Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2016, № 2

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2016 

УДК 621.86/87                                                                             ISSN 2071-6168 
 
 
Известия Тульского государственного университета. Технические науки.  
Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. 348 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы информатики, вычислительной техники и обработки информации. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, А.Ю. ГОЛОВИН, В.Н. ЕГОРОВ, 
В.И. ИВАНОВ, Н.М. КАЧУРИН, В.М. ПЕТРОВИЧЕВ  
 
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), С.Н. Ларин (зам. отв. редактора), 
Б.С. 
Яковлев 
(отв. 
секретарь), 
И.Л. 
Волчкевич, 
Р.А. 
Ковалев,  
М.Г. Кристаль, А.Д. Маляренко (Республика Беларусь), А.А. Сычугов,  
Б.С. Баласанян (Республика Армения), А.Н. Чуков  
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 

 

Сборник 
зарегистрирован 
в 
Федеральной 
службе по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).  
ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г.  
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих 
научных 
журналов 
и 
изданий, 
выпускаемых 
в 
Российской Федерации, в которых должны быть 
опубликованы научные результаты диссертаций на 
соискание учёной степени доктора наук 
 
 
 
 
 
© Авторы научных статей, 2016 
© Издательство ТулГУ, 2016 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 2 
 

 
8

Чтобы формируемый отклик 
( , )
t ω
J
 в выражении (10) был состоятельной оценкой МФО 
( , )
τ
∑
Ω
G
, т.е. чтобы 

11
12

21
22

ˆ
ˆ
ˆ
( ,
)
( , )
( , )
ˆ
ˆ
g
g
t
g
g
ω
τ
τ

∑
∑

∑
∑
∑
∑
Ω
Ω



=
=
⇒






J
G
G
&
&

&
&
,                          (11) 

необходимо наложить на векторный зондирующий сигнал 
0( , )
t ω
u
 (на сигналы 
1( ,
)
f t ω
&
, 
2( ,
)
f t ω
&
, которые определяют частотно-временную структуру 
его ортогональных по поляризации компонент) и векторную фильтрующую функцию ( , )
τ Ω
u
 (на опорные функции 
(
)
1
,
ф
u
τ Ω
&
, 
(
)
2
,
ф
u
τ Ω
&
 в выражении (9) некоторые требования, суть которых рассмотрена ниже. 
Требования к зондирующему векторному сигналу 
Если векторные функции 
0( , )
t ω
u
, 
( , )
τ Ω
u
 в (4)  выбраны так, что 
матрица 
( ,
)
t ω
X
 в (6) эрмитова и невырожденная, то есть  удовлетворяет 
соотношениям 

†
det{ ( ,
)}
0;
( ,
)
( ,
)
t
t
t
ω
ω
ω
≠
=
X
X
X
,                                (12) 
ее можно представить в мультипликативной форме (разложение Такаги) 
[3]: 

1
†
†

2

( ,
)
0
( ,
)
( ,
)
0
( ,
)

t
t
t
t

λ
ω
ω
ω
λ
ω


=
⋅
⋅
=
⋅
⋅




X
F
F
F
∆
F,                        (13) 

где F – унитарный оператор, определяющий группу поворотов векторов 
Джонса в пространстве Пуанкаре, 
1
2
( ,
),
( ,
)
t
t
λ
ω
λ
ω - собственные функции 
оператора 
( ,
)
t Ω
X
. 
Используя выражение (13) в (10) запишем [4] 
†

†

ˆ
( ,
)

( , )
( ,
)
( , )
( ,
)
( , )

ˆ
( ,
)
( , )
( ,
)
( , )
( ,
)
.

t
t
t

t
t

∑

∑
∑

∑
∑
∑

Ω

∗
∗

∗
∗

=
Ω
=
Ω
⋅
⋅
=

=
⋅
Ω ⋅
⋅
⋅
=
⋅
Ω
⋅
=
⋅
Ω ⋅

G

J
G
X
G
F
∆
F

F G
F F
∆
F
F G
∆
F
F G
F
%
%
%
14442444
3
τ

ω
τ
ω
τ
ω

τ
ω
τ
ω
τ
  (14) 

