Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2013, № 2 (1)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 2

Часть 1

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2013

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Часть 1. — Тула: Изд-во
ТулГУ, 2013. — 356 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, Л.А. Васин, В.И. Иванов,
В.С. Карпов, Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
С.В.
Анциферов,
И.М. Буркин, Н.М. Добровольский, Д.М. Левин, А.А. Маркин — зам.
отв. редактора, Е.Н. Музафаров, Л.А. Толоконников, А.В. Иванов —
отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2013
c⃝ Издательство ТулГУ, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Логачева Е. С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении
бесконечных циклических групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Нигмедзянова А. М. Решение основных краевых задач одного многомерного
вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным
параметром методом потенциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления
криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и
кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

МЕХАНИКА

Артюх Е. В. Математическое моделирование задачи об образовании кругового
концентратора напряжений в нагруженном теле с использованием средств
компьютерной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Боницкая О. В.,
Зотова С. В.
Математическая
модель
осесимметричного
установившегося течения ньютоновской жидкости в коническом канале . . .
67

Кийко С. И.
Моделирование
процесса
колебаний
упругой
пластины
в
сверхзвуковом потоке газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Нетребко А. В., Пшеничнов С. Г. Проявление вязкоупругих свойств материала
в нестационарных задачах динамики цилиндрических оболочек. . . . . . . . . . . .
80

Перельмутер М. Н. Трещина с взаимодействием берегов: нелинейные кривые
деформирования связей и сходимость численного решения. . . . . . . . . . . . . . . . .
96

Соколова М. Ю.,
Чиков В. С.
Описание
конечных
деформаций
сплошных
цилиндров при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

ИНФОРМАТИКА

Абрамов В. И., Середин О. С., Моттль В. В. Обучение распознаванию образов
в евклидовых метрических пространствах по методу опорных объектов . . . 119

Грязев М. В., Кузнецова О. А. Возможность использования ЛПτ-поиска при
решении задач оптимального управления динамическим объектом. . . . . . . . . 137

Грязев М. В., Кузнецова О. А. ЛПτ-поиск при решении задач оптимального
управления динамическим объектом с упругими связями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Никитин Д. А. Рекурсивные цифровые фильтры с импульсной характеристикой,
описываемой синусоидальной функцией, и свойства их коэффициентов. . . . 161

Титов А. В. Оптимизация алгоритма построения алгебраических сеток с
помощью символьных вычислений на примере биквадратичного поля
Дирихле Q(
√

2 +
√

3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Содержание

ФИЗИКА

Данг Нгок Тоан , Левин Д. М., Козленко Д. П., Кичанов С. Е., Лукин Е. В.,
Савенко Б. Н. Структурные и магнитные фазовые переходы при высоких
давлениях в манганитах Pr1−xSrxMnO3 (x = 0.85, 0.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Левин Д. М., Булавин М. В., Куликов С. А. Изучение остаточных напряжений
и
текстуры
в
стенках
стальных
труб
методом
нейтронной
стрессдифрактометрии.
I.
Пространственное
распределение
остаточных
напряжений и микроискажений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Левин Д. М., Булавин М. В., Куликов С. А. Изучение остаточных напряжений
и
текстуры
в
стенках
стальных
труб
методом
нейтронной
стрессдифрактометрии. II. Текстурный анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

То Тхань Лоан , Балагуров А. М., Левин Д. М., Бобриков И. А., Краус М. Л.,
Ву Ван Хай , Нгуен Хю Шинь Структура и свойства сложного магнитного
оксида La2/3Pb1/3Mn1−xCoxO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

ХИМИЯ

Асулян Л. Д., Алферов В. А., Долгая Д. В., Горячева А. А., Прокопенко Д. В.
Свойства поливинилового спирта, модифицированного N-винилпирролидоном,
растворов, пленок и биорецепторных элементов на его основе. . . . . . . . . . . . . . 231

Ветрова А. А., Иванова А. А., Филонов А. Е., Забелин В. А., Гафаров А. Б.,
Соколов С. Л., Нечаева И. А., Пунтус И. Ф., Боронин А. М. Биодеструкция
нефти
отдельными
штаммами
и
принципы
составления
микробных
консорциумов для очистки окружающей среды от углеводородов нефти. . . 241

