Механизмы изменения динамической сложности паттернов физиологических сигналов

МЕХАНИЗМЫ ИЗМЕНЕНИЯ 
ДИНАМИЧЕСКОЙ 
СЛОЖНОСТИ ПАТТЕРНОВ 
ФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ 
СИГНАЛОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О. Е. Дик, А. Д. Ноздрачев

УДК 612
ББК 28.707.2
 
Д45

Реценз ен ты:  д-р мед. наук, чл.-корр. РАН Д. П. Дворецкий 
 
(Ин-т физиологии им. И. П. Павлова РАН); 
 
д-р биол. наук, проф., акад. РАН, гл. науч. сотр. С. В. Медведев 
 
(Ин-т мозга человека им. Н. П. Бехтеревой РАН)

Рекомендовано к публикации научной комиссией 
в области биологических наук 
Санкт-Петербургского государственного университета

Д45
Дик О. Е., Ноздрачев А. Д.
Механизмы изменения динамической сложности паттернов физиологических сигналов / О. Е. Дик, А. Д. Ноздрачев. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2019. — 200 с. 
ISBN 978-5-288-05932-2

В монографии рассмотрены биофизические механизмы, лежащие в основе изменения динамической сложности паттернов электрической активности мозга и непроизвольных колебаний руки при возникновении патологических состояний, связанных 
с тревожно-фобическими расстройствами, сосудистыми нарушениями, эпилептическими повреждениями, двигательными дисфункциями и нейропатической болью. Сформулирована новая научная концепция, состоящая в том, что использование совокупности 
методов нелинейной динамики к анализу структурных перестроек, происходящих в паттернах физиологических ритмов, позволяет выявлять механизмы, лежащие в основе модуляции динамическиой сложности этих ритмов при возникновении патологического 
состояния. Представленные в нем результаты исследований позволяют оценить степень 
нарушений функционального состояния нервной системы и представляют собой новые 
подходы к диагностике этих состояний.
Издание адресовано как биофизикам, нейрофизиологам, так и клиницистам-практикам. 

УДК 612
ББК 28.707.2

Исследование выполнено при финансовой поддержке Программы фундаментальных научных исследований государственных академий на 2013–2020 гг. (ГП-14, раздел 64). 

  
© Санкт-Петербургский  
 
 
государственный университет, 2019
ISBN 978-5-288-05932-2 
© О. Е. Дик, А. Д. Ноздрачев, 2019

Оглавление

Введение ................................................................................................................... 
7

Глава 1.  Методы исследования ......................................................................... 
10

1.1. Вейвлет-анализ физиологических сигналов ................................  
13

1.2. Дискретное вейвлет-преобразование сигнала ...........................  
13

1.3. Интегральная оценка спектральной плотности  
энергии сигнала ..................................................................................  
15

1.4. Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала  
и оценивание энергии сигнала .......................................................  
16

1.5.  Сравнение вейвлетного преобразования сигнала  
с быстрым преобразованием Фурье  
и оконным преобразованием Фурье .............................................  
19

1.6.  Кросс-вейвлетные спектры и оценивание  
вейвлет-когерентности двух сигналов ..........................................  
20

1.7.  Фрактальный анализ физиологических сигналов ......................  
21

1.8. Оценка степени мультифрактальности  
физиологических сигналов ..............................................................  
23

1.9.  Метод рекуррентного анализа ........................................................  
27

1.10.  Метод совместного рекуррентного анализа ................................  
30

1.11.  Локализация неустойчивых периодических орбит ....................  
30

1.12.  Построение фазовых портретов физиологических сигналов ..  
31

1.13.  Метод бифуркационного анализа ..................................................  
32

Глава 2. Механизмы изменения динамической сложности  
паттернов ЭЭГ при эпилептическом повреждении мозга ....... 
36

2.1. Нелинейная динамика паттернов ЭЭГ человека  
при эпилептическом повреждении мозга ....................................  
36

