Геометрия и графика, 2020, № 3

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2020

Подписано в печать 25.09.2020.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Короткий В.А.  
Кубические кривые в инженерной геометрии . . . . . . . .3

Жихарев Л.А.
Фрактальные графики эффективности оптимизации 
топологии в решении проблемы зависимости 
прочности от сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Пушкарев С.А., Плаксин А.М., Сычева А.А.,  
Харланова П.М.
Геометрическое моделирование средств  
визуализации напряжения на основе  
функционально-воксельного метода . . . . . . . . . . . . . . . . .36

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Тихонов-Бугров Д.Е., Абросимов С.Н.
Дистанционная любовь или обучение  
графическим дисциплинам в условиях пандемии . . . .44

С.А. Игнатьев, А.И. Фоломкин, З.О. Третьякова, 
К.О. Глазунов
Электронная обучающая среда Moodle как 
эффективное средство организации обучения 
начертательной геометрии в условиях пандемии 
COVID-19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

С.А. Игнатьев, З.О. Третьякова, М.В. Воронина
Обзор образовательных курсов на основе  
технологий дополненной реальности . . . . . . . . . . . . . . . .67

ОБЗОРЫ

Сальков Н.А.
Отображение проблем геометрического  
образования в журнале «Геометрия и графика»  . . . . .87

2020. Том 8. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА – Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2020. Vol. 8. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор,  
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications,  
St.-Petersburg (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 
after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow 
(Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Плоский Виталий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, 
президент Украинской ассоциации по прикладной геометрии, 
проректор по научной работе. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев (Украина). 
 
Kiev National University of Construction and Architecture, Kiev 
(Ukraine).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.
Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.
Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.
Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.
При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.
Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).
Согомонян Коля Амазаспович, д-р техн. наук, профессор. Армянский 
национальный политеxнический университет. Ереван (Армения).
 
Armenian National Polytechnic University, Yerevan (Armenia).
Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский  
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор. Московский государственный университет имени  
М.В. Ломоносова, Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия). 

Ефремов Алексей Вячеславович, преподаватель МИРЭА —  
Российский технологический университет (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020    

DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-24

В.А. Короткий
Д-р техн. наук, профессор,
Южно-Уральский государственный университет,
Россия, 454080, Челябинск, проспект Ленина, 76

Кубические кривые в инженерной 
геометрии

Аннотация. Рассматриваются исторически первые (60-е гг. 
XX в.) вычислительные способы конструирования алгебраических кривых третьего порядка. Выполнен анализ уравнения 
кубической кривой общего вида r(t) = a3t3 + a2t2 + a1t + a0. 
В качестве примера рассмотрена простейшая кубическая 
кривая r(t) = it3 + jt2 + kt.
На основе уравнения кубической кривой общего вида 
получены уравнения кубической кривой, проходящей через 
две наперед заданные точки и имеющей в этих точках наперед 
заданные касательные. Уравнения представлены как в форме 
Фергюсона, так и в форме Безье. Показано, что векторное 
уравнение кубической кривой (например, стандартное уравнение кривой Безье) может быть представлено в точечной 
форме. Рассмотрены примеры конструирования сегментов 
кубических кривых, удовлетворяющих заданным граничным 
условиям.
Обобщенное уравнение кубической кривой, содержащее 
весовые коэффициенты, получено способом выхода в четырехмерное пространство. Рассмотрено векторное параметрическое уравнение конического сечения, проходящего через 
две данные точки и касающегося в этих точках наперед заданных прямых. Коническое сечение рассматривается как 
частный случай кубической кривой.
В качестве дополнительного граничного условия может 
быть задана кривизна. Рассмотрена возможность построения кубической кривой, у которой в концевых точках зафиксированы положения соприкасающихся плоскостей и 
заданы радиусы кривизны. Предложен алгоритм построения 
плоской кубической кривой с заданной кривизной в конечных точках. 
Рассмотрены алгоритмы построения гладких составных 
кривых Фергюсона — Безье. На составную кривую накладываются условия гладкости: 1) в любой своей точке кривая 
должна иметь касательную (не допускаются изломы); 2) вектор кривизны должен изменяться непрерывно от точки к 
точке (не допускается скачкообразное изменение вектора 
кривизны ни по модулю, ни по направлению). Предложены 
примеры конструирования составных кривых Фергюсона — 
Безье.
Выполнено сравнение полиномиального кубического 
сплайна с составными параметрически заданными кривыми. 
Даны примеры построения кубических сплайнов с защемленными и свободными концами. 
Статья имеет учебный характер и предназначена для углубленного изучения основ компьютерной графики.
Ключевые слова: кривая Фергюсона, кривая Безье, составная кривая, гладкость, кривизна, кубический сплайн.

V.A. Korotky
Doctor of Engineering, Professor,
South Ural State University,
76, Lenin Prospect, Chelyabinsk, 454080, Russia

Cubic Curves in Engineering Geometry

Abstract. In this paper are considered historically the first (the 
60’s of the 20th century) computational methods for algebraic cubic 
curves constructing. The analysis of a general cubic curve equation 
r(t) = a3t3 + a2t2 + a1t + a0.
has been carried out. As an example has been considered the 
simplest cubic curve r(t) = it3 + jt2 + kt.
Based on the general cubic curve equation have been obtained 
equations of a cubic curve passing through two predetermined points 
and having predetermined tangents at these points.
The equations have been presented both in Ferguson and Bézier 
forms. It has been shown that the cubic curve vector equation (for 
example, the standard equation of a Bézier curve) can be represented in a point form. Have been considered examples for constructing segments of cubic curves meeting the given boundary 
conditions.
The generalized cubic curve equation, containing weight coefficients, has been obtained by the method of exit into four-dimensional space. Has been considered a vector parametric equation of 
a conical section, passing through two given points and touching 
predetermined straight lines at these points. The conical section is 
considered as a special case of a cubic curve.
Curvature can be specified as an additional boundary condition. 
Has been considered the possibility for constructing a cubic curve 
with fixed positions of contacting planes at end points and given 
radii of curvature. Has been proposed an algorithm for constructing a plane cubic curve with a given curvature at the end points.
Have been considered algorithms for constructing smooth 
compound Ferguson — Bézier curves. Smoothness conditions are 
imposed on a compound curve: 1) at any of its points, the curve 
must have a tangent (no fractures are allowed), 2) the curvature 
vector must be changed continuously from point to point (no discontinuous jump in the curvature vector is allowed neither in modulus no in direction). Have been proposed examples for constructing compound Ferguson — Bézier curves.
Has been performed comparison of polynomial cubic spline 
with compound parametrically defined curves. Have been given 
examples for constructing cubic splines with fastened and free ends.
The paper is for educational purposes, and intended for in-depth 
study of computer graphics basics.
Keywords: Ferguson curve, Bézier curve, compound curve, 
smoothness, curvature, cubic spline.