Ветрова А. А., Иванова А. А., Филонов А. Е., Забелин В. А., Нечаева И. А.,
Ле
Тхи
Бич
Нгует ,
Боронин А. М.
Сравнительная
эффективность
деградации
нефтепродуктов
консорциумом
плазмидосодержащих
штаммов-деструкторов и биопрепаратами «МикроБак», «Биоойл». . . . . . . . . 258

Рогова Т. В., Сюндюкова К. В., Переломов Л. В., Камаева О. А., Шишкова А. Ю.,
Блохин И. В. Физико-химические характеристики и сорбционные свойства
гуминовых веществ бурых углей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Румянцева Е. Л.
Формирование
конденсационно-кристаллизационной
структуры синтетического гипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Юдина Н. Ю., Зайцева А. С., Козлова Т. Н., Арляпов В. А. БПК-биосенсор на
основе дрожжей Debaryamyces hansenii и медиатора нейтральный красный 289

БИОЛОГИЯ

Переломов Л. В.,
Лагунова Н. Л.,
Переломова И. В.,
Сюндюкова К. В.,
Шлотер М. Изучение особенностей адсорбции микроорганизмов из серой
лесной почвы на магнетите методом полиморфизма длин терминальных
рестрикционных фрагментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Швец О. В., Воронецкий В. И., Двуреченская С. О. Авифауна
лесополос
и
некоторые особенности распределения птиц в центральном регионе России
у границ лесной и лесостепной зон. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Содержание
5

ЭКОЛОГИЯ

Фан Чунг Канг
Сравнительный анализ чувствительности интегрального
показателя качества воды WQI для моделей Дельфи и Бхаргава . . . . . . . . . . 319

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Воронина И. Ю. Напряженное состояние колец, подкрепляющих конечное
число некруговых отверстий в весомой полуплоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Саммаль А. С., Левищева О. М., Саммаль Т. Г. Аналитический метод оценки
напряженного состояния и несущей способности трехслойных обделок
коллекторных тоннелей, создаваемых в результате восстановительного
ремонта с использованием технологии «труба в трубе». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 351

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 6–18

Математика

УДК 511.3

О гиперболическом параметре сетки ∗

Н. Н. Добровольский

Аннотация.
Выводятся
оценки
для
гиперболической
дзета-функции сеток через гиперболические параметры сеток.
Ключевые слова: сетка, квадратурная формула, гиперболическая
дзета-функция сетки, гиперболический параметр.

Введение

Рассмотрим класс As всех периодических функций f(⃗x) s-переменных с
периодом 1 по каждой переменной, у которых их ряд Фурье

f(⃗x) =
⃗m∈Zs
C(⃗m)e2πi(⃗m,⃗x),
C(⃗m) =

1
0
. . .

1
0
f(⃗x)e−2πi(⃗m,⃗x)d⃗x

абсолютно сходится. Пространство As относительно нормы

∥f(⃗x)∥l1 =
⃗m∈Zs
|C(⃗m)| < ∞

является
сепарабельным
банаховым
пространством,
изоморфным
пространству
l1
—
всех
абсолютно
суммируемых
комплекснозначных
последовательностей (см. [7]).

Рассмотрим квадратурную формулу с весами

1
0
. . .

1
0
f(x1, . . . , xs)dx1. . . dxs = 1

N

N
k=1
ρkf[ξ1(k), . . . , ξs(k)] − RN[f].
(1)

Здесь через RN[f] обозначена погрешность, получающаяся при замене
интеграла
1
0
. . .

1
0
f(x1, . . . , xs)dx1. . . dxs

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571-a).

О гиперболическом параметре сетки
7

средним взвешенным значением функции f(x1, . . . , xs), вычисленным в
точках
Mk = (ξ1(k), . . . , ξs(k))
(k = 1. . . N).

Совокупность M
точек Mk
называется сеткой M, а сами точки —
узлами квадратурной формулы. Величины ρk = ρ(Mk) называются весами
квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все
веса вещественнозначные.

