Прикладная теория уравнений в частных производных

Учебное пособие

Ф. Райтманн

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ  
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 519.63
ББК 22.193
Р12

Р е ц е н з е н т ы: чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф.
Г. А. Леонов

(С.-Петерб. гос. ун-т); д-р физ.-мат. наук, проф. И. М. Буркин (Тульский гос. ун-т)

Рекомендовано к публикации
учебно-методической комиссией
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

Р12
Райтманн Ф.
Прикладная теория дифференциальных уравнений
в частных производных: учеб. пособие. — СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2019. — 204 с.
ISBN 978-5-288-05931-5

Учебное пособие основано на курсах лекций, прочитанных автором студентам бакалавриата и магистратуры математико-механического факультета СПбГУ. В нем излагаются некоторые разделы
прикладной теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, рассматривается вариационная постановка
двухфазовой задачи микроволнового нагрева. На основании теории
центрального многообразия обсуждаются бифуркации в нелинейных уравнениях с частными производными, зависящих от параметров. Приводятся элементы теории эволюционных уравнений на банаховом многообразии.
Пособие предназначено студентам старших курсов математических и физических факультетов вузов. Может быть полезно аспирантам и специалистам, занимающимся исследованиями в области
качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных.

УДК 519.63
ББК 22.193

ISBN 978-5-288-05931-5

c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2019

c⃝
Ф. Райтманн, 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 1. Двухфазовая задача Стефана. . . . . . . . . . . . . . . .
8

1. Уравнения Максвелла.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.
Основные формулы векторного анализа .. . . . .
8
1.2.
Закон сохранения электрического заряда .. . . .
11
1.3.
Закон Ампера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4.
Закон Фарадея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5.
Материальные законы.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6.
Вывод уравнений Максвелла
и телеграфного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7.
Уравнение Максвелла для потенциалов .. . . . . .
16
1.8.
Плоские волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.9.
Уравнение Максвелла для диэлектриков. . . . . .
22
1.10. Основные сведения о лазерах .. . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.11. Упрощенные уравнения лазера. . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.12. Нагрев материала при помощи микроволн. . . .
28
1.13. Закон Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.14. Начально-краевая задача нагрева
микроволнами .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2. Некоторые сведения из математической физики
и функционального анализа .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.1.
Основные функциональные пространства.. . . .
33
2.2.
Некоторые сведения из функционального
анализа .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3. Двухфазовая задача нагрева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.
Постановка начально-краевой задачи . . . . . . . . .
39
3.2.
Слабое решение двухфазовой задачи нагрева ..
41
3.3.
Существование слабого решения . . . . . . . . . . . . . .
45

3

Оглавление

3.4.
Одномерная задача.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.5.
Глобальное существование гармонических
по времени полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

Глава 2. Бифуркации в бесконечномерных
динамических системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

1. Вилкообразная бифуркация в однопараметрических
семействах дифференциальных уравнений . . . . . . . . .
72
1.1.
Понятие бифуркации.
Редукция на центральное многообразие . . . . . .
72
1.2.
Вилкообразная бифуркация .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2. Центральное многообразие для бесконечномерных
динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.1.
Существование и гладкость глобального
центрального многообразия .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.2.
Локальное центральное многообразие.. . . . . . . .
87
2.3.
Зависимость локального центрального
многообразия от параметра .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3. Элементы спектральной теории линейных
операторов .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.1.
Спектр линейного оператора .. . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.2.
Общие спектральные неравенства.. . . . . . . . . . . .
92
3.3.
Аналитические полугруппы операторов.. . . . . .
114
3.4.
Полугруппы класса C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118

Глава 3. Динамические системы
на банаховом многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127

