Линейная алгебра в примерах и задачах

ЛИНЕЙНАЯ

АЛГЕБРА 

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением

 высших учебных заведений Российской Федерации
 по образованию в области авиации, ракетостроения

 и космоса в качестве учебного пособия для студентов

 высших технических учебных заведений

А.С. БОРТАКОВСКИЙ
А.В. ПАНТЕЛЕЕВ

Москва

ИНФРА-М

2020

Издание третье, стереотипное

Линейная алгебра в примерах и задачах : учеб. пособие / А.С. Бор
таковский, А.В. Пантелеев. — 3-е изд., стереотип. — М. : ИНФРА-М, 
2020. – 592 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010586-4 (print)
ISBN 978-5-16-102613-7 (online)

Изложены основные понятия, теоремы и методы решения задач по 

всем разделам курса: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, функциональные матрицы и функции векторного 
аргумента, многочленные матрицы и функции от матриц, линейные пространства и линейные отображения, численные методы.

В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, 

приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного 
решения с ответами.

Для студентов высших учебных заведений, получающих образование 

по направлению (специальности) «Прикладная математика», а также по 
направлениям (специальностям) естественных наук, техники и технологий, 
информатики и экономики (квалификации (степени) «бакалавр», «специалист», «магистр»).

УДК 512(075.8) 
ББК 22.143я73 

УДК 512(075.8)
ББК 22.143я73
 
Л59

©  Бортаковский А.С., Пантелеев А.В., 2015

Л59

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ISBN 978-5-16-010586-4 (print)
ISBN 978-5-16-102613-7 (online)

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра «Прикладная математика» Московского государственного техниче
ского университета гражданской авиации (зав. кафедрой д-р техн. наук., 
проф. В.Л. Кузнецов);

А.Н. Сиротин, д-р физ.-мат. наук, проф. (Московский авиационный институт 

(национальный исследовательский университет))

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие .......................................................................................................... 8 
Введение ................................................................................................................ 9 
 
В.1. Множества и операции над ними ............................................................ 9 
 
В.2. Основные алгебраические структуры ................................................... 11 
 
 
В.2.1. Арифметические операции и их свойства .................................. 11 
 
 
В.2.2. Бинарные операции и их свойства .............................................. 15 
 
 
В.2.3. Группы, кольца, поля ................................................................... 18 
 
В.3. Поле комплексных чисел ....................................................................... 25 
 
В.4. Кольцо многочленов ............................................................................... 29 
 
В.5. Аксиоматические построения и логические рассуждения .................. 38 
 
Глава 1. Матрицы и действия над ними ....................................................... 46 
 
1.1. Числовые матрицы ................................................................................. 46 
 
1.2. Линейные операции над матрицами ..................................................... 48 
 
 
1.2.1. Сложение матриц ......................................................................... 48 
 
 
1.2.2. Умножение матрицы на число .................................................... 49 
 
1.3. Умножение матриц ................................................................................. 50 
 
 
1.3.1. Определение произведения матриц ............................................ 50 
 
 
1.3.2. Свойства умножения матриц ....................................................... 54 
 
 
1.3.3. Умножение матриц на столбцы и строки единичной  
 
 
 
матрицы ......................................................................................... 57 
 
 
1.3.4. Степень матрицы .......................................................................... 59 
 
1.4. Транспонирование и сопряжение матриц ............................................. 62 
 
 
1.4.1. Транспонирование матриц........................................................... 62 
 
 
1.4.2. Сопряжение матриц ..................................................................... 65 
 
 
1.4.3. След матрицы ............................................................................... 68 
 
1.5. Блочные (клеточные) матрицы .............................................................. 70 
 
 
1.5.1. Блочные матрицы и операции над ними .................................... 70 
 
 
1.5.2. Кронекеровские произведение и сумма матриц ........................ 74 
 
1.6. Элементарные преобразования матриц ................................................. 75 
 
 
1.6.1. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду ....... 75 
 
 
1.6.2. Элементарные преобразования как умножения матриц ........... 83 
 
 
1.6.3. Нахождение элементарных преобразующих матриц ................ 91 
 
Глава 2. Определители ..................................................................................... 99 
 
