Прикладная механика. Часть 1. Основы расчета, проектирования и моделирования механизмов

А.Н. СОБОЛЕВ, А.Я. НЕКРАСОВ,
А.Г. СХИРТЛАДЗЕ, Ю.И. БРОВКИНА

Часть 1

УЧЕБНИК

Москва
КУРС
ИНФРА-М
2020

ПРИКЛАДНАЯ 
МЕХАНИКА

ОСНОВЫ РАСЧЕТА, ПРОЕКТИРОВАНИЯ 
И МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ

Допущено 
Учебно-методическим объединением вузов  
по образованию в области автоматизированного  
машиностроения (УМО АМ) в качестве учебника  
для студентов высших учебных заведений,  
обучающихся по направлениям подготовки  
«Конструкторско-технологическое обеспечение  
машиностроительных производств»,  
«Автоматизация технологических  
процессов и производств»

УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73
 
С54

© Соболев А.Н., Некрасов А.Я., 
 
Схиртладзе А.Г.,  
 
Бровкина Ю.И., 2016, 2019
© КУРС, 2016, 2019

Соболев А.Н.,
Прикладная механика: в 2 ч. Часть 1. Основы расчета, проектирования и моделирования механизмов: учебник / А.Н. Соболев, А.Я. Некрасов, А.Г. Схиртладзе, Ю.И. Бровкина. — Москва: 
КУРС: ИНФРА-М, 2020. — 224 с.

ISBN 978-5-906818-58-4 (КУРС)
ISBN 978-5-16-012038-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104708-8 (ИНФРА-М, online)

Рассмотрены основные методики и алгоритмы расчета, проектирования 
и моделирования зубчатых, кулачковых, мальтийских, храповых механизмов. 
Приведены элементы прикладных программных приложений для интерактивного проектирования механизмов и особенности работы с ними. 
Пособие предназначено для студентов, изучающих курсы: «Прикладная 
механика», «Теория механизмов и машин», «Техническая механика» и обучающихся по направлениям: 2.15.03.01 «Машиностроение», 2.15.03.04 «Автоматизация технологических процесов и производств», 2.15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»; 
специальности 2.15.05.01 «Проектирование технологических машин и комплексов». 

УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73

С54

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Р е ц е н з е н т ы:
В.Л. Афонин —д-р техн. наук, проф., зав. Лабораторией управления 
технологическими  процессами и системами ИМАШ РАН;
О.В. Веселов — д-р техн. наук, профессор кафедры «Мехатроника и ЭСА» 
Владимирского государственного университета им. А.Г. и Н.Г. Столетовых

ISBN 978-5-906818-58-4 (КУРС)
ISBN 978-5-16-012038-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104708-8 (ИНФРА-М, online)

Глава 1

МНОГОЗВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ 

1.1. Зубчатые механизмы

Угловые скорости валов двигателей и механизмов современных 

технологических машин и приборов часто значительно различаются 
между собой. Для согласования этих скоростей применяют зубчатые 
механизмы, обеспечивающие их движение с требуемым передаточным отношением 

ω
= ω ,
a

an

n

U
(1.1)

где a, n — угловая скорость ведущего (входного), ведомого (выход
ного) вала зубчатого механизма соответственно, с1 . 

При этом могут использовать как простые зубчатые передачи, 

составленные из двух колес (цилиндрические, конические, червячные и т.д.), так и многозвенные — сложные зубчатые механизмы. 
Исходя из рациональных габаритных размеров, в одной паре цилиндрических зубчатых колес целесообразно назначать передаточные отношения не более 6. Кроме того, при больших значениях Uan
зубья шестерни имеют большее число циклов нагружения, чем зубья 
колеса, вследствие чего изнашиваются быстрее. В тех случаях, когда 
заданное Uan превышает рекомендуемое передаточное отношение 
для одной зубчатой пары (Uan6), используют многозвенные механизмы, в которых зубчатые колеса определенным образом сцепляются друг с другом.

Механизм, в состав которого входят три и более зубчатых колеса, 

называется многозвенным (сложным) зубчатым механизмом 
(рис.  1.1). 

Проектирование таких механизмов последовательно выполняет
ся по этапам:

1. Выбор структурной схемы механизма.
2. Подбор чисел зубьев у зубчатых колес для воспроизведения за
данного передаточного отношения.

