Геометрическое моделирование окружающего мира

А.А. Уткин 

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА 

Учебное пособие 

3-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 

УДК 513.013 
ББК  22.151.5 

У13 

Научный редактор 

Уткина Т.И., доктор педагогических наук, профессор, 

заведующий кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики 
обучения математике Орского гуманитарно-технологического

института (филиала) ОГУ 

Рецензенты: 

Шелехов А.М., доктор физико-математических наук, профессор кафедры 

функционального анализа и геометрии 

Тверского государственного университета; 

Михайличенко И.Н., кандидат физико-математических наук, 
доцент кафедры общих и профессиональных дисциплин филиала 
ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет путей 

сообщения» в г. Орске 

У13    

Уткин А.А. 
      Геометрическое моделирование окружающего мира 
[Элек-тронный ресурс] : учеб. пособие / А.А. Уткин. – 3-е изд., стер. 
– М. : ФЛИНТА, 2019. – 219с.  

ISBN 978-5-9765-1956-5 

Пособие предназначено для преподавания дисциплины «Гео
метрическое моделирование окружающего мира», относящейся к 
дисциплинам национально-регионального (вузовского) компонента в 
учебном плане направления 050100 – Педагогическое образование 
профиль «Математика». 

УДК 513.013 
ББК 22.151.5 

ISBN 978-5-9765-1956-5
© Уткин А.А., 2013 
© Издательство «ФЛИНТА», 2014 

 
Оглавление 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................. 5
ГЛАВА 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ........................................................ 7

§ 1 Геометрические понятия .......................................................... 7
§ 2 Понятие координатной системы .............................................. 13
§ 3 Геометрические преобразования ............................................. 19

Задания для самостоятельной работы ........................................... 23
ГЛАВА 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ .............................. 26

§ 1 Понятие топологического пространства ................................. 26
§ 2 Топология метрического пространства ................................... 28
§ 3 Окрестность точки в топологическом пространстве ............. 31
§ 4 База топологического пространства ........................................ 33
§ 5 Понятие непрерывного отображения в топологическом 

пространстве ........................................................................................ 35

§ 6 Топологические отображения .................................................. 38
§ 7 Основные топологические инварианты .................................. 40
§ 8 Понятие многообразия .............................................................. 44
§ 9 Понятие графа ............................................................................ 47
§ 10 Связные графы ......................................................................... 52
§ 11 Ориентированные графы ........................................................ 53
§ 12 Формула Эйлера ...................................................................... 56
§ 13 Многогранники ........................................................................ 57
§ 14 Кресты ...................................................................................... 62

Задания для самостоятельной работы ........................................... 65
ГЛАВА 3. АФФИННАЯ СТРУКТУРА ............................................ 71

§ 1 Аффинное пространство ........................................................... 71
§ 2 Аффинная система координат .................................................. 73
§ 3 Тензоры в аффинном пространстве ......................................... 77
§ 4 Операции с тензорами ............................................................... 82
§ 5 Аффинная геометрия ................................................................ 89

Задания для самостоятельной работы ........................................... 98
ГЛАВА 4. ЕВКЛИДОВА СТРУКТУРА ........................................... 99

§ 1 Евклидово пространство ........................................................... 99
§ 2 Координатные системы в евклидовом пространстве ............. 102
§ 3 Тензоры в евклидовом пространстве ....................................... 105
§ 4 Геометрические преобразования евклидова пространства ... 107

§ 5 Методы построения геометрических моделей в евклидовом 

пространстве ........................................................................................ 110

§ 6 Геометрические объекты в евклидовом пространстве 

как модели физических явлений ....................................................... 117
Задания для самостоятельной работы ........................................... 126
ГЛАВА 5. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ СТРУКТУРЫ .......................... 129

§ 1 Псевдоевклидово пространство ............................................... 129
§ 2 Псевдоевклидова плоскость ..................................................... 132
§ 3 Движения на псевдоевклидовой плоскости ............................ 136
§ 4 Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой 

плоскости ............................................................................................. 142
Задания для самостоятельной работы ........................................... 146
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА 
СОБЫТИЙ ........................................................................................... 147

