, . . . , κd)
неотрицательных действительных чисел по указанному выше правилу.
Для функции кратности κ, определяемой набором (κ1, κ2, . . . , κd), d ⩾ 3,
функцию кратности, связанную с Z2
2 и определяемую набором (κ1, κ2), будем
обозначать через κ.
2.1. Операторы Данкля и лапласиан Данкля. Операторы Данкля

Dj, 1 ⩽ j ⩽ d, на Πd определяются по формуле

Djp(x) = ∂p(x)

∂xj
+ κj Ejp(x),

где
Ejp(x) = p(x) − p(sj(x))

xj
.

Предложение 1 [9]. Операторы Dj, 1 ⩽ j ⩽ d, отображают Pd
n в Pd
n−1,
n ∈ N, и коммутируют, т. е. DiDj = DjDi, 1 ⩽ i, j ⩽ d.

Лапласиан Данкля ∆κ задается по формуле

∆κ = D2
1 + . . . + D2
d.

Если все κj равны нулю, то лапласиан Данкля переходит в обычный лапласиан ∆. Имеет место следующая явная формула [5, Lemma 7.1.3]:

∆κ = ∆ + 2

d
∑

j=1

κj
xj

∂
∂xj
−

d
∑

j=1

κj
xj
Ej.

2.2. Вес Данкля и весовые пространства Lp на сфере. Вес Данкля wκ (на сфере Sd−1), связанный с абелевой группой Zd
2, задается равенством

wκ(x) =

d
∏

j=1
|xj|2κj,
x ∈ Sd−1.

С каждой функцией кратности κ связывают два параметра:

γκ = κ1 + . . . + κd,
λκ = γκ + d − 2

2
.

В сферических координатах вес Данкля записывается в виде

wκ(x) = wκ(x(φ, Θ)) = wκ1,κ2(φ) wκ(Θ),

где
wκ1,κ2(φ) = | sin φ|2κ1| cos φ|2κ2,

Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
11

wκ(Θ) =

d−2
∏

j=1
| sin θj|2(κ1+. . . +κj+1)| cos θj|2κj+2.

Определим нормировочные константы [6, p. 228]:

aκ1,κ2 =
(∫ 2π

0
wκ1,κ2(φ) dφ
)−1
,

aκ =
(∫

[0,π]d−2 wκ(Θ)Ψ(Θ) dΘ
)−1
.

Тогда

aκ = aκ1,κ2 aκ =
(∫

Sd−1 |x1|2κ1. . . |xd|2κd dω
)−1
=
Γ(γκ + d

2 )

2Γ(κ1 + 1

2 ). . . Γ(κd + 1

2 ) .

Введем вероятностную меру dσκ на сфере Sd−1

dσκ(x) = aκwκ(x) dω(x) =

=
(
aκ1,κ2 wκ1,κ2(φ)
)
dφ
(
aκ wκ(Θ)
)
Ψ(Θ)dΘ,
x = x(φ, Θ) ∈ Sd−1, (6)

весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на
сфере Sd−1

Lp,κ(Sd−1)=
{
f : Sd−1 → C: ∥f∥p,Sd−1,κ =
(∫

Sd−1 |f|p dσκ
)1/p
< ∞
}
, 1 ⩽ p < ∞.

Пространство L2,κ(Sd−1) — комплексное гильбертово пространство со
скалярным произведением

(f, g)κ,Sd−1 =
∫

Sd−1 f(x) g(x) dσκ(x).
(7)

Очевидно, что

wκ(x) = wκ(φ) = wκ1,κ2(φ),
aκ = aκ1,κ2
(8)

и
dσκ(x) = dσκ(x)

(
aκ wκ(Θ)
)
Ψ(Θ)dΘ.
(9)

2.3. κ-сферические гармоники.
Полином P ∈ Πd называется κгармоническим, если ∆κP = 0. Сужение однородного κ-гармонического полинома степени n на сферу Sd−1 называется κ-сферической гармоникой степени n. Пространство κ-сферических гармоник степени n обозначим через
Ad
n(κ), n ∈ N0.

Предложение 2 [5, 10]. Предположим, что f и h — κ-сферические
гармоники различных степеней. Тогда
∫

Sd−1 f(x)h(x) dσκ(x) = 0.

Р. А. Вепринцев

Из предложения 2 следует, что пространства Ad
n(κ), рассматриваемые
как подпространства в L2,κ(Sd−1), ортогональны относительно скалярного
произведения (·, ·)κ,Sd−1 (7):

Ad
n(κ) ⊥ Ad
m(κ),
n ̸= m.

Методами стандартной теории гильбертовых пространств показывается,
что пространство L2,κ(Sd−1) разлагается в ортогональную сумму подпространств Ad
n(κ) [5]:

L2,κ(Sd−1) =

∞
∑

n=0

⊕
Ad
n(κ).

Ортогональный базис подпространства Ad
n(κ) записывается в терминах обобщенных многочленов Гегенбауэра C(λ,µ)
n
. В полярных координатах
x = (sin φ, cos φ) ортогональный базис подпространства A2
n(κ) состоит из
следующих функций [6, Theorem 7.5.1], [11, Theorem 3.1]:

Y 1
n,κ(x) = C(κ1,κ2)
n
(cos φ),

Y 2
n,κ(x) = sin φ C(κ1+1,κ2)
n−1
(cos φ),
n ∈ N.
(10)

Для того чтобы выписать базис при d ⩾ 3 (см. [5, Proposition 7.1.7], [6,
Theorem 7.5.2]), используем сферические координаты (1).

Предложение 3. Пусть d ⩾ 3, функция кратности κ определяется
набором (κ1, . . . , κd). Тогда ортогональный базис подпространства Ad
n(κ)
состоит из следующих функций:

Y α,1
n,κ (x) = C(κd,κd−1)
αd−1
(cos φ) Φα
κ(Θ), α ∈ Nd−1
0
, |α| = n,

Y α,2
n,κ (x) = sin φ C(κd+1,κd−1)
αd−1−1
(cos φ) Φα
κ(Θ), α ∈ Nd−1
0
, αd−1 ∈ N, |α| = n,
(11)

где для α = (α1, . . . , αd−1) ∈ Nd−1
0
имеем

Φα
κ(Θ) =

d−2
∏

j=1
(sin θj)|α(d−j)|C(λd−j−1,κd−j−1)
αd−j−1
(cos θj),

λd−j−1 = |α(d−j)| + |κ(d−j)| + j

2 ,

|α(d−j)| = αd−j + . . . + αd−1,
|κ(d−j)| = κd−j + . . . + κd.

2.4. Оператор сплетения Данкля.
Для каждой функции кратности κ существует единственный линейный оператор Vκ, называемый оператором сплетения Данкля, на Πd такой, что

Vκ(Pd
n) ⊂ Pd
n,
n ∈ N0,
Vκ1 = 1
и
DjVκ = Vκ
∂
∂xj
,
1 ⩽ j ⩽ d.
(12)