В силу диагонального вида оператора 
( ,
)
t ω
∆
 в (13) оператор 
( ,
)
t ω
J
 
является оценкой ˆ
( ,
)
τ
∑
Ω
G
 матричной функции отклика объекта 
( ,
)
τ
∑
Ω
G
, 
представленной в поляризационном базисе, параметры которого определяет оператор группы вращений  F. При этом точность такой оценки зависит 
от свойств оператора ( ,
)
t ω
∆
.  
Поскольку вид поляризационного базиса, в котором формируется 
оценка матричной функции 
( ,
)
τ
∑
Ω
G
, не имеет принципиального значения, 
для простоты будем считать, что в базисе представления векторов 
0( ,
)
t ω
u
, 

( ,
)
τ Ω
u
 матрица 
( ,
)
t ω
X
 имеет диагональный вид [2] 

1

2

( ,
)
0
( , )
( , )
0
( , )

t
t
t
t


=
=




X
∆
λ
ω
ω
ω
λ
ω
,                          (15) 

при этом формируемая оценка ( ,
)
t ω
J
 удовлетворяет соотношению 

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
9

ˆ
( , )
( , )
( ,
)
( ,
)
( , )
( , )
t
t
t
t
∑
∑
∑
=
Ω =
Ω ∗
⇒
J
u
u
G
∆
G
ω
ω
τ
τ
ω
ω .          (16) 
Очевидно, что точность формируемой оценки ( ,
)
t ω
J
 МФО 
( , )
τ
∑
Ω
G
 
определяется свойствами зондирующего векторного сигнала 
0( ,
)
t ω
u
 и видом векторной фильтрующей функции ( , )
τ Ω
u
, которые могут быть выбраны на этапе проектирования системы. Например, если оператор 
( ,
)
t ω
X
 
имеет вид 

1
0
( , )
(0;0)
0
1
t


=
⋅




X
ω
δ
,                                     (17) 

где 
(0;0)
δ
 – дельта-функция, заданная в точке 
0,
0
t
ω
=
= , то оператор 

( ,
)
t ω
J
 в (6) является точной оценкой МФО объекта, поскольку в этом случае имеет место равенство 
1
0
( , )
( , )
( ,
)
( ,
)
(0;0)
( , )
0
1

Фильтрующее свойство дельта функции

t
t
t
∑
∑
∑

−



=
Ω =
Ω ∗
⋅
≡




J
u
u
G
G
1444444424444444
3

ω
ω
τ
τ
δ
ω .     (18) 

В реальных системах в каналах приема отраженного сигнала всегда 
присутствует помеха. Для учета реальных условий перепишем выражение 
(4) в виде 

0
( , )
( ,
)
( , )
( , )
t
t
t
∑
∑
∗
=
Ω
+
u
G
u
n
ω
τ
ω
ω ,                            (19) 
где 
( ,
)
t ω
n
 – неполяризованная векторная помеха, ортогональные компоненты вектора которой заданы двумя случайными некоррелированными 
процессами 
1
2
( ,
),
( ,
)
n t
n t
ω
ω
&
&
, описывающими «белые» шумы равной мощности (тепловые шумы) в каналах приема.  

       
1

2

( , )
( , )
( , )

n t
t
n t



= 




n
&
&

ω
ω
ω
.                                          (20) 

Равенство мощности процессов выбрано из соображений здравого 
смысла: нет никаких оснований для приоритета одного из каналов приема 
ортогональных компонент отраженного сигнала. Именно поэтому каналы 
приема идентичны по коэффициенту шума и усилению. В силу сказанного 
векторная помеха ( , )
t ω
n
 неполяризована. 
Подставляя выражение (19) в (6), запишем [4, 5] 

0
( , )
( , )
( ,
)
{
( ,
)
( , )
( , )}
( ,
)

( ,
)
( , )
( , )
( ,
)
,
С
П

t
t
t
t

t
t

∑
∑

∑

∗

∗

=
Ω =
Ω
+
Ω =

=
Ω
+
Ω =
+

J
u
u
G
u
n
u

G
X
n
u
J
J

ω
ω
τ
τ
ω
ω
τ

τ
ω
ω
τ
    (21) 

где JС – полезная составляющая на выходе фильтра формирования оценки 
функции отклика объекта; JП – помеховая компонента.  
Из теории согласованного приема скалярных комплексных сигналов на фоне белого шума известно, что наилучшей фильтрующей функцией (по критерию отношения «сигнал-помеха») является функция, сопряженная функции, описывающей полезный сигнал. При приеме векторного 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 2 
 

