Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2014, № 2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 2

ТУЛА

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

2014

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2014. — 314 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, прикладной математики и информатики, физики,
химии, биологии, наукам о земле.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф. — председатель, В.Д. Кухарь, д-р техн.
наук, проф. — зам. председателя, А.А. Маликов, д-р техн. наук, проф. —
отв. секретарь, В.В. Прейс, д-р техн. наук, проф. — главный редактор,
В.А. Алфёров, канд. хим. наук., доц., И.А. Батанина, д-р полит. наук, проф.,
О.И. Борискин, д-р техн. наук, проф., Л.А. Васин, д-р техн. наук, проф.,
В.И. Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., Н.М. Качурин, д-р техн. наук, проф.,
Р.А. Ковалев, д-р техн. наук, доц., А.А. Сычугов, канд. техн. наук, доц.,
А.К. Талалаев, д-р техн. наук, проф., А.Н. Чуков, д-р техн. наук, проф.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
С.В.
Анциферов
(Тула),
И.М.
Буркин
(Тула),
Н.М.
Добровольский
(Тула), Д.М. Левин (Тула), А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора,
Е.Н. Музафаров (Тула), Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын
(Тула) — отв. секретарь, В.Г. Кротов (Минск, Беларусь), В.В. Литвиненко
(Харьков, Украина), Н.П. Матвейко (Минск, Беларусь), В.М. Мирсалимов
(Баку, Азербайджан), Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов
(Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2014
c⃝ Издательство ТулГУ, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Бабушкин М. В.,
Жук В. В.
О
приближении
периодических
функций
обобщенными суммами Рогозинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Безверхний В. Н., Безверхний Е. С. Проблема сопряженности слов в HNNрасширении древесного произведения групп с циклическим объединением
30

Буркин И. М., Буркина Л. И., Нгуен Нгок Хиен
О структуре минимального
глобального аттрактора обобщенной системы Льенара с полиномиальной
нелинейностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

Додонов Н. Ю.,
Масальских А. В.
Применение
одного
класса
агрегатов
приближения сумматорного типа для реконструкции параметрических
поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Лангаршоев М. Р.
О
наилучшем
приближении
и
значении
поперечников
некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана . . . . . . . . . . . .
76

Мамонов С. С., Ионова И. В. Решение системы матричных уравнений при
наличии линейной связи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Родионов А. В. Метод Н. М. Коробова приближенного решения дифференциальных
уравнений в частных производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

МЕХАНИКА

Глаголев Л. В.
Вариант
определения
напряженно-деформированного
состояния упругого тела конечных размеров с трещиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Кузнецов Е. Е., Матченко Н. М. Вариант условия пластичности изотропных
сыпучих сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Лавит И. М., Нгуен Ван Чыонг
Автоколебания прямоугольной пластинки в
сверхзвуковом потоке газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Ларин Н. В.
Рассеяние
звука
упругой
цилиндрической
оболочкой
с
неоднородным покрытием и неконцентрической эллиптической полостью . 146

Маркин А. А., Лыу Туан Ань
Нестационарное течение жёсткопластического
осесимметричного тела по конической поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Сухоруков Д. А. Характеристики напряженно-деформированного состояния
вязкоупругого цилиндра при стохастическом нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре
с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической
полостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Толоконников Л. А.,
Ларин Н. В.
Моделирование
дискретно-слоистого
покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче
рассеяния звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Христич Д. В. К вопросу об определении главных осей анизотропии материала 203

Содержание

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Грязев М. В., Кузнецова О. А. Оптимизация параметров и синтез закона
управления методом ЛП τ-поиска и применение принципа динамического
«расширения – сжатия» фазового пространства динамического объекта . . . 214

Грязев М. В., Кузнецова О. А. Структурно-параметрический синтез системы
управления с учетом инвариантного множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Рождественский К. Н. Применение метода Тихонова для решения одного
класса некорректных задач геофизики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

ФИЗИКА

Баранов В. П., Степанова В. Э. Двухуровневое моделирование накопления
поврежденности в высокопрочных нагруженных материалах . . . . . . . . . . . . . . 245

