Стабильность элементов конструкций в условии ползучести

СТАБИЛЬНОСТЬ 
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ 
В УСЛОВИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

ЧАСТЬ 1. СТЕРЖНИ

М.Н. КИРСАНОВ

Рекомендовано в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки 
15.04.01 «Машиностроение»,
15.04.03 «Прикладная механика»
(квалификация (степень) «магистр»)

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [539.376+004.94](075.8)
ББК 30.4:22.251я73
 
К43

Кирсанов М.Н. 
К43  
Стабильность  элементов конструкций в условии ползучести.  Ч. 1. Стержни : учебное пособие / М.Н. Кирсанов. — Москва : 
ИНФРА-М, 2020. — 184 с. — (Высшее образование: Магистратура). — 
DOI 10.12737/14616.

ISBN 978-5-16-011492-7 (print)
ISBN 978-5-16-103771-3 (online)
Определяется и исследуется явление стабильности деформаций стержневых элементов конструкций по отношению к возмущениям производных прогиба при неограниченной ползучести. Постулируется критерий, 
связывающий нестабильность процесса с достижением системой особых 
точек  обобщенной задачи Коши и выпучиванием объекта. Результаты для 
различных моделей среды сравниваются  с известными критериями и экспериментами. Приводятся алгоритмы и программы в системе компьютерной  математики  Maple, описание  команд и операторов этой системы.  
Предметно-именной  указатель содержит более 600 записей.
Для научных работников, студентов и аспирантов университетов и технических вузов.

УДК [539.376+004.94](075.8)
ББК 30.4:22.251я73

Р е ц е н з е н т:
Голоскоков Д.П. — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова 
(г. Санкт-Петербург)

ISBN 978-5-16-011492-7 (print)
ISBN 978-5-16-103771-3 (online)

© Кирсанов М.Н., 2015
© Кирсанов А.М., 2015, 
оформление

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Г л а в а 1.
Модель стержня и модель среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Стержень. Эйлерова нагрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Реологические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Г л а в а 2.
Условные критерии выпучивания при ползучести . . . . . . 20
2.1. Концепция изохронной кривой ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Анализ движения в начальный момент после возмущения . . . . . . . 24
2.3. Анализ возмущенного движения на конечном интервале времени . . 31
2.4. Псевдобифуркационные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Специальный критерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Г л а в а 3.
Особые точки процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Определение особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Свойства нулей функций bN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Метод упругого эквивалента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Теория старения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Г л а в а 4. Особые точки процесса сжатия стержня для конкретных
соотношений ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1. Деформационное степенное упрочнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Деформационное экспоненциальное упрочнение . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Теории старения. Особые точки сжатого стержня
. . . . . . . . . . . . 81
4.4. Армированные стержни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5. Выпучивание стержня при продольном деформировании с постоянной скоростью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.6. Задачи на нахождение упругого эквивалента . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Г л а в а 5.
Программы для Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1. Модель Фойгта. Кривая ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. Изохронная кривая ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3. Функции FN, ψN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4. Критерий Шестерикова. Вычисление второй производной . . . . . . . . 99
5.5. Точки псевдобифуркации. Матрица M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6. Специальный критерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7. Полиномы bN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8. Соотношение ˙p = Φ(p, σ). Матрица M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.9. Теория старения. Матрица M. Полиномы bN . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.10. Корни полиномов BN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.11. Полиномы DN и условные критерии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.12. Полиномы HN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.13. Вычисление корней полиномов BN (4.31), с. 74 . . . . . . . . . . . . . . 116

ОГЛАВЛЕНИЕ

5.14. Пример расчета (1). Эксперименты Chapman, Erickson, Hoff . . . . . . 117
5.15. Пример расчета (2). Эксперимент Кузнецова А.П. . . . . . . . . . . . . . 119
5.16. Вывод уравнения (4.38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.17. Аппроксимация кривых ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.18. Экспоненциальное упрочнение. Полиномы bn . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.19. Экспоненциальное упрочнение. Эксперименты Chapman, Erickson,
Hoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.20. Теория старения. Эксперимент Кузнецова А. П., рис. 35 . . . . . . . . . 127
5.21. Деформирование с постоянной скоростью . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.22. Пример вычисления упругого эквивалента . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Приложение 1. Maple. Пакет LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Приложение 2. Значения материальных констант при описании неустановившейся ползучести различных металлов ˙ppα = Aσn
. . . . . . . . . . . . . 159

