Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2014, № 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 3

ТУЛА

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

2014

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2014. — 220 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, прикладной математики и информатики.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф. — председатель, В.Д. Кухарь, д-р техн.
наук, проф. — зам. председателя, А.А. Маликов, д-р техн. наук, проф. —
отв. секретарь, В.В. Прейс, д-р техн. наук, проф. — главный редактор,
В.А. Алфёров, канд. хим. наук., доц., И.А. Батанина, д-р полит. наук, проф.,
О.И. Борискин, д-р техн. наук, проф., Л.А. Васин, д-р техн. наук, проф.,
В.И. Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., Н.М. Качурин, д-р техн. наук, проф.,
Р.А. Ковалев, д-р техн. наук, доц., А.А. Сычугов, канд. техн. наук, доц.,
А.К. Талалаев, д-р техн. наук, проф., А.Н. Чуков, д-р техн. наук, проф.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
С.В.
Анциферов
(Тула),
И.М.
Буркин
(Тула),
Н.М.
Добровольский
(Тула), Д.М. Левин (Тула), А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора,
Е.Н. Музафаров (Тула), Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын
(Тула) — отв. секретарь, В.Г. Кротов (Минск, Беларусь), В.В. Литвиненко
(Харьков, Украина), Н.П. Матвейко (Минск, Беларусь), В.М. Мирсалимов
(Баку, Азербайджан), Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов
(Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2014
c⃝ Издательство ТулГУ, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Иванов В. И.,
Знаменская Д. В.,
Смирнов О. И.
Обобщенная
константа
Джексона в пространстве L2(R) с гиперболическим весом. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Нигмедзианова А. М.
Интегральное
представление
решения
одного
многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с
положительным параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Рарова А. М. Тригонометрические суммы сетки с весами для целочисленной
решётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Шабозов М. Ш., Саидусайнов
М. С. Значения n-поперечников и наилучшие
линейные методы приближения некоторых классов аналитических функций
в весовом пространстве Бергмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

МЕХАНИКА

Айрих В. А.,
Глаголев В. В.
К
определению
напряженного
состояния
упругопластических тел с трещиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Желтков В. И.,
Чыонг
Ван
Хуан
Определение
критических
скоростей
прямого крыла большого удлинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

Кузнецов Е. Е., Матченко И. Н. Об особенностях малого упругопластического
деформирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

Маркин А. А., Лыу Туан Ань Неустановившееся движение жёсткопластического
осесимметричноного тела по внутренней поверхности конуса (обжатие) . . .
89

Нгуен Ван Чыонг
Влияние поперечной нагрузки на сверхзвуковой флаттер
защемленной прямоугольной пластинки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Никольский В. В., Смирнов Ю. П. О некоторых общих формах уравнений
движения систем с трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Пеньков В. Б.,
Саталкина Л. В.,
Рыбакова М. Р.,
Куликова К. Ю. Влияние
положения
сферической
полости
в
упругом
шаре
на
концентрацию
напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Скобельцын С. А. Определение положения границы разделения двухслойной
упругой пластины по отражению звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Толоконников Л. А., Родионова Г. А. Дифракция сферической звуковой волны
на упругом шаре с неоднородным покрытием. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Харламов А. С. Деформации поперечных сечений балки при ее конечном
чистом изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Христич Д. В., Астапов Ю. В., Глаголев Л. В. Постановка задачи конечного
деформирования анизотропных тел в терминах начальной конфигурации . 148

Содержание

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Грязев М. В., Кузнецова О. А. Формирование оптимального закона системы
управления динамическим объектом ЛПτ-поиском . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Масальских А. В. Параллельный алгоритм одного метода восстановления
табличных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Середин О. С.,
Абрамов В. И.,
Моттль В. В.
Аффинные
операции
в
псевдоевклидовом линейном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Федосеев А. А. Решение трехкритериальной и четырехкритериальной моделей
Марковица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210

Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Письмо редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 215