2.2.  Вейвлетные спектры паттернов ЭЭГ человека  
при эпилептическом повреждении мозга ....................................  
37

2.3.  Мультифрактальные характеристики паттернов ЭЭГ человека 
при эпилептическом повреждении мозга ....................................  
41

2.4. Анализ возможности автоматического выявления 
эпилептических разрядов на основе вейвлетных 
и мультифрактальных характеристик паттернов ЭЭГ ................  
44

Глава 3.  Механизмы изменения динамической сложности  
паттернов ЭЭГ, лежащие в основе коррекции  
психогенной боли при тревожно-фобических состояниях ...... 
50

3.1.  Нелинейная динамика паттернов ЭЭГ человека  
при нарушении функционального состояния мозга,  
связанного с тревожно-фобическими расстройствами .............  
50

3.2.  Спектры Фурье паттернов ЭЭГ человека  
при тревожно-фобических расстройствах ....................................  
51

3.3.  Вейвлетные спектры паттернов ЭЭГ человека  
при тревожно-фобических расстройствах ....................................  
53

3.4.  Мультифрактальные характеристики паттернов ЭЭГ 
человека при тревожно-фобических расстройствах ..................  
56

3.5.  Анализ возможности коррекции тревожно-фобических 
расстройств на основе вейвлетных и мультифрактальных 
характеристик паттернов ЭЭГ ..........................................................  
61

Глава 4. Анализ способности мозга к усвоению ритма  
заданной частоты при сосудистой патологии  
разной степени тяжести ..................................................................... 
63

4.1.  Нелинейная динамика паттернов ЭЭГ человека  
при нарушении функционального состояния мозга,  
связанного с сосудистой патологией мозга .................................  
63

4.2.  Анализ фоновых паттернов ЭЭГ человека  
с сосудистой патологией мозга .......................................................  
64

4.3.  Нелинейная динамика реактивных паттернов ЭЭГ:  
вейвлет-анализ  ..................................................................................  
68

4.4.  Оценка коэффициента усвоения ритма заданной частоты ......  
76

4.5.  Оценка времени нарастания энергии вейвлетного спектра  
во время ритмической фотостимуляции ......................................  
78

4.6.  Оценка коэффициента удержания ритма заданной частоты ...  
78

4.7.  Анализ способности мозга к воспроизведению  
светового стимула при сосудистой патологии  
разной степени тяжести ....................................................................  
81

4.8.  Сравнение результатов вейвлетного преобразования 
реактивных паттернов ЭЭГ с результатами быстрого  
и оконного преобразования Фурье ...............................................  
83

Глава 5. Механизмы изменения динамической сложности  
паттернов ЭЭГ при нарушении сердечного ритма ..................... 
86

5.1.  Нелинейная динамика паттернов ЭЭГ человека  
при нарушении сердечного ритма .................................................  
86

5.2.  Оценка кросс-вейвлетных спектров светового сигнала 
и реактивного паттерна ЭЭГ при фибрилляциях предсердий 
пароксизмального и постоянного типа ........................................  
87

5.3.  Вейвлетный анализ реактивных паттернов ЭЭГ  
при фибрилляциях предсердий пароксизмального  
и постоянного типов ..........................................................................  
89

5.4.  Оценка реакции усвоения ритма в паттернах ЭЭГ  
у пациентов с фибрилляцией предсердий на основании 
анализа рекуррентных диаграмм ...................................................  
92

5.5.  Оценка различий в функциональном состоянии ЦНС 
у пациентов с нарушениями сердечного ритма в виде 
мерцательной аритмии пароксизмального и постоянного 
типов .....................................................................................................  
93

Глава 6. Механизмы изменения динамической сложности 
непроизвольных колебаний руки человека  
при двигательных нарушениях ....................................................... 
99

6.1.  Нелинейная динамика непроизвольных колебаний руки 
человека при двигательных нарушениях ....................................  
99

6.2.  Энергетические характеристики  
непроизвольных колебаний руки человека ................................  
101