Сирота В. В.,
Красильников В. В.,
Савотченко С. Е.,
Лукьянова О. А.,
Иванисенко В. В. Механические свойства композиционной керамики на
основе нитрида кремния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

БИОЛОГИЯ

Нечаева И. А., Акатова Е. В. Оценка микробного состояния рек Тульской
области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Воронина И. Ю.
Математическое
моделирование
взаимодействия
обделок
параллельных некруговых подводных тоннелей с массивом пород дна
водоема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Деев П. В.
Напряженное
состояние
обделок
параллельных
тоннелей
произвольного
поперечного
сечения
при
распространении
в
массиве
длинных сейсмических волн. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305

Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 309

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 5–29

Математика

УДК 517.5

О приближении периодических функций
обобщенными суммами Рогозинского

М. В. Бабушкин, В. В. Жук

Аннотация.
Пусть
C
—
пространство
непрерывных
2π-периодических функций с нормой ∥f∥ = max
x∈R |f(x)|. Положим

Un(r, α; f) =

n
k=0

1 −

sin
αk

n+1
sin α

rAk(f),

∥U∥ = sup
f∈C

∥U(f)∥

∥f∥
,
A(r, α) = sup
n∈Z+
∥Un(r, α)∥ .

В работе изучаются величины A(r, α) как функции параметров r и α.
Полученные оценки применяются для установления неравенств типа

∥f − Un(f)∥ ⩽ C1Φ(f),

Ψ(f) ⩽ C2 ∥f − Un(f)∥ ,

где Φ и Ψ — некоторые функционалы, представляющие интерес для
теории аппроксимации
Ключевые слова: обобщённые суммы Рогозинского, двусторонние
оценки для норм операторов, неравенства для отклонений.

1. Введение

1.1. Основные
обозначения
и
агрегаты
приближения.
В
дальнейшем R, R+, Z+, N суть соответственно множества вещественных,
неотрицательных
вещественных,
неотрицательных
целых,
натуральных
чисел. Запись k = a, b, где a, b ∈ R, означает, что k пробегает все целые числа
между a и b, включая a и b, если они целые. Все функции предполагаются
вещественными. Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв,
доопределяются в этой точке по непрерывности; в других случаях символ

0
0 понимается как 0. Сумма

ba
при b < a считается равной 0. Если a ∈ R, то

[a] — целая часть числа a.

М. В. Бабушкин, В. В. Жук

Через
C
обозначаем
пространство
непрерывных
2π-периодических
функций f : R → R с нормой

∥f∥ = max
x∈R |f(x)| ;

C(r) =
f ∈ C : ∃f(r) ∈ C
. Далее C (E) — множество функций, непрерывных
на отрезке E, C(r) (E) =
f ∈ C (E) : ∃f(r) ∈ C (E)
. Через Hn обозначаем
множество
тригонометрических
полиномов
порядка
не
выше
n;

H =
∞
n=0
Hn. При 1 ⩽ p < ∞ через Lp обозначаем пространство измеримых

2π-периодических функций f, у которых ∥f∥p =
π−π
|f|p1/p
< ∞; L∞ = C.

Пусть f ∈ L1. Тогда

ak(f) = 1

π

π
−π
f(t) cos kt dt,
bk(f) = 1

π

π
−π
f(t) sin kt dt

— коэффициенты Фурье функции f; при k ∈ N

Ak(f, x) = ak(f) cos kx + bk(f) sin kx,
A0(f, x) = a0(f)

2
.

Для n ∈ Z+, f ∈ L1 полагаем

Sn(f, x) =

n
k=0
Ak(f, x),
˜Sn(f, x) =

n
k=1
(−bk(f) cos kx + ak(f) sin kx) ,

Rn,r(f) =

n
k=0

1 −
k

n + 1

rAk(f).

Через Dn и Φn обозначаем соответственно ядра Дирихле и Фейера:

Dn(t) = 1

π

1
2 +

n
k=1
cos kt

,
D−1(t) = 0,

Φn(t) =
1

n + 1

n
k=0
Dn(t),
Φ−1(t) = 0.

Пусть {µk}∞
k=1 — числовая последовательность. Тогда

∆µk = µk+1 − µk,
∆2µk = µk+2 − 2µk+1 + µk.

