Электродинамика

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Москва
ИНФРА-М
2020

И.И. КАЛИКИНСКИЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки 03.04.02 «Физика»,
03.04.03 «Радиофизика» (квалификация (степень) «магистр»)

УДК 530(075.8)
ББК 22.313я73
       К17

Р е ц е н з е н т ы: 
Б.М. Болотовский, д-р физ.-мат. наук, проф., 
ведущий научный сотрудник ФИАН им. П.Н. Лебедева;
Е.И. Нефедов, д-р физ.-мат. наук, проф., 
научный руководитель РНТОРЭС им. А.С. Попова

Каликинский И.И.
К17 
  Электродинамика: учебное пособие / И.И. Каликинский. — 3-е изд., 
перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 159 с. — (Высшее 
образование: Магист ратура). — www.dx.doi.org/10.12737/830.

ISBN 978-5-16-006771-1 (print)
ISBN 978-5-16-100062-5 (online)

В учебном пособии излагаются основы классической электродинамики, 
начиная с уравнений Максвелла и определения дифференциальных операторов, 
входящих в эти уравнения. В первой части (гл. 1–7) рассмотрена трехмерная 
формулировка классической электродинамики, причем выведены как физические законы, изучавшиеся ранее в курсе общей физики (например, Закон 
Кулона), так и новые (например, теорема Пойнтинга), а также изложена теория излучения. Во второй части (гл. 8, 9) после краткого напоминания основ 
специальной теории относительности дана четырехмерная формулировка 
электродинамики. Обращено внимание на инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца. В третьей части (гл. 10) решаются 
нетривиальные задачи электродинамики. В четвертой части (гл. 11) кратко 
изложены некоторые вопросы математики, необходимые для понимания курса. 
К каждой главе даны контрольные вопросы.
Учебное пособие предназначено для студентов физических факультетов 
высших учебных заведений, а также может быть полезно аспирантам, интересующимся классической электродинамикой и радиофизикой СВЧ и КВЧ.

УДК 530(075.8)
ББК 22.313я73 

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ISBN 978-5-16-006771-1 (print)
ISBN 978-5-16-100062-5 (online)
© Каликинский И.И., 2014

Светлой памяти моих родителей Каликинских 

Игоря Ивановича и Галины Порфирьевны 

посвящаю эту книгу

Предисловие

Структура и положение того или иного курса зависят от сте
пени развития науки, специфики вуза и подготовки слушателей. 
«Трактат об электричестве и магнетизме» Д.К. Максвелла вышел в 
1873 г. Прошло почти 140 лет, из них — весь XX в. В конце XIX в. 
вышли в свет работы и книги О. Хэвисайда, в которых из уравнений 
Максвелла получен ряд важных следствий и создан способ изложения электродинамики: в основу его положены уравнения Максвелла, 
затем идут плоские волны, и затем — теория излучения движущихся 
зарядов. Тем не менее в старых курсах электродинамики (см. например [5]) и, особенно, в практике ее преподавания в вузе преобладает 
способ изложения, при котором само изложение начинается с законов Кулона, Био–Савара, Фарадея, а затем «выводятся» уравнения 
Максвелла, и на самое интересное в классической электродинамике — теорию излучения — времени практически не остается. В предлагаемом руководстве выбран иной способ изложения.

При этом способе, восходящем к О. Хэвисайду и Г.А. Лоренцу, 

уравнения Максвелла классической электродинамики в вакууме появляются на первой лекции. Далее рассматриваются пояснения физического и математического смысла дифференциальных операций 
векторного анализа (математическая теория поля), после чего студенты пишут контрольную работу, способствующую усвоению математического аппарата классической электродинамики, и вся остальная часть курса посвящена физическим следствиям из уравнений 
Максвелла в вакууме и в веществе. На этом заканчивается первая 
часть курса.

Во второй части курса после краткого напоминания основ специ
альной теории относительности вводятся четырехмерные векторы и 
тензоры относительно преобразований Лоренца (4-потенциал, 
4-плотность электрического тока, тензор электромагнитного поля) 
и даются, исходя из принципа наименьшего действия, первая и вторая пара уравнений Максвелла в вакууме.