Приложение 3. Особые точки обобщенной задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Предметный и именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Предисловие
5

Предисловие

В Страсбурге есть кафедральный собор Нотр-Дам, построенный в
начале 13 века. Известна легенда, связанная с ним 1. Архитектор в
качестве украшения и опоры большого свода воздвиг внутри здания
высокую колонну (Pilier du Jugement Dernier 2). У коллег архитектора
и жителей города возникло сомнение, выдержит ли эта колонна такую
нагрузку? Сколько времени простоит эта колонна? Но архитектор был
уверен в своем творении, а в качестве насмешки над сомневающимися
установил скульптурную копию одного из своих оппонентов, сидящим
на балкончике над входом в собор и наблюдающим «сомнительную»
колонну. Время идет, а человечек на балюстраде смотрит на колонну и
все ждет, когда рухнет колонна (рис. 1).

Рис. 1

Теперь, с позиций современной науки, установившей реологические
свойства многих строительных материалов, можно считать, что эта
легенда — первая постановка задачи устойчивости при ползучести
с определением зависимости критического времени от действующей
нагрузки.
Механическое движение твердых тел, деформирование упругих
и неупругих сред и конструкций описывается дифференциальными
уравнениями. Для задач о движении материальной точки или тела
необходимо ставить какие-то начальные условия, или какие-то условия
на характеристики этого движения, позволяющие найти константы
интегрирования. Принят наиболее естественный вариант: в некоторый
момент времени, например, при t = 0, известны координаты точки и
ее скорость. Отсюда можно получить зависимость координат точки во
все последующее время. Число начальных условий равно порядку дифференциального уравнения. Но ничто не запрещает поставить условия

1http://www.mishanita.ru
2Колонна Страшного Суда

Предисловие

и на ускорение или даже высшие производные — третьи, четвертые и
более высокие порядки. Такую начальную задачу будем называть обобщенной задачей Коши. В этом случае с помощью уравнения движения
можно найти значения начального положения и скорости, выразив их
через заданные высшие производные. Вот здесь мы и подходим к сути
того, что излагается в этой книге. Процедура выражения функции и
скорости через высшие производные в некоторых случаях может
не состояться! Эти случаи являются особыми точками начальной
задачи и называются потерей стабильности процесса, или, иначе,
нестабильностью. Имеем, например, дифференциальное уравнение ˙x +
+ (a − t)x = 0, где точка над символом означает производную по
времени 1 ˙x = dx(t)/dt, a — некоторое число. Если поставить условие
на скорость ˙x(t0) = v0, то найти x(t0) можно лишь при t ̸= a. Таким
образом, в предлагаемом определении, значение t = a является точкой
нестабильности (особой точкой) процесса. В рамках одной теории будем различать две постановки: анализ стабильности процесса и анализ
стабильности возмущенного движения (или процесса).
Второй случай относится в большей степени к процессам, описываемых нелинейными уравнениями. Поясним это на примере. Уравнение
прямолинейного движения точки массой m под действием силы F
имеет вид m˙v = F, где v(t) — скорость точки. Пусть m = 1 кг, а
сила зависит от скорости: F = −av − b/v, где a и b — некоторые
константы. Для скорости точки имеем, таким образом, обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка

˙vv + av2 + b = 0.
(I)

Рассмотрим малое отклонение от основного процесса, выбрав условно за основной процесс решение уравнения при определенном заданном
начальном условии на v(t). В результате возмущения функция v(t) и
ее скорость ˙v(t) приобретут приращения

˜v = v + ∆v,
˜˙v = ˙v + ∆˙v.
(II)

Для возмущенных величин также справедливо уравнение движения

˜˙v˜v + a˜v2 + b = 0.