Введение

Кривая Фергюсона, кривая Безье, полиномиальные сплайны, B-сплайны, NURBS-кривые. Как объяснить учащемуся значение этих терминов? В качестве объяснения обычно показывают соответствующую кнопку на панели графических инструментов 

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24

ПК и рекомендуют прочесть инструкцию: «…дважды щелкнув на иконке кривой, выберите из выпадающего меню опцию “Безье”, затем укажите 4 точки, 
удерживая клавишу ALT и пользуясь горячими клавишами F5-F7, после чего нажмите ENTER». От такого 
«объяснения» немного пользы. Оно уместно на ускоренных курсах пользователей ПК, но не в университете.
С другой стороны, вряд ли внесет ясность такой 
академический текст: «B-сплайн есть разделенная 
разность m-го порядка усеченной степенной функции 
со смещенным началом σm–1(z) = (z–1)m–1+, умноженная 
на (ti+m – ti)». Этому и другим понятиям вычислительной геометрии можно дать не столь строгие, но геометрически наглядные определения, применимые 
в учебном курсе инженерной геометро-графической 
подготовки [14]. 
Необходим учебник, содержащий как теоретические основы геометрического моделирования кривых 
и поверхностей в компьютерной графике, так и практические примеры, рассчитанный на студентов инженерно-технических специальностей. В качестве 
одного из разделов такого учебника предлагается 
рассмотреть исторически первые (60-е гг. XX в.) вычислительные способы конструирования алгебраических кривых третьего порядка [19]. 

1. Пространственная кубическая кривая 

Дана векторная функция r(t) скалярного аргумента t

 
r
a
a
a
a
t
t
t
t
( ) =
+
+
+
3
2
1
0,
3
2
 
(1.1)

где a3, a2, a1, a0 — векторы трехмерного пространства. 
Произвольному значению параметра t отвечает вектор r(t), равный сумме векторов a0, a1t, a2t2, a3t3. При 
изменении t начальная точка вектора r(t) остается 
неподвижной, совпадая с начальной точкой O вектора a0. Конечная точка Q(t) вектора r(t) описывает 
пространственную алгебраическую кривую третьего 
порядка («кубическую кривую»), которую называют 
годографом вектора r(t). 

Вектор r
r
a
a
a
t
d
dt
t
t
( ) =
=
+
+
3
2
3
2

2
1

 ориентирован 

параллельно касательной к кривой r(t) в точке Q(t), 
указывая направление движения точки Q при увеличении параметра t. Если t — время, то r t( )  — скорость 
движения точки Q по кривой r(t). Вектор скорости 
r t( ) и вектор ускорения r
a
a
t
t
( ) =
+
6
2
3
2, перенесенные 
в текущую точку Q(t), определяют в этой точке положение соприкасающейся плоскости Δ(t) [18]. Кривизна 
K(t) кривой r(t) в точке Q(t) определяется по формуле [3]:

 

K t

t
t

t
( ) =
( ) × ( )

( )






r
r

r
3
.

Задача 1. Исследовать сегмент кривой (1.1) в диапазоне изменения параметра t ∈ [0, 1] при значениях коэффициентов a3 = i, a2 = j, a1 = k, a0 = 0, где 
i, j, k — орты декартовой системы координат xyz. 
Подставляя заданные значения ai в (1.1), полу- 
чаем:

 
r(t) = t3i + t2j + tk.  
(1.2)

Кривую (1.2) называют простейшей («примитивной») пространственной алгебраической кривой 
третьего порядка. При t = 0 и t = 1 получаем r(0) = 0, 
r(1) = i + j + k. Векторы r(0) и r(1) указывают начальную Q(0) и конечную Q(1) точки исследуемого сегмента.
Векторные производные функции (1.2) по параметру t имеют вид r
i
j
k
t
t
t
( ) =
+
+
3
2
2
, r
i
j
t
t
( ) =
+
6
2 . 
При t = 0 получаем r
k
0( ) = , r
j
0
2
( ) =
,следовательно, 
в начальной точке O = Q(0) кривая касается оси z, 
а соприкасающаяся плоскость Δ совпадает с плоскостью zy. Кривизна кривой (1.2) в точке Q(0) 
равна:

 

K 0
0
0

0

2
1
2
3
( ) =
( ) × ( )

( )
=
=





r
r

r
.

При t = 1 получаем r
i
j
k
1
3
2
( ) =
+
+ , r
i
j
1
6
2
( ) =
+
.

В точке Q(1) касательная к кривой параллельна вектору r 1( ) . Уравнение этой касательной в скалярных 
координатах x, y, z может быть записано как уравнение прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) и через 
точку (1 – 3ε, 1 – 2ε, 1 – ε), где ε — любое число. 
Векторы r 1( )  и r 1( ) , перенесенные в точку Q(1), 
определяют в этой точке соприкасающуюся плоскость 
Δ. Кривизна кривой (1.2) в точке Q(1) равна:

 

K 1
1
1

1

1

1

0 368 40
14
0166
3
2
( ) =
( ) × ( )

( )
=
( )

( )

=
=










r
r

r

r

r

sinδ
,
,
,

где δ = 21°37' — угол между векторами r 1( )  и r 1( ) . 
Раскладывая уравнение (1.2) по осям x, y, z, получаем:

 
x(t) = t3, y(t) = t2, z(t) = t.  
(1.2′) 

Уравнения (1.2′), эквивалентные уравнению (1.2), 
позволяют построить исследуемую кривую (рис. 1). 

2. Конструирование кубической кривой,  
удовлетворяющей граничным условиям {Q0, Q3, τ0, τ3}

Требуется найти кубическую кривую r(t) вида (1.1), 
удовлетворяющую граничным условиям {Q0, Q3, τ0, 
τ3}, т.е. проходящую через наперед заданные точки 
Q0, Q3 и имеющую в этих точках заданные касательные τ0, τ3. 