6.3.  Оценка эффективности лекарственного воздействия  
на двигательную активность человека на основании 
изучения вейвлетных свойств тремора ........................................  
104

6.4.  Мультифрактальные характеристики  
непроизвольных колебаний руки человека ................................  
109

6.5.  Оценка эффективности лекарственного воздействия 
на двигательную активность человека на основании 
мультифрактальных свойств тремора ...........................................  
112

6.6.  Сравнительный анализ вейвлетных  
и мультифрактальных характеристик тремора пациентов 
с болезнью Паркинсона и пациентов с синдромом  
эссенциального тремора ..................................................................  
115

6.7.  Уменьшение динамической сложности  
при двигательных нарушениях .......................................................  
120

6.8.  Портреты фазовых траекторий непроизвольных колебаний 
руки человека ......................................................................................  
121

6.9.  Рекуррентные диаграммы непроизвольных колебаний  
руки человека ......................................................................................  
123

6.10.  Сравнительные характеристики рекуррентных диаграмм для 
паркинсонического и эссенциального тремора .........................  
127

6.11. Локализация неустойчивых периодических орбит 
непроизвольных колебаний руки человека ................................  
129

Глава 7. Механизмы возникновения антиноцептивного ответа  
сенсорного нейрона ............................................................................. 
132

7.1.  Нелинейная динамика паттернов импульсной активности 
ноцицепторов при восприятии болевого сигнала .....................  
132

7.2.  Модель мембраны ноцицептивного нейрона .............................  
135

7.3.  Разделение пространства параметров модели  
на области качественно различных решений .............................  
140

7.4.  Определение связи между значениями параметров модели 
ноцицептивного нейрона и типом решения  ..............................  
142

7.5.  Определение механизмов возникновения пачечной 
активности в модели мембраны ноцицептивного нейрона ....  
147

7.6.  Определение влияния коменовой кислоты на параметры 
модели мембраны ноцицептивного нейрона .............................  
154

7.7.  Определение влияния параметров активационной воротной 
структуры натриевого канала на ритмическую активность 
мембраны ноцицептивного нейрона ............................................  
156

7.8.  Определение влияния модификации параметров 
активационной воротной структуры натриевого канала 
на пачечную активность мембраны ноцицептивного 
нейрона ................................................................................................  
157

7.9.  Определение влияния проводимости медленных  
натриевых каналов на импульсную активность мембраны 
ноцицептивного нейрона ................................................................  
158

7.10. Сравнение импульсной активности модели мембраны 
ноцицептивного нейрона до и после ее модификации  
в условиях блокирования калиевого тока ....................................  
160

7.11. Бифуркационный анализ смены режимов  
импульсной активности модели мембраны  
ноцицептивного нейрона при изменении величины 
стимулирующего тока .......................................................................  
165

7.12. Определение механизма возникновения  
пачечной активности в модели мембраны ноцицептивного 
нейрона в условиях блокирования калиевого тока ...................  
167

7.13. Переход от ритмической активности к пачечной  
включает в себя решения типа «утки» (torus canards) ................  
170

7.14. Определение связи между изменением параметров 
модели мембраны ноцицептивного нейрона 
и подавлением пачечной активности при возникновении 
антиноцицептивного ответа в условиях блокирования 
калиевого тока ....................................................................................  
173

Заключение .............................................................................................................. 
176

Литература ............................................................................................................... 
178