Подставляя сюда приращения (II) и пренебрегая малыми величинами, т. е. оставляя только линейные по приращениям величины,
получаем
v∆˙v + (˙v + 2av)∆v = 0.

1Вторая производная — две точки; порядок высших производных обозначается верхним индексом в скобках: v(n) = dnv/dtn.

Предисловие
7

В те моменты времени, когда скобка при ∆v обращается в нуль,
связь приращений ∆˙v и ∆v

∆v = −
v

˙v + 2av ∆˙v
(III)

вырождается. Равенство знаменателя в (III) соответствует нестабильности возмущенного процесса. Так как из уравнения движения следует
˙v = −av − b/v, то нестабильность наблюдается при совершенно определенной скорости движения

v =
b/a.
(IV)

Если из решения уравнения движения известна функция v(t), то из
(IV) можно найти значение t, при котором малые или даже как угодно
малые возмущения ∆˙v скорости должны соответствовать неограниченно большим возмущениям ∆v. Безусловно, это что-то значит для
основного процесса. Конечно, это проявляется не так явно, как в
задачах устойчивости, так как здесь требуется возмущение совершенно определенного вида, да еще и приложенного в соответствующий
момент, но пренебрегать этим фактом в расчетах нельзя.
В настоящей работе даны решения задач выпучивания стержней в
условии ползучести на основе предлагаемого подхода.
Заметим, что существо проблемы состоит в том, что классические
постановки устойчивости здесь не проходят. В таких постановках
все неупругие реологические системы изначально неустойчивы, хотя
из практики известно, что критическое время (уменьшающееся вместе
с ростом нагрузки) для этих систем существует.
Большинство решений основано на символьных преобразованиях,
иногда весьма трудоемких. Более того, если в большинстве задач
механики, где основные уравнения известны, или их вывод не требует
сложных преобразований, результат можно получить численно, то при
анализе стабильности аналитические преобразования абсолютно необходимы. Прежде всего они нужны для получения упругих эквивалентов реологических сред. Поэтому без современных средств компьютерной математики здесь не обойтись. В последней главе даны программы
системы Maple [2, 19, 25, 28, 31, 56, 58, 75, 84], позволяющие выполнять
все аналитические преобразования. Выбор именно Maple, а не других,
также мощных программ, связан только с личными предпочтениями
автора. Большинство задач вполне выполнимы и в других системах
(Mathematica [30], Maxima). Первые свои результаты (1990-е годы)
автор получил в пакете Reduce, компактной и мощной программе,
умещавшейся на одной дискете и работавшей под управлением DOS
6.22.
Применение системы компьютерной математики в этой книге вызвано еще одной важной причиной. Читая различные научные статьи
и книги, особенно, где приводятся сложные формулы для решения,