Функционально многозвенный зубчатый механизм может быть 

либо редуктором (a n) (рис. 1.1, а), либо мультипликатором 
(a n) (рис. 1.1, б), либо коробкой передач (рис. 1.1, в), либо на

1 > 4

2

1

a

d

h

1
4
1
4

Z2

2
1

О
В
3

4

Z3
Z2
Z3

Z2

Z4

Z1

Z4
Z1

Z4
Z1

Z3
Zc
Zb

Zd

Za

Н

a)
б)
в)

г)

д)

Рис. 1.1. Многозвенные зубчатые механизмы 

правляющим механизмом (рис. 1.1, г), либо суммирующим (дифференциальным) механизмом (рис. 1.1, д).

Редуктор — многозвенный зубчатый механизм, в котором угловая 

скорость выходного (ведомого) вала меньше угловой скорости входного (ведущего) вала. Эти механизмы относятся к понижающим зубчатым передачам, так как для них всегда имеет место

>1.
an
U
  
(1.2)

Мультипликатор — многозвенный зубчатый механизм, в котором 

угловая скорость выходного (ведомого) вала больше угловой скорости входного (ведущего) вала. У таких механизмов передаточное отношение

<1
an
U
, 
(1.3)

и они относятся к повышающим зубчатым передачам.

Коробка передач — многозвенный зубчатый механизм, обеспе
чивающий ступенчатое регулирование угловой скорости выходного 

А

В

(ведомого) вала при постоянной угловой скорости входного (ведущего) вала. Дискретное регулирование угловой скорости в таких механизмах может быть осуществлено переключением отдельных зубчатых пар, например Z1 Z2 или Z3 Z4 на рис. 1.1, в. Эти зубчатые 
пары размещают в одном корпусе, называемом коробкой.

При проектировании коробок передач стремятся упростить кон
струкцию за счет уменьшения числа отдельных зубчатых пар (ступеней) и ограничения передаточных отношений в каждой зубчатой 
передаче. При этом рекомендуется выбирать передаточное отношение для повышающей зубчатой пары не менее 0,5, а для понижающей передачи — не более 4. Эти рекомендации при проектировании 
коробок передач являются общепринятыми.

Направляющий зубчатый механизм — устройство, предназначен
ное для воспроизведения требуемой траектории движения ведомого 
звена, образующего кинематические пары только с подвижными 
звеньями. Так, например, на рис. 1.1, г точка В перемещается прямолинейно по горизонтали, т.е. данный механизм является прямолинейно направляющим.

Суммирующий (дифференциальный) зубчатый механизм — 

устройство, в котором перемещения нескольких зубчатых звеньев 
преобразуются в движение одного зубчатого звена, равного или пропорционального сумме перемещений ведущих звеньев, и наоборот. 
У механизма на рис. 1.1, д при двух заданных движениях в любом 
сочетании третье движение будет суммирующим. Дифференциальные зубчатые механизмы относят к механизмам с параллельными 
структурами.

Многозвенные механизмы могут быть плоскими (рис. 1.2, а, б) 

или пространственными (рис. 1.2, в). Это обстоятельство связано 
с расположением в пространстве входных и выходных валов. Многозвенный зубчатый механизм, у которого геометрические оси входного и выходного вала лежат на одной прямой линии, называется 
соосным механизмом или механизмом с возвратным рядом (см. 
рис.  1.2, б). На базе соосных механизмов создаются планетарные 
зубчатые передачи и дифференциалы.

В зависимости от расположения ведущего и ведомого вала у про
странственного зубчатого механизма для передачи движения используют как конические, так и червячные зубчатые пары (см. рис. 1.2, в). 
Следует отметить, что червячные зубчатые передачи используют 
только в редукторах. Применение указанных видов зубчатых передач 
зависит от конкретных условий эксплуатации механизма. 

По своей структуре многозвенные зубчатые механизмы подраз
деляются на два основных вида:

1. Зубчатые механизмы с неподвижными осями колес.
2. Зубчатые механизмы с осями колес, перемещающимися в про
странстве относительно стойки. 

К первому виду относят ступенчатые зубчатые передачи (см. 

рис.  1.2), а ко второму виду — планетарные (рис. 1.3, а) и волновые 
зубчатые механизмы (рис. 1.3, б). Так, например, вал колеса Zb
на рис. 1.3, а является подвижным, т.е. он перемещается в пространстве, изменяя свое положение относительно стойки. 

