Расчет электрических и магнитных цепей и полей. Решение задач


СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Серия основана в 2001 году


Е.А. Лоторейчук




                РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ И ПОЛЕЙ




        РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

2-е издание, исправленное и дополненное

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по группе специальностей «Энергетика», «Электротехника», «Приборостроение», «Электроника и микроэлектроника»,
«Радиотехника и телекоммуникации», «Автоматизация и управление», «Информатика и вычислительная техника»


Электронно
znanium.com

Москва
ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М 2020

УДК 621.3(075.32)
ББК 31.22я723

     Л80



     Рецензенты:
        заведующая отделом автоматизации Всероссийской государственной библиотеки иностранной литературы имени М. Рудомино, кандидат технических наук С.Б. Балакерская;
        доктор физико-математических наук, преподаватель Московского многопрофильного техникума имени Л.Б. Красина М.В. Гальперин



      Лоторейчук Е.А.
Л80 Расчет электрических и магнитных цепей и полей. Решение задач : учебное пособие / Е.А. Лоторейчук. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2020. — 272 с. — (Среднее профессиональное образование).


          ISBN 978-5-8199-0821-1 (ИД «ФОРУМ»)
          ISBN 978-5-16-014371-2 (ИНФРА-М, print)
          ISBN 978-5-16-104350-9 (ИНФРА-М, online)


          В учебном пособии рассмотрено решение типовых задач по дисциплине «Теоретические основы электротехники».
          Предназначено для студентов учреждений среднего профессионального образования.


УДК 621.3(075.32)
ББК 31.22я723


















ISBN 978-5-8199-0821-1 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-014371-2 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104350-9 (ИНФРА-М, online)


© Лоторейчук Е.А., 2016
© ИД «ФОРУМ», 2016

Предисловие




  В учебном пособии представлены задачи и их решение по разделам курса «Теоретические основы электротехники» для студентов учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по специальностям электротехнического, энергетического и радиотехнического профиля.
  В начале каждого раздела курса приведены формулы, используемые для решения задач по данной теме.
  В учебном пособии рассматриваются задачи следующих разде

лов курса:
  1. Электрическое поле.
  2. Электрические цепи постоянного тока.
  3. Электромагнетизм.
  4. Однофазные электрические цепи переменного тока.
  5. Символический метод расчета электрических цепей пере

менного тока.
  6. Трехфазные цепи.
  7. Несинусоидальный ток.
  8. Переходные процессы в электрических цепях.
  Условные обозначения в схемах и тексте соответствуют стандарту Единой системы конструкторской документации (ЕСКД).
  При решении задач в учебном пособии используется Международная система единиц (Приложение 1).

1. Электрическое поле

5

1. Электрическое поле


F =


ео =

Qq 4nr²е₀еᵣ

— сила взаимодействия точечных зарядов Q и q (закон Кулона).


1 П-9
10— = 8,85 • 10-¹²
36п

Ф/м — электрическая постоянная (абсолютная диэлектрическая проница
                              емость вакуума).

   eᵣ — относительная диэлектрическая проницаемость среды (табличная величина).

   еа = е₀ eᵣ — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды. Q
  Eа =-----2----- напряженность поля в точке А, созданная за       ⁴пгА е0 е r рядом Q.

  N- Q _ в                           . .. о.      т
  N ------поток вектора напряженности сквозь замкнутую
      Еоer поверхность, созданный зарядом Q, расположенным

внутри этой поверхности (теорема Гаусса).
         Q
  ф а = 4------потенциал в точке А, созданный зарядом Q,
         A ⁰ r расположенной на расстоянии rA от заряда Q.
  E = UAB_ ₋ соотношение между напряженностью и напряже  с        шшпошспис между папряжсппостью и напряже
       AB нием в однородном электрическом поле.

Задача 1.1
  На точечный заряд q = 2 ■ 10-⁶ Кл, помещенный в точку А электрического поля, действует сила F = 2 Н. Определить напряженность поля в точке А и изобразить вектор напряженности в этой точке, если поле создано: а) положительным зарядом Q (£ₐ); б) отрицательным зарядом Q (£б).
Решение
  Напряженность электрического поля в точке А этого поля равна —                       2        < .
EA = — = —2—г = 1 • 10⁶ В/м.
                 A q 2 • 10 -⁶