Рис. 1. Простейшая кубическая кривая 

Будем полагать, что параметр t изменяется в диапазоне t ∈ [0, 1]. При t = 0 и t = 1 точка Q(t), бегущая 
по годографу r(t), занимает положения Q0 и Q3 соответственно. 
Чтобы кривая удовлетворяла заданным граничным 
условиям, надо определенным образом назначить 
векторные коэффициенты a3, a2, a1, a0 в уравнении 
(1.1). Свободный вектор a0 и его начальная точка O 
могут быть указаны произвольно. Единственное 
предъявляемое к вектору a0 требование — он должен 
заканчиваться в начальной точке Q0 конструируемой 
кривой r(t). 
Таким образом, коэффициент a0 в уравнении (1.1) 
определен. Также вполне определен радиус-вектор 
r(1), начинающийся, как и вектор a0, в точке O, 
и заканчивающийся в заданной точке Q3. Зная вектор 
r(1), можем записать условие, наложенное на коэффициенты ai уравнения (1.1):

 
r(1) = a3 + a2 + a1 + a0.  
(2.1)

Учитывая, что r
a
a
a
3
2
1
t
t
t
( ) =
+
+
3
2
2
,  получаем:

 




r
a

r
a
a
a

0

1
2
3

1

1
2
3

( ) =
( ) =
+
+

,

.

 
(2.2)

Векторные производные 

r
r
0
1
( )
( )
,
 параллельны 
заданным в точках Q0 и Q3 касательным τ0, τ3, следовательно, в уравнениях (2.2) векторы 

r
r
0
1
( )
( )
,
 известны с точностью до модуля.

Совместно решая уравнения (2.1), (2.2), находим 
значения неизвестных коэффициентов a3, a2, a1 
в зависимости от величин r(0), r(1), 

r
r
0
1
( )
( )
,
: 

 
a
r

a
r
r
r
r

a
r
r
r

1

2

3

0

3
1
0
2
0
1

2
0
1

= ( )

=
( ) − ( )
−
( ) − ( )

=
( ) − ( )
+






 00
1
( ) + ( )
r
.

  
(2.3)

Подставляя a0 = r(0) и выражения (2.3) в уравнение (1.1), получаем уравнение кубической кривой:

 
r
r
r

r
r

t
t
t
t
t

t
t
t

( ) = ( )
−
+
(
) + ( )
−
(
) +

+ ( )
−
(
) + ( ) −
+

0 1 3
2
1 3
2

0
1
1

2
3
2
3

2
2


t3
(
).

  
(2.4)

Кубическая кривая (2.4) предложена Фергюсоном 
в 60-х гг. XX в. [19, с. 108]. Иногда эту кривую называют кубической кривой Эрмита [20, с. 140].
Уравнение Фергюсона (2.4) описывает двухпараметрическое семейство кубических кривых, удовлетворяющих граничным условиям {Q0, Q3, τ0, τ3}. Форма 
любой кривой этого семейства определяется величинами 

r
r
0
1
( )
( )
,
.  При увеличении r 0( )  кривая 
теснее прилегает к касательной τ0, а при увеличении 
r 0( ) теснее прилегает к τ3.
Задача 2. Найти семейство кубических кривых, 
удовлетворяющих граничным условиям {Q0, Q3, τ0, 
τ3}, наложенным на кубическую кривую (1.2).
Примитивная кубическая кривая (1.2) удовлетворяет следующим граничным условиям: в точке Q0 = 
Q(0) касательная τ0 совпадает с осью z; в точке Q3 = 
Q(1) касательная τ3 параллельна вектору 3i + 2j + k 
(см. задачу 1). 
Любая кривая r(t) искомого семейства должна, 
как и кривая (1.2), касаться оси z в точке Q0, следовательно, ее первая производная в этой точке равна 
r
k
0
0
( ) = w
, где w0 — произвольное число. Аналогичным 
образом первая производная любой кривой искомого семейства в точке Q3 равна r
i
j
k
1
3
2
3
( ) =
+
+
(
)
w
,  где 
w3  может быть любым числом.
Подставляя r(0) = 0, r(1) = i + j + k, r
k
0
0
( ) = w
, 

r
i
j
k
1
3
2
3
( ) =
+
+
(
)
w
в уравнение Фергюсона (2.4), получаем:

 
r
i
j
k
k

i
j
k

t
t
t
w
t
t

w
t
t

( ) =
+ +
(
)
−
(
) +
−
(
) +

+
+
+
(
) −
+
(
)

3
2
1

3
2

2
3
0
2

3
2
3 .

 

Раскладываем векторное уравнение по координатным осям x, y, z:

 
x t
t
w
t
w

y t
t
w
t
w

z t
t

( ) =
−
(
)+
−
(
)

( ) =
−
(
)+
−
(
)
( ) =
−

3
1
3
2

3
2
2
1

3
2

2
3
3
3

2
3
3
3

2
w
w
t
w
w
w t
0
3
3
3
0
0
2
−
(
)+
+
−
(
)+
.

 

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020    

Рис. 2. К задаче 2 

Рис. 3. К задаче 3

При любых значениях w0, w3 получаем кривую, 
удовлетворяющую условиям задачи. Например, положив w0 = 5, w1 = 1, получаем:

 
x(t) = t3, y(t) = t2, z(t) = 4t3 – 8t2 + 5t. 

Эта кривая заметно отличается от примитивной 
кубической кривой (в частности, содержит точку 
перегиба), но удовлетворяет тем же самым граничным 
условиям (рис. 2). 
Задача 3. Найти семейство кубических кривых, 
проходящих через точки Q0(0, 0), Q3(1, 1) и касающихся в этих точках прямых τ0, τ3, наклоненных к 
оси x под углами 79° и 64° соответственно.
Будем искать кубическую кривую в форме Фергюсона 
(2.4). При t = 0 искомая кривая проходит через точку Q0(0, 0), при t = 1 — через точку Q3(1, 1). Если 
точке Q0(0, 0) поставить в соответствие нулевой вектор r(0) = r(0i, 0j), то точке Q3(1, 1) будет соответствовать вектор r(1) = r(i, j). 
Введем в рассмотрение единичные векторы T0 = 
0,191i + 0,982j, T3 = 0,438i + 0,899j, параллельные 
касательным τ0, τ3. Представим векторные производные в виде r
T
0
0
( ) = w
0, r
T
1
3
3
( ) = w
,  где коэффициенты w0, w3 позволяют изменять модули первых производных в начальной и конечной точках Q0, Q3 
конструируемой кривой, изменяя тем самым ее геометрическую форму. 