Предисловие

необходимые в какой-либо практической проблеме, автор всегда относился к опубликованным результатам с некоторым естественным
недоверием. А что, если в формулу вкралась ошибка, глупая опечатка, ошибка наборщика, часто непонимающего суть текста? Стоит ли
рисковать и использовать эту формулу, пусть даже очень простую
и красивую и принадлежащую авторитетному ученому и опубликованную в солидном журнале или в известном издательстве? Конечно
же, хочется ее проверить. Алгоритм вывода формулы обычно дается.
Но даже если в тексте нет сакраментальных «легко видеть..», или
«очевидно..», повторять все хитросплетения замен, решений, упрощений, разложений в ряд, интегрирований и дифференцирований весьма
утомительно и обычно в таких случаях формула откладывается в
сторону, берется какой-нибудь более простой и хорошо зарекомендовавший себя результат 1, и все усилия автора формулы остаются
напрасными. Если же к формулам приложена программа для Maple
или другой подобной математической системы с возможностью свободно скачать текст с сайта автора, то, пользуясь ею, можно быстро
и надежно все самому пересчитать «с нуля». Идею достоверности
передачи знаний в виде оживших формул в статьях и книгах уже
давно разрабатывает и реализует в том числе в виде расчетного
сервера twt.mpei.ac.ru/OCHKOV/VPU_Book_New/mas/index.html для
Mathcad профессор НИУ МЭИ Очков Валерий Федорович 2. Именно
этот опыт, а также печальный опыт чтения книг и даже справочников
с опечатками, и подвигнул автора к написанию книги с легко проверяемыми формулами. Все программы, с помощью которых можно проверить изложенный в настоящем труде материал, а также при желании
продвинуться в исследованиях дальше (и это только приветствуется!),
расположены на первой странице сайта автора vuz.exponenta.ru. C
некоторыми темами в виде лекций на YouTube можно ознакомиться
на канале Kirsanov2011.
В конце книги приведены некоторые справочные сведения о пакете
линейной алгебры системы Maple.
Все
замечания
и
предложения
автор
принимает
по
адресу
c216@ya.ru.
Автор выражает благодарность профессору Локощенко А. М. за
таблицу материальных констант металлов, профессору Кобрину А. И.
за полезные обсуждения и замечания по существу проблемы и Адамову Б. И. за историческую справку.

1Например, формула Эйлера для критической нагрузки сжатого упругого
стержня — тут уж можно не сомневаться. Проверено веками.
2Очков В.Ф. Формулы в научных публикациях: проблемы и решения (pdf)
// Cloud of Science. T. 1, № 3. 2014. С. 421-456/

1.1.
Стержень. Эйлерова нагрузка
9

Г л а в а 1

Модель стержня и модель среды

1.1. Стержень. Эйлерова нагрузка

Для теоретических построений в задачах о выпучивании стержней
часто применяют упрощенные модели стержня. Одной из таких моделей является модель, приписываемая Ф. Шенли 1. Другой отправной
точкой для решения задач стабильности реологических стержней является известное решение задачи устойчивости упругого стержня в
постановке Эйлера 2. Для правильного понимания исследуемых в главах 1–5 сред необходимы некоторые разъяснения структур материалов,
хотя бы на примерах линейных моделей. Все эти справочные сведения
приводятся в настоящей главе.

1.1.1. Стойка Шенли. Стержень моделируется жестким участком
длиной l и двумя одинаковыми деформируемыми стойками длиной a. В
одной из постановок расстояние между стойками постоянно и равно 2h.


N

u

l

2h

a
A

B

C

Рис. 2

В другой постановке постоянно расстояние AB, а расстояние между
стойками зависит от угла наклона 2h = AB cos u (рис. 2). Нагрузка

1Авторство Шенли Ф. здесь не бесспорно, однако, именно он первый использовал эту модель для анализа пластических процессов. В дальнейшем эту
модель широко использовал В. Д. Клюшников [70,71].
2Leonhard Euler (1707–1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик.

Модель стержня и модель среды
Глава 1

N приложена к свободному концу жесткого участка. Таким образом, предложенная модель в какой-то степени соответствует жестко
защемленному с одной стороны гибкому стержню, вся гибкость которого сконцентрирована в основании. В сопротивлении материалов
[1, 23, 96, 98] для таких стержней принят коэффициент приведения
длины равный двум.
Пусть площадь сечения стоек равна Ω, а площадь жесткого участка
2 Ω. Примем N = 2 Ω σ. Уравнение моментов (рис. 3) относительно
точки C имеет вид:
h(σ1 − σ2) = 2σl sin u,
(1.1)


2σ

u

l

2h

A

B

C



σ1

σ2

Рис. 3

Деформации стоек выражаем через их удлинения εi = ∆li/a, i =
= 1, 2. Отсюда получаем

ε1 − ε2 = (2h/a) tg u.
(1.2)

Для упругих материалов σi = Eεi, i = 1, 2, где E — модуль
упругости. Из (1.1) и (1.2) в этом случае получим зависимость прогиба
u от внешней силы

(2 h E/a) tg u = (2 l/h)σ sin u.
(1.3)

Принимая для малых отклонений tg u ≈ u, sin u ≈ u, получаем
однородное уравнение

(2hE/a)u = (2l/h)σu.