Введение

Любая физиологическая система способна адаптироваться к постоянно изменяющимся условиям среды, в силу чего ее физиологическим показателям 
свойственна значительная вариабельность. Значимые для человека ритмы, например ритмы сердца, дыхания, шаговый ритм во время ходьбы, также изменчевы, а связи между причинами этой вариабельности и вызванными ими последствиями существенно нелинейны и, соответственно, малые нерегулярные 
флуктуации, зависящие от возраста и состояния здоровья, могут вызвать значительные изменения в паттернах ритмов. Это позволяет говорить о том, что 
физиологические системы проявляют сложную нелинейную динамику.
В настоящей работе рассматривается динамическая сложность временной 
организации паттернов физиологических сигналов, отражающих вариабельность и нестационарность временной динамики физиологических процессов. 
В основе этой сложности лежит многообразность процессов управления 
функциональными нервными связями. Патология процесса управления, как 
правило, связана с потерей динамической сложности паттернов, возникновением доминантного паттерна или даже доминантной частоты, приводящей 
к неспособности физиологической системы разнообразно и адекватно отвечать на непредсказуемые стимулы.
Известно, что вариабельность физиологических ритмов обладает свойством фрактальности, т. е. демонстрирует некоторую повторяемость в широком диапазоне временных масштабов. Однако эта повторяемость является 
не полной, а сохраняется на статистическом уровне, т. е. фрактальность сигнала означает повторяемость после усреднения статистически независимых 
выборок временного ряда, описывающего определенный колебательный процесс. В основе фрактальности физиологических ритмов лежит фрактальность 
длительностей открытого состояния ионных каналов и затем — интегральных 
ионных токов, формирующих ритмическое возбуждение нейронов. 
С некоторой повторяемостью в широком диапазоне временных масштабов связано также понятие рекуррентности, которое означает возврат 
траектории колебательного процесса в окрестность точки, в которой она была 
ранее, при рассмотрении эволюции сигнала во времени. 

Изучение фрактальных и рекуррентных характеристик сигнала помогает 
выявлять характерные закономерности в паттернах физиологических ритмов 
здорового человека и определять изменения в динамической сложности паттернов при возникновении различных патологических состояний. Раскрытие 
механизмов изменений этой сложности является целью данной работы. Для 
достижения этой цели рассматриваются, во-первых, механизмы, лежащие 
в основе изменений динамической сложности паттернов электрической активности мозга человека, регистрируемой в виде электроэнцефалограммы 
(ЭЭГ) при нарушениях функционального состояния мозга, связанных с тревожно-фобическими расстройствами, сосудистыми нарушениями и эпилептическими повреждениями мозга; во-вторых, механизмы изменений динамической сложности непроизвольных колебаний руки (тремора), возникающих 
при выполнении человеком определенных двигательных задач, при возрастании степени двигательных нарушений; в-третьих, механизмы, определяющие изменения динамической сложности паттернов импульсной активности 
ноцицепторов при возникновении антиноцицептивного ответа.
Известно, что электричекая активность мозга относится к колебательным 
процессам, проявляющим выраженную нестационарность и фрактальную динамику [1–3]. При этом в некоторых работах паттерны ЭЭГ рассматриваются как 
монофракталы, т. е. описываются одним показателем скейлинга (масштаба) — 
фрактальной размерностью или экспонентой Херста, определяющей повторяемость статистических характеристик при изменении масштаба. Именно такое 
описание встречается в работах, анализирующих изменения в ЭЭГ, происходящие при прослушивании классической или рок-музыки [4], или в которых 
оцениваются различия в ЭЭГ мозга здорового человека и больного эпилепсией 
[5–7]. В других работах, напротив, показано, что в силу парадоксального сочетания кратковременной декорреляции в паттернах ЭЭГ, вызванных их зашумленностью, и долговременной корреляции, связанной с их фрактальной 
структурой, паттерны ЭЭГ могут иметь участки с различными локальными 
свойствами скейлинга, т. е. быть мультифрактальными, а степень мультифрактальности будет определяться не одной фрактальной размерностью или экспонентой Херста, а распределением фрактальных размерностей или локальных 
экспонент Гельдера [8–10]. Мультифрактальность здорового мозга обнаружена 
в ЭЭГ во время выполнения сложных зрительно-двигательных задач [8, 11], 
а также во время различных фаз сна [12]. Мультифрактальная динамика электрической активности мозга наблюдается и при его эпилептическом повреждении [13]. Таким образом, в литературе обсуждается как монофрактальность, 
так и мультифрактальность нелинейной динамики ЭЭГ, а вопрос о мультифрактальных особенностях ЭЭГ и их применимости в нейрофизиологических 
исследованиях различных состояний мозга остается открытым.
В связи с тем что электрическая активность головного мозга есть отражение сложного взаимодействия корково-подкорковых взаимоотношений, 