Пусть r ∈ Z+, t ∈ R, f : R → R. Тогда через δr
t (f) обозначаем конечную
центральную разность r-го порядка функции f с шагом t:

δr
t (f, x) =

r
k=0
(−1)kCk
r f
x + rt

2 − kt
.

О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского
7

Пусть
1 ⩽ p ⩽ ∞,
f ∈ Lp.
Тогда
ωr(f, h)p = sup
|t|⩽h
∥δr
t (f)∥p
—

модуль
непрерывности
порядка
r
функции
f
в
пространстве
Lp,
En(f)p
=
inf
T∈Hn ∥f − T∥p
—
наилучшее
приближение
функции
f

тригонометрическими полиномами порядка не выше n в пространстве Lp.

В. Рогозинский [1] ввёл в рассмотрение средние

Rn(αn, f, x) = 1

2 (Sn(f, x + αn) + Sn(f, x − αn)) ,

где αn — некоторые числа, и показал, что при некоторых ограничениях на
эти числа для любой f ∈ C

lim
n→∞ ∥f − Rn(αn, f)∥ = 0.

С. Н. Бернштейн[2, с. 523–525] построил близкие по идее к суммам
Рогозинского полиномы

Bn(f, x) = 1

2

Sn(f, x) + Sn

f, x +
2π

2n + 1

,

которые также при n → ∞ для функции f ∈ C равномерно сходятся к f.

Введённые выше агрегаты приближения, а также их многочисленные
модификации изучались многими авторами в различных направлениях.
Не претендуя на полноту, укажем ряд работ, имеющих отношение к
обсуждаемому вопросу. Статья [3] имеет обзорный характер, в ней имеется
список работ, вышедших до 1951 г., посвящённых методу суммирования
Бернштейна–Рогозинского. В книге [4, с. 330–332] даны указания на ряд
работ, относящихся к обсуждаемой теме. См. также [5, с. 269–272], [6–13].

1.2. Постановка задачи. При 1 ⩽ p ⩽ ∞ для оператора U : Lp → H
полагаем

∥U∥p = sup
f∈Lp

∥U(f)∥p

∥f∥p
.

Пусть

Rn(f, x) = 1

2

Sn

f, x +
π

2(n + 1)

+ Sn

f, x −
π

2(n + 1)

.

В [12] указан способ, позволяющий вычислять ∥Rn∥ для каждого n ∈ Z+ с
любой степенью точности. Ранее В. К. Дзядык [14, с. 123] показал, что

∥Rn∥ = 2

π

π
0

sin t

t
dt − rn,

где 0 < rn <
5

12(n+1)2 .

М. В. Бабушкин, В. В. Жук

В [15] был рассмотрен метод приближения

Un(r, α; f) =

n
k=0

1 −

sin
αk

n+1
sin α

rAk(f),

который может быть записан в виде

Un(r, α; f) =

=

Sn(f) + (−1)
r
2 +1

(2 sin α)r δr
2α
n+1 (Sn(f)) ,
если
r
2 ∈ Z+,

Sn(f) + (−1)
r+1

2

(2 sin α)r δr
2α
n+1

˜Sn(f)
,
если
r−1

2
∈ Z+.

(1)

В настоящей работе величина

A(r, α) = sup
n∈Z+
∥Un(r, α)∥

изучается как функция параметров r и α.

Ранее
аналогичная
задача
была
рассмотрена
в
[16]
для
величин
sup
n∈Z+
∥Xn,r∥
и
sup
n∈Z+
∥Rn,r∥,
где
Xn,r
и
Rn,r
соответственно
суммы

Ахиезера-Крейна-Фавара и средние Рисса порядка r.

2. Вспомогательные результаты

2.1. Известные
результаты.
Нам
понадобятся
следующие
результаты.

Теорема 1 (см., например, [17, с. 168]). Пусть φ ∈ C([0, 1]), φ(0) = 1,

φ(1) = 0, Un(f) =
nk=0
φ
k

n+1
Ak(f). Тогда

sup
n∈Z+
∥Un∥ = 2

π

∞
0

1
0
φ(t) cos(xt) dt

dx.