1. Банаховы многообразия и векторные поля . . . . . . . . .
127
1.1.
Определение банахового многообразия.. . . . . . .
127
1.2.
Касательное пространство
и касательное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
1.3.
Дифференциал отображения.. . . . . . . . . . . . . . . . .
134
1.4.
Векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
1.5.
Римановы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
1.6.
Подмногообразия.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
2. Расслоения и дифференциальные формы.. . . . . . . . . .
154
2.1.
Расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
2.2.
Алгебра Ли. Скобка Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
2.3.
Аффинная связность, кривизна и кручение. . .
163

Оглавление
5

3. Ковариантное дифференцирование
и дифференциальные операторы .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
3.1.
Параллельный перенос, ковариантные
производные и геодезические кривые . . . . . . . . .
172
3.2.
Ковариантное дифференцирование
в локальных координатах .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
3.3.
Дифференциальные операторы .. . . . . . . . . . . . . .
181
3.4.
Вычисление символов Кристоффеля.. . . . . . . . .
183
3.5.
Свойства дивергенции и оператора Лапласа ..
184
3.6.
Локальное описание геодезических кривых . . .
189
3.7.
Динамические системы на многообразиях
отрицательной кривизны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу учебного пособия легли три специальных курса лекций, прочитанных автором студентам четвертого (бакалавриат) и пятого курсов (магистратура) математико-механического
факультета Санкт-Петербургского государственного университета, обучающимся на кафедре прикладной кибернетики.
Первая глава пособия включает в себя вопросы, входящие в
курс лекций «Прикладная теория динамических систем». Как
основная математическая модель рассматривается задача нагрева материала микроволнами. Приводятся физические основы этой проблемы и формулируется начально-краевая задача. Излагаются сведения из математической физики и функционального анализа, необходимые для изучения этой задачи.
Центральное место в первой главе занимает двухфазовая задача Стефана, которая рассматривается при помощи интегральных тождеств.
Основу второй главы составил материал курса лекций
«Прикладная теория дифференциальных уравнений в частных производных». Используется редукция исходного эволюционного уравнения с частными производными на конечномерное центральное многообразие, рассматриваются некоторые бифуркации, происходящие в уравнении с частными производными. Как вспомогательный материал для решения этой
задачи приводятся элементы теории дифференциальных уравнений в шкале банаховых пространств, спектральной теории
линейных операторов и аналитических полугрупп таких операторов. Подробно изучаются бифуркации в уравнениях параболического и гиперболического типов.

6

Предисловие
7

В третьей главе пособия изучается материал курса «Динамические системы на многообразиях». Доказывается теорема
Пикара — Линделёфа для гладких векторных полей на банаховом многообразии. Большое внимание уделяется вопросам теории расслоений и дифференциальных форм. Основная цель последней главы — изучение дифференциальных операторов на
римановом многообразии. Для этого рассматриваются параллельный перенос, ковариантное дифференцирование, связности и другие элементы дифференциальной геометрии.
В пособие включен список литературы по теме. В частности, при написании первой главы были использованы работы
[14, 19], второй — работы [17, 18], третьей — работы [13, 15].
Полный текст пособия был набран М. М. Аникушиным и
А. О. Романовым. Рисунки для пособия сделаны ими, а также
М. Райтманн. Всем я очень признателен и благодарен за эту
большую помощь.

Глава 1

ДВУХФАЗОВАЯ
ЗАДАЧА СТЕФАНА

1.
Уравнения Максвелла

Введем
некоторые
обозначения,
которые
пригодятся
нам
в дальнейшем.

1.1.
Основные формулы векторного анализа

1. Обозначения
Ω ⊂ R3 — область, x = (x1, x2, x3) ∈ Ω,
α : Ω → R — скалярная функция,
a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ∈ R3 — векторы,

a · b =
3i=1
aibi — скалярное произведение,

u, v : Ω → R3 — векторные функции.