В третьей части курса приведены задачи классической электро
динамики, дающие представление о современном состоянии этого 
раздела теоретической физики. В этих задачах используется солидный математический аппарат, которым студентам следует овла

деть. Эти задачи могут быть использованы в качестве дипломных 
работ.

В четвертой части приведены некоторые сведения из математики, 

которые используются для понимания классической электродинамики.

При изложении курса используются системы единиц — CGSE 

(гауссова) и СИ.

В качестве основной литературы студентам рекомендуется поль
зоваться классическими учебниками [3, 8–10].

Автор выражает благодарность рецензентам, внимательно прочи
тавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний, которые были 
учтены.

Часть I

Глава 11

тиПЫ вЗаиМодеЙствиЙ

В настоящее время известно около 400 элементарных частиц, 

главная особенность которых состоит в их способности к взаимопревращениям. Частицы участвуют в необозримом количестве процессов упругого и неупругого рассеяния, а также во множестве реакций 
рождения и распадов. Оказывается, что все многообразие подобных 
превращений управляется всего четырьмя (а фактически даже тремя) 
типами фундаментальных взаимодействий. Их также можно рассматривать как классификационный признак физических процессов и явлений. 

1. Сильное взаимодействие свойственно частицам, которые име
нуются адронами. К их числу относятся, например, протон и нейтрон. Наиболее известное проявление сильного взаимодействия — 
ядерные силы. 

2. Электромагнитное взаимодействие присуще электрически за
ряженным частицам и фотонам. Электромагнитное взаимодействие 
является наиболее изученным. 

3. Слабое взаимодействие свойственно почти всем частицам. Оно 

обусловливает сравнительно медленные их распады и другие медленно протекающие процессы. Наиболее известное проявление слабого взаимодействия — бета-распады многих атомных ядер.

4. Гравитационное взаимодействие универсально. В нем участ
вуют все частицы и все тела Вселенной, причем их ускорения не зависят от массы. Всякое фундаментальное взаимодействие можно 
характеризовать тремя числовыми параметрами: интенсивностью, 
радиусом и временем, в течение которого осуществляется его элементарный акт. Их значения приведены в таблице.

Та б л и ц а

№  
п/п
Взаимодействие
Механизм
Интенсив
ность

Радиус, 

м

Характерное 

время, с

1
Сильное 
Обмен глюонами
10–1–101
10–15
10–23

2
Электромагнитное Обмен фотонами
1/137
∞
10–20

3
Слабое 
Обмен 
промежуточными 
бозонами

10–10
10–18
10–13

4
Гравитационное 
Обмен 
гравитонами

10–38
∞
?

1 Главы 1–7 посвящены краткому введению в электродинамику.

Интенсивность электромагнитного взаимодействия связывают с 

элементарным зарядом е = 1,6⋅10–19 Кл. Однако эта величина является размерной, а поэтому не совсем удобна. Гораздо удобнее и нагляднее задавать интенсивность электромагнитного взаимодействия 
некой безразмерной комбинацией, составленной из элементарного 
заряда е и фундаментальных констант с и . В нее должна также входить «системная» константа e0. В качестве указанной безразмерной 
комбинации выбирают постоянную тонкой структуры:

α
πε
=
≈
e

c

2

0
4

1

137 03

,
,
(1.1.1)

где с — скорость света в вакууме;   — постоянная Планка.

Свое название она получила потому, что входит в квантовомеха
ническую формулу для тонкого расщепления энергетических уровней атомов.

Интенсивность других фундаментальных взаимодействий также 

связывают с соответствующими им «зарядами». Так, сильное взаимодействие нуклонов (протонов и нейтронов) описывалось в 1950-е гг. 
двумя полуфеноменологическими теориями, в которых роль «сильного заряда», подобного е, играют две разные величины g и f. Для соответствующих безразмерных комбинаций, аналогичных постоянной 
тонкой структуры, сравнение предсказаний теоретических схем с опытом дают значения:

g
c

2

14

≈
;
(1.1.2)

β =
≈
f
c

2

0 08

,
.
(1.1.3)

Обычно говорят, что интенсивность сильного взаимодействия 

равна по порядку величины единице. Такое утверждение справедливо и в современной теории сильного взаимодействия. Это взаимодействие интенсивнее электромагнитного, почему оно и называется 
сильным.