синхронизирующих и десинхронизирующих процессов, любые изменения 
в деятельности центральной нервной системы (ЦНС) могут приводить к нарушениям данного взаимодействия. Это, в свою очередь, может вызывать изменение функционального состояния ЦНС. 
В настоящей работе приведены доказательства того, что определение 
вейв летных, мультифрактальных и рекуррентных характеристик физиологических сигналов позволяет оценивать характерные изменения в динамической 
сложности паттернов при возникновении различных патологических состояний и выявлять механизмы, лежащие в основе этих изменений. Полученные 
результаты могут быть использованы в клинической практике для автоматического выявления эпилептических разрядов у больных парциальной эпилепсией, для оценки эффективности психотерапевтического воздействия при 
болевом синдроме у пациентов с тревожно-фобическими расстройствами, для 
оценки степени психоэмоциональной возбудимости пациентов с сосудистыми 
нарушениями, для оценки степени отклонения двигательной функции человека от нормы и достоверного различения паркинсонического и эссенциального тремора.
В первой главе монографии рассмотрены основные методы анализа нестационарных физиологических сигналов. Вторая глава посвящена выяснению механизмов, лежащих в основе изменений динамической сложности 
паттернов ЭЭГ при нарушениях функционального состояния мозга, связанных 
с эпилептическими повреждениями, и моделированию возможности автоматического выявления эпилептических разрядов на основе вейвлетных и мультифрактальных характеристик паттернов ЭЭГ у больного симптоматической 
парциальной эпилепсией. В третьей главе выясняются механизмы коррекции 
тревожно-фобических состояний. Для этого рассмотрены изменения, происходящие в паттернах ЭЭГ во время предъявления болевого стимула и в процессе устранения болевого ощущения с помощью методики психорелаксации 
у здоровых лиц; эти изменения сопоставлены с изменениями, происходящими 
в паттернах ЭЭГ в процессе психорелаксации у пациентов с тревожно-фобическими расстройствами. Четвертая и пятая главы посвящены анализу изменений, происходящих в реактивных паттернах ЭЭГ при нарушениях функционального состояния ЦНС, связанных с сосудистой патологией мозга и нарушениях сердечного ритма различной степени выраженности. В шестой главе 
исследуются механизмы изменений динамической сложности тремора руки 
при возрастании степени двигательных нарушений. В седьмой главе определяются механизмы изменений динамической сложности паттернов импульсной 
активности ноцицепторов при возникновении антиноцицептивного ответа.

* * *
Авторы выражают признательность за предоставленные экспериментальные данные врачам-нейрофизиологам И. А. Святогор и И. А. Моховиковой.