2. Дифференциальные операторы
Пусть e1, e2, e3 — канонический базис в R3. Определим
следующие операторы:

(a) оператор Гамильтона (оператор набла):
∇ = e1 ∂

∂x1 + e2 ∂

∂x2 + e3 ∂

∂x3 ,
(b) оператор Лапласа:
∆ = ∇2 =
∂2
∂x2
1 + ∂2

∂x2
2 + ∂2

∂x2
3,

(c) градиент скалярного поля α(x):
grad α(x) = ∇α(x) = e1 ∂α

∂x1 + e2 ∂α

∂x2 + e3 ∂α

∂x3,

8

1. Уравнения Максвелла
9

(d) дивергенцию векторного поля u(x):
div u(x) = ∇ · u(x) =
∂

∂x1u1(x) +
∂

∂x2 u2(x) +
∂

∂x3u3(x),
(e) ротор, или вихрь векторного поля u(x):

rot u(x) ≡ curl u(x) = ∇ × u = det




e1
e2
e3
∂

∂x1
∂

∂x2
∂

∂x3
u1
u2
u3



 .

3. Некоторые соотношения
Пусть Ω ⊂ R3 — область, u — гладкое векторное поле,
α — гладкое скалярное поле. Тогда верны следующие соотношения:

(a) div grad α(x) = ∆α,
(b) rot rot u(x) = grad div u − ∆u,
(c) div(αu) = α div u + grad α × u,
(d) rot(αu) = α rot u + grad α × u,
(e) div rot u(x) = 0.

Доказательство (пункт е):

rot u(x) = det




e1
e2
e3
∂

∂x1
∂

∂x2
∂

∂x3
u1
u2
u3



 =

=e1

∂u3

∂x2
− ∂u2

∂x3

−e2

∂u3

∂x1
− ∂u1

∂x3

+e3

∂u2

∂x1
− ∂u1

∂x2

.

Тогда

div rot u(x) =
∂2u3

∂x2∂x1

−
∂2u2

∂x3∂x1
✿✿✿✿✿✿✿
−
∂2u3

∂x1∂x2

+

+
∂2u1

∂x3∂x2

+
∂2u2

∂x1∂x3
✿✿✿✿✿✿✿
−
∂2u1

∂x2∂x3

≡ 0.

Здесь одинаковыми линиями подчеркнуты члены, различающиеся только знаком.
□

Глава 1. Двухфазовая задача Стефана

4. Интегральные теоремы

A. Теорема Гаусса — Остроградского
Пусть Ω ⊂ R3 — область, ∂Ω — замкнутая гладкая
поверхность, охватывающая Ω, n — внешнее векторное поле, u : Ω → R3 — векторное поле класса C1

(рис. 1.1). Тогда
Ω

div u dx =
∂Ω

u · n dS.

Суть левой части — интеграл дивергенции поля u по
объему Ω. Суть правой — поток векторного поля u
через замкнутую поверхность ∂Ω.

B. Теорема Стокса
Пусть S — двумерная гладкая поверхность; L =
∂S — граница, т. е. замкнутый контур, охватывающий поверхность S; dl — бесконечно малый вектор
касательный к L (рис. 1.2). Тогда
S

rot u · n dS =
L

u · dl.

Здесь левая часть — поток ротора поля u через поверхность S. Правая — циркуляция векторного поля
u по замкнутому контуру L.

Рис. 1.1. Иллюстрация к теореме
Гаусса — Остроградского: область,
граница и внешнее векторное поле

Рис. 1.2. Иллюстрация к теореме
Стокса: поверхность, граница и касательный вектор к L

1. Уравнения Максвелла
11

1.2.
Закон сохранения электрического заряда

Пусть Ω ⊂ R3 — область с гладкой границей ∂Ω, n — внешняя
нормаль. Пусть имеется заряд, т. е. свойство вещества взаимодействовать с электрическим полем (положительное для протона и отрицательное для электрона), и ρ(x, t) — плотность
электрического заряда,
Ω
ρ(x, t)dx — полный электрический за
ряд в Ω в момент времени t, j(x, t) — вектор плотности электрического тока, g(x, t) — плотность притока. Тогда закон сохранения электрического заряда представляет собой

∂
∂t

Ω

ρ(x, t) dx

Изменение за единицу
времени полного
электрического заряда

= −
∂Ω

j(x, t) · n dS

Заряд через ∂Ω

+
Ω

g(x, t) dx

Объемный приток
за единицу
времени

.

