Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2015, № 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«Тульский государственный университет»

16+
ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 1

ТУЛА

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

2015

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015.
150 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в области естественных наук.

Редакционный совет

М.В.
Грязев
—
председатель,
В.Д.
Кухарь
—
зам.
председателя,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
И.А. Батанина, О.И. Борискин, А.Ю. Головин, В.Н. Егоров, В.И. Иванов,
Н.М. Качурин, В.М. Петровичев

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
И.М. Буркин (Тула), Н.М. Добровольский (Тула), Д.М. Левин (Тула),
А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора, Е.Н. Музафаров (Тула),
Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын (Тула) — отв. секретарь,
В.Г. Кротов (Минск, Беларусь), В.В. Литвиненко (Харьков, Украина),
Н.П. Матвейко (Минск, Беларусь), В.М. Мирсалимов (Баку, Азербайджан),
Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов (Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

Сборник
зарегистрирован
в
Федеральной
службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций
(Роскомнадзор).
ПИ
№
ФС
77-61106
от
19 марта 2015 г.
«Известия
ТулГУ»
входят
в
перечень
ведущих
научных
журналов
и
изданий,
выпускаемых
в
Российской
Федерации,
в
которых
должны
быть
опубликованы
научные
результаты
диссертаций
на
соискание
ученой
степени
доктора
наук

c⃝ Авторы научных статей, 2015
c⃝ Издательство ТулГУ, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Иванов В. И., Иванов А. В. Обобщенная задача Логана в L2(R3) . . . . . . . . . . . . . .
5
Серегина Н. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов
22

МЕХАНИКА

Калантарлы Н. М. Взаимодействие системы ослабленных межчастичных зон
со связями между берегами в круговом нагреваемом диске . . . . . . . . . . . . . . . .
30

Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами
43

Толоконников Л. А., Логвинова А. Л. Дифракция плоской звуковой волны на
двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями . . . . . . . . .
54

Христич Д. В., Астапов Ю. В. Учет взаимного влияния полей напряжений,
деформаций и температур при решении задачи Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

Энгельман О. Е., Маркин А. А. Основные соотношения варианта теории процессов упругопластического деформирования и разрушения . . . . . . . . . . . . . . .
74

ФИЗИКА

Зель И.Ю., Иванкина Т.И., Левин Д.М. О восстановлении упругих модулей по
экспериментальным значениям фазовых скоростей упругих P- и S-волн. . .
82

Левин Д. М., Кажарская С. Е. Особенности изменения параметров структуры
и фазового состава при старении закаленных порошковых MnCu сплавов .
91

ХИМИЯ

Алферов В. А., Решетилов А. Н., Алферов С. В., Зайцев Н. К. Углеродные наноматериалы: новые возможности в биоэлектрокатализе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Медведев Г. И., Рыбин А. А., Макрушин Н. А. Исследование кинетики процесса электроосаждения сплава олово-сурьма из сульфатного электролита с
органическими добавками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Понаморева О. Н., Алферов В. А., Каманина О. А., Мачулин А. В., Федосеева Д. Г. Гибридные биоматериалы на основе инкапсулированных в органосиликатные материалы метилотрофных дрожжей и их применение в биосенсорном анализе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Содержание

БИОЛОГИЯ

Алекперов Р. А., Аббасов Н. К. Биоморфологические, экологические и лечебные свойства видов, входящих в состав рода Mentha L. семейства Lamiaceae
Lindl., распространенных во флоре Нахчыванской автономной Республики 133

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141

Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 145

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 5–21

Математика

УДК 517.5

Обобщенная задача Логана в L2(R3) ∗

В. И. Иванов, А. В. Иванов

Аннотация. Изучается неравенство Джексона между величиной
наилучшего приближения функции f ∈ L2(R3) целыми функциями
экспоненциального типа и ее обобщенным модулем непрерывности.
Для некоторых обобщенных модулей непрерывности доказывается
неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в модуле непрерывности. Эти результаты основаны на решении
обобщенной задачи Логана для целых функций экспоненциального
типа. Для этого строится новая квадратурная формула для целых
функций экспоненциального типа.
Ключевые слова: наилучшее приближение, обобщенный модуль
непрерывности, неравенство Джексона, оптимальный аргумент, задача Логана.