Подставляя r(0) = r(0i, 0j), r(1) = r(i, j),  r
T
0
0
( ) = w
0,

r
T
1
3
3
( ) = w
 в (2.4), получаем уравнение семейства 
кривых, удовлетворяющих условиям задачи: 

 r
i
j
i
j

i

t
t
t
w
t
t
t

w

( ) =
+
(
)
−
(
) +
+
(
)
−
+
(
) +

+
+

3
2
0191
0 982
2

0 438

2
3
0
2
3

3

,
,

,
0 899
2
3
,
.
j
(
) −
+
(
)
t
t

Это уравнение в координатной форме имеет вид:

 
x t
w t
w
w t

w
w
t

( ) =
+
−
−
(
)
+

+
+
−
(
)

0191
3
0 382
0 438

0191
0 438
2

0
0
3
2

0
3
3
,
,
,

,
,
;

,
,
,

,
,

y t
w t
w
w t

w
w
( ) =
+
−
−
(
)
+

+
+
−
(
)

0 982
3 1964
0 899

0 982
0 899
2

0
0
3
2

0
3
t3.

 

При w0 = w3 = 1 кривая одинаково прилегает к 
касательным τ0, τ3. При увеличении w0 кривая сильнее прилегает к касательной τ0. При отрицательных 
значениях коэффициента w3 кривая подходит к точке Q3 «с другой стороны», так как при w3 < 0 направление вектора производной r
T
1
3
3
( ) = w
 меняется на 
противоположное (рис. 3). 

3. Характеристическая ломаная кубической кривой

Напомним постановку задачи (см. п. 2): требуется найти пространственную кубическую кривую r(t), 
t ∈ [0, 1], удовлетворяющую граничным условиям 
{Q0, Q3, τ0, τ3}, т.е. проходящую через заданные точки 
Q0, Q3 и имеющую в этих точках заданные касательные τ0, τ3.
Конкретизируем задачу, задав определенные направления векторных производных r 0( ) и r 1( )  в точках Q0, Q3. Произвольно отметим на касательных τ0, 
τ3 точки Q1, Q2, наложив на их положение лишь два 
условия: точка Q1 должна располагаться на касательной τ0 после точки Q0 по направлению вектора r 0( ) , 
а точка Q2  должна находиться на касательной τ3 перед 
точкой Q3 по направлению вектора r 1( ) . Точки Q1, 
Q2 называют управляющими точками. Указав точки 
Q1, Q2, получаем ломаную Q0Q1Q2Q3, которую называют характеристической ломаной сегмента кубической кривой r(t) (рис. 4).

Рис. 4. Характеристическая ломаная кубической кривой  

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24

Свяжем векторы r 0( )  и Q0Q1 посредством коэффициента α:

 
Q Q
r
0
1
0
=
( )
α
,   
(3.1)

а векторы Q2Q3 и r 1( ) — посредством коэффициента β:

 
Q Q
r
2
3
1
=
( )
β
.   
(3.2)

Коэффициенты α, β не зависят от положения 
точек Q1, Q2 и могут задаваться произвольно. Изменение 
коэффициентов α, β эквивалентно изменению модулей производных r 0( ) , r 1( ) в точках Q0, Q3 кривой 
r(t).
Введем обозначения: r0 = r(0), r3 = r(1). Управляющим 
точкам Q1 и Q2 поставим в соответствие векторы r1 и 
r2. Радиус-векторы r0, r1, r2, r3 начинаются в произвольно указанной в пространстве точке O и заканчиваются в узлах Q0, Q1, Q2, Q3 характеристической 
ломаной (см. рис. 4). 
Запишем векторные равенства, справедливость 
которых непосредственно следует из рис. 4: 

 
Q0Q1 = r1 – r0, Q2Q3 = r3 – r2.  
(3.3)

Подставляя (3.3) в выражения (3.1), (3.2), получаем:

 

r
Q Q
r
r
0
1
1

0
1
1
0
( ) =
=
−
(
)
α
α
,

r
Q Q
r
r
1
1
1

2
3
3
2
( ) =
=
−
(
)
β
β
.  
(3.4)

Подставляя в уравнение Фергюсона (2.4) вместо 

r 0( ) и r 1( )  выражения (3.4), получаем уравнение 
кубической кривой в форме Вайсбурда [15]:

 
r
r
r
r
r
t
t
t
t
t
( ) =
( )
+
( )
+
( )
+
( )
λ
λ
λ
λ
0
0
1
1
2
2
3
3, 
(3.5)

где

 

λ
α

λ
α

λ
β

0
2

1
2

2
2

1
2
1
1

1
1

1
1

t
t
t
t

t
t
t

t
t
t

( ) =
+
−
−
(
)

( ) =
−
(
)

( ) =
−
(
)

;

;

;

.
λ
β
3
2 3
2
1
t
t
t
t
( ) =
−
− −
(3.6)

Кубическая кривая (3.5) вполне определена характеристической ломаной Q0Q1Q2Q3 и коэффициен
тами α, β. В частности, при α = β = 1/3 уравнение 
(3.5) принимает вид:

 
r
r
r
r
r
t
t
t
t
t
t
t
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
−
(
)
+
1
3 1
3
1
3
0
2
1
2
2
3
3.  (3.7)

Уравнение (3.7) называют стандартным уравнением Безье. 
Уравнение (3.5) позволяет управлять формой конструируемой кривой двумя способами: либо посредством изменения положения управляющих точек Q1, 
Q2 на касательных τ0, τ3, либо путем изменения численных значений коэффициентов α, β. Если в (3.5) 
зафиксирована характеристическая ломаная Q0Q1Q2Q3, 
то формой кривой можно управлять изменением 
коэффициентов α, β. Если зафиксированы значения 
коэффициентов α, β, то управлять формой кривой 
можно посредством изменения положения управляющих точек Q1, Q2. 
В отличие от (3.5), уравнение Безье (3.7) позволяет управлять формой кривой только изменением 
положения управляющих точек Q1, Q2 на касательных 
τ0, τ3.

Примечания к п. 3
1. Уравнения Фергюсона (2.4), Вайсбурда (3.5), Безье 
(3.7) равносильны, поскольку описывают одно и 
то же семейство кубических кривых, удовлетворяющих граничным условиям {Q0, Q3, τ0, τ3}. Бòльшая 
вариативность уравнения (3.5) (возможность 
управлять формой конструируемой кривой не 
только изменением характеристической ломаной, 
но и изменением коэффициентов α, β) не означает, что это уравнение описывает «большее количество» кубических кривых, чем уравнение 
Фергюсона или Безье.
2. Точки Q0, Q1, Q2 определяют плоскость Δ0, соприкасающуюся с пространственной кривой r(t) 
в точке Q0. Точки Q1, Q2, Q3 определяют соприкасающуюся плоскость Δ3 в точке Q3. Плоскости τ0, 
τ3 пересекаются по прямой Q1Q2.

