Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2009, № 1. Часть 2

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6168

НАВСТРЕЧУ ЮБИЛЕЮ

80 лет

ИЗВЕСТИЯ 
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Выпуск 1

Часть 2

Издательство ТулГУ

Тула 2009

УДК 087.2:621.002.5+658.562:621.9+681.51.011+624:69+655:681.62+
621.311:621.331+621.002.03+517.958.530:621.001.5

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. В 2 ч. Ч. 2. Тула : 
Изд-во ТулГУ, 2009. 156 с.

Рассматриваются научно-технические проблемы в области машиностроения и машиноведения, новых технологий и оборудования для обработки металлов давлением и резанием, управлением качества, вычислительной 
техники 
и 
информационных 
технологий, 
строительства 
и строительных материалов, вопросы полиграфии и защиты информации, 
электроэнергетики, электроснабжения и электропривода, материаловедения и математического моделирования технических систем.
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук.

Редакционный совет

М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, В.А. АЛФЕРОВ, И.А. БАТАНИНА, 
О.И. БОРИСКИН, 
В.И. ИВАНОВ, 
В.С. КАРПОВ, 
Р.А. КОВАЛЁВ, 
А.Н. ЧУКОВ, Е.А. ФЕДОРОВА, А.А. ХАДАРЦЕВ

Редакционная коллегия

О.И. Борискин (отв. редактор), В.С Карпов (зам. отв. редактора), 
Р.А. Ковалев Р.А.(зам. отв. редактора), А.Н. Чуков А.Н. (зам. отв. редактора), В.Б. Морозов (отв. секретарь), А.Е. Гвоздев, А.Н. Иноземцев, А.Б. Копылов, 
Е.А. Макарецкий, 
Е.П. Поляков, 
В.В. Прейс, 
П.Г. Сидоров,
В.М. Степанов, А.А.Трещёв, С.С. Яковлев, А.С. Ямников

Подписной индекс 27851
по Объединённому каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих 
научных журналов и изданий, выпускаемых
в Российской Федерации, в которых должны 
быть опубликованы научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора наук

© Авторы научных статей, 2009
© Издательство ТулГУ, 2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 534. 26
Л.А. Толоконников, д-р физ.-мат. наук, проф., (4872) 41-33-11, tolla@tula.net (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Г. Романов, асп., (4872) 21-21-27,
izomorry4@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОМ 
УПРУГОМ ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ 
С ЖЁСТКИМИ ГРАНИЦАМИ

Получено аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами.
Ключевые слова: звуковая волна, полый упругий цилиндр, идеальная жидкость, 
рассеяние звука.

Исследование распространения звуковых волн в волноводных системах, содержащих препятствия, представляет интерес для различных приложений. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом 
цилиндре в плоском слое жидкости исследована в работе [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в 
[2]. В работе [3] изучена дифракция звука на неоднородной анизотропной 
цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами. При этом в 
[2, 3] рассматривался случай симметричного расположения тела и симметричного распространения источников звука первичного поля возмущений 
относительно оси волновода. Кроме того, в этих работах для определения 
поля смещений в упругом цилиндре предлагается численное решение 
краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 
В работе [4] найдено аналитическое решение задачи рассеяния звуковых 
волн на неоднородной упругой цилиндрической оболочке произвольной 
толщины при ее произвольном расположении и произвольном расположении источников звука в плоском волноводе с мягкими границами. В на

стоящей работе методом, предложенным в [4], находится аналитическое 
решение задачи дифракции звуковых волн на неоднородном упругом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами.
Полагаем, что в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами находится радиально-неоднородный упругий полый цилиндр с 
внешним 1r и внутренним 2r радиусами. Волновод и полость цилиндра заполнены идеальными жидкостями, плотности и скорости звука которых 
равны 
1
1,c

и 
2
2,c

соответственно.
Система прямоугольных координат 
z
y
x
,
,
выбрана так, что ось 

xнаправлена по нижней стенке волновода, ось y перпендикулярна стенкам, ось z параллельна оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости 
0

y
, верхняя –
d
y 
, где d – ширина волновода. Положение оси цилиндра определяется уравнениями
.
,
,
0
0







z
Y
y
X
x
В волноводе вдоль оси x распространяется гармоническая звуковая 
волна давления 
ip с круговой частотой  , возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на 
расстоянии 
0
X
от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель 
t
i
e