Глава 1

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Динамические изменения в структуре паттернов могут быть исследованы с помощью следующих методов: вейвлетного, мультифрактального, рекуррентного и бифуркационного анализов.
В настоящей работе проанализированы записи ЭЭГ, полученные от 89 здоровых лиц, 61 пациента с тревожно-фобическими расстройствами, 15 пациентов, страдающих парциальной симптоматической эпилепсией, 79 пациентов 
с сосудистой патологией мозга и 38 — с нарушениями сердечного ритма. ЭЭГ 
регистрировалась с помощью 21-канального энцефалографа фирмы «Мицар» 
(Санкт-Петербург, Россия) врачами-нейрофизиологами И. А. Святогор и 
И. А. Моховиковой на базе городской поликлиники № 45, городской психиатрической больницы № 3 им. И. И. Скворцова-Степанова и клиники военно-морской терапии Военно-медицинской академии им. С. М. Кирова во время неврологического лечения пациентов. От всех тестируемых было получено информированное согласие. При регистрации ЭЭГ активные электроды располагались по 
схеме 10×20, в качестве индифферентного использовался усредненный электрод 
(Av). Безартефактные отрезки записи ЭЭГ оценивались в лобных F3, Fz, F4, затылочных O1, Oz, O2, теменных P3, P4, Pz или височных T3, T4, T5, T6 отведениях 
в различных состояниях (спокойного бодрствования и при функциональных 
нагрузках) в зависимости от поставленной в исследовании задачи. 
Непроизвольные колебания руки человека были зарегистрированы 
С. П. Романовым в Институте мозга человека им. Н. П. Бехтеревой РАН во 
время неврологического лечения пациентов в условиях выполнения предложенной двигательной задачи. От всех тестируемых было получено информированное согласие. Были проанализированы записи, полученные от 55 здоровых 
тестируемых, 51 больного первичным паркинсонизмом с двусторонними проявлениями тремора и 45 пациентов с синдромом эссенциального тремора. 
Двигательная задача заключалась в управлении изометрическим напряжением мышц с возможностью слежения за величиной усилия по смещению меток 
на экране монитора. Испытуемые сидели за столом перед монитором и нажимали пальцами рук на платформы с тензочувствительными датчиками, которые 
преобразовывали силу давления каждой руки в электрический сигнал (рис. 1.1). 

Жесткость платформ обеспечивала регистрацию усилия в изометрическом 
режиме, т. е. без видимого смещения 
пальцев в точке контакта с измерительным элементом. Регистрация изометрического усилия производилась 
двумя типами тестов: в первом испытуемый удерживал усилие пальцами 
снизу вверх, а тыльная сторона ладони обеих выпрямленных рук прижималась к основанию платформы; 
во втором тесте усилие удерживалось 
сверху вниз пальцами выпрямленных 
вперед рук. Регистрируемая траектория изометрического усилия содержала медленный тренд и быструю непроизвольную компоненту (тремор), 
которую выделяли из полученной траектории с помощью использования вейвлетов (wavelet denoising method) [14] или с помощью адаптивного метода удаления тренда (adaptive detrending method) [15].
В случае использования вейвлет-преобразования пороговая обработка 
вейвлет-коэффициентов осуществлялась по принципу Штейна несмещенной 
оценки риска. При этом использовалась схема мягкой фильтрации, при которой коэффициенты дискретного вейвлет-преобразования dj,k изменялись 
по формуле:

(
)

,

,

,
,
,

0

(
)

j k

j k

j k
j k
j k

d
p
d
sign
d
d
p
d
p

≤
= ⋅
−
>
,

где p — выбранное значение порога на масштабе j связано с числом N точек 
оцифровки исходной функции и дисперсией вейвлет-коэффициентов σ на 
первом масштабе следующим образом [1]:

2
1,
2
/
k
k

d
N
σ =
∑
.

Адаптивный метод удаления тренда основан на разделении временного 
ряда на сегменты длины w с последующей аппроксимацией каждого сегмента 
полиномом порядка m [15]. 
Колебательные тренды, выделенные из зарегистрированной траектории 
изометрического усилия с использованием двух описанных выше алгоритмов, 
приведены на рис. 1.2. Оставшаяся после выделения медленного тренда быстрая непроизвольная компонента (тремор) представлена на рис. 1.3.

7

В случае использования вейвлет-преобразования пороговая обработка вейвлет
коэффициентов осуществлялась по принципу Штейна несмещенной оценки риска. При этом 

использовалась схема мягкой фильтрации, при которой коэффициенты дискретного вейвлет
преобразования dj,k изменялись по формуле:

(
)

,

,

,
,
,

0

(
)

j k

j k

j k
j k
j k

d
p
d
sign
d
d
p
d
p

≤
= ⋅
−
>
,

где p — выбранное значение порога на масштабе j связано с числом N точек оцифровки 

исходной функции и дисперсией вейвлет-коэффициентов σ на первом масштабе следующим 

образом [1]:

2
1,
2
/
k
k
d
N
σ =
∑
.