4. Точечная форма уравнения Безье

Стандартное уравнение Безье (3.7) записано в 
векторном виде. Переменный радиус-вектор r(t), 
начинаясь в произвольно указанной точке O трехмерного пространства, изменяет свою длину и направление в зависимости от параметра t и в зависимости от набора постоянных векторных коэффициентов {r0, r1, r2, r3}. При изменении параметра t конечная точка вектора r(t) заметает в пространстве 
кубическую кривую — годограф вектора r(t). Построение годографа может быть выполнено средствами 
трехмерной компьютерной графики, на основе пра
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020    

вил векторной алгебры, без использования какой-либо системы координат.
Если ввести в рассмотрение декартову систему 
координат, то, раскладывая уравнение Безье (3.7) по 
осям координат x, y, z и учитывая справедливое при 
любом значении параметра t тождество (1 – t)3 + 
+ 3t(1 – t)2 + 3t2(1 – t) + t3 = 1, векторное уравнение 
(3.7) представляется в координатной форме:

 
x t
t
x
t
t
x
t
t x
t x

y t
t
y
t

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
−
(
)
+

( ) =
−
(
)
+

1
3 1
3
1

1
3 1

3
0
2
1
2
2
3
3

3
0

;

−
(
)
+
−
(
)
+

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
−
(
)

t
y
t
t y
t y

z t
t
z
t
t
z
t
t

2
1
2
2
3
3

3
0
2
1
2
3
1

1
3 1
3
1

;

z
t z
2
3
3
+
.

 

(4.1)

Здесь x(t), y(t), z(t) — координаты точки Q(t), бегущей по кривой r(t), а величины {xi, yi, zi}– координаты узловых точек Qi характеристической ломаной 
(i = 0, 1, 2, 3). 
Уравнения (4.1) символически записывают в компактном виде:

  
Q(t) = (1 – t)3Q0 + 3t(1 – t)2Q1 + 
 
+ 3t2(1 – t)Q2 + t3Q3.  
(4.2)

Уравнение (4.2) называют точечным уравнением 
кривой Безье. От точечного уравнения (4.2) всегда 
можно перейти к форме (4.1) или к векторной форме (3.7). В свою очередь, векторное уравнение Безье 
(3.7) может быть записано в виде (4.1) или (4.2). 
Уравнения (3.7), (4.1), (4.2) эквивалентны (отличаются только формой записи).
Задача 4. Построить кривую Безье Q(t), заданную точечным уравнением (4.2). Координаты узлов характеристической ломаной равны: Q0(0, 0, 
0), Q1(0.5, 2.0, 3.0), Q2(0.75, –0.6, 1.2), Q3(2.0, 1.0, 
1.0).
Переходя от точечного уравнения (4.2) к эквивалентной записи (4.1) и подставляя в (4.1) заданные 
координаты узлов характеристической ломаной, 
получаем скалярные параметрические уравнения 
кривой Q(t):

 
x t
t
t
t
t
t

y t
t
t
t
t
t

( ) =
−
(
) +
−
(
) +

( ) =
−
(
) −
−
(
) +

15 1
2 25
1
2

6 1
18
1

2
2
3

2
2

,
,
;

,
3

2
2
3
9 1
3 6
1

;

,
.
z t
t
t
t
t
t
( ) =
−
(
) +
−
(
) +

Кривая Q(t) и ее ортогональные проекции на плоскости П2(xz) и П1(xy) представлены на рис. 5.  
В начальной точке Q0 (при t = 0) кривая имеет касательную τ0 = Q0Q1 и соприкасающуюся плоскость 
Δ0(Q0Q1Q2), в конечной точке Q3 (при t = 1) — каса
тельную τ3 = Q2Q3 и соприкасающуюся плоскость 
Δ0(Q1Q2Q3).

Рис. 5. К задаче 4

5. Обобщенное уравнение кубической кривой

Уравнение (3.5) описывает пространственную 
кубическую кривую, проходящую через заданные 
точки Q0, Q3 и имеющую в этих точках заданные 
касательные τ0, τ3. Управление формой кривой обеспечивается перемещением управляющих точек Q1, 
Q2 по касательным τ0, τ3, а также изменением величин 
α, β, входящих в состав полиномиальных коэффициентов (3.6).
В графических САПР используют обобщенную 
кубическую кривую, уравнение которой, в отличие от 
(3.5), содержит так называемые «весовые коэффициенты». Для вывода обобщенного уравнения кубической кривой используем способ выхода в четырехмерное пространство E4(xyzh) [1].
Пусть заданы радиус-векторы r0, r1, r2, r3 узловых 
точек Q0, Q1, Q2, Q3 характеристической ломаной Безье 
(рис. 6). Погружаем тетраэдр Q0Q1Q2Q3 в гиперплоскость h = 1 пространства xyzh. Узловые точки Qi в 
этом пространстве имеют координаты (xi, yi, zi, hi = 1). 
Проецируя точки Q0, Q1, Q2, Q3 из начала координат 
O(0) на произвольную гиперплоскость Σ, получаем 
точки P0, P1, P2, P3, радиус-векторы которых выражаются через радиус-векторы r0, r1, r2, r3 точек Q0, Q1, 
Q2, Q3:

 
r
r
r
r
r
r
r
r
P
P
P
P
H
H
H
H
0
0 0
1
1 1
2
2 2
3
3 3
=
=
=
=
,
,
,
.  (5.1)

Коэффициенты Hi определяют положение гиперплоскости Σ в пространстве xyzh. 
В гиперплоскости Σ проведем кривую

 
r
r
r
r
r
P
P
P
P
P
t
t
t
t
t
( ) =
( )
+
( )
+
( )
+
( )
λ
λ
λ
λ
0
0
1
1
2
2
3
3,

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24

подчиняющуюся характеристической ломаной P0P1P2P3. 
Учитывая (5.1), получаем:

 
r
r
r
r

r

P t
t H
t H
t H

t H

( ) =
( )
+
( )
+
( )
+

+
( )

λ
λ
λ

λ

0
0 0
1
1 1
2
2 2

3
3 3,

 
(5.2)

где полиномиальные коэффициенты λi определены 
выражениями (3.6). Весовые коэффициенты Hi характеризуют, во сколько раз различаются координаты проекционно связанных узловых точек Pi и Qi. 
Например, если точка Q3(x3, y3, z3, h3) имеет координаты (2, 4, 5, 1), а весовой коэффициент равен H3 = 2.5, 
то точка P3 имеет координаты (5, 10, 12.5, 2.5). 