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 5–18

Математика

УДК 517.51

Обобщенная константа Джексона
в пространстве L2(R) с гиперболическим
весом ∗

В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов

Аннотация. Для произвольной последовательности действительных чисел M = {µs}s∈Z с нулевой суммой и абсолютно сходящимся
рядом
в
пространстве
L2(R, dµ)
с
гиперболическим
весом
dµ = 22ρ|sh t|2α+1(ch t)2β+1, α ⩾ β ⩾ −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1,
определяются
величина
наилучшего
приближения
Eσ(f)2,µ
частичными
интегралами
преобразования
Якоби,
обобщенный
модуль
непрерывности
ωM(τ, f)2,µ
и
обобщенная
константа
Джексона
DM(σ, τ)2,µ.
Вычисление
обобщенной
константы
Джексона сводится к двойственной экстремальной задаче для
четных целых функций экспоненциального типа. Дается условие ее
конечности, доказывается нижняя оценка DM(σ, τ)2,µ ⩾ 1/√ν0, где
ν0 = s∈Z |µs|2.
Ключевые слова: гармонический анализ Данкля, наилучшее
приближение,
модуль
непрерывности,
неравенство
Джексона,
константа Джексона.

1. Определение обобщенной константы Джексона

Работа
посвящена
исследованию
точного
неравенства
Джексона
с
обобщенным
модулем
непрерывности
в
пространстве
L2(R)
с
гиперболическим весом

∆(t) = 22ρ|sh t|2α+1(ch t)2β+1,
t ∈ R,
(1)

где α ⩾ β ⩾ −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1.

Точное неравенство Джексона с первым модулем непрерывности в
пространстве L2(R) с гиперболическим весом имеется в [1].

Отметим, что гиперболический вес |sh t|2α+1, α = (d − 3)/2, d = 2, 3, . . . ,
получается при сужении пространства L2(Hd−1) на гиперболоиде Hd−1 в
Rd на подпространство зональных сферических функций [2, гл. X]. Точное

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и
Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов

неравенство Джексона с первым модулем непрерывности в пространстве
L2(Hd−1) доказано в [3].

Точным неравенствам Джексона, в том числе и с обобщенным модулем
непрерывности,
в
пространстве
L2(Rd)
со
степенным
весом
Данкля
посвящены работы [4–15]. Мы во многом следуем этим работам.

Пусть α ⩾ β ⩾ −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1, t ∈ R, λ ∈ C, Γ(z) — гаммафункция, F(a, b, c; z) = 2F1(a, b, c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса,

ϕλ(t) = ϕ(α,β)
λ
(t) = F
ρ + iλ

2
, ρ − iλ

2
; α + 1; − sh2 t
— функция Якоби (см. [16–18]).

Функция
Якоби
является
собственной
функцией
задачи
Штурма–
Лиувилля:

d
dt

∆(t) d

dt ϕλ(t)
+ (ρ2 + λ2)∆(t)ϕλ(t) = 0,
ϕλ(0) = 1,
d
dt ϕλ(0) = 0.

По t она четная аналитическая на R, а по λ — четная целая функция
экспоненциального типа |t| > 0,

ϕλ(0) = 1,
|ϕλ(t)| ⩽ 1,
λ, t ∈ R.
(2)

Пусть dµ(t) = ∆(t) dt, L2(R, dµ) — пространство комплексных измеримых
по Лебегу функций f(t) на R с конечной нормой

∥f∥2,µ =
R
|f(t)|2 dµ(t)
1/2
< ∞,

L2(R, dσ) — пространство комплексных измеримых по Лебегу функций f(λ)
на R с нормой

∥f∥2,σ =
1

4

R
|f(λ)|2 dσ(λ)
1/2
< ∞,

где
dσ(λ) = s(λ)dλ,
s(λ) = (2π)−1|c(λ)|−2,

c(λ) =
2ρ−iλΓ(α + 1)Γ(iλ)

Γ((ρ + iλ)/2)Γ((ρ + iλ)/2 − β) .

Гармонический анализ в пространстве L2(R, dµ) можно найти в работе
Опдама [19] (см. также [20]). Он осуществлен с помощью дифференциальноразностного оператора Данкля–Чередника

Df(t) = f′(t) +

(2α + 1) cth t + (2β + 1) th t

f(t) − f(−t)

2
− ρf(−t).