Введение

Работа посвящена исследованию экстремальной обобщенной задачи Логана для целых функций экспоненциального типа и ее применению в теории
приближений к доказательству неравенств Джексона в пространствах L2,
оптимальных по параметрам.
Пусть τ > 0, S+[0, τ] — множество неубывающих на отрезке [0, τ] функций
µ(x), для которых µ(τ) − µ(0) = 1, λ ⩾ −1/2, Jλ(x) — функция Бесселя
порядка λ,

jλ(x) = 2λΓ(λ + 1) Jλ(x)

xλ

— нормированная функция Бесселя, qλ = qλ,1 < qλ,2 < . . . < qλ,s < . . . — ее
положительные нули,

Kλ,τ = {f(x) :
f(x) =
τ

0
jλ(tx) dµ(t), µ ∈ S+[0, τ]}

— класс четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа не выше τ, θ(f) = sup{x > 0 : f(x) > 0}, A = {as : s ∈ N} —

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и
Министерства образования и науки РФ (госзадания № 5414ГЗ, № 1.1333.2014К).

В. И. Иванов, А. В. Иванов

последовательность действительных чисел, для которой

a1 = −1,

∞
s=1
|as| < ∞,
(1)

FA(x, f) = −

∞
s=1
asf(sx) = f(x) −

∞
s=2
asf(sx).
(2)

Для λ = ∓1/2 нормированные функции Бесселя имеют вид:

j−1/2(x) = cos x,
j1/2(x) = sin x

x
.

Обобщенная задача Логана состоит в вычислении величины

Λ(Kλ,τ, A) = inf{θ(FA(f)) : f ∈ Kλ,τ}.

Б. Логан [1, 2] поставил и решил эту задачу в случае

λ = −1/2, A1 = {a1 = −1, as = 0, s ⩾ 2}, FA1(x, f) = f(x).

Он доказал, что Λ(K−1/2, τ, A1) = π/τ. Единственная экстремальная функция f−1/2(τx) имеет вид:

f−1/2(x) = cos2(x/2)

1 − (x/π)2 ∈ K−1/2, 1.

Д.В. Горбачев [3] доказал, что для λ > −1/2
Λ(Kλ, τ, A1) = 2qλ/τ. Единственная экстремальная функция fλ(τx) имеет вид:

fλ(x) =
j2
λ(x/2)

1 − (x/2qλ)2 ∈ Kλ, 1.

Решение задачи Логана позволило Д.В. Горбачеву доказать оптимальность аргументов в первом модуле непрерывности в точных неравенствах
Джексона в L2 на евклидовом пространстве Rd и полупрямой R+ со степенным весом x2λ+1, полученных ранее А.Г. Бабенко [4] и А.В. Московским [5].
Решения многомерных вариантов задачи Логана и их применения в теории приближений можно найти в [6–9].
Так как θ(f(δx)) = θ(f(x))/δ, то Λ(Kλ, τ, A) = Λ(Kλ, 1, A)/τ, поэтому в
дальнейшем будем считать τ = 1 и будем использовать обозначение Kλ, 1 =
= Kλ.
Необходимость рассмотрения задачи Логана для более общих последовательностей (1) связана с получением оптимальных неравенств Джексона в
L2 для модулей непрерывности старшего порядка.