Расчет электрических и магнитных цепей и полей

  Направление вектора напряженности, созданного зарядом Q, показано на рис. 1.1.
Задача 1.2
  К пластинам плоского конденсатора приложено напряжение U = 200 B. Определить напряженность электрического поля в каждой точке между этими пластинами, если расстояние между ними
  = 2 мм. С какой силой электрическое поле этого конденсатора действует на точечный заряд q = 10⁻⁶ Кл, помещенный в это поле?
Решение
  Между пластинами плоского конденсатора создается однородное электрическое поле. Напряженность в каждой его точке
и U 200        щ5 т> /
E = — =------5- = 105 В/м,
2 • 10⁻³       ,
где = 2 мм = 2 • 10⁻³ м.
  На заряд q = 10⁻⁶ Кл, помещенный в любую точку этого однородного поля, действует сила
F = Eq = 10⁵ • 10⁻⁶ = 10⁻¹ = 0,1 H.

Задача 1.3
  Определить значения напряженности в точках электрического поля A и B, созданные зарядами + Q1 и — Q2 (рис. 1.2), равными по абсолютной величине |Qi| = |Q2| = 10⁻⁷ Кл. Расстояния указаны в см.

Решение
  Направление векторов напряженности поля, созданного зарядами Q1 и Q2 в точках A и B, указаны на рис. 1.2 (как направление силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в точки A и B).
  Значения напряженности:

EL.I = IE² Al = E2BI = 4 J' л

10⁻⁷ • 36n
4n (10 • 10⁻² )² • 10⁻⁹ • 1

= 9 • 10⁴ В/м,

где r = 10 см = 10 • 10 ² = 10 1м.
  Напряженность, созданная зарядом Q1 в точке B:

E1B =

10-⁷ • 36п
                      4п(30 • 10-²)² • 10-⁹ • 1

= 1 • 10⁴ В/м.

1. Электрическое поле

7

Q

Еб <

А

> Е а

Рис. 1.1

A

B

E1A

10

E 2A

10

10

E 2B

E1B

Рис. 1.2


4Q               Q              Eq      A       E 4Q

        ф.---------------Q.-------------<-------J------->

 !<----- r ------>k----------x --------->!

Рис. 1.3


  Таким образом, напряженность, созданная зарядами +Q1 и — Q2 в точках A и B (геометрическая сумма напряженностей):

EA = E₁A + E₂A = 9 • 10⁴ + 9 • 10⁴ = 18 • 10⁴ В/м;
EB = E₁B - E₂B = 1 • 10⁴ - 9 • 10⁴ = - 8 • 10⁴ В/м.
  Знак «—» означает, что направление суммарной напряженности в точке B противоположно направлению суммарной напряженности в точке А (что видно на рис. 1.2).
Задача 1.4
  Найти положение точки электрического поля, изображенного на рис. 1.3, в которой напряженность Е равна нулю, если точечный заряд — Q находится на расстоянии r = 15 см от точечного заряда +4Q.
Решение
  Точка А, суммарная напряженность в которой равна нулю, не может находиться между зарядами +4Q и — Q, так как напряженности, созданные этими зарядами складываются (одинакового направления, см. задачу 1.3, рис. 1.2). Точка А не может находиться левее заряда 4Q, так как любая точка левее заряда 4Q находится ближе к заряду 4Q, чем к заряду Q, и заряд 4Q создает

Расчет электрических и магнитных цепей и полей

везде (левее заряда 4Q) большую напряженность, чем заряд Q



л

Q

Е =
\

4nr²e₀eᵣ ,

Так что напряженности, созданные на осевой ли

нии зарядами Q и 4Q левее заряда 4Q, хотя и направлены в разные стороны в любой точке, не могут быть равны по величине, и, следовательно, суммарная напряженность в этих точках (левее заряда 4Q) не может быть равна нулю.
  Напряженность может быть равна нулю правее заряда Q на расстоянии x от него, в точке, в которой напряженности, созданные зарядом Q и 4Q, одинаковы по величине (так как они направлены в разные стороны).
  То есть

4Q      ₌ Q .
4n(r + x )² е₀ er 4nx ²e₀er
  Откуда
4x2 = (г + x)² или 4x2 = (15 + x)².
  Решая это уравнение относительно x, определяем: x = 15 см, а г + x = 30 см.


Задача 1.5
  Найти положение точки электрического поля, в которой напряженность равна нулю, если поле создается зарядами +Q и +4Q (рис. 1.4), расположенными на расстоянии г = 15 см друг от друга.