2.1. Индуктивное определение ..................................................................... 99 
 
2.2. Формула разложения определителя по элементам строки 
 
 
(столбца) ................................................................................................ 102 
 
2.3. Свойства определителей ...................................................................... 104 
 
 
2.3.1. Основные свойства определителей ........................................... 104 
 
 
2.3.2. Формула полного разложения определителя ........................... 108 

2.3.3. Формула Лапласа ........................................................................ 110 
 
 
2.3.4. Определитель произведения матриц ........................................ 112 
 
2.4. Методы вычисления определителей ................................................... 115 
 
 
2.4.1. Применение элементарных преобразований ........................... 115 
 
 
2.4.2. Метод рекуррентных уравнений ............................................... 121 

 
Глава 3. Ранг матрицы ................................................................................... 128 
 
3.1. Линейная зависимость и линейная независимость строк 
 
 
(столбцов) матрицы .............................................................................. 128 
 
3.2. Базисный минор и ранг матрицы ........................................................ 131 
 
 
3.2.1. Базисный минор матрицы  ......................................................... 131 
 
 
3.2.2. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы ..................... 133 
 
3.3. Методы вычисления ранга матрицы ................................................... 138 
 
 
3.3.1. Метод окаймляющих миноров .................................................. 138 
 
 
3.3.2. Метод Гаусса нахождения ранга матрицы ............................... 140 
 
3.4. Ранг системы столбцов (строк) ............................................................ 143 

 
Глава 4. Обратная матрица ........................................................................... 149 
 
4.1. Определение, существование и единственность обратной 
 
 
матрицы ................................................................................................. 149 
 
4.2. Свойства обратной матрицы ................................................................ 151 
 
4.3. Способы нахождения обратной матрицы ........................................... 153 
 
4.4. Матричные уравнения .......................................................................... 160 
 
4.5. Полуобратная и псевдообратная матрицы ......................................... 162 
 
 
4.5.1. Односторонние обратные матрицы .......................................... 162 
 
 
4.5.2. Полуобратная матрица ............................................................... 164 
 
 
4.5.3. Псевдообратная матрица ........................................................... 170 

 
Глава 5. Системы линейных алгебраических уравнений ....................... 185 
 
5.1. Основные понятия и определения ....................................................... 185 
 
5.2. Правило Крамера .................................................................................. 187 
 
5.3. Условие совместности системы линейных уравнений ...................... 189 
 
5.4. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений ..................... 190 
 
5.5. Структура общего решения однородной системы ............................. 194 
 
5.6. Структура общего решения неоднородной системы ......................... 200 
 
5.7. Применение элементарных преобразующих матриц ........................ 203 
 
5.8. Псевдорешения системы линейных уравнений ................................. 209 

 
Глава 6. Функциональные матрицы и функции векторного 
 
 
     аргумента .......................................................................................... 218 
 
6.1. Функциональные матрицы скалярного аргумента ............................ 218 
 
6.2. Производные скалярной функции по векторному аргументу .......... 222 

6.3. Производные векторной функции по векторному аргументу .......... 224 
 
6.4. Производные матричной функции по векторному аргументу ......... 230 
 
6.5. Линейные и квадратичные формы ...................................................... 231 
 
 
6.5.1. Преобразования форм при линейной замене переменных ..... 235 
 
 
6.5.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ..... 238 
 
 
6.5.3. Закон инерции вещественных квадратичных форм ................ 248 
 
 
6.5.4. Знакоопределенность вещественных квадратичных форм ..... 251 
 
 
6.5.5. Применение форм к исследованию функций на экстремум ... 254 
 
Глава 7. Многочленные матрицы и функции от матриц ........................ 261 
 
7.1. Многочленные матрицы (  -матрицы) ............................................... 261 
 
 
7.1.1. Определение многочленных матриц (  -матриц) .................... 261 
 
 
7.1.2. Операции над  -матрицами ..................................................... 262 
 