Гипергеометрическая функция Опдама

Gλ(t) = ϕλ(t) −
1

ρ − iλ
∂
∂t ϕλ(t)

Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(R) с гиперболическим весом
7

является собственной функцией этого оператора:

DGλ(t) = iλGλ(t).

По λ она целая функция экспоненциального типа |t| > 0 и по t аналитическая
на R,
Gλ(0) = 1,
|Gλ(t)| ⩽ 1,
λ, t ∈ R.

Из формулы дифференцирования

d
dt ϕ(α,β)
λ
(t) = − (ρ2 + λ2) sh t ch t

2(α + 1)
ϕ(α+1,β+1)
λ
(t)

вытекает, что

Gλ(t) = ϕ(α,β)
λ
(t) + (ρ + iλ) sh t ch t

2(α + 1)
ϕ(α+1,β+1)
λ
(t).
(3)

Разложение функций из L2(R, dµ) осуществляется с помощью прямого и
обратного преобразований Фурье–Опдама–Чередника:

F(f)(λ) =
R
f(t)Gλ(−t) dµ(t),
(4)

F −1(g)(x) = 1

4

R
g(λ)Gλ(x)
1 − ρ

iλ

dσ(λ).
(5)

Если f ∈ L2(R, dµ) и обозначить f(x) = f(−x), то

F(f), F( f) ∈ L2(R, dσ),
F −1(F(f)) ∈ L2(R, dµ)

и f(x) = F −1(F(f))(x) в среднеквадратичном смысле. При этом справедливо
равенство Парсеваля
R
|f(x)|2 dµ = 1

4

R+

|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2dσ(λ).
(6)

Пусть для функции f ∈ L2(R, dµ)

Eσ(f, R)2,µ = inf

∥f − g∥2,µ : g ∈ L2(R, dµ), supp F(g) ⊂ [−σ, σ]

(7)

— величина ее наилучшего приближения порядка σ > 0. Из аналитичности
Gλ(t) по t вытекает аналитичность на R приближающих функций.

Пусть M = {µs}s∈Z — ненулевая последовательность действительных
чисел, для которой
s∈Z
µs = 0,
s∈Z
|µs| < ∞.
(8)

Посредством свертки образуем новую четную последовательность

νs =
l∈Z
µl+sµl.
(9)

В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов

Для нее
ν0 =
l∈Z
|µl|2,
s∈Z
νs = 0,
s∈Z
|νs| < ∞.

Определим функцию

ψM(λ, t) =
s∈Z
νsϕsλ(t) = ν0 + 2

∞
s=1
νsϕsλ(t) = ν0 − 2ηM(λ, t),
λ, t ∈ R. (10)

Используя интегральное представление Мелера функции Якоби [18]

ϕλ(t) = Cα

∆(t)

t

0
Aα,β(x, t) cos (λx) dx,
(11)

где
Aα,β(x, t) = 2α+2β+5/2 sh (2t)(ch t)β−α (ch (2t) − ch (2x))α−1/2 ×

×F
α + β, α − β; α + 1/2; ch t − ch x

2 ch t

⩾ 0,
Cα =
Γ(α + 1)
√π Γ(α + 1/2) ,

получим

ψM(λ, t) = Cα

∆(t)

t

0
Aα,β(x, t)
s∈Z
νs cos (λsx) dx.

Так как

s∈Z
νs cos (λsx) =

l∈Z
µl cos (λlx)

2
+

l∈Z
µl sin (λlx)

2
⩾ 0,

то ψM(λ, t) ⩾ 0. Для функции ψM(t, y) выполнены также свойства

ψM (λ, t) ∈ Cb(R × R),
ψM (λ, 0) = 0.

Здесь Cb(R × R) — пространство непрерывных ограниченных функций.

Перечисленные свойства ψM(t, y) позволяют для функции f ∈ L2(R, dµ)
определить обобщенный модуль непрерывности

ωM(τ, f, R)2,µ = sup
0⩽t⩽τ

1

4

R+
ψM(λ, t)

|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2dσ(λ)
1/2
.

(12)

Нетрудно убедиться, что
lim
τ→0+0 ωM(τ, f, R)2,µ = 0.