Адаптивный метод удаления тренда основан на разделении временного ряда на сегменты 

длины w с последующей аппроксимацией каждого сегмента полиномом порядка m [15]. 

Колебательные тренды, выделенные из зарегистрированной траектории изометрического 

усилия с использованием двух описанных выше алгоритмов, приведены на рис. 1.2. Оставшаяся 

после выделения медленного тренда быстрая непроизвольная компонента (тремор) 

представлена на рис. 1.3.

Рис. 1.1. Регистрация изометрического 
усилия на жесткой платформе 
с тензочувствительными датчиками, 
измеряющими прогибание до 0,01 мм 
на длине до 100 мм

0
5
10
15
20
25
30

–1

0

1

 Регистрируемый сигнал и тренд (denoising method)

0
5
10
15
20
25
30

–1

0

1

 (detrended method)

t (c)

Рис.1.2. Сравнение эффективности удаления тренда из оригинальной записи данных с помощью 
адаптивного метода удаления тренда и с использованием вейвлетов 
(регистрируемая траектория показана тонкой линией, тренд — жирной линией)

0
5
10
15
20
25
30
-2

0

2

вся траектория и тренд

усилие(Н)

0
5
10
15
20
25
30
-2

0

2

тренд

усилие(Н)

0
5
10
15
20
25
30
-2

0

2

тремор

время (сек)

усилие(Н)

Рис.1.3. Пример регистрируемой траектории изометрического усилии, 
выделенного медленного тренда и быстрой составляющей (тремора)

1.1. Вейвлет-анализ физиологических сигналов

Вейвлет-преобразование широко используется для решения широкого класса задач,

связанных с анализом физиологических сигналов, например анализом электрокардиограмм [16–

22], электроэнцефаллограмм и томограмм мозга [10–16]. Метод вейвлет-анализа используется 

Рис. 1.2. Сравнение эффективности удаления тренда из оригинальной 
записи данных  с помощью адаптивного метода удаления тренда и 
с использованием вейвлетов (регистрируемая траектория показана 
тонкой линией, тренд — жирной линией)

8

0
5
10
15
20
25
30

-1

0

1

регистрируемый сигнал и тренд (denoising method)

0
5
10
15
20
25
30

-1

0

1

 (detrended method)

t(c)

Рис.1.2. Сравнение эффективности удаления тренда из оригинальной записи данных с помощью 
адаптивного метода удаления тренда и с использованием вейвлетов 
(регистрируемая траектория показана тонкой линией, тренд — жирной линией)

5
10
15
20
25
30

0

2

Вся траектория и тренд

Усилие (Н)

5
10
15
20
25
30

–2 0

2

0

Тренд

Усилие (Н)

5
10
15
20
25
30
–2 0

Тремор

Время (с)

Усилие (Н)

Рис.1.3. Пример регистрируемой траектории изометрического усилии, 
выделенного медленного тренда и быстрой составляющей (тремора)

1.1. Вейвлет-анализ физиологических сигналов

Вейвлет-преобразование широко используется для решения широкого класса задач,

связанных с анализом физиологических сигналов, например анализом электрокардиограмм [16–

22], электроэнцефаллограмм и томограмм мозга [10–16]. Метод вейвлет-анализа используется 

–2 0

2

0

Рис. 1.3. Пример регистрируемой траектории изометрического усилия, 
выделенного медленного тренда и быстрой составляющей (тремора)

1.1.  Вейвлет-анализ физиологических сигналов

Вейвлет-преобразование широко используется для решения широкого класса 
задач, связанных с анализом физиологических сигналов, например анализом 
электрокардиограмм [16–22], электроэнцефаллограмм и томограмм мозга [10–
16]. Метод вейвлет-анализа используется также при исследовании электрической активности нервных клеток [30–36] и последовательностей времен жизни 
ионных каналов [37].
Метод вейвлет-преобразования [38] позволяет разложить одномерный 
сигнал, представленный в виде ряда числовых значений {
}
1
( )
N
i
i
x t
= , по набору 
копий одной исходной функции-прототипа (материнского вейвлета ψ(t)). Эти 
копии (вейвлетные функции) масштабируются в некоторое число раз (т. е. 
растягиваются во времени) и смещаются на некоторое расстояние: 