будем опускать.
С цилиндрической оболочкой свяжем цилиндрическую систему координат 
z
r
,
,
с началом на оси цилиндра.
Определим давление полного акустического поля 
1
p в волноводе и 
акустическое давление 
2
p
в полости цилиндра, а также найдём поле смещений в упругом цилиндрическом слое.
В рассматриваемой постановке акустические давления 
1
p и 
2
p
не 
зависят от координаты z . Они являются решениями уравнений Гельмгольца:





,2,1
;0
,
,
2






j
r
p
k
r
p
j
j
j
(1)
где 
j
j
c
k
/


– волновые числа в волноводе 
1

j
и полости цилиндра 



2

j
.
При этом 
s
i
p
p
p


1
, где 
s
p
– давление рассеянного цилиндром 
акустического поля в волноводе, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца.
В области 
0

x
давление первичного поля возмущений представим 
в виде разложения по собственным функциям волновода с акустически жесткими границами:



,
cos
,
0








n
n
x
i
n
i
y
e
A
y
x
p
n

где 
n
n
n
n
A
d
n
k
;
;
2
2
1








– заданные амплитуды.

В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:














m

im
m
m
i
e
r
k
J
a
r
p
1
,
(2)

где  
;
arcsin
cos
0
1
0
0


















n

n
n
X
i
n
m
m
k
m
Y
e
A
i
a
n
m
J
– цилиндрическая 

функция Бесселя порядка m.
При этом разложение (2) описывает общий случай произвольного 
расположения источников звука на сечении волновода 
0

x
.
Уравнения движения упругого слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид

,
2
1

;
1

2

2












































u
r
r
r

u
r
r
r

r
r

r
rr
r
rr

(3)

где 
 r



– плотность материала оболочки; 

u
ur ,
– компоненты вектора 
смещения u в цилиндрической системе координат; 
ij

– компоненты тен
зора напряжений. При этом компоненты 

u
ur ,
вектора смещений не зависят от цилиндрической координаты z, и 
0

z
u
.
Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами вектора 
смещений соотношениями

,
1

;
1
2
div
;
2
div






















































r

u

r

u
u
r

r
u
u

r
u
r
u
u

r
r

r
r
rr
(4)

где 
 r



и 
 
r



– модули упругости материала оболочки.
Искомые функции 
2
, p
ps
и 

u
ur ,
должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях полого цилиндра.
Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости:





.0
,
;0
0,
1
1









y
d
x
p
y
x
p
(5)

Граничные условия на поверхностях полого цилиндра заключаются 
в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости 
на внешней и внутренней поверхностях оболочки; равенстве на них нор

мального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:
при 
,0
;
;
;










r
j
rr
jr
r
j
p
v
u
i
r
r
(6)

где 
r

p

i
v
j

j
jr






1
– радиальная компонента вектора скорости частиц 

жидкости в волноводе 
1

j
и полости цилиндра 

2

j
.
Кроме того, давление 
s
p
должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси x , а давление 
2
p
– условию ограниченности.
Давление рассеянного акустического поля 
s
p будем искать в виде 
потенциала простого слоя




 

,
,
,
,
,

0
0
0
0
0
0
1



L
s
dl
y
x
y
x
G
y
x
y
x
p
(7)

где 


0
0
1
, y
x

– неизвестная функция, описывающая распределение источников поля 
s
p
на внешней поверхности цилиндра; 

0
0,
,
y
x
y
x
G
– функция 
Грина; 0
L
– окружность радиуса 1r с центром в точке 

0
0,Y
X
;
0
1
0


d
r
dl
– элемент контура 0
L .
Функция Грина является решением краевой задачи:


 
;
0
0

2
1
y
y
x
x
G
k
G








(8)





;0
,
,
,
0,
0
0
0
0






y
x
d
x
G
y
y
x
x
G
y
(9)

,0
lim
1











G
ik
r
G
r
x
(10)

где 



2
0
2
0
y
y
x
x
r




– расстояние между точкой наблюдения 



y
x,
и источником поля 

0
0, y
x
на контуре 0
L ;  – дельта-функция.
Решение задачи (8) - (10) имеет вид



































,
,

,
,
cos
cos
1
,
,

0

0

0
0
0
0
0
0

0

x
x
e

x
x
e
y
y
d
i
y
x
y
x
G
x
x
i

x
x
i

n
n
n
n
n
n

n
(11)