 
7.1.3. Элементарные преобразования  -матриц ............................... 271 
 
 
7.1.4. Инвариантные множители  -матрицы .................................... 279 
 
7.2. Характеристические матрицы и многочлены .................................... 282 
 
 
7.2.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы ....... 282 
 
 
7.2.2. Подобие числовых матриц ........................................................ 291 
 
 
7.2.3. Характеристический многочлен матрицы ................................ 298 
 
 
7.2.4. Теорема Гамильтона – Кэли. Минимальный многочлен 
 
 
 
матрицы ....................................................................................... 300 
 
7.3. Жорданова форма матрицы ................................................................. 306 
 
 
7.3.1. Элементарные делители матрицы ............................................. 306 
 
 
7.3.2. Жордановы клетки и матрицы .................................................. 309 
 
 
7.3.3. Приведение матрицы к жордановой форме ............................. 316 
 
 
7.3.4. Многочлены от матриц .............................................................. 331 
 
 
7.3.5. Применение многочленов от матриц для решения систем  
 
 
 
линейных рекуррентных уравнений с постоянными  
 
 
 
коэффициентами ......................................................................... 342 
 
7.4. Функции от матриц ............................................................................... 346 
 
 
7.4.1. Функции, определенные на спектре матрицы ......................... 347 
 
 
7.4.2. Определение и свойства функций от матриц   ......................... 348 
 
 
7.4.3. Способы нахождения функций от матриц   ............................. 349 
 
 
7.4.4. Свойства функций от матриц .................................................... 354 
 
 
7.4.5. Применение функций от матриц для решения систем 
 
 
 
линейных дифференциальных уравнений с постоянными  
 
 
 
коэффициентами ......................................................................... 356 
 
Глава 8. Линейные пространства................................................................. 364 
 
8.1. Определение и примеры линейных пространств ............................... 364 
 
 
8.1.1. Аксиомы линейного пространства ............................................ 364 
 
 
8.1.2. Простейшие следствия аксиом .................................................. 365 
 
 
8.1.3. Примеры линейных пространств .............................................. 366 

8.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов ............ 370 
 
 
8.2.1. Понятие линейной зависимости и линейной  
 
 
 
независимости векторов ............................................................ 370 
 
 
8.2.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых  
 
 
 
векторов ....................................................................................... 372 
 
 
8.2.3. Аффинные, неотрицательные и выпуклые комбинации 
 
 
 
векторов ....................................................................................... 373 
 
8.3. Размерность и базис линейного пространства ................................... 376 
 
 
8.3.1. Определения размерности и базиса .......................................... 376 
 
 
8.3.2. Примеры базисов линейных пространств ................................ 379 
 
8.4. Координаты и преобразования координат ......................................... 383 
 
 
8.4.1. Координаты векторов в данном базисе .................................... 383 
 
 
8.4.2. Линейные операции в координатной форме ............................ 383 
 
 
8.4.3. Преобразование координат вектора при замене базиса  ......... 385 
 
 
8.4.4. Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому ...... 387 
 
8.5. Изоморфизм линейных пространств ................................................... 389 
 
8.6. Подпространства линейного пространства ........................................ 391 
 
 
8.6.1. Определение линейного подпространства  .............................. 391 
 
 
8.6.2. Примеры линейных подпространств ........................................ 392 
 
 
8.6.3. Пересечение и сумма подпространств ...................................... 395 
 
 
8.6.4. Прямая сумма подпространств .................................................. 400 
 
 
8.6.5. Способы описания подпространств .......................................... 403 
 
8.7. Линейные многообразия ...................................................................... 419 
 
 
8.7.1. Определение линейного многообразия .................................... 419 
 
 
8.7.2. Свойства линейных многообразий ........................................... 420 
 
 
8.7.3. Способы описания линейных многообразий ........................... 421 
 
8.8. Евклидовы пространства ...................................................................... 426 
 
 
8.8.1. Определение евклидова пространства ...................................... 426 
 
 
8.8.2. Примеры евклидовых пространств ........................................... 428 
 