0
0
,
1
a t
t
t
a
a

−
ψ
=
ψ,

где a и t0 — параметры масштаба и сдвига, определяющие ширину и смещение 
вейвлета, при этом временной масштаб (a) обратно пропорционален частоте 
преобразования Фурье. Cмещение вейвлета вдоль изучаемого сигнала дает 
возможность обнаружить изменение во времени масштаба, а значит, и частоты сигнала [14], что важно для существенно нестационарных сигналов, какими являются большинство физиологических сигналов.
Вейвлет-преобразование непрерывного сигнала представляет собой 
свертку сигнала с вейвлетной функцией: 

0
*
0
,
( ,
)
( )
,
a t
W a t
x t
dt

+∞

−∞
=
ψ
∫

где символ 

0
*
,a t
ψ
 означает комплексно-сопряженную функцию. Величина коэффициента W(a, t0) вейвлет-преобразования характеризует наличие и интенсивность соответствующего временного масштаба a в момент времени t0. 

1.2.  Дискретное вейвлет-преобразование сигнала

Дискретное вейвлет-преобразование вычисляется для дискретных значений 
параметров масштаба a = 2m и сдвига t0 = 2m k, где k, m — целые числа. В этом 
случае семейство вейвлетных функций имеет следующий вид [26]: 

,

1
2
( )
.

2
2

m

m k
m
m
t
k
t
−
φ
=
φНа m-уровне разложения дискретное преобразование сигнала представляет собой суперпозицию вейвлетных функций. После обратного вейвлет-пре

образования анализируемый сигнал x(t) равен сумме сглаженной (низкочастотной) компоненты последнего уровня (Am) и детализирующих (высокочастотных) компонент всех уровней (Dm, …, D1) разложения (рис. 1.4).
Компонента A3(t) описывает грубое приближение к исходному сигналу 
на третьем уровне разложения, а D1(t)… и D3(t) — мелкомасштабные детали, 
полученные на трех уровнях разложения; при этом компонента D1(t) характеризует наиболее высокочастотные детали анализируемого сигнала. Таким 
образом, дискретное вейвлет-преобразование фактически является прохождением сигнала через определенные частотные фильтры, а кратномасштабный 
алгоритм многоуровнего разложения и последующего восстановления сигнала позволяет выявить особенности этого сигнала на различных частотах 
[14]. Пример сглаженной и детализирующих компонент вейвлет-разложения 
физиологического сигнала представлен на рис. 1.5.
В отличие от оконного преобразования Фурье, имеющего одно и то же 
разрешение по времени и частоте для всех точек сигнала, вейвлетные функции 
имеют уменьшающееся (при уменьшении масштаба) разрешение по времени 
и увеличивающееся (при увеличении масштаба) разрешение по частоте [40]. 
Это свойство вейвлет-преобразования дает ему большое преимущество при 
анализе сигнала, так как «адаптивное» частотно-временное окно позволяет 
с хорошей точностью извлекать высокочастотную информацию из относительно малых временных интервалов, а низкочастотную информацию — определять из относительно широких временных интервалов сигнала.
Для анализа полученных компонент сигнала обычно используется быстрый алгоритм дискретного преобразования Фурье с последующим оцениванием спектральной плотности энергии этих компонент, что позволяет определить распределение энергии компонент сигнала по частотам [40, 41]. В работе 
[42] предложен оригинальный метод оценки спектральной плотности энергии 
нестационарного сигнала, описание которого приведено в следующем параграфе.

10

x(t)

A1(t)
D1(t)

A2(t)
D2(t)

A3(t)
D3(t)

Рис. 1.4. Трехуровневое вейвлет-разложение сигнала: 

3
3
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
x t
A t
D t
D t
D t
=
+
+
+