где 
n
0

– символ Кронекера.
Вводя обозначение 



0
0
1
1
0
0
,
,
y
x
r
y
x



и переходя от декартовых 
координат 
y
x,
к полярным координатам 

,r
, выражение (7) запишем так:




 

.
,
,
,
2

0

0
0
0










d
r
r
G
r
ps
(12)

Благодаря представлению функции Грина в виде (11) функция 
s
p ,
определенная формулой (12), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1), 
граничным условиям (5) и условиям излучения на бесконечности. В ре

зультате задача определения рассеянного поля 
s
p
сводится к нахождению 
функции распределения 

0


, обеспечивающей выполнение условий (6) 
на поверхностях полого цилиндра.
Акустическое давление 
2
p
в полости цилиндра, удовлетворяющее 
уравнению Гельмгольца (1) и условию ограниченности, будем искать в виде





.
,
2
2









m

im
m
m
e
r
k
J
B
r
p
(13)

Очевидно, что вектор смешения u в упругом слое является периодической функцией 
с периодом 
2 . Поэтому функции 



,r
ur
и 




,r
u
представим следующими рядами Фурье:



 


 
.
,
;
,
2
1




















m

im
m
m

im
m
r
e
r
u
r
u
e
r
u
r
u
(14)

Подставляя выражения (14) в уравнения (3) с учетом (4), получим 
следующую систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций 
 r
u m
1
и 
 r
u m
2
для каждого m:

,0
~
~
~





m
m
m
m
m
m
U
C
U
B
U
A
(15)

где 


m
m
m

T

m
m
m
C
B
A
u
u
U
~
,
~
,
~
;
, 2
1

– матрицы второго порядка.
Представим функцию плотности распределения источников в виде 
разложения в ряд Фурье:

 
.










m

im
me
b
(16)

Коэффициенты 
m
B
и m
b
разложений (13) и (16), а также четыре 
краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (15) подлежат определению из шести условий (6).
Из теории потенциала известно [5], что потенциал простого поля (7) 
непрерывен на поверхности, по которой распределены источники, а его 
нормальная производная на этой поверхности имеет разрыв, равный по величине 
1


. Интеграл (12) и производные от него следует понимать в 
смысле главного значения с переносом операции дифференцирования непосредственно на подынтегральную функцию.
Учитывая выражения (16) и

 




,
,
2

0
0
0
0
1
1

















d
M
r
r
p

r
r

s

из первого граничного условия (6) получаем систему линейных уравнений 
относительно неизвестных m
b :


,
,2
,1
,0






 





m
f
b
b
m
n
n
nm
m
(17)

где 


 
 











2

0

2

0

0
0
2
1
;
,
2

0
d
d
e
e
M
r
im
in
nm

 




1
1
1
1
1
2
1
r
k
J
k
a
r
u
r
f
m
m
m
m







;










r
k
J
r
k
d
d
r
k
J
r
r
G
r
M
m
m
r
r
1

1

1
0
1
0
;
,
,
,
1










.

Для регуляризации системы уравнений (17) выполним замену неизвестных [6] 


1
1

~
r
k
J
b
b
m
m
m


. В результате полученная система может быть 
решена методом усечения [7].

Из четвертого граничного условия (6) находим 
 



2
2
2

2
1
2
2

r
k
J
k
r
u
B

n

m
m




.

Коэффициенты 
m
b
и 
m
B
выражаются через величины 
 
1
1
r
u m

и 
 
2
2
r
u m
. Для определения последних необходимо решить краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (15).
Краевые условия для этой системы получим из оставшихся неиспользованными четырех граничных условий (6). В матричном виде они записываются следующим образом [4]:



;
~

1
m
r
r
m
m
m
m
W
U
E
U
A




(18)



,0
~

2




r
r
m
m
m
m
U
F
U
A
(19)

где 
m
m F
E ,
– матрицы второго порядка.
Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных 
уравнений (15) с краевыми условиями (18), (19).
Найдем аналитическое решение задачи (15), (18), (19) методом, 
предложенным в [4].
Запишем краевую задачу (15), (18), (19), в безразмерном виде. Для 
этого введем безразмерные величины

,
;
;
;
;
;

1

*

0

*

0

*

0

*

1

*

1

*
r
a
a
r
u
u
r
r
r
im
im
















где 
0

и 
0

– некоторые характерные плотность и упругая постоянная;          

a – некоторая точка отрезка 

1
2,r
r
;
*
a – некоторая точка отрезка 
1,
/ 1
2 r
r
.