 
8.8.3. Длина вектора. Угол между векторами .................................... 430 
 
 
8.8.4. Ортогональные векторы и их свойства .................................... 433 
 
 
8.8.5. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта ............................ 434 
 
 
8.8.6. Ортогональный и ортонормированный базисы ....................... 437 
 
 
8.8.7. Ортогональные дополнения  ..................................................... 443 
 
 
8.8.8. Задача о перпендикуляре ........................................................... 447 
 
 
8.8.9. Унитарные пространства ........................................................... 453 
 
Глава 9. Линейные отображения и операторы .......................................... 459 
 
9.1. Линейные отображения ........................................................................ 459 
 
 
9.1.1. Определение линейных отображений ...................................... 459 
 
 
9.1.2. Примеры линейных отображений ............................................. 460 
 
 
9.1.3. Свойства линейных отображений ............................................. 462 
 
 
9.1.4. Матрица линейного отображения ............................................. 464 
 
 
9.1.5. Ядро и образ линейного отображения ...................................... 467 

9.2. Линейные преобразования (операторы) ............................................. 471 
 
 
9.2.1. Определение и примеры линейных преобразований .............. 471 
 
 
9.2.2. Матрицы линейного преобразования в разных базисах ......... 475 
 
 
9.2.3. Алгебра линейных операторов .................................................. 476 
 
9.3. Инвариантные подпространства ......................................................... 478 
 
 
9.3.1. Определение и примеры инвариантных подпространств ....... 478 
 
 
9.3.2. Свойства инвариантных подпространств ................................. 480 
 
9.4. Собственные векторы линейного преобразования ............................ 482 
 
 
9.4.1. Собственные векторы и собственные значения ...................... 482 
 
 
9.4.2. Примеры собственных векторов ............................................... 487 
 
 
9.4.3. Свойства собственных векторов  .............................................. 489 
 
9.5. Канонический вид линейного преобразования .................................. 494 
 
 
9.5.1. Приведение линейного преобразования к диагональному 
 
 
 
виду .............................................................................................. 494 
 
 
9.5.2. Приведение линейного преобразования к каноническому 
 
 
 
виду .............................................................................................. 496 
 
9.6. Линейные преобразования евклидовых пространств ........................ 513 
 
 
9.6.1. Ортогональные преобразования ............................................... 513 
 
 
9.6.2. Сопряженные преобразования .................................................. 522 
 
 
9.6.3. Самосопряженные преобразования .......................................... 523 
 
 
9.6.4. Приведение квадратичной формы к главным осям ................. 528 
 
 
9.6.5. Линейные преобразования унитарных пространств ............... 532 
 
Глава  10. Численные методы линейной алгебры .................................... 539 
 
10.1. Основные положения. Нормы матриц ............................................... 539 
 
10.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических  
 
 
уравнений ............................................................................................. 545 
 
 
10.2.1. Численные схемы реализации метода Гаусса  ...................... 545 
 
 
10.2.2. Метод прогонки  ...................................................................... 550 
 
 
10.2.3. Метод LU -разложения .......................................................... 555 
 
 
10.2.4. Метод квадратных корней ...................................................... 561 
 
10.3. Итерационные методы решения систем линейных  
 
 
алгебраических уравнений  ................................................................ 564 
 
 
10.3.1. Метод простых итераций ........................................................ 564 
 
 
10.3.2. Метод Зейделя ......................................................................... 570 
 
10.4. Итерационный метод Шульца нахождения обратной матрицы ...... 575 
 
10.5. Методы решения задач о собственных значениях  
 
 
и собственных векторах матрицы ...................................................... 578 
 
 
10.5.1. Метод итераций ....................................................................... 579 
 
 
10.5.2. Метод вращений ...................................................................... 582 
 
 
Литература ..................................................................................................... 590 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Книга включает теоретические основы и методы решения задач линейной алгебры и охватывает основные разделы курса, читаемого на факультете 
"Прикладная математика и физика" Московского авиационного института. 
 