Такие зубчатые колеса названы сателлитами (спутниками), а зуб
чатые механизмы, содержащие их, — планетарными механизмами. 
В волновом зубчатом механизме для преобразования и передачи движения используется гибкое колесо 3, которое, деформируясь при 
зацеплении с жестким колесом 2, образует упругие волны, перемещающиеся по его периметру (см. рис. 1.3, б). Отсюда становится понятным название этого механизма. Одним из основных достоинств 
указанных механизмов является их компактность (малые размеры) 
при реализации больших передаточных отношений. Применительно 
к многозвенным зубчатым механизмам введем понятия «передача» 
и «механизм». Передача — многозвенный зубчатый механизм с одной степенью свободы (W1). Это обстоятельство указывает на то, 
что в рассматриваемом зубчатом механизме могут быть только один 

Zb
Zc

Zb
Zc
Zc

Zb

Za
Zd

Zd

Za

Za

Zd

б)
в)
а)

Рис. 1.2. Виды зубчатых механизмов

ведущий и только один ведомый вал, движение которых связано передаточной функцией (1.1). Зубчатый механизм — многозвенный 
зубчатый механизм с двумя и более степенями свободы (W  2). 
На основе такого подхода можно сказать, что в зубчатом механизме 
возможно различное сочетание ведущих и ведомых валов, движение 
которых не связано передаточной функцией (1.1). Такие механизмы 
предназначены для сложения или разложения движений. При кинематическом исследовании подобных механизмов ставится задача 
о нахождении соотношений между угловыми скоростями ведущих 
и ведомых валов.

Многообразие планетарных зубчатых механизмов можно свести 

к трем основным группам:

1. Планетарные зубчатые передачи (W1). К этой группе относят 

планетарные (см. рис. 1.3, а), ступенчатые планетарные и бипланетарные зубчатые передачи. 

2. Дифференциальные зубчатые механизмы (W 2) (рис. 1.4, а) 
3. Замкнутые планетарные зубчатые передачи (W1) (рис. 1.4, б). 
Структурно этот вид передач образуется из дифференциальных 

механизмов и замыкающей цепи, кинематически связывающей валы 
дифференциала. В состав замыкающей цепи могут входить либо ступенчатые, либо планетарные зубчатые передачи. 

Все многообразие многозвенных зубчатых механизмов схематич
но представлено на рис. 1.5.

Н

Zb

Za

Zd

2

3
1

б)
a)

Рис. 1.3. Планетарные зубчатые механизмы

Н
Н

Zb
Zb

Za
Za

Zd
Zd

W = 2
W = 1

3

1

2

б)
a)

Рис. 1.4. Дифференциальные (а) и планетарные (б) 

зубчатые передачи

Более подробно их структура рассматривается ниже. Однако сле
дует подчеркнуть, что схемы и конструктивное оформление многозвенных зубчатых механизмов у современных технологических машин 
могут быть самыми разнообразными. При проектировании этих механизмов необходимо стремиться к тому, чтобы их конструкции 
были компактными и технологичными в изготовлении и сборке, 
а при эксплуатации — долговечными и могли обеспечить высокие 
технико-экономические показатели.

1.2. Ступенчатые зубчатые передачи

На схемах механизмов зубчатые колеса изображают чаще всего 

проекциями своих делительных цилиндров или конусов (рис. 1.6). 
При обозначении чисел зубьев у зубчатых колес к символу z добавляется буквенный или цифровой индекс, как правило, указывающий 
номер вала, на который устанавливают данное зубчатое колесо. Если 
на одном валу установлено несколько зубчатых колес, то индекс 
можно записывать из двух номеров. Например, если на валу 2 установлено три зубчатых колеса, то по порядку расположения их можно 
обозначить: z21, z22, z23. На практике чаще всего встречается последовательная нумерация зубчатых колес по парам. Этим приемом мы 
и воспользуемся ниже при изложении теоретических положений.

МНОГОЗВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Плоские зубчатые механизмы

Зубчатые механизмы

с подвижными осями колес

Зубчатые механизмы

с неподвижными осями колес

Пространственные зубчатые 

механизмы

Зубчатые передачи

W = 1

Планетарные

зубчатые передачи

Ступенчатые
планетарные

зубчатые передачи

Ступенчатые

зубчатые передачи

Дифференциальные
зубчатые передачи

Бипланетарные

зубчатые передачи

Направляющие 

и другие зубчатые 

передачи

Зубчатые передачи
с гибкими колесами

Волновые

зубчатые передачи

Зубчатые редукторы
Зубчатые 

мультипликаторы
Коробки передач

Ступенчатые волновые

зубчатые передачи

Суммирующие 

и другие зубчатые 

механизмы

Замкнутые планетарные

зубчатые механизмы

Зубчатые механизмы

W  2

Зубчатые передачи

W = 1

Рис. 1.5. Структура зубчатых механизмов

1
1

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

a)

Z2

Z1

Z1

Z1

Z2

Z2

Z2

P

Z1

Z2

O2

O1

O2

O2

O1
V1 = V2

V1 = V2

б)

г)

д)

е)

в)

Рис. 1.6. Определение скоростей в зубчатых механизмах