Обобщенная задача Логана в L2(R3)
7

Пусть A2 = {a1 = −1, a2 = 1/4, as = 0, s ⩾ 3}. Эта последовательность
связана со вторым модулем непрерывности. Так как

FA2(x, f) = f(x) − 1

4 f(2x),
f(x) =

∞
s=0
4−sFA2(2sx, f)

(см. [10]), то θ(FA2(f)) ⩾ θ(f). Отсюда Λ(Kλ, A2) ⩾ Λ(Kλ, A1), причем равенство возможно только на функции fλ(x). Из асимптотики нулей функции
Бесселя [11, с. 557]

qλ,s = β − 4λ2 − 1

8β
+ O
1

s3

,
β =
s + 1

2 λ − 1

4

π

вытекает, что при λ ̸= 1/2 для некоторого N ∈ N

{qλ,s}∞
s=N ∩ {2qλ,s}∞
s=N = ∅,

поэтому для этих λ и s
FA2(qλ,s, fλ) > 0, θ(FA2(fλ)) = ∞. Таким образом,
для λ ̸= 1/2 Λ(Kλ, A2) > Λ(Kλ, A1). Для λ = −1/2 этот факт был установлен
в [12]. Вычисление величины Λ(Kλ, A2) в этих случаях — весьма сложная
задача.
С другой стороны, q1/2,s = πs, {2q1/2,s}∞
s=1 ⊂ {q1/2,s}∞
s=1 и в [10] установлено, что Λ(K1/2, A2) = Λ(K1/2, A1). Наша цель — выяснить, для каких
последовательностей (1) справедливо последнее равенство.
Пусть для последовательности A (1)

A+ = {as : as ⩾ 0, s ⩾ 2} = {akr : r ⩾ 1},

A− = {as : as < 0, s ⩾ 2} = {alr : r ⩾ 1},

σ0(A) =

∞
s=2
|as|,
σ(A) =

∞
s=2

|as|
s2 ,

σ(A+) =
as∈A+

|as|
s2 ,
σ(A−) =
as∈A−

|as|
s2 .
(3)

Будем говорить, что для последовательности (1) выполнено условие (Γ),
если для всех l

−

l
s=1
as ⩾ 0.

Сформулируем основной результат.

Теорема 1. Если для последовательности A (1) выполнено условие (Γ),

σ0(A) < 1,
σ(A−)

(1 − σ(A+))2 − (σ(A−))2 < 1,
(4)

то
Λ(K1/2, A) = 2q1/2 = 2π.
(5)

В. И. Иванов, А. В. Иванов

Важные примеры обобщенной задачи Логана связаны с задачей о точном
обобщенном неравенстве Джексона в пространстве L2.
Пусть R3 — трехмерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением (x, y) и модулем |x| =
(x, x), dν(x) = (2π)−3/2dx,
L2(R3) — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на
R3 функций f с нормой

∥f∥2 =
R3 |f(x)|2 dν(x)
1/2
< ∞,

ER(f)2 — величина наилучшего приближения функции f ∈ L2(R3) целыми функциями экспоненциального сферического типа не выше R > 0,
M = {µs}s∈Z — ненулевая действительная последовательность, для которой
s∈Z
µs = 0,
s∈Z
|µs| < ∞,

∆M
t f(x) =
s∈Z
µsf (x + st)

— бесконечно-разностный оператор,

ωM(τ, f)2 = sup
|t|⩽τ
∥∆M
t f(x)∥2
(6)

— обобщенный модуль непрерывности.
Если
f(y) =
R3 f(x)e−i(x,y) dν(x)

— преобразование Фурье функции f,

νs =
l∈Z
µl+sµl,
ν0 =
s∈Z
|µs|2 > 0
(7)

— свертка последовательности M,

ψM(t, y) =
s∈Z
νs cos(st, y) = ν0 + 2
s∈N
νs cos(st, y),

то из равенства Парсеваля

ω2
M(τ, f)2 = sup
|t|⩽τ

R3 ψ(t, y)| f(y)|2 dν(y).
(8)

Предположим, что ν1 ̸= 0. Последовательность A образуем по правилу:

as = − νs

ν1
, s ∈ N.
(9)

Для нее выполнены условия (1).

Обобщенная задача Логана в L2(R3)
9

Обобщенная константа Джексона

DM(R, τ)2 = sup
ER(f)2

ωM(τ, f)2
: f ∈ L2(R3)
есть наименьшая константа в обобщенном неравенстве Джексона

ER(f)2 ⩽ DωM(τ, f)2.