Решение
  Точка А электрического поля, напряженность в которой равна нулю (рис. 1.4), не может находиться левее заряда +4Q и правее заряда +Q, так как напряженности, созданные зарядами +4Q и + Q в этих точках (правее Q и левее 4Q) складываются.
  Напряженность может быть равна нулю в точке А, расположенной на осевой линии между зарядами +4Q и +Q, так как

EQ

4Q

EQ     A
<-----•
E 4Q

EQ

r
Рис. 1.4

1. Электрическое поле

9

То есть

векторы напряженности поля, созданного зарядами +Q и +4Q в точке A, направлены в разные стороны (см. рис. 1.4), если эти напряженности равны по величине.

4Q     = Q .
4n(r - x )² е₀ er 4пх² e₀ er

4x2 = (r — x)2 или 4x2 = (15 — x)².

  Решая это уравнение относительно x, определяем: x = 5 см, а r — x = 10 см.

Откуда

Задача 1.6
  Расстояние между точечными зарядами Q1 и Q2 равно r = 5 см. Вычислить величину напряженности в точке А, удаленной от заряда Q1 на расстоянии r1, а от заряда Q2 на расстояние г2 (рис. 1.5), если Q₁ = 4• 10⁻¹¹ Кл; Q₂ = 6• 10⁻¹¹ Кл; r1 = 4 см = = 4 • 10⁻² м; г2 = 3 см = 3 • 10⁻² м; er = 1.

Решение
  Напряженность, созданная зарядом Q1 в точке А:

E1A =

Q1 4пг1²е ₀ е1

4 • 10⁻¹¹ • 36п 4п(4 • 10-²)² • 10⁻⁹ • 1

= 2,25 • 10² В/м.

   Напряженность, созданная зарядом Q2 в точке А:

Q2 ⁴ПГ2²Ео £1

6 • 10⁻¹¹ • 36п 4п (3 • 10⁻² )² • 10⁻⁹ • 1

E2 A =

   Направление векторов напряженности, созданных зарядами Q1 ( E1A) и Q2 ( Е₂А), и результирующего векто ра напряженности в точке А ( EA ) изображены на

 рис. 1.5.
   Между векторами напряженности E₁A и E₂A в данном примере угол равен 90°, так как равенство г = ^r² + г₂², т. е. 5 = 7 4² + 3² справедливо только для прямоугольно

= 6 • 10² В/м.

Рис. 1.5

Расчет электрических и магнитных цепей и полей

 го треугольника. Следовательно, результирующий вектор напряженности в точке А определяется выражением
EA = д/Еы + E2A = 7(2,25 • 10²)² + (6 • 10²)² = 6,4 • 10² В/м.

Задача 1.7
  Вычислить напряженность поля и потенциалы в точке А электрического поля (рис. 1.6), созданного двумя точечными зарядами — Q1 = 2 • 10⁻⁹ Кл и +Q2 = 2 • 10⁻⁹ Кл, помещенными в масло (er = 2,2), если r1 = 10 см; r₂ = 15 см; угол Q1 AQ₂ равен 120°.

Решение
  Напряженность электрического поля, созданного зарядом Q1 в точке А:

           E =     Q1   =      2 • 10⁻⁹ • 36п =
            ¹ ~ 4nr₁²e₀er ~ 4п(10⁻¹ )² • 10⁻⁹ • 2,2 ~ где r1 = 10 см = 10⁻¹ м.
      Напряженность, созданная зарядом Q2
         E = Q₂         =      2 • 10⁻⁹ • 36п

² " 4nr₂²e₀er ~ 4п(15 • 10⁻² )² • 10⁻⁹ • 2,2

820 В/м,

= 355 В/м,

в точке А:

где г₂ = 15 см = 15 • 10 ² м.
  Суммарная напряженность в точке А, созданная зарядами Q 1 и Q2, определяется геометрической суммой векторов E1 и E₂ (рис. 1.6) по теореме косинусов:

E = 7Д² + E₂² + 2E1E₂ cos 60° =
           = д/820² + 355² + 2 • 820 • 355 • 0,5 = 1040 В/м.
  Потенциал ф в точке А определяем алгебраическим суммированием потенциалов, созданных в точке А зарядами — Q1 и +Q2:

Ф1 =

⁻ Q1 ⁴ⁿr1e0er

- 2 • 10⁻⁹ • 36п 4п10⁻¹ • 10⁻⁹ • 2,2

-82 B;

       + Q2
Ф2 = ~Л---~
4nf2eoeᵣ

- 2 • 10⁻⁹ • 36п

4л-15 • 10⁻² • 10⁻⁹ • 2,2

= 53,25 B.

  Таким образом, потенциал в точке А, созданный зарядами — Q1 и + Q2, равен
Ф = ф1 + ф₂ = -82 + 53,25 = -28,75 B.