Рис. 6. Характеристическая ломаная кривой Безье в E4(xyzh)

Уравнение (5.2) может быть представлено в координатной форме

 x
t
t H x
t H x
t H x
t H x

y
t
t H

P

P

( ) =
( )
+
( )
+
( )
+
( )

( ) =
( )

λ
λ
λ
λ

λ

0
0
0
1
1 1
2
2
2
3
3
3

0

;

0
0
1
1 1
2
2
2
3
3
3

0
0
0
1
1

y
t H y
t H y
t H y

z
t
t H z
t H
P

+
( )
+
( )
+
( )
( ) =
( )
+
( )

λ
λ
λ

λ
λ

;

z
t H z
t H z

h
t
t H
t H
t H
t
P

1
2
2
2
3
3 3

0
0
1
1
2
2
3

+
( )
+
( )
( ) =
( )
+
( )
+
( )
+
(

λ
λ

λ
λ
λ
λ

;
)H3.

(5.2′)

где xP, yP, zP, hP — координаты подвижной точки P(t) 
в пространстве xyzh, а xi, yi, zi, hi — координаты узловых точек Qi в этом пространстве. В уравнении для 
hP(t) учтено, что координаты hi узловых точек равны 
единице (так как вся характеристическая ломаная 
лежит в гиперплоскости уровня h = 1).
Выполнив центральное проецирование (с центром O) кубической кривой (5.2) из гиперплоскости 
общего положения Σ в гиперплоскость уровня h = 1, 
получим кубическую кривую r(t), удовлетворяющую 
характеристической ломаной Q0Q1Q2Q3. Бегущая по 

кривой rP(t) точка P(t) проецируется в точку Q(t), 

бегущую по кривой r(t). Учитывая, что
 r

r

P
P

Q

t

t

h
t

h

( )
( )
=
( ),

 

где hP(t) и hQ = 1 — координаты h проекционно связанных точек P(t) и Q(t), запишем:

 
r
r
P
P
t
h
t
t
( ) =
( ) ( ).   
(5.3)

Подставляя (5.3) в (5.2), получаем

 
h
t
t
t H
t H
t H

t H

P ( ) ( ) =
( )
+
( )
+
( )
+

+
( )

r
r
r
r

r

λ
λ
λ

λ

0
0 0
1
1 1
2
2 2

3
3 3.

  (5.4)

Подставляя сюда вместо координаты hP(t) ее выражение из последнего уравнения системы (5.2′), 
получаем обобщенное уравнение кубической кривой

r
r
r
r
r
t
t H
t H
t H
t H

t H
t H
( ) =
( )
+
( )
+
( )
+
( )
( )
+
( )

λ
λ
λ
λ

λ
λ

0
0 0
1
1 1
2
2 2
3
3 3

0
0
1
1
2
2
3
3
+
( )
+
( )
λ
λ
t H
t H

(5.5)

или в эквивалентной точечной форме

Q t
t H Q
t H Q
t H Q
t H Q

t H
t H
( ) =
( )
+
( )
+
( )
+
( )
( )
+
( )

λ
λ
λ
λ

λ
λ

0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3

0
0
1
1
2
2
3
3
+
( )
+
( )
λ
λ
t H
t H
. 

Все точки кривой r(t) «вложены» в гиперплоскость 
уровня h = 1, поэтому уравнение (5.5) справедливо 
для обычного трехмерного пространства xyz. 
Если в полиномах λi(t) положить α = β = 1/3, 
получим уравнение обобщенной кривой Безье:

r
r
r
r
r
t
t
H
t
t
H
t
t H
t H

t
H
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
)
+

1
3 1
3
1

1
3

3
0 0
2
1 1
2
2 2
3
3 3
3
0
t
t
H
t
t H
t H
1
3
1
2
1
2
2
3
3
−
(
)
+
−
(
)
+
,  

(5.6)

которое при H0 = H1 = H2 = H3 = 1 вырождается в 
стандартную кривую Безье (3.7). Если в полиномах 
λi(t) положить α = β = 1/2, получим кубическую 
кривую

r
r
r
r
r
t
t
H
t
t
H
t
t H
t H

t
H
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
)
+

1
2 1
2
1

1
2

2
0 0
2
1 1
2
2 2
2
3 3
2
0
t
t
H
t
t H
t H
1
2
1
2
1
2
2
2
3
−
(
)
+
−
(
)
+
.
 

(5.7)

Кривые (5.5), (5.6), (5.7) при любых значениях Hi 
подчиняются характеристической ломаной Q0Q1Q2Q3, 
удовлетворяя граничным условиям {Q0, Q3, τ0 = Q0Q1, 
τ3 = Q2Q3}. Наличие весовых коэффициентов предоставляет дополнительные возможности управления 
формой конструируемой кривой. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020    

Примечание. В некоторых руководствах кривые 
линии, уравнения которых содержат весовые коэффициенты Hi, называют рациональными кривыми, тем 
самым полагая, что другие кривые не являются рациональными. Отметим, что все без исключения 
рассматриваемые нами функции и соответствующие 
им кривые (кубическая кривая (1.1), кубические 
кривые в форме Фергюсона (2.4), Вайсбурда (3.5), 
Безье (3.7) и др.) являются рациональными функциями параметра t. Например, стандартная кривая Безье 
(3.7) — это целая рациональная функция параметра t, 
а обобщенная кривая Безье (6.6) — дробная рациональная функция параметра t. Тем не менее в технической литературе принято особым образом выделять 
кривые, уравнения которых содержат весовые коэффициенты, не вполне корректно присваивая только 
этим кривым статус «рациональных кривых» [4, с. 102]. 
Задача 5. Дано семейство кубических кривых, 
удовлетворяющих граничным условиям, наложенным 
на простейшую кубическую кривую (1.2). Представить 
уравнение этого семейства в обобщенной форме 
Безье.
Из уравнения (1.2) следует: r0 = r(0) = 0, r3 = r(1) 
= i + j + k, r
k
0( ) = , r
i
j
k
1
3
2
( ) =
+
+ .  Касательная τ0 
в начальной точке Q0 кривой (1.2) совпадает с осью 
z. Касательная τ3 в конечной точке Q3 параллельна 
вектору r 1( ) . Векторы r1 и r2, фиксирующие положение управляющих точек Q1, Q2 на касательных τ0, 
τ3, выражаются через векторные производные r 0( ) , 
r 1( )   согласно (3.4). Чтобы уравнение кривой было 
представлено в стандартной форме Безье, в (3.4) 
следует положить α = β = 1/3. Получаем:

 

r
r
k
r
r
r
i
j
k

i
j
k
j
k

1
2
3

1
3
0
1
3

1
3
1

1
3 3
2
1
3

2
3

=
( ) =
=
−
( ) = + +
−

−
+
+
(
) =
+



,

.