Курс линейной алгебры во Втузе читается первокурсникам в двух вариантах: сокращенном (для инженерных специальностей) и достаточно полном (для специальности "Прикладная математика"). Как правило, в других 
математических дисциплинах (дифференциальные уравнения, оптимизация, 
теория вероятностей и математическая статистика, численные методы и т.п.) 
приходится возвращаться к некоторым разделам линейной алгебры, дополняя базовый курс теми или иными сведениями. 
 
Несмотря на то что курс линейной алгебры во всех технических университетах имеет примерно одинаковый объем и традиционное содержание, 
его изложение в разных вузах существенно отличается. Причина заключается в том, что курс имеет две составляющие: алгебраическую и геометрическую. Поэтому в зависимости от предпочтений преподавателя и от уровня 
подготовки студентов построение курса может быть различным: "более алгебраическим", либо "более геометрическим". Это обстоятельство учитывалось при написании пособия. Некоторые понятия (собственные векторы, 
жорданова форма матрицы, квадратичные формы) освещаются с разных точек зрения. Например, собственные векторы матрицы вводятся "алгебраически" в разд.7, в разд. 9 они изучаются с геометрической точки зрения, а в 
разд. 10 обсуждаются вычислительные особенности их нахождения. 
 
Существующие учебные пособия либо не охватывают соответствующие программы курсов линейной алгебры, либо написаны труднодоступным 
для вчерашних школьников языком. Авторы ставили перед собой задачу 
написать доступное для широкой студенческой аудитории пособие, где все 
теоретические положения подкрепляются подробным разбором типовых 
примеров. Особое внимание уделялось описанию методик решения рассматриваемых задач.  
 
Изложение построено по единой схеме, включая описание элементов 
постановок задач, алгоритмы решения и подробный анализ типовых примеров. Предлагаются задачи для самостоятельного решения, в том числе зависящие от параметров m  – номера учебной группы и n  – номера студента по 
списку группы. 
 
Данное пособие входит в серию книг "Прикладная математика в примерах и задачах", составляя с ними единый учебно-методический комплекс.  
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Изложение начнем с важных математических понятий: множеств, операций, основных алгебраических структур. Приводимые во введении сведения, определения и свойства часто имеют предварительный (ознакомительный) характер. Некоторые "тонкие" моменты и вопросы здесь не рассматриваются.  
 
В.1.  МНОЖЕСТВА  И  ОПЕРАЦИИ  НАД  НИМИ 
 
 
Понятие множества, элемента и принадлежности элемента множеству 
являются первичными (неопределяемыми через другие) понятиями математики. Для интуитивного понимания множества достаточно считать, что 
множество – это совокупность определенных и различимых между собой 
объектов (элементов), мыслимая как единое целое (Г.Кантор).  
 
Множества принято обозначать прописными буквами A , B , C ,… и 
т.п., а их элементы – строчными буквами a , b , c ,… и т.п. Если a  является 
элементом множества A , то пишут 
A
a 
 (читается: a  принадлежит 
множеству A ). Если же a  не принадлежит множеству A , то пишут 
A
a 
.  
 
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех 
же элементов. Равенство 
B
A 
 означает, что одно и то же множество обозначено разными буквами A  и B . 
 
Множества могут быть заданы перечислением своих элементов. При 
этом составляющие множество элементы указываются в фигурных скобках. 
Например, запись 


c
b
a
A
,
,

 означает, что множество A  состоит из элементов a , b , c . Порядок, в котором перечисляются элементы множества, 
не играет никакой роли, например, 
 
 

c
a
b
b
a
c
c
b
a
,
,
,
,
,
,


. 
 
Чаще множество задается указанием характеристического свойства, 
которое формулируется в виде высказывания (утверждения)  
x
P
, которое в 
зависимости от значений параметра x  может быть либо истинным, либо 
ложным. Тогда  
 
 


x
P
x
X
:

 

– обозначает множество X , состоящее из таких элементов x , для которых 
высказывание  
x
P
 истинно (утверждение  
x
P
 верное). Например,  

 


x
x :
родитель человека, читающего эту фразу 



отец читателя, мать читателя ; 

 

 

b
a
b
x
a
x
,
:



; 

 
 прямоугольник : прямоугольник с равными сторонами   
 


ромб : ромб с равными диагоналями  – множество квадратов. 