Теорема 2 (см. [18, с. 114]). Пусть n ∈ N, r ∈ Z+, 1 ⩽ p ⩽ ∞, h ∈
0, 2π

n
,
T ∈ Hn. Тогда
T (r)p ⩽
n

2 sin nh

2

r
∥δr
h(T)∥p .

Теорема 3 [16, с. 46]. Пусть r ∈ N. Тогда

sup
n∈Z+
∥Rn,r∥ ⩽ 4

π2 ln
r + 1

2

+ 1,59.

О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского
9

Лемма 1. Пусть φ ∈ C(2) ([0, 1]), φ(0) = 1, φ(1) = 0, φ′(t) ⩽ 0 на [0, 1],
φ′(0) = 0. Тогда

∞
0

1
0
φ(t) cos(xt) dt

dx ⩽

⩽ Si (π) + 2

π (1 − ln 2) + 2

π ln

1 +

|φ′(1)| +

1
0
|φ′′(t)| dt

.

Лемма 1 — частный случай леммы 2 из работы [16, с. 39].

Лемма 2 [16, с. 41]. Пусть φ ∈ C([0, 1]), δ ⩾
10
|φ(t) − 1| dt > 0. Тогда

∞
0

1
0
φ(t) cos(xt) dt

dx ⩾ − 2

π ln δ + 0,159 − πδ

2 .

2.2. Новые результаты. Установим ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 3. Пусть r > 1, 0 < α ⩽ π

2 , φ(t) = 1 −
sin αt

sin α
r. Тогда

|φ′(1)| +

1
0
|φ′′(t)| dt =

2α√r
(sin α)r

1 − 1

r

r−1

2
,
если cos2 α ⩽ 1

r,

2rα ctg α
,
если cos2 α ⩾ 1

r.

Доказательство. Производные функции φ имеют вид

φ′(t) = −
rα

(sin α)r (sin αt)r−1 cos αt,
(2)

φ′′(t) =
(rα)2

(sin α)r (sin αt)r−2
1

r − cos2 αt
.
(3)

Пусть cos2 α ⩽ 1

r . Отсюда следует, что уравнение cos2 αt = 1

r
имеет
единственное решение t0 на отрезке [0, 1]. Поэтому

|φ′(1)| +

1
0
|φ′′(t)| dt = −φ′(1) +

t0
0
(−φ′′(t)) dt +

1
t0

φ′′(t)dt =

= −φ′(1) + φ′(0) − φ′(t0) + φ′(1) − φ′(t0) = −2φ′(t0) =

=
2rα

(sin α)r (sin αt0)r−1 cos αt0 =
2α√r
(sin α)r

1 − 1

r

r−1

2
.

М. В. Бабушкин, В. В. Жук

Пусть теперь cos2 α ⩾ 1

r . В этом случае

|φ′(1)| +

1
0
|φ′′(t)| dt = −φ′(1) + φ′(0) − φ′(1) =

= −2φ′(1) =
2rα

(sin α)r (sin α)r−1 cos α = 2rα ctg α.

Следующая лемма, по существу, хорошо известна. Приведём её вместе с
доказательством.

Лемма 4. Пусть x > 0, Γ — гамма-функция Эйлера. Тогда

Γ
x + 1

2
Γ(x + 1) ⩽
1
√x .

Доказательство. Пусть f(x) =

√xΓ(x+ 1

2 )

Γ(x+1)
. Производная функции f
имеет вид

f′(x) =
Γ
x + 1

2
2√xΓ(x + 1) +

+
√x
Γ′ x + 1

2
Γ(x + 1) − Γ
x + 1

2
Γ′(x + 1)
Γ(x + 1)2
=

=
Γ
x + 1

2
2√xΓ(x + 1) +
√xΓ
x + 1

2
Γ(x + 1)

Γ′ x + 1

2
Γ(x + 1

2 ) − Γ′ (x + 1)

Γ(x + 1)

=

=
Γ
x + 1

2
2√xΓ(x + 1)

1 + 2x
ψ
x + 1

2

− ψ(x + 1)
,

где
ψ(x) =
Γ′(x)
Γ(x)
—
дигамма-функция.
Применяя
формулу
конечных
приращений, находим

f′(x) =
Γ
x + 1

2
2√x Γ(x + 1) (1 − xψ′(ξ)) ,
(4)

где x + 1

2 < ξ < x + 1.