Для
произвольных
целых
m1,. . ., ms
суммы
SM,⃗ρ(m1,. . ., ms),
определённые равенством

SM,⃗ρ(m1,. . ., ms) =

N
k=1
ρke2πi[m1ξ1(k)+. . . +msξs(k)],
(2)

называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем
также
рассматривать нормированные тригонометрические
суммы сетки с весами

S∗
M,⃗ρ(m1,. . ., ms) = 1

N SM,⃗ρ(m1,. . ., ms).

Положим ρ(M) =
Nj=1
|ρj|, тогда для всех нормированных тригонометрических

сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

|S∗
M,⃗ρ(⃗m)| ⩽ ρ(M)

N
.
(3)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая
сумма сетки, нормированная тригонометрическая сумма сетки и писать
SM(⃗m), S∗
M(⃗m).

Справедлива следующая обобщенная теорема Коробова о погрешности
квадратурных формул (см. [3]). ∗

Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции f(⃗x) сходится абсолютно,
C(⃗m) — ее коэффициенты Фурье и SM,⃗ρ(⃗m) — тригонометрические суммы
сетки с весами, тогда справедливо равенство

RN[f] = C(⃗0)
1

N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
+ 1

N

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞
C(⃗m)SM,⃗ρ(⃗m) =

= C(⃗0)
S∗
M,⃗ρ(⃗0) − 1
+

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞
C(⃗m)S∗
M,⃗ρ(⃗m)
(4)

и при N → ∞ погрешность RN[f] будет стремиться к нулю тогда и
только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно
распределены в единичном s-мерном кубе.

∗ Здесь и далее ′ означает суммирование по системам (m1, . . . , ms) ̸= (0, . . . , 0).

Н. Н. Добровольский

Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических
функций Eα
s (C) (α > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье.
Через Eα
s (C) обозначается множество функций из Eα
s
с нормой, не
превосходящей C, то есть шар в банаховом пространстве Eα
s радиуса C с
центром в нуле.

Банахово пространство Eα
s состоит из функций f(x1, . . . , xs), имеющих
по каждой из переменных x1, . . . , xs период, равный единице, и для которых
их ряды Фурье

f(x1, . . . , xs) =

∞
m1,. . . ,ms=−∞
C(m1, . . . , ms)e2πi(m1x1+. . . +msxs)
(5)

удовлетворяют условиям ∗

sup
⃗m∈Zs |C(m1, . . . , ms)|(m1. . . ms)α = ∥f(⃗x)∥Eα
s < ∞.
(6)

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как

∥f(⃗x)∥l1 ⩽ ∥f(⃗x)∥Eα
s (1 + 2ζ(α))s,

а поэтому для любого α > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь
и далее, как обычно, ζ(α) — дзета-функция Римана.

Относительно нормы ∥f(⃗x)∥Eα
s пространство Eα
s является несепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству l∞ — всех
ограниченных комплекснозначных последовательностей (см. [7]).

Для дальнейшего мы будем рассматривать класс Es = α>1
Eα
s . Очевидно,

что Es ⊂ As. Ясно, что класс Es незамкнут в пространстве As относительно
нормы ∥f(⃗x)∥l1, но является всюду плотным множеством.

Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется
величина
q(⃗x) = x1 · . . . · xs.
Усеченной норменной поверхностью с
параметром t ⩾ 1 называется множество
Ns(t) = {⃗x|q(⃗x) = t, ⃗x ̸= ⃗0},
которое
является
границей
гиперболического
креста
Ks(t),
заданного
соотношениями Ks(t) = {⃗x|q(⃗x) ⩽ t}.
Для натурального t на усеченной
норменной поверхности имеется τ ∗
s (t) целых ненулевых точек, где

τ ∗
s (t) =
′

⃗m∈N(t)
1
(7)

— число представлений натурального числа t в виде t = m1 · . . . · ms.

∗ Здесь и далее для вещественных m полагаем m = max(1, |m|). Таким образом,
величину m можно назвать усеченной нормой числа m, что согласуется с понятием
усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.

О гиперболическом параметре сетки
9

Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для
нормы функции ||f(⃗x)||Eα
s . Справедливо равенство

||f(⃗x)||Eα
s = max
|C(⃗0)|,
sup
t∈N

tα · max
⃗m∈N(t) |C(⃗m)|
.

Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f(⃗x) из

Eα
s (C) по модулю ограничена величиной C · (1 + 2ζ(α))s, при этом данная
оценка достижима на функции

f(⃗x) =

∞
⃗m=−∞

C · e2πi(⃗m,⃗x)

(m1 · . . . · ms)α

в точке ⃗x = ⃗0.

Очевидно, что Eα
s (C) ⊂ Eβ
s (C) при α ⩾ β. Для любой периодической
функции f(⃗x) ∈ Eα
s (C) ⊂ Eβ
s (C) справедливо неравенство для норм

||f(⃗x)||Eα
s ⩾ ||f(⃗x)||Eβ
s .

Равенство
достигается
только
для
конечных
тригонометрических
многочленов вида

f(⃗x) = C(⃗0) +
⃗m∈N(1)
C(⃗m) e2πi(⃗m,⃗x).

В работе [3] дано следующее определение дзета-функцией сетки M с
весами ⃗ρ и параметром p ⩾ 1.

Определение 1. Дзета-функцией сетки M с весами ⃗ρ и параметром
p ⩾ 1 называется функция ζ(α, p|M, ⃗ρ), заданная в правой полуплоскости
α = σ + it (σ > 1) рядом Дирихле

ζ(α, p|M, ⃗ρ) =

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞

|S∗
M,⃗ρ(⃗m)|p

(m1. . . ms)α =

∞
n=1

S∗(p, M, ⃗ρ, n)

nα
,
(8)

где
S∗(p, M, ⃗ρ, n) =
⃗m∈N(n)
|S∗
M,⃗ρ(⃗m)|p.
(9)

Непосредственно из определения следует неравенство

ζ(pα, p|M, ⃗ρ) ⩽ ζp(α, 1|M, ⃗ρ)
(α > 1).
(10)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки M
с параметром p и писать ζ(α, p|M) .

Н. Н. Добровольский

Теорема
2.
Если
f(x1, . . . , xs) ∈ Eα
s (C),
то
для
погрешности
квадратурной формулы справедлива оценка

|RN[f]| ⩽ C
1
N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
+ C

N

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞

|SM,⃗ρ(⃗m)|
(m1. . . ms)α =

= C
S∗
M,⃗ρ(⃗0) − 1
+ C · ζ(α, 1|M, ⃗ρ),
(11)

где сумма SM,⃗ρ(⃗m) определена равенством (2). На классе Eα
s (C) эту оценку
нельзя улучшить.

Другими словами теорему 2 можно сформулировать так:
Для
нормы
∥RN[f]∥Eα
s
линейного
функционала
погрешности
приближенного интегрирования по квадратурной формуле (1) справедливо
равенство

∥RN[f]∥Eα
s =
1
N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
+ 1

N

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞

|SM,⃗ρ(⃗m)|
(m1. . . ms)α =

=
S∗
M,⃗ρ(⃗0) − 1
+ ζ(α, 1|M, ⃗ρ).
(12)

Если рассмотреть класс Eα,q
s
с нормой

∥f(⃗x)∥Eα,q
s
=

|C(⃗0)|q +

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞
|C(⃗m)|q(m1. . . ms)

qα
p
1

q
< ∞,

то справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если f(⃗x) ∈ Eα,q
s
и
1
p + 1

q = 1, то для погрешности
квадратурной формулы справедлива оценка

|RN[f]| ⩽

⩽ ∥f(⃗x)∥Eα,q
s

1
N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
p
+
1
Np

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞

|SM,⃗ρ(⃗m)|p

(m1. . . ms)α

1

p
=

= ∥f(⃗x)∥Eα,q
s
S∗
M,⃗ρ(⃗0) − 1
p + ζ(α, p|M, ⃗ρ)
1

p ,
(13)

где сумма SM,⃗ρ(⃗m) определена равенством (2). На классе Eα,q
s
эту оценку
нельзя улучшить.

Доказательство. Действительно, по теореме 1

RN[f] = C(⃗0)
1

N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
+ 1

N

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞
C(⃗m)SM,⃗ρ(⃗m) =

= C(⃗0)
1

N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
+ 1

N

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞
C(⃗m)(m1. . . ms)
α
p
SM,⃗ρ(⃗m)

(m1. . . ms)
α
p .