Для формулировки характеристических свойств, а также других 
утверждений и высказываний, применяются сокращения: символ   (квантор общности) заменяет слова "для любого", "для каждого", "для всех"; символ   (квантор существования) читается как слово "существует". Например, 
 
 числа x    натуральное число n  такое, что 
n
x 
 (аксиома Архимеда); 
 
 треугольника   окружность, проходящая через все его вершины. 
 
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и 
обозначается символом  . Если каждый элемент множества A  принадлежит множеству B , то говорят, что A  является подмножеством B , и пишут 
B
A 
 ( A  содержится в B ) или 
A
B 
 ( B  содержит A ). Пустое множество   считается подмножеством каждого множества. Если A  произвольное множество, то 
A


 и 
A
A 
.  
 
Если все рассматриваемые в ходе рассуждения множества являются 
подмножествами некоторого множества U , то это множество U  называется универсальным для данного рассуждения. 
 
 
Пример В.1. Сколько подмножеств имеет множество 


3
,2
,1

A
? 
 
 Множество A  состоит из трех элементов (чисел). Запишем все его 
подмножества: пустое множество –  ; одноэлементные подмножества – 
 
1 ,  
2 ,  
3 ; двухэлементные подмножества – 

2
,1
, 

3
,2
, 

3
,1
; 
само множество 


3
,2
,1

A
. Всего 8 подмножеств.  
 
ОПЕРАЦИИ  НАД  МНОЖЕСТВАМИ 
 
 
Для наглядного представления операций над множествами используют 
диаграммы Эйлера – Венна. Универсальное множество U  изображают в 
виде прямоугольника, а его подмножества – в виде эллипсов (рис. В.1,а).  
 
Пусть даны два множества A  и B .  
 
Объединением множеств A  и B  называется множество 
B
A
, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A  и B  
(рис. В.1,б): 
 


B
x
A
x
x
B
A



  
или
 
:

. 
 
Пересечением множеств A  и B  называется множество 
B
A
, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A , так и множеству B  
(рис. В.1,в): 
 


B
x
A
x
x
B
A



  
и 
:

. 
 
Разностью (относительным дополнением) множеств A  и B  называется множество 
B
A \
, состоящее из элементов множества A , не принадлежащих множеству B  (рис. В.1,г):  
 


B
x
A
x
x
B
A



и
:
\
. 

Симметрической разностью множеств A  и B  называется множество 
B
A
, состоящее из элементов, принадлежащих только одному из двух 
множеств A  или B  и не принадлежащих другому (рис. В.1,д): 
 

 

B
A
B
A
B
A


\


. 

 
Абсолютным дополнением множества A  называется множество A  
всех элементов, которые не принадлежат множеству A  (рис. В.1,е): 
 
A
U
A
\

. 

 
 
Пример В.2. Пусть 


3
,2
,1

A
 и 


4
,3
,2

B
. Найти объединение 
B
A
, пересечение 
B
A
, разности 
B
A \
и 
A
B \
, а также симметрическую 
разность 
B
A
. 
 
 По определению получаем: 


4
,3
,2
,1

B
A
; 


3
,2

B
A
; 

 
1
\

B
A
; 
 
4
\

A
B
; 


4
,1

B
A
. 
 
 
В.2.  ОСНОВНЫЕ  АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ  СТРУКТУРЫ 
 
В.2.1. Арифметические операции и их свойства 
 
 
Первоначальными понятиями в алгебре являются числа и действия над 
ними. В курсе арифметики и алгебры средней школы вводятся множества 
натуральных чисел –  ; целых чисел –  ; рациональных чисел –  ; иррациональных чисел; действительных чисел –  , а также четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.  