 

Радиус-векторы r1, r2, начинаясь в точке Q0(0), 
заканчиваются в управляющих точках Q1(0, 0, 1/3), 
Q2(0, 1/3, 2/3). 
Обобщенное уравнение Безье (5.6) в точечной 
форме имеет вид:

Q t
t
H Q
t
t
H Q
t
t H Q
t H Q

t
H
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
)
+

1
3 1
3
1

1
3

3
0
0
2
1
1
2
2
2
3
3
3
3
0
t
t
H
t
t H
t H
1
3
1
2
1
2
2
3
3
−
(
)
+
−
(
)
+
,

(5.8)

где для рассматриваемой задачи имеем: Q0(0, 0, 0), 
Q1(0, 0, 1/3), Q2(0, 1/3, 2/3), Q3(1, 1, 1). При изменении коэффициентов Hi получаем кривую, проходящую 
ближе к тем узлам Qi, у которых весовой коэффици
ент Hi больше. Например, положив H1 = 5 и сохраняя 
остальные веса равными единице, раскладываем 
точечное уравнение (5.8) по координатным осям:

 
x t
t
t
t
t

y t
t
t
t
t

z t
t
t

( ) = +
−
+

( ) = +
−
+

( ) =
−
(
)

3

2
3

2

2
3

1 12
24
12

1 12
24
12

5 1

;

;

2
2
3

2
3

2
1

1 12
24
12

+
−
(
) +

+
−
+

t
t
t

t
t
t
.

 

(5.9)

Уравнения (5.9) позволяют выполнить построение 
кривой. Ортогональная проекция пространственной 
кривой (5.9) на плоскость П2(zx) представлена на 
рис. 7. Мы видим, что точка Q1, обладающая весом 
H1 = 5, «притягивает» к себе кривую.

Рис. 7. К задаче 5 

6. Коническое сечение как частный случай  
кубической кривой 
 

Коническое сечение должно удовлетворять граничным условиям Q Q
Q
0
1
0
3
3
,
,
=
∩
{
}
τ
τ
 (проходить 
через произвольно указанные в пространстве точки 
Q0, Q3 и касаться в этих точках прямых τ0, τ3, пересекающихся в точке Q1). 
Рассмотрим уравнение кубической кривой в форме 
Вайсбурда (3.5). Пользуясь свободой выбора узлов Q0, 
Q1, Q2, Q3 и коэффициентов α, β, примем α = β = 1/2 
и положим Q1 = Q2. При этом уравнение (3.5) вырождается в уравнение квадратичной параболы:

 
r(t) = (1 – t)2r0 + 2t(1 – t)r1 + t2r3,  
(6.1)

где r0, r1, r3 — радиус-векторы точек Q0, Q1 = Q2, Q3. 
Отметим в пространстве произвольную систему 
координат xyz и поместим характеристическую ломаную Q0Q1Q3 в плоскость уровня Δ с уравнением  
z = 1. Через точки Q0, Q3 проведем произвольную 
плоскость Σ. Проецируя узловую точку Q1 из начала 
координат O на плоскость Σ, получаем точку P1 
(рис. 8).
В плоскости Σ проведем параболу, подчиняющуюся характеристической ломаной P0P1P3, где P0 = Q0, 
P3 = Q3:

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24

r
r
r
r
P t
t
t
t H
t
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+
1
2 1
2

0
1

2
3.    
(6.2)

Здесь rP(t) — радиус-вектор точки P(t), бегущей 
по параболе. Безразмерный параметр H указывает, 
во сколько раз радиус-вектор Hr1 точки P1 отличается от радиус-вектора r1 точки Q1. Параметр H определяет относительное положение плоскостей Σ(P0P1P3) 
и Δ(Q0Q1Q3). В частности, при H = 1 эти плоскости 
совпадают. При любом значении параметра H парабола rP(t) в плоскости Σ проходит через P0, P3 и касается прямых P0P1 и P3P1. 
Центральное проецирование не сохраняет аффинные свойства фигур, поэтому, проецируя параболу rP(t) из точки O на плоскость Δ, мы получим не 
параболу, а конику k = r(t), удовлетворяющую граничным условиям {Q0, Q3, Q1 = τ0 ∩ τ3}. Бегущая по 
параболе rP(t) точка P(t) проецируется в точку Q(t), 
бегущую по конике k.

Учитывая, что OP
OQ
z
z

t

t

P

Q

P
=
=
( )
( )

r

r
,  где zP и zQ = 1 — 

координаты z проекционно связанных точек P(t), 
Q(t), запишем:

 
r t
t

z

P

P
( ) =
( )
r
,  
(6.3)

где согласно (6.2) имеем z
t
z
t
t Hz
t z
P =
−
(
)
+
−
(
)
+
1
2 1
2

0
1
2
3.  
Подставляя сюда координаты z0 = z1 = z3 = 1, получаем:

 
z
t
t
t H
t
P =
−
(
) +
−
(
)
+
1
2 1
2
2.  
(6.4)

Подставляя в (6.3) выражения (6.2) и (6.4), получаем уравнение коники k:

 

r
r
r
r
t
t
t
t H
t

t
t
t H
t
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+

1
2 1

1
2 1

2

0
1

2
3
2
2

  
(6.5)

или в точечной форме:

 

Q t
t
Q
t
t HQ
t Q

t
t
t H
t
( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+

1
2 1

1
2 1

2

0
1

2
3
2
2
.
 