Если ν0 определено в (7), то для всех R, τ > 0 справедлива нижняя оценка

DM(R, τ)2 ⩾
1
√ν0
,

(см. [13–15]).
С.Н. Васильев [14] доказал, что для произвольного обобщенного модуля
непрерывности (6), некоторой постоянной τ ∗ = τ ∗(M) и произвольной f ∈
∈ L2(R3)

ER(f)2 ⩽
1
√ν0
ωM

τ ∗

R , f
2
.
(10)

Константа τ ∗ в (10) не является эффективной. Для последовательности
(9), удовлетворяющей условию (Γ), Д.В. Горбачев [16] получил эффективную
оценку τ ∗ ⩽ 2q3/2. Но она не является точной. Наименьшее значение τ ∗

называют оптимальным аргументом. Так как константа Джексона обладает
свойством однородности [15]

DM(R, τ)2 = DM(1, Rτ)2,

то оптимальный аргумент можно определить равенством

τM = inf
τ > 0 : DM(1, τ)2 =
1
√ν0

.

Пусть L2,1/2(R+) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на

R+ функций f с нормой

∥f∥2,1/2 =
∞

0
|f(x)|2x2 dx
1/2
< ∞,

f(t) =

2
π

∞

0
f(x)j1/2(tx)x2 dx

— преобразование Ганкеля (см. [17, гл. V]),

ER(f)2,1/2 = inf{∥f − g∥2,1/2 : g ∈ L2,1/2(R+), supp g ⊂ [0, R]}

В. И. Иванов, А. В. Иванов

—
величина
наилучшего
приближения
функции
f ∈ L2,1/2(R+)
четными
целыми
функциями
экспоненциального
типа
не
выше
R,

αM(t) = s∈Z νsj1/2(st) для последовательности (7),

ωM(τ, f)2,1/2 = sup
0⩽t⩽τ

∞

0
αM(ts)| f(s)|2s2 ds
1/2

— обобщенный модуль непрерывности,

DM(R, τ)2,1/2 = sup
ER(f)2,1/2

ωM(τ, f)2,1/2
: f ∈ L2,1/2(R+)
— обобщенная константа Джексона,

δM = inf
τ > 0 : DM(1, τ)2,1/2 =
1
√ν0

— оптимальный аргумент.
В [18] доказано, что для всех R, τ > 0

DM(R, τ)2 = DM(R, τ)2,1/2,

поэтому τM = δM. В [19] доказано, что

δM = Λ(K1/2, A),

где последовательность A определена в (9).
В качестве следствия из теоремы 1 получаем утверждение.

Теорема 2. Если последовательность A определена в (9) и для нее
выполнены условия (Γ), (4), то

τM = Λ(K1/2, A) = 2π.

Для любой f ∈ L2(R3) справедливо неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в обобщенном модуле непрерывности:
ER(f)2 ⩽
1
√ν0
ωM

2π

R , f
2
.

1. Обобщенная задача Логана при λ = 1/2

Приведем доказательство теоремы 1. Сначала в обобщенной задаче Логана получим верхнюю оценку (см. [19]). Рассмотрим функцию

f1/2(x) =
j2
1/2(x/2)

1 − (x/2π)2 =
sin x/2

x/2

2
1

1 − (x/2π)2 .

Так как
f1/2(x) = 4
1

0
j1/2(xt)t sin2 πt dt,

Обобщенная задача Логана в L2(R3)
11

то f1/2 ∈ K1/2. Имеем

FA(x, f1/2) =
sin2 x

2

(x/2)2(1 − (x/2π)2)

1 −

∞
s=2

as
s2
sin2 sx

2

sin2 x

2

((x/2π)2 − 1)
((sx/2π)2 − 1)

.