Обобщенная константа Джексона

DM(σ, τ, R)2,µ = sup
Eσ(f, R)2,µ

ωM(τ, f, R)2,µ
: f ∈ L2(R, dµ)
(13)

есть наименьшая константа в неравенстве Джексона

Eσ(f, R)2,µ ⩽ DωM(τ, f, R)2,µ.

Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(R) с гиперболическим весом
9

2. Редукция к случаю четных функций

Лемма 1. Если g ∈ L2(R, dµ), supp F(g) ⊂ [−σ, σ], то supp F(g) ⊂ [−σ, σ].

Доказательство. Пусть g = g1 + ig2 = g1e + g1o + i(g2e + g2o), где
индексы e, o обозначают четную и нечетную составляющие функции
соответственно. Согласно (3), (4) для |λ| > σ
R
(g1e + ig2e)ϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t)−

−(c1 + ic2)
R
(g1o + ig2o) sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t) = 0,

где c1 = ρ/(2(α + 1)), c2 = λ/(2(α + 1)). Рассматривая отдельно λ > 0 и λ < 0,
для λ > σ получим систему
R
g1eϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t) − c1

R
g1o sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t)±

± c2

R
g2o sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t) = 0,

R
g2eϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t) ∓ c2

R
g1o sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t)−

− c1

R
g2o sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(x) dµ(t) = 0.

Из нее вытекает, что для λ > σ
R
g1eϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t) =
R
g2eϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t) =
R
g1o sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t) =

=
R
g2o sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t) = 0.

Так как

F(g)(λ) =
R
(g1e + ig2e)ϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t)+

+ (c1 + ic2)
R
(g1o + ig2o) sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t),

то supp F(g) ⊂ [−σ, σ]. Лемма доказана.

Лемма 1 имеется в [1]. Мы привели ее доказательство для полноты
изложения.

Из леммы 1 и равенства Парсеваля (6) вытекает следующая лемма.

В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов

Лемма 2. Если f ∈ L2(R, dµ), то

E2
σ(f, R)2,µ = 1

4

∞

σ

|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2dσ(λ).

Пусть L2(R+, dµ) — подпространство L2(R, dµ) четных функций с нормой

∥f∥2 =
R+
|f(t)|2 dµ(t)
1/2
< ∞.

Введем обозначения:

Jf(λ) =
R+
f(t)ϕλ(t) dµ(t)

— преобразование Якоби,

J−1g(t) =
R+
g(λ)ϕλ(t) dσ(λ)

— обратное преобразование Якоби,

Eσ(f, R+)2,µ = inf

∥f − g∥2 : g ∈ L2(R+, dµ), supp Jg ⊂ [0, σ]
— величина наилучшего приближения порядка σ,

ωM(τ, f, R+)2,µ = sup
0⩽t⩽τ

R+
ψM(λ, t)|Jf(λ)|2 dσ(λ)
1/2

(14)

— обобщенный модуль непрерывности,

DM(σ, τ, R+)2,µ = sup
Eσ(f, R+)2,µ

ωM(τ, f, R+)2,µ
: f ∈ L2(R+, dµ)
(15)

— обобщенная константа Джексона.

Пусть f ∈ L2(R+, dµ), g ∈ L2(R+, dσ). В силу (3), (4) функция F(f)(λ)
четная. Согласно (4)–(6) и лемме 2 справедливы следующие соотношения:

F(f)(λ) = 2Jf(λ),
F −1(g)(x) = 2J−1g(x),
f(x) = J−1(Jf)(x),
R+
|f(x)|2 dµ(x) =
R+
|Jf(λ)|2 dσ(λ),
E2
σ(f, R+)2,µ =
∞

σ
|Jf(λ)|2 dσ(λ).

(16)

Лемма 3. Для всех σ, τ > 0, произвольной последовательности M (8)

DM(σ, τ, R)2,µ = DM(σ, τ, R+)2,µ.

Доказательство. Достаточно установить неравенство

DM(σ, τ, R)2,µ ⩽ DM(σ, τ, R+)2,µ.
(17)

Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(R) с гиперболическим весом 11

Пусть для произвольной функции f ∈ L2(R, dµ)

g(λ) =
|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2

2

1/2
.