Если u ̸= 0, то остается предположить, что σ = Eh2/(al). Это
и есть эйлерова критическая нагрузка для модели Шенли. Введем
обозначение
κc = h2/(al).
(1.4)

Отсюда критическое напряжение в упругом стержне

σ0 = κcE.
(1.5)

Таким образом, при σ = σ0 стержень теряет устойчивость.

1.1.2. Простая модель закритического поведения. Если не предполагать малость отклонений u, то в зависимости от варианта модели,

1.1.
Стержень. Эйлерова нагрузка
11

получаются два решения. Сделаем предположение, что расстояние
между стойками при изгибе не меняется (h = const). В этом случае
полученная зависимость (1.3) принимает вид

Eκc/ cosu = σ.
(1.6)

На рисунке 4 отображена кривая закритического поведения σ − u.
После потери устойчивости при σ = σ0 стержень еще поддерживает
нагрузку — с увеличением нагрузки растет и отклонение.
Если же воспользоваться вторым вариантом, где при изгибе постоянной остается величина AB = d, а стойки начинают сближаться по
закону 2h = d cos u, то из (1.6) сразу же получаем

σ =
h2E

al cos u = d2E

4al cos u.
(1.7)

Здесь уже обнаруживается принципиально другая закритическая
кривая (рис. 5). Для поддержания равновесия стержня в отклоненном состоянии требуется уменьшать нагрузку, что легко объясняется
уменьшением толщины (сплющиванием) стержня в предложенном варианте модели.

σ0

σ

u

σ0

σ

u

Рис. 4
Рис. 5

Представленные упрощенные модели закритического поведения являются крайними и упрощенными аппроксимациями этого явления.
Безусловно, в реальной модели гибкого стержня, рассматриваемой в
следующем разделе, все значительно сложнее и получение закритических кривых связано с существенными математическими трудностями,
возникающими при решении нелинейных дифференциальных уравнений [21].

1.1.3. Гибкий упругий стержень. Рассмотрим стержень длиной l
с постоянным по длине сечением площадью Ω. Не уменьшая общности
рассуждений, выберем шарнирное опирание по концам 1 (рис. 6). При

1Анализ вариантов закрепления стержня можно посмотреть в курсах сопротивления материалов [1,23,96,98].

Модель стержня и модель среды
Глава 1

малом отклонении стержня от прямолинейного состояния деформации
и напряжения в стержне получают малые приращения. Ось y материальной системы координат («вмороженной»
в тело) направим по
срединной линии стержня, ось z — по нормали к ней. На основании
гипотезы плоских сечений

∆ε = ∆ε0 + z∆v,yy,
(1.8)

где ∆ε — приращение осевой деформации на расстоянии z от срединного сечения, ∆ε — приращение деформации срединного сечения,
равные нулю, если в результате возмущения нагрузка на стержень
не изменилась; ∆v — приращение прогиба стержня; ∆v,yy — вторая
производная приращения прогиба по осевой координате y.

v(y)

y

z

T
T

Рис. 6 Гибкий стержень

Умножаем (1.8) на z и интегрируем по площади сечения. Приращение деформации срединной поверхности стержня ∆ε0 не зависит от z,
а для симметричного относительно оси y сечения статический момент
Ω zdΩ равен нулю. Отсюда получим
Ω

∆εzdΩ = J∆v,yy,
(1.9)

где J =
Ω z2dΩ — момент инерции поперечного сечения стержня.
Уравнение равновесия (моментов) отсеченной части стержня относительно точки на срединной линии сечения дает
Ω

∆σzdΩ = −T ∆v,
(1.10)

где

T =
Ω

σdΩ

— нагрузка, действующая на стержень в продольном направлении. В
случае линейной упругости приращения напряжений и деформаций
связаны законом Гука
∆σ = E∆ε.
(1.11)