Рис. В.1 

а 
б 
в 

г 

A
B

U

A
B 

U 

A
B

U

A
B

U

A

U

A

U 

е 
д 

Напомним обозначения:  

 


,...
5
,4
,3
,2
,1


 – множество натуральных чисел; 

 


...
,3
,2
,1
,0
,1
,2
,3
...,





 – множество целых чисел; 

 










n
m
n
m
;
:
 – множество рациональных чисел. 

Рациональным называют число, которое можно представить (хотя бы одним 
способом) в виде отношения целого числа к натуральному, при этом дроби 

вида nk
mk , где 


k
, считаются равными: 
n
m
nk
mk 
 (основное свойство дро
би). Любое рациональное число можно представить в виде конечной или 
бесконечной периодической десятичной дроби.  
 
Множество   действительных (вещественных) чисел образовано числами, которые представимы в виде конечных или бесконечных десятичных 
дробей. Оно включает перечисленные выше множества 

 







. 

Для множества иррациональных чисел специального обозначения не вводят, 
так как это множество – есть разность 

 \
. По определению это действительные числа, которые не являются рациональными.  
 
Остановимся подробнее на свойствах арифметических операций, так 
как законы арифметики распространяются и на другие математические объекты. 
 
Каждая из арифметических операций производится над двумя числами, 
т.е. имеется два операнда, а сама операция называется бинарной. Для сложения или умножения порядок, в котором берутся слагаемые или множители, не важен. Для вычитания и деления чисел нужно указывать, которое из 
двух чисел уменьшаемое (делимое), а которое – вычитаемое (делитель), т.е. 
пара чисел должна быть упорядочена.  
 
СЛОЖЕНИЕ  И  УМНОЖЕНИЕ 
 
 
Для сложения и умножения чисел выполняются следующие свойства 
(законы): 
 
1) сложение чисел коммутативно: 
a
b
b
a



; 
 
2) сложение чисел ассоциативно: 




c
b
a
c
b
a





; 
 
3) умножение чисел коммутативно: 
ba
ab 
; 
 
4) умножение чисел ассоциативно: 
 
c
ab
bc
a

; 
 
5) сложение и умножение связаны законом дистрибутивности: 
 


bc
ac
c
b
a



. 

Законы коммутативности и ассоциативности сложения чисел позволяют не обращать внимания на порядок слагаемых (не расставляя скобок). Поэтому в алгебре суммы или произведения большого числа однотипных слагаемых (имеющих один и тот же вид и отличающихся только индексами) 

записывают при помощи знака суммы. Символ 


n

i 1
, вслед за которым за
писано некоторое выражение, содержащее индекс i , означает сумму таких 

выражений для всех значений индекса от 1 до n , т.е. 







n

i
i
n
a
a
a
a

1
2
1

 

(читается: "сумма 
ia  по i  от 1 до n "). Индекс i  называется индексом суммирования. В качестве индекса суммирования может быть использована 
любая буква. Суммирование по двум индексам записывается в виде:  

 

















m

i

n

j
ij
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

1
1
2
1
2
22
21
1
12
11




.  

 
Приведем правила обращения со знаком суммы. 
 
1. Индекс суммирования может быть изменен, т.е. 

 






n

j
j

n

i
i
x
x

1
1
. 

 
2. Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно вынести за знак суммы: 

 










n

i
i

n

i
i
a
a

1
1
. 

 
3. Порядок суммирования можно изменить: 

 

 







m

i

n

j

m

i
ij

n

j
ij
a
a

1
1
1
1
. 

 
Законы коммутативности и ассоциативности умножения чисел позволяют не обращать внимания на порядок множителей (не расставляя скобок). 
Поэтому произведения большого числа однотипных множителей (имеющих 
один и тот же вид и отличающихся только индексами) записывают при по
мощи знака произведения. Символ 
n

i 1
 , вслед за которым записано некото
рое выражение, содержащее индекс i , означает произведение таких выра
жений для всех значений индекса от 1 до n , т.е. 
i

n

i
n
a
a
a
a
1
2
1






 (чита
ется: "произведение 
ia  по i  от 1 до n "). Индекс i  называется индексом 
умножения. В качестве индекса умножения может быть использована     

любая буква. Нахождение произведения по двум индексам записывается в 
виде:  

 
ij

n

j

m

i
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
2
1
2
22
21
1
12
11

 


















.  