Если f = f1 + if2, то согласно (3), (4) в обозначениях леммы 1

g2(λ) =
R
f1(t)ϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t)
2
+
R
f2(t)ϕ(α,β)
λ
(t) dµ(t)
2
+

+ (c2
1 + c2
2)
R
f1(t) sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t)
2
+

+
R
f2(t) sh t ch tϕ(α+1,β+1)
λ
(t) dµ(t)
2,

поэтому g(λ) — четная функция. Так как из (6)
R+
|g(λ)|2dσ(λ) = 1

2

R+

|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2dσ(λ) = 2∥f∥2
2,µ < ∞,

то g ∈ L2(R+, dσ).

Рассмотрим четную функцию

h(t) =
R+
g(λ)ϕλ(t) dσ(λ) ∈ L2(R+, dµ).

Для нее согласно (14), (16), лемме 2 и (7), (12)

E2
σ(h, R+)2 =
∞

σ
|g(λ)|2 dσ(λ) =

= 1

2

∞

σ

|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2dσ(λ) = 2E2
σ(f, R)2,µ,

ω2
M(τ, h, R+)2 = sup
0⩽t⩽τ

R+
ψM(λ, t)|g(λ)|2 dσ(λ) =

= 1

2 sup
0⩽t⩽τ

R+
ψM(λ, t)

|F(f)(λ)|2 + |F( f)(λ)|2dσ(λ) = 2ω2
M(τ, f, R)2,µ,

поэтому
Eσ(h, R+)2

ωM(τ, h, R+)2
=
Eσ(f, R)2,µ

ωM(τ, f, R)2,µ
.

Отсюда следует неравенство (17). Лемма доказана.

3. Нижняя оценка обобщенной константы Джексона

Для оценки обобщенных констант Джексона (13), (15) снизу будем
использовать лемму В.В. Арестова [21]. Сформулируем ее в удобном для нас
виде.

В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов

Лемма 4. (В.В. Арестов). Пусть задана система {ψs(t)}∞
s=1 функций,
непрерывных на [0, τ] и удовлетворяющих условиям:

(a) ψs(0) = 0,
|ψs(t)| ⩽ K
(t ∈ [0, τ],
s ∈ N);

(b) для любого δ ∈ (0, τ] выполняется равенство

lim
s→∞ max
δ⩽t⩽τ ψs(t) = ν0.

Тогда для любого ε > 0 найдется функция

F(t) =

∞
s=1
ρsψs(t),
ρs ⩾ 0,

∞
s=1
ρs = 1,

такая, что

F(t) ⩽ ν0 + ε,
t ∈ [0, τ].

Согласно лемме 3 в дальнейшем будем работать с константой Джексона

(14). Нам также понадобятся асимптотики весовой функции s(λ) и функции
Якоби из [22]. При |λ| → ∞ равномерно по t > 0

s(λ) =
2ρ+αΓ(α + 1)
−2 λ2α+1 1 + O(|λ|−1)
,
(18)

ϕλ(t) =
(2/π)1/2

(∆(t)s(λ))1/2

cos (λt − aα) + et|Im λ|O

|λt|−1 + |λ|−1.
(19)

Теорема 1. Если σ, τ > 0, M — произвольной последовательности (8),
то
DM(σ, τ, R+)2,µ ⩾
1
√ν0
.
(20)

Доказательство. Согласно (14), (16)

D2
M(σ, τ, R+)2,µ =
sup
f∈L2(R+, dµ)

∞
σ |Jf(λ)|2 dσ(λ)

sup
0⩽t⩽τ

∞
σ
ψM(λ, t)|Jf(λ)|2 dσ(λ)
⩾

⩾ sup

1

sup
0⩽t⩽τ

∞
s=0
ψs(t)ρs
: ρs ⩾ 0,

∞
s=0
ρs = 1

,
(21)

где

ψs(t) = 1

ηs

σ+s+1
σ+s
ψM(λ, t) dσ(λ),
ηs =

σ+s+1
σ+s
dσ(λ).

Согласно (2), (10) имеем

|ψs(t)| ⩽
l∈Z
|νl| = K,
ψs(t) = ψM(ys(t), t),
ys(t) ∈ (s, s + 1).