Для производной дигамма-функции справедливо разложение в ряд (см.

[19, с. 59, формула (9)])

ψ′(ξ) =

∞
k=0

1

(ξ + k)2 .

О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского
11

Предполагая, что k ∈ N, имеем

k+1/2
k−1/2

dt

(ξ + t)2 =
1

ξ + k − 1

2
−
1

ξ + k + 1

2
=

=
1

(ξ + k − 1

2 )(ξ + k + 1

2 ) ⩾
1

(ξ + k)2 .

Следовательно,

ψ′(ξ) ⩽ 1

ξ2 +

∞
1/2

dt

(ξ + t)2 = 1

ξ2 +
1

ξ + 1

2
<
4

(2x + 1)2 +
1

x + 1 .

Таким образом,

xψ′(ξ) <
4x

(2x + 1)2 +
x

x + 1 =
4x3 + 8x2 + 5x

4x3 + 8x2 + 5x + 1 < 1.

Отсюда и из формулы (4) следует, что функция f(x) возрастает, а
значит f(x) ⩽
lim
t→+∞ f(t). Осталось показать, что lim
t→∞ f(t) = 1. Для этого

воспользуемся формулой Стирлинга (см. [19, с. 62, формула (2)]). Имеем

f(x) =
√x
√

2π ex ln(x+1/2)e−x−1/2 1 + O
1

x
√

2π e(x+1/2) ln(x+1)e−x−1 1 + O
1

x
=

=
√x e1/2 1 + O
1

x
√x + 1 ex ln(x+1)−x ln(x+1/2) =
x

x + 1
e1/2 1 + O
1

x
1 +
1

2x+1
x
−−−−→
x→+∞ 1,

что и требовалось.

Лемма 5. Пусть r > −1, 0 < α < π

2 . Тогда

1
0
(sin αt)r dt ⩽
1 +
1
−2 ln (sin α)

(sin α)r+1

α(r + 1) .

Доказательство. Разложение функции (1 − x2)− 1

2
в ряд Тейлора
вблизи нуля имеет вид

1
√

1 − x2 = 1 +

∞
k=1

− 1

2

− 1

2 − 1
· . . . ·
− 1

2 − (k − 1)
(−x2)k

k!
=

= 1 +

∞
k=1

(−1)kΓ
k + 1

2
Γ
1

2
(−1)kx2k

k!
=
1
√π

∞
k=0

Γ
k + 1

2
Γ (k + 1) x2k.

М. В. Бабушкин, В. В. Жук

Производя замену переменной x = sin αt, находим

1
0
(sin αt)r dt = 1

α

sin α
0

xr

√

1 − x2 dx =

=
1

α√π

sin α
0
xr
∞
k=0

Γ
k + 1

2
Γ (k + 1) x2k dx =

=
1

α√π

∞
k=0

Γ
k + 1

2
Γ (k + 1)

sin α
0
x2k+r dx =

=
1

α√π

∞
k=0

Γ
k + 1

2
Γ (k + 1)
(sin α)2k+r+1

2k + r + 1 .

Принимая во внимание лемму 4, получаем

1
0
(sin αt)r dt ⩽ (sin α)r+1

α√π

√π

r + 1 +

∞
k=1

(sin α)2k

√

k(2k + r + 1)

⩽

⩽ (sin α)r+1

α√π

√π
r + 1 +

∞
0

(sin α)2t

√

t(2t + r + 1) dt

.
(5)

Полагая a =
−2 ln(sin α) и производя замену переменной t = x2, находим

∞
0

(sin α)2t

√

t(2t + r + 1) dt =

∞
0

e−a2t

√

t(2t + r + 1) dt =

=

∞
0

e−a2x22x

2x
x2 + r+1

2
dx ⩽
2

r + 1

∞
0
e−a2x2dx =

=
2

r + 1

√π
2a =
√π

(r + 1)
−2 ln(sin α)
.

Сопоставляя полученное неравенство с (5), получаем требуемое.

Лемма 6. Пусть r > 0, 0 < α ⩽ π

2 . Тогда

1
0
(sin αt)r dt ⩽ (sin α)r
2
πr .