В качестве точки *
a возьмем середину отрезка 
1,
/ 1
2 r
r
.
Предположим, что безразмерные модули упругости и плотность неоднородного – упругого слоя представимы многочленами относительно *
r

(или аппроксимированы такими многочленами). Будем иметь

 
 

 
 

 
 
 ,
;
;
∑
∑
∑
0

*
*
*
*

0

*
*
*
*

0

*
*
*
*
R

k

k
k
R

k

k
k
R

k

k
k
a
r
r
a
r
r
a
r
r
















где  
 
k
k


,
и  
k

– коэффициенты многочленов, R – максимальная степень используемых многочленов.
Каждую составляющую вектора 
*
m
U
будем искать в виде:

 


.
2,1
∑
0

*
*
*




j
a
r
u
u
R

k

k
n
jm
jm
(20)

Элементы матриц 
*
*
*
,
,
m
m
m
C
B
A
выражаются через безразмерные модули упругости и плотность. Поэтому эти элементы запишем в виде многочленов

 

 

 
 .
;
;
∑
∑
∑
0

*
*
*

0

*
*
*

0

*
*
*
R

k

k
k
mij
mij
R

k

k
k
mij
mij
R

k

k
k
mij
mij
a
r
C
C
a
r
B
B
a
r
A
A










(21)
Подставляя (20) и (21) в (15) и приравнивая нулю коэффициенты 
при каждой степени 

*
*
a
r 
, получим уравнения для определения коэффициентов   

2,1

j
u n
jm
:





   


   

  


,2
,1
;
,2,1,0

,0
1
2
1
1
2

1
0

2
1






















 

i
n

u
C
u
B
k
n
u
A
k
n
k
n
k
n
lm
k
mij
k
n
jm
k
mij
j

R

k

k
n
jm
k
mij



где 


n
R
R
,
min
1 
.
Из последней системы уравнений находим рекуррентные соотно
шения, выражающие 




2

2

2

1
,


n
m

n
m
u
u
через 







,
,
,
,
1

2

1

1
2
1

k
n
m

k
n
m

k
n
m

k
n
m
u
u
u
u










,1,0

n
. По полученным соотношениям можно вычислить все коэффи
циенты разложений (20) за исключением  
0
jm
u
и  


2,1
1

j
u jm
.

Коэффициенты  
0
jm
u
и  1
jm
u
можно вычислить, если краевую задачу 

(15), (18), (19) свести к задачам с начальными условиями в точке 
*
*
a
r 

[4].
В результате решения краевой задачи (15), (18), (19) имеет вид

 


,
2,1
0

*
*
4

1

*










j
a
r
U
Q
u
n

n
n
jp
p
p
jm
(22)

где  
 
 
 
 
,
;
;
;
4
1
2
3
1
1
2
0
2
1
0
1
p
p
p
p
p
p
p
p
U
U
U
U









а для 

,3,2

n
и любых 


 
 .
4,3,2,1
n
jm
n
jp
u
U
p
p



Подставив выражения (22) в краевые условия (18) и (19), получим 
систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов 


4,3,2,1

p
Qp
.

Определив из системы коэффициенты 
p
Q
и подставив их в (22), 
получим аналитическое решение краевой задачи (15), (18), (19).
Таким образом, поле смещений в упругом цилиндрическом слое 
описывается выражением (22), рассеянное акустическое поле в волноводе 
– выражением (12), а акустическое поле в полости цилиндра – выражением 
(13).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (09-01-97504-Р-центр).

Список литературы

1. Применение метода интегральных уравнений к задаче дифракции 
акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов [и др.] //
Акустический журнал. 1994. Т. 40. № 4. С. 548-560.
2. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12. 
Вып. 5. С. 208-216.
3. Садомов А.А. Дифракция звука на неоднородной анизотропной 
цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами при симметричном распределении источников первичного поля// Вестник ТулГУ. Сер. 
Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1.             
С. 76-83.
4. Толоконников Л.А. Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2008. Вып. 2.            
С. 151-160.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука. 1966. 724 с.
6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. 
Минск : Наука и техника. 1968. 584 с.
7. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего 
анализа. М. : Физматгиз. 1962. 708 с.

L. Tolokonnikov, A. Romanov
Diffraction of a sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a layer
of fluid with hard bounds
The analytical solution of diffraction of a plane sound wave by an inhomogeneous
elastic hollow cylinder in a layer of fluid with hard bounds is obtained.

Получено 19.01.09