Следствие (дифференциальная форма закона сохранения
электрического заряда): Пусть Ω′ ⊂ Ω — произвольное. Тогда

∂ρ(x, t)

∂t
+ div j(x, t) = g(x, t),
∀(x, t) ∈ Ω × (0, T).
(1.1)

1.3.
Закон Ампера

Пусть D(x, t) — векторное поле электрической индукции, или
потенциал заряда, т. е. векторное поле, такое, что

ρ(x, t) = div D(x, t)
в Ω × (0, T).
(1.2)

Пусть другое векторное поле G(x, t) удовлетворяет соотношению

g = div G
(1.1)
==⇒
∂
∂t div D + div j = div G

или

div
∂D

∂t + j − G
= 0.

Глава 1. Двухфазовая задача Стефана

Тогда существует векторное поле H(x, t) такое, что

∂D
∂t + j − G = rot H.

Поле H(x, t) называется вектором напряженности магнитного поля. Если g ≡ 0, то можно положить G ≡ 0 и

∂D
∂t + j = rot H.
(1.3)

В итоге получаем закон Ампера в дифференциальной форме.
Пусть S — двумерная поверхность с замкнутой границей
∂S. Умножим (1.3) скалярно на внешнее нормальное поле n и
проинтегрируем по S:
S

∂D

∂t + j
· n dS =
S

rot H · n dS.

Применяя к последнему интегралу теорему Стокса, получаем
закон Ампера в интегральной форме:

∂
∂t

S

D · n dS +
S

j · n dS =
∂S

H · dl,

где первый интеграл есть электрическая индукция через S,
второй — заряд через S, а третий — циркуляция магнитного
поля по контуру ∂S.

1.4.
Закон Фарадея

Пусть S ⊂ R3 — гладкая поверхность с замкнутой границей ∂S.
Вводим B(x, t) — вектор магнитной индукции (сила, с которой действует магнитное поле на единичный заряд) и E(x, t) —
вектор напряженности электрического поля (сила, с которой
действует электрическое поле на единичный заряд). Закон Фарадея в интегральной форме представляет собой следующее соотношение:
∂
∂t

S

B · n dS = −
∂S

E · dl.

1. Уравнения Максвелла
13

Пусть S = ∂Ω, Ω ⊂ R3 — область. Тогда по закону Фарадея
в интегральной форме получаем

∂
∂t

∂Ω

B · n dS +
∂(∂Ω)

E · dl = 0.

Первый интеграл представляет собой производную по t потока
магнитной индукции B через S = ∂Ω, а второй — циркуляцию
напряженности электрического поля E по контуру L = ∂(∂Ω)
и равен
∂Ω
rot E · n dS. В итоге получаем закон Фарадея в диф
ференциальной форме:

∂B
∂t + rot E = 0.
(1.4)

Следствие 1.1. Применяя оператор дивергенции к (1.4), получим
∂
∂t + div rot E = 0.

Если div B(x, 0) = 0, то

div B(x, t) = 0 на Ω × (0, T).
(1.5)

1.5.
Материальные законы

Эти законы получены на основе физических закономерностей
или экспериментов.

1. D(x, t) = N(E(x, t)), где N : R3 → R3 — C1-отображение.
Для изотропных материалов1 и слабых электромагнитных полей имеем

D(x, t) = ε(x)E(x, t),
(1.6)

где скалярная функция ε(x) — диэлектрическая проницаемость.

1Материал называется изотропным, если распределение электрических волн в нем не зависит от направления.