Уравнение (6.5) описывает коническое сечение, 
проходящее через точки Q0, Q3 и касающееся в этих 
точках прямых τ0 = Q0Q1, τ3 = Q3Q1. При H = 1 получаем параболу, при H < 1 — эллипс, при H > 1 — гиперболу. 
Примечание. Уравнение коники получено при 
условии, что плоскость Δ(Q0Q1Q3) занимает частное 
положение z = 1 в системе координат xyz. Это условие не является существенным, так как окончатель
ное выражение (6.5) содержит только радиус-векторы r0, r1, r3 узлов характеристической ломаной. 
Задача 6. Найти семейство эллипсов, подчиняющихся характеристической ломаной Q0(3.0, 2.5, 2.0), 
Q1(1.5, 1.0, 4.0), Q3(0.5, 4.0, 0.5). 
Подставляя указанные значения в точечное уравнение коники и переходя к развернутой координатной записи, получаем:

 
x t
t
x
t
t Hx
t x

t
t
t H
t

t

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+
=

=
−
(
) +

1
2 1

1
2 1

3 1
3

2

0
1

2
3
2
2

2
t
t H
t

t
t
t H
t

y t
t
y
t
t Hy

1
0 5

1
2 1

1
2 1

2

2
2

2

0
1

−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

,
;

t y

t
t
t H
t

t
t
t H
t

t
t

2
3
2
2

2
2

2

1
2 1

2 5 1
2 1
4

1
2 1

−
(
) +
−
(
)
+
=

=
−
(
) +
−
(
)
+

−
(
) +
−

,

t H
t

z t
t
z
t
t Hz
t z

t
t
t H
t

(
)
+

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+
=

=

2

2

0
1

2
3
2
2
1
2 1

1
2 1

;

2 1
8 1
0 5

1
2 1

2
2

2
2
−
(
) +
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+

t
t
t H
t

t
t
t H
t

,
.

 

(6.6)

При значениях H < 1 уравнения (6.6) описывают 
семейство эллипсов, удовлетворяющих условию задачи (рис. 9). 
Задача 7. На плоскости xy найти эллипсы, проходящие через точки Q0(0, 0), Q3(1, 1) и касающиеся 
в этих точках прямых τ0 и τ3, наклоненных к оси x 
под углами 79° и 64° соответственно. 
Находим координаты точки Q1 = τ0 ∩ τ3: x1 = –0,339, 
y1 = –1,746. Подставляя координаты точек Q0, Q1, Q3 
в уравнение коники и переходя к развернутой записи, получаем:

 
x t
t
x
t
t Hx
t x

t
t
t H
t

t

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+
=

=
−
−

1
2 1

1
2 1

0 678 1

2

0
1

2
3
2
2

,
t H
t

t
t
t H
t

y t
t
y
t
t Hy
t y

(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+

( ) =
−
(
)
+
−
(
)
+

−

2

2
2

2

0
1

2
3

1
2 1

1
2 1

1

;

t
t
t H
t

t
t H
t

t
t
t H
t

(
) +
−
(
)
+
=

=
−
−
(
)
+

−
(
) +
−
(
)
+

2
2

2

2
2

2 1

3 492 1

1
2 1

,
.

 

(6.7)

На рис. 10 представлены сегменты конических 
сечений (6.7) при различных значениях H, построенные в диапазоне изменения параметра t ∈ [0, 1].

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020    

Рис. 9. К задаче 6 

Рис. 10. К задаче 7

7. Кривизна как дополнительное граничное условие

Дополнительно к граничным условиям {Q0, Q3, τ0, τ3} 
могут быть заданы векторы кривизны B0K0, B3K3 в 
начальной и конечной точках сегмента. Здесь B0, B3 — 
единичные бинормальные векторы (векторы, перпендикулярные к соприкасающимся плоскостям  
τ0, τ3 в точках Q0, Q3). Скалярные величины K0, K3 
задают модули кривизны в точках Q0, Q3. Поставим 
задачу: найти кубическую кривую, удовлетворяющую 
граничным условиям 

 
{Q0, Q3, τ0, τ3, B0K0, B3K3}.  
(7.1)

Иными словами, требуется сконструировать кривую, у которой в концевых точках Q0, Q3 не только 
указаны касательные τ0, τ3, но зафиксированы положения соприкасающихся плоскостей Δ0, Δ3 и заданы 
радиусы кривизны R0 = 1/K0, R3 = 1/K3.

7.1. Пространственная кубическая кривая 

Поставленная задача в пространстве не может 
быть решена с помощью стандартной кривой Безье 
(3.7). Действительно, положение соприкасающихся 

плоскостей Δ0, Δ3 в граничных точках Q0, Q3 кривой 
(3.7) вполне определено узлами характеристической 
ломаной: Δ0 = Q0Q1Q2, Δ3 = Q1Q2Q3. Следовательно, 
возможность перемещения управляющих точек Q1, 
Q2 по касательным τ0, τ3 в конструкции стандартной 
кривой Безье обеспечивает лишь «подгонку» соприкасающихся плоскостей Q0Q1Q2 и Q1Q2Q3 к наперед 
заданным положениям Δ0, Δ3, но не позволяет обеспечить заданную кривизну в конечных точках сегмента.
Иначе обстоит дело, если кубическая кривая представлена уравнением в форме Вайсбурда (3.5). Уравнение (3.5) содержит управляющие точки Q1, Q2 и свободно варьируемые величины α, β, не зависящие от 
характеристической ломаной. Перемещая точки  Q1, 
Q2 по заданным касательным, можно добиться требуемого положения соприкасающихся плоскостей, 
а изменяя коэффициенты α, β, сможем получить 
требуемые значения кривизны на концах конструируемого сегмента. 
С помощью обобщенного уравнения кубической 
кривой (5.5), содержащего весовые коэффициенты 
Hi, также возможно сконструировать пространственную кубическую кривую, удовлетворяющую граничным условиям (7.1). Рассмотрение соответствующего графического алгоритма выходит за рамки учебного пособия. 

7.2. Плоская кубическая кривая 

На плоскости задача может быть решена с помощью стандартной кривой Безье (3.7), так как отпадает необходимость моделировать соприкасающиеся плоскости в концевых точках сегмента. Перемещая 
управляющие точки Q1, Q2 по касательным τ0, τ3, 
добиваемся заданных значений кривизны K0, K3 в 
концевых точках Q0, Q3. Рассмотрим алгоритм поиска координат управляющих точек.
Стандартное уравнение Безье в точечной форме 
имеет вид

 
Q(t) = (1 – t)3Q0(x0, y0) + 3t(1 – t)2Q1(x1, y1) + 
 
+ 3t2(1 – t)Q2(x2, y2) + t3Q3(x3, y3).  
(7.2)

Записывая (7.2) в координатной форме и дифференцируя, получаем выражения для производных в 
концевых точках t = 0 и t = 1: 

 






x
x
x x
x
x
x

y
y
y y

0
3
3
0
6
12
6

0
3
3
0
6

0
1
0
1
2

0
1

( ) = −
+
( ) =
−
+

( ) = −
+
( ) =

,
,

,
y
y
y

x
x
x
x
x
x
x

y
y

0
1
2

3
2
1
2
3

3

12
6

1
3
3
1
6
12
6

1
3
3

−
+
( ) =
−
( ) =
−
+
( ) =
−

;

,
,




y
y
y
y
y
2
1
2
3
1
6
12
6
,
.
( ) =
−
+

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 3. 3–24