 
Правила обращения со знаком произведения. 
 
1. Индекс умножения может быть изменен, т.е. 

 
j

n

j
i

n

i
a
a
1
1





. 

 
2. Множитель, не зависящий от индекса умножения, можно вынести 
за знак произведения: 

 


i

n

i

n
i

n

i
a
a
1
1







. 

 
3. Порядок умножения можно изменить: 

 
ij

m

i

n

j
ij

n

j

m

i
a
a
1
1
1
1









. 

 
 
З а м е ч а н и е  В.1. Начальное значение индексов суммирования или 
умножения может отличаться от единицы, например:  
 
а) для любых целых чисел m  и n  (
n
m 
): 

 
n
m
m

n

m
i
i
a
a
a
a







1
 
(
1

 m
n
 слагаемых); 

 
n
m
m
i

n

m
i
a
a
a
a








1
 
(
1

 m
n
 множителей); 

 
б) для любого натурального n : 

 

 














n

i

n

j

n

j
i
ij
nn
n
n

i

j
ij
a
a
a
a
a
a
a
a

1
1
2
1
22
21
11
1


. 

 
ВЫЧИТАНИЕ  И  ДЕЛЕНИЕ 
 
 
Вычитание и деление чисел вводятся как операции, обратные по отношению к сложению и умножению. Например, разностью 
b
a 
 чисел a  и b  
называют такое число d , что 
a
d
b


. Вычитание чисел можно определить (эквивалентным образом) по-другому, подчеркивая особую роль числа 
нуль. В самом деле, нуль обладает важным свойством: для любого числа a  
имеет место равенство 
a
a

 0
. Поэтому для любого числа a  (целого, рационального, действительного) имеется противоположное число 
)
( a

 (соответственно целое, рациональное, действительное) такое, что  
0
)
(



a
a
. 

Теперь разность 
b
a 
 можно определить, как сумму числа a  с числом, противоположным b :  
 
)
( b
a
b
a




.  

 
Аналогичным образом вводится операция деления. Особую роль здесь 
играет число 1 (единица): для любого числа a  справедливо равенство 
a
a

1
. Для любого числа a  (рационального, действительного), отличного 

от нуля, имеется обратное число 








a
1
 (соответственно рациональное, дей
ствительное) такое, что 
1
1








 a
a
. Поэтому операцию деления чисел a  и b  

можно определить, как умножение числа a  на число, обратное к b : 

 









b
a
b
a
1
:
. 

 
В отличие от сложения и умножения операции вычитания и деления 
чисел не удовлетворяют законам коммутативности и ассоциативности. Более того, если сложение или умножение двух любых натуральных чисел дает натуральное число, то при их вычитании или делении может получиться 
и не натуральное число. Поэтому говорят, что вычитание и деление не определены на множестве натуральных чисел (имея в виду, что они не выполняются для всех натуральных чисел). В этом смысле операция деления на отличное от нуля число не определена также и на множестве целых чисел, так 
как частное от деления двух целых чисел не обязательно является целым.  
 
 
В.2.2. Бинарные операции и их свойства 
 
 
Определим теперь понятие алгебраической операции, обобщающее 
арифметические действия. Пару чисел называют упорядоченной, если указано, какое число в этой паре является первым, а какое – вторым. Например, 
в упорядоченной паре 

b
a,
 число a  – первое, число b  – второе. 
 
Будем говорить, что на множестве M  определена бинарная алгебраическая операция (обозначим ее символом  ), если каждой упорядоченной 
паре 

b
a,
 элементов этого множества ставится в соответствие единственный элемент 
b
a
c


 из этого же множества M .  
 
Например, на множестве натуральных чисел определены операции 
сложения и умножения, так как сумма двух натуральных чисел (или их произведение) является натуральным числом. Нетрудно заметить, что операции 
сложения и умножения определены также на множествах целых, рациональных, действительных чисел.