О гиперболическом параметре сетки
11

Применим к правой части неравенство Гёльдера, получим

|RN[f]| ⩽

|C(⃗0)|q +

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞
|C(⃗m)|q(m1. . . ms)

qα
p
1

q
·

·

1
N SM,⃗ρ(⃗0) − 1
p
+ 1

Np

∞
′

m1,. . . ,ms=−∞

|SM,⃗ρ(⃗m)|p

(m1. . . ms)α

1

p
=

= ∥f(⃗x)∥Eα,q
s
S∗
M,⃗ρ(⃗0) − 1
p + ζ(α, p|M, ⃗ρ)
1

p .

Так как неравенство Гёльдера обращается в равенство при

C(⃗0) =

0,
при S∗
M,⃗ρ(⃗0) = 1;

|S∗
M,⃗ρ(⃗0)−1|
p

S∗
M,⃗ρ(⃗0)−1 ,
при S∗
M,⃗ρ(⃗0) ̸= 1;

и

C(⃗m) =

0,
при S∗
M,⃗ρ(⃗m) = 0;

|S∗
M,⃗ρ(⃗m)|
p

S∗
M,⃗ρ(⃗m)(m1. . . ms)α ,
при S∗
M,⃗ρ(⃗m) ̸= 0;
⃗m ̸= ⃗0,

то теорема полностью доказана.

Из теорем 2 и 3 следует, что на классах Eα
s и Eα,q
s
оценка погрешности
приближенного
интегрирования
сводится
к
оценке
гиперболической
дзета-функции сеток. Проводя аналогию с гиперболической дзета-функцией
решетки, которая равна гиперболической дзета-функции сеток в случае
параллелепипедальной
сетки,
можно
высказать
гипотезу,
что
для
гиперболической дзета-функции сеток должен быть справедлив аналог
теоремы Бахвалова об оценке гиперболической дзета-функцией решетки
через гиперболический параметр решетки.

Цель данной работы — ввести понятие гиперболических параметров
решетки и доказать аналог теоремы Бахвалова для гиперболической дзетафункции сеток.

1. Первый и второй гиперболические параметры сеток

В работе [9] было дано такое определение.
«Гиперболическим параметром сетки M с весами ρ(⃗x) назовем величину

q (M, ρ(⃗x)) =
min
⃗m∈Zs\{⃗0},|S(⃗m)|>0

m1. . . ms . »

В этой статье использовались несколько иные обозначения. Так

S(⃗m) =
1

|M|

⃗x∈M
ρ(⃗x)e2πi(⃗m,⃗x)

Н. Н. Добровольский

— тригонометрическая сумма сетки M с весами ρ(⃗x);

ζH(M, ρ(⃗x)|α) =
′

⃗m∈Zs

|S(⃗m)|

(m1. . . ms)α

— гиперболическая дзета-функции сетки M с весами ρ(⃗x).

Первое
применение
гиперболического
параметра
сетки
вытекает
из
теоремы
Абеля
(см.
[17],
стр.
106),
позволяющее
представить
гиперболическую дзету-функцию сетки M с весами ρ(⃗x) в интегральном
виде

ζH(M, ρ(⃗x)|α) = α

∞
q(M,ρ(⃗x))

D(t|M, ρ(⃗x))dt

tα+1
,

где
D(t|M, ρ(⃗x)) =
′

⃗m∈Zs, m1. . . ms⩽t
|S(⃗m)|

— сумматорная функция тригонометрической суммы.

В
работе
[3]
для
любой
сетки
M
с
весами
⃗ρ
на
пространстве
периодических
функций
Eα
s
рассмотрен
линейный
оператор
AM,⃗ρ
взвешенных сеточных средних заданный равенством

g(⃗x) = AM,⃗ρf(⃗x) = 1

N

N
k=1
ρkf[x1 + ξ1(k), . . . , xs + ξs(k)].
(14)

Через AM,⃗ρC(⃗m) обозначается действие линейного оператора AM,⃗ρ на
коэффициенты Фурье функции f(⃗x).