Пусть s ⩾ 2. Так как для x ⩾ 2π

0 ⩽ sin2 sx

2

sin2 x

2
⩽ s2,
0 ⩽ (x/2π)2 − 1

(sx/2π)2 − 1 ⩽ 1

s2 ,

то, предполагая выполненным условие σ(A) < 1, более слабое, чем σ0(A) < 1,
получим

1 −

∞
s=2

as
s2
sin2 sx

2

sin2 x

2

((x/2π)2 − 1)
((sx/2π)2 − 1) ⩾ 1 −

∞
s=2

|as|
s2 = 1 − σ(A) > 0.

Отсюда для x ⩾ 2π
FA(x, f1/2) ⩽ 0 и Λ(K1/2, A) ⩽ 2π. Верхняя оценка в (5)
получена.
Замечание. Из приведенного доказательства следует, что верхняя оценка справедлива при условии σ(A+) < 1.
Пусть L1,1/2(R+) — пространство действительных измеримых по Лебегу
на R+ функций f с нормой

∥f∥ =
∞

0
|f(x)|x2 dx < ∞.

Для получения нижней оценки нам понадобятся некоторые вспомогательные факты и утверждения.
Если ∞
r=1 |αr| < 1, l ∈ Z+, то

∞
s=0

s1+. . . +sr+. . . =s

(s + l)!
∞
r=2 sr!

∞
r=2
αsr
r =
l!

(1 − ∞
r=1 αr)l+1 ,
(11)

причем ряд (11) сходится абсолютно. В бесконечных суммах и бесконечных
произведениях только конечное число членов последовательности {sr} отлично от нуля.
Если для последовательности λk ⩾ 0, λk+1 − λk ⩾ δ > 0, то для четной
целой функции g ∈ L(R+) экспоненциального типа не выше 1 справедливо
неравенство Планшереля – Полиа [20]

∞
k=1
|g(λk)| ⩽ 4

πδ eδ/2
∞

0
|g(x)| dx.

В. И. Иванов, А. В. Иванов

Отсюда для четной целой функции g ∈ L1,1/2(R+) экспоненциального типа
не выше 1 и произвольного x > 0 вытекает неравенство

∞
k=1
k2|g(kx)| ⩽ c(x)

x2

∞

0
|g(x)|x2 dx = c(x)

x2 ∥g∥, c(x) = max(2x−1, 1).
(12)

Для нее также справедлива квадратурная формула [21, 22]
∞

0
g(x)x2 dx = (2π)3
∞
k=1
k2g(2πk),
(13)

причем ряд (13) сходится абсолютно.

Лемма 1. Если f ∈ K1/2, θ(FA(f)) < ∞, для последовательности A (1)
выполнено условие (Γ), то FA(f) ∈ L1,1/2(R+).

Доказательство.
Пусть
Φ(x) = e−x2,
µ ∈ S+[0, 1],
f(x) =
=
1
0 j1/2(xt) dµ(t), θ(FA(f)) < ∞. Известно [23, с. 73], что для ε > 0
2
π

∞

0
Φ(εx)j1/2(xt)x2 dx = 1

ε3 Φ
t

ε

.

Используя теорему Фубини, преобразование Абеля и условие (Γ), получим
2
π

∞

0
FA(x, f)Φ(εx)x2 dx =

= −

2
π

1

0

∞
s=1
as

∞

0
Φ(εx)j1/2(sxt)x2 dxdµ(t) =

= −

2
π

1

0

∞
s=1

as
s3

∞

0
Φ
ε

s x
j1/2(xt)x2 dxdµ(t) =

= − 1

ε3

1

0

∞
s=1
asΦ
s

ε x
dµ(t) =

= 1

ε3

1

0

∞
s=1
gs

Φ
s

ε x
− Φ
(s + 1)

ε
x
dµ(t) ⩾ 0.

Если θ(FA(f)) = θ, то 0 < θ < ∞ и FA(x, f) ⩽ 0 при x ⩾ θ, поэтому

0 ⩽
∞

0
FA(x, f)Φ(εx)x2 dx ⩽

⩽
θ

0
|FA(x, f)|Φ(εx)x2 dx −
∞

θ
|FA(x, f)|Φ(εx)x2 dx.