 
10

сигнала 
( ,
)
t ω
∑
u
 на фоне неполяризованной «белой» помехи ( , )
t ω
n
 фильтрующая векторная функция 
( , )
τ Ω
u
 должна быть сопряжена с векторной 
функцией, описывающей излученный сигнал 
0( , )
t ω
u
. При этом обеспечивается наилучшее соотношение «сигнал-шум» для отклика от каждого из 
элементарных отражателей объекта. 
Исходя из сказанного, можно утверждать, что для оптимальной 
фильтрации отраженного сигнала на фоне «белого» неполяризованного 
векторного шума фильтрующая функция должна описываться выражением 

*
0
( , )
( , )
τ
τ
Ω
Ω
=
u
u
. При этом выражение (21) принимает вид 

     

*
*
0
0
0

*
0
0

( , )
( , )
( ,
)
{
( ,
)
( , )
( , )}
( ,
)

( ,
)
( , )
( , )
( ,
)
,
С
П

t
t
t
t

t
t

ω
ω
τ
τ
ω
ω
τ

τ
ω
ω
τ

∑
∑

∑

∗

∗

=
∗
Ω =
Ω
+
∗
Ω =

=
Ω
+
∗
Ω =
+

J
u
u
G
u
n
u

G
X
n
u
J
J
   (22) 

где оператор 
0( ,
)
t ω
X
 определяется только свойствами зондирующего сигнала. В раскрытой форме, с учетом выражения (1) и требования не вырожденности матрицы 
0( ,
)
t ω
X
 (см. формулы (12-14)), выражение (22) имеет 
вид 

0

*
11
12
11
12
0
21
22
21
22

( , )
( , )

11
12
11
12

21
22
21
22

( , )
( , )
( , )

( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )

C

С
С
П
П

С
П
С
С
П
П

t

J
J
J
J
t
t
J
J
J
J

g
g
x t
x t
g
g
x t
x
t

τ
ω

ω
ω
τ

τ
τ
ω
ω
τ
τ
ω
ω

∑
Ω

∑

Ω
Ω

Ω
Ω


 

=
∗
Ω =
+
=
+
=

 


 



 

=
∗

 


 


G
X

J

J
u
u
J
J

644474448 644474448

14444444424
3

1
1
1
2

2
1
2
2

( , )
( , );
( , )
( , ) ,
( , )
( , );
( , )
( , )

П

n t
u
n t
u
n t
u
n t
u
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
∗
Ω
∗
Ω


+

∗
Ω
∗
Ω



J
4444444
14444444244444443

 

(23)

 

где элементы 
С
ij
J , 
П
ij
J  полезной и помеховой составляющих отклика ( ,
)
t Ω
J
 
фильтра обработки 

11
11
11
12
21

12
11
12
12
22

21
21
11
22
21

22
21
12
22
22

( , )
( , )
( , )
( , )
( , );

( , )
( , )
( , )
( , )
( , );

( , )
( , )
( , )
( , )
( , );

( , )
( , )
( , )
( , )
( , );

С

С

С

С

J
t
g
x
t
g
x
t

J
t
g
x
t
g
x
t

J
t
g
x
t
g
x
t

J
t
g
x
t
g
x
t

ω
ω
ω

ω
ω
ω

ω
ω
ω

ω
ω
ω

τ
τ

τ
τ

τ
τ

τ
τ

Ω
Ω

Ω
Ω

Ω
Ω

Ω
Ω

=
∗
+
∗

=
∗
+
∗

=
∗
+
∗

=
∗
+
∗

                    (24) 

                  
11
1
1
12
1
2

21
2
1
22
2
2

( , )
( , )
( ,
);
( , )
( , )
( ,
);

( , )
( , )
( ,
);
( , )
( , )
( ,
).

П
П

П
П
J
t
n t
u
J
t
n t
u

J
t
n t
u
J
t
n t
u

=
∗
Ω
=
∗
Ω

=
∗
Ω
=
∗
Ω

ω
ω
ω
ω

ω
ω
ω
ω

τ
τ

τ
τ
                (25) 

Матрица 
0( ,
)
t ω
X
 в выражении (23) задана соотношением 

(
)

*
0
0
0

*
11
12
1
1
2
21
22
2

( , )
( , )
( , )

( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
,
( , )
( , )
( , )

t
t

x
t
x
t
f t
f t
f t
d d
x
t
x
t
f t

ω
ω
τ

ω
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω

Ω

⊗
Ω

=
∗
=





=
=








∫∫

X
u
u
&
&
&
&
          
(26)
 

и, следовательно, элементы 
( ,
)
ijx t ω  в (24) определяются выражениями