Лемма 1. Для любой периодической функции f(⃗x) из пространства Eα
s
и её коэффициентов Фурье C(⃗m) разложения в ряд Фурье

f(⃗x) =

∞
m1,. . . ,ms=−∞
C(⃗m)e2πi(⃗m,⃗x)
(15)

справедливо равенство

AM,⃗ρC(⃗m) = SM,⃗ρ(⃗m)

N
C(⃗m) = S∗
M,⃗ρ(⃗m)C(⃗m),
(16)

где SM,⃗ρ(⃗m) — тригонометрическая сумма сетки с весами, а S∗
M,⃗ρ(⃗m) —
нормированная тригонометрическая сумма сетки с весами.

Кроме того, справедлива тривиальная оценка для нормы образа

∥AM,⃗ρf(⃗x)∥Eα
s ⩽ ρ(M)

N
∥f(⃗x)∥Eα
s .
(17)

Доказательство. См. [3], стр. 194.

О гиперболическом параметре сетки
13

С точки зрения величины нормированной тригонометрической суммы
сетки с весами естественно определить следующие пять подмножеств
фундаментальной решётки Zs:

K0 = K0(M, ⃗ρ)
=
{⃗m ∈ Zs | S∗
M,⃗ρ(⃗m) = 0},
(18)

K1 = K1(M, ⃗ρ)
=
{⃗m ∈ Zs | S∗
M,⃗ρ(⃗m) = 1},
(19)

K2 = K2(M, ⃗ρ)
=
{⃗m ∈ Zs | S∗
M,⃗ρ(⃗m) ̸= 1, |SM,⃗ρ(⃗m)| = 1},
(20)

K3 = K3(M, ⃗ρ)
=
{⃗m ∈ Zs | 0 < |S∗
M,⃗ρ(⃗m)| < 1},
(21)

K4 = K4(M, ⃗ρ)
=
{⃗m ∈ Zs | |S∗
M,⃗ρ(⃗m)| > 1}.
(22)

Ясно, что Zs = K0
K1
K2
K3
K4. Такое разбиение называется
разбиением Коробова. Оно фактически возникало в его работах, когда он
проводил оценки погрешности приближенного интегрирования.

В работе [3] было дано определение нормального и несмещенного
линейного оператора AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних (см. [3], стр. 195 и
199). Нормальный оператор не увеличивает норму любой функции, то есть
K4 = ∅, а для несмещенного оператора имеем: S∗
M,⃗ρ(⃗0) = 1.

Далее везде будем считать, что веса ⃗ρ выбраны так, что соответствующий
линейный
оператор
AM,⃗ρ
взвешенных
сеточных
средних
является
нормальным
и
несмещенным.
Для
таких
операторов
выражение
гиперболической дзета-функции сетки имеет более простой вид

ζ(α, p|M, ⃗ρ) =
′

⃗m∈K1
K2

1

(m1. . . ms)α +
⃗m∈K3

|S∗
M,⃗ρ(⃗m)|p

(m1. . . ms)α .
(23)

Определение 2. Для произвольного подмножества K фундаментальной
решётки Zs гиперболическим параметром q(K) называется величина

q(K) = min
⃗m∈K m1. . . ms.
(24)

Для пустого множества K полагается q(K) = ∞.

Используя это общее определение, в случае нормального, несмещенного
линейного оператора AM,⃗ρ взвешенных сеточных средних можно определить
первый, второй и третий гиперболические параметры сетки M c весами ⃗ρ.

Определение 3. Для произвольной сетки M с весами ⃗ρ такими,
что
соответствующий
линейный
оператор
AM,⃗ρ
взвешенных
сеточных
средних является нормальным и несмещенным, первый, второй и третий
гиперболические параметры сетки M c весами ⃗ρ задаются равенствами

qν (M, ρ(⃗x)) = q(Kν (M, ρ(⃗x)))
(ν = 1, 2, 3).
(25)

Ясно, что гиперболический параметр сетки и первый, второй и третий
гиперболические параметры сетки M c весами ⃗ρ связаны соотношением

q (M, ρ(⃗x)) = min
ν=1,2,3 qν (M, ρ(⃗x)) .