Интенсивность слабого взаимодействия традиционно связывают 

со «слабым зарядом» YF, называемым константой Ферми:

YF ≈ 1,43 · 10–42 Дж·м3.
(1.1.4)

Константа Ферми имеет размерность, отличную от размерности 

е, и соответствующая ей безразмерная комбинация должна включать 
массу некоторой частицы. Обычно в качестве таковой выбирают 

протон и характеризуют интенсивность слабого взаимодействия величиной:

y
Y

c
m c

F

p

=








≈
⋅

−

−

2
4

10
1 10



,
(1.1.5)

где mp — масса протона.

Таким образом, слабое взаимодействие гораздо менее интен
сивно, чем электромагнитное, откуда и его название.

Интенсивность гравитационного взаимодействия, в котором роль 

заряда играет величина 
γm,  задается безразмерной комбинацией:

δ
γ
=
≈
−
m

c

p

2

38
10

,
(1.1.6)

где g — постоянная закона всемирного тяготения.

Отношение α

δ

 равно отношению энергий электромагнитного и 

гравитационного взаимодействий двух протонов при фиксированном расстоянии между ними. Величина δ на много порядков меньше 
даже константы слабого взаимодействия y. Поэтому гравитацию 
обычно не учитывают в мире элементарных частиц, во всяком случае 
при анализе их взаимопревращений.

Теперь о радиусах взаимодействий, т.е. о размерах тех областей, 

в которых они проявляются. В грубом приближении сильное взаимодействие двух покоящихся нуклонов описывается юкавским потенциалом: 

U
R
e

R

R
=

−
const
0 .
(1.1.7)

Отсюда явствует, что с ростом расстояния сильное взаимодей
ствие между частицами убывает очень быстро, примерно по экспоненциальному закону. Кроме того, юкавский потенциал включает 
характерную постоянную R0 с размерностью длины. Смысл ее в том, 
что при R > R0 сильное взаимодействие практически исчезает. Эту 
величину и объявляют радиусом сильного взаимодействия, причем, 
как свидетельствует опыт R0 ~ 10–15 м (см. таблицу).

В выражение для энергии электростатического взаимодействия 

не входит никакого параметра размерности длины, т.е. нет никакого 
характерного расстояния, на котором его можно было бы «обрезать». 
Кроме того, это выражение можно представить в форме:

U
e

R

e

R e

R

=
=

−∞

2

0

2

0
4
4
πε
πε
.
(1.1.8)

По этим причинам радиус электромагнитного взаимодействия 

считают бесконечно большим, тем более, что с ростом расстояния 
потенциал убывает медленно, всего лишь по степенному закону. Сказанное относится к гравитационному взаимодействию, энергия ко
торого в статическом случае равна γm

R

2

.

Слабое взаимодействие является самым короткодействующим. 

Оно характеризуется очень малым радиусом R ~ 10–18 м.

Характерное время сильного взаимодействия τ ~ 10–23 c получа
ется делением характерного размера, каковым здесь является радиус 
сильного взаимодействия R0 ~ 10–15 м, на характерную скорость, т.е. 
скорость света c ≈ 3 · 108 м/с. Характерные времена электромагнитного и слабого взаимодействий эмпирически можно определить как 
средние времена жизни наименее стабильных частиц, распадающихся за счет этих взаимодействий. Отношения введенных таким 
способом характерных времен примерно совпадает с обратными отношениями интенсивностей соответствующих взаимодействий.

Глава 2

КратКая история раЗвития
элеКтродинаМиКи

На протяжении многих столетий люди искали объяснение 

электрическим и магнитным явлениям. Современные представления об электричестве и магнетизме были сформулированы в основных чертах около 100 лет назад и заслуга этого открытия принадлежит двум величайшим умам в истории естествознания — 
Майклу Фарадею и Джеймсу Клерку Максвеллу. Фарадей провел 
очень важные с принципиальной точки зрения опыты, в частности, 
он открыл явление электромагнитной индукции. Он же высказал 
некоторые основополагающие качественные соображения о природе электромагнитных явлений. Например, к Фарадею восходит 
и само понятие электромагнитного поля. Максвелл, тщательно изучив работы Фарадея (как описания проделанных им опытов, так 
и подход Фарадея к объяснению полученных им результатов), создал количественную теорию электромагнитных явлений. Эта 
теория, основанная на знаменитых уравнениях Максвелла, является и теперь, 140 лет спустя, одним из краеугольных камней естествознания.

Теория Максвелла дала возможность понять широчайший круг 

электромагнитных явлений с единой точки зрения, установить связь 
между такими явлениями, которые до этого считались никак не связанными между собой. Важнейшим достижением такого рода явилось осознание того факта, что оптика, т.е. учение о законах распространения видимого света, составляет часть учения об электричестве 
и магнетизме. Опыты Фарадея по воздействию магнитного поля на 
оптические свойства прозрачных тел заставили подозревать, что оптические явления каким-то образом связаны с миром электричества 
и магнетизма. Теория Максвелла превратила эти подозрения в уверенность.

Из уравнений Максвелла вытекало, что, если в какой-либо точке 

пространства меняется электрическое или магнитное поле (растет 
или уменьшается со временем), то это изменение распространяется 
во все стороны от данной точки со скоростью, точно равной скорости света. Можно сказать, что из данной точки во все стороны распространяется волна, причем скорость этой волны равна скорости 
света. На основании этого результата, который следовал из уравнений Максвелла, было высказано предположение, что свет имеет 
электромагнитную природу, а именно, представляет электромагнитные волны.

Максвелл в своих работах рассматривал распространение элект
ромагнитных волн, не задаваясь вопросом, можно ли эти волны 
генерировать. Этот вопрос был рассмотрен английским физиком 
Фитцджеральдом, который показал в рамках теории Максвелла 
принципиальную возможность генерации электромагнитных волн. 
Несколько лет спустя великий немецкий физик Генрих Герц создал 
излучатель электромагнитных волн и провел с полученными им волнами ряд опытов (отражение, преломление, интерференция, дифракция), результаты которых не оставляли никакого сомнения в 
справедливости теории Максвелла (определенную роль при этом 
сыграли опыты П.Н. Лебедева, измерившего световое давление). 
Волны, полученные Г. Герцем, не принадлежали к диапазону видимого света, это были радиоволны. Генриху Герцу принадлежит высказывание о том, что открытые им радиоволны никогда не найдут 
практического применения. После смерти Г. Герца знаменитым русским ученым А.С. Поповым был построен приемник этих волн, 
и первая радиограмма, посланная на небольшое расстояние, гласила: 
«Генрих Герц». После опытов А.С. Попова и практического применения им радиоволн для спасения жизни людей началось бурное 
развитие радиосвязи. Уже в 1901 г. Г. Маркони была осуществлена 
радиосвязь между Европой и Америкой. Генераторы электромагнитных волн становились все более совершенными, диапазон радиоволн 
все шире, а приемные устройства все более надежными. Были детально изучены законы распространения радиоволн вдоль земной 
поверхности и в окружающем Землю пространстве. В дальнейшем 
широкое развитие получило телевидение, т.е. передача с помощью 
электромагнитных волн не только человеческой речи, но и движущегося изображения, сначала черно-белого, а затем и цветного. 
Длины волн, применяемых для радиосвязи и телевидения, заключены в пределах от километров до дециметров. При этом телевидение 
осуществляется на метровых и дециметровых, а радиосвязь — на более длинных волнах. Но диапазон волн, используемых для радио и 
телевидения, заполняет лишь часть шкалы электромагнитных волн. 
Излучение сантиметрового, миллиметрового, а также более коротких 
(субмиллиметровых) электромагнитных волн используется во многих 
других целях: для исследования структуры и поверхностей твердых 
тел и живых тканей, в медицинских целях, для обработки материалов 
и т.д.

В настоящее время электродинамикой и техникой СВЧ, КВЧ 

(сверх- и крайневысокие частоты) и оптических частот занимаются 
ученые Московского научно-технического общества радиотехники, 
электроники и связи имени А.С. Попова. Работы ведутся под научным руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора Е.И. Нефедова 
(излучение переменных токов, излучение движущихся зарядов).