§ 1 Пространство событий .............................................................. 147
§ 2 Формулы Лоренца ..................................................................... 151
§ 3 Исследование формул Лоренца ............................................... 154

Задания для самостоятельной работы ........................................... 159
ГЛАВА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ....................................... 160

§ 1 Полилинейные формы и тензоры ............................................ 162
§ 2 Дифференциальные формы ...................................................... 175
§ 3 Внешний дифференциал ........................................................... 181
§ 4 Три-ткань .................................................................................... 186
§ 5 Координатные квазигруппы на три-ткани .............................. 193
§ 6 Локальные дифференцируемые три-ткани ............................. 204
§ 7 Три-ткани, определяемые дифференциальным уравнением .... 207

Задания для самостоятельной работы ........................................... 212
Библиографический список ............................................................... 215

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Современная геометрия занимает особое место в математике 
благодаря наглядности многих образов, с которыми она имеет дело. 
Многие геометрические понятия рождались из конкретных задач 
механики, физики и т. д. Например, понятие «вектор» (латинское слово vector означает «переноситель») было впервые введено ирландским 
математиком и механиком Вильямом Роуаном Гамильтоном (18531865 гг.) в его «Лекциях о кватернионах» (1853 г.). Современный вид 
векторному исчислению придали в конце ХIX века американский физик Джозайя Виллард Гибс в «Элементах векторного анализа» (18811884 гг.) и английский физик Оливер Хевисайд в «Электромагнитной 
теории» (1893 г.). В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия: дифференциальные 
уравнения, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры 
ЛИ, симплектическая геометрия и эргодическая теория. 
Связи классической механики с различными разделами математики весьма многочисленны и разнообразны. В качестве приложения 
аппарата классической механики можно рассматривать основы римановой геометрии. Неевклидовы геометрии выступают как математические модели законов механики и динамики. Довольно часто доказательство того или иного математического факта удается сначала 
«увидеть», а лишь затем оформить в виде логически непротиворечивого текста, что иногда оказывается весьма трудной математической 
задачей. Однако целесообразность таких затрат оправдывается 
наглядной и красивой картиной. 
Современная математика включает в себя различные направления исследования. Вместе с тем заметим: математика – это единая 
наука. Она занимается исследованием различных математических 
структур и ее основной метод аксиоматический. Различные математические структуры являются математическими моделями явлений 
окружающего мира. Однако каждая модель отражает окружающий 

мир с определенной степенью точности. Знание этих моделей позволяет составить цельное, в известной степени, представление об окружающем мире. 
В первой главе пособия рассматриваются основные понятия, относящиеся к аксиоматическому способу построения теорий, координатным системам, преобразованиям координат, геометрическим преобразованиям. 
Во второй главе раскрывается самая простая, с точки зрения ее 
задания, но очень важная структура – топологическая, лежащая в основе других точечных структур. Рассматриваются также вопросы 
практического применения топологических инвариантов. 
В третьей главе описывается точечная структура – аффинное 
пространство, в котором строится аффинная система координат, вводятся основные геометрические объекты, понятие тензора в аффинном пространстве. 
Четвертая глава посвящена евклидовой структуре, координатным системам, движениям и тензорам в евклидовом пространстве. 
В пятой главе описывается структура псевдоевклидова пространства и, в частности, псевдоевклидовой плоскости. Рассматриваются движения на псевдоевклидовой плоскости, а также измерение 
углов и площадей в таком пространстве.  
В шестой главе строится геометрическая модель пространства событий, выводятся формулы преобразования координат события и рассматриваются простейшие следствия, вытекающие из этих формул. 
В седьмой, заключительной главе водится понятие плоской триткани, ее кривизны. Описывается три-ткань, задаваемая решением 
обыкновенного дифференциального уравнения, ее относительные инварианты и соотношения, связывающие эти инварианты, для линейных уравнений, уравнений Риккатти, уравнений Абеля.  
 

 
ГЛАВА 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ 
 
§ 1 Геометрические понятия 
 
Абстрагирование проблем механики привело к возникновению 
математических теорий, принявших аксиоматически-абстрактный вид. 
Аксиоматический метод – способ построения научной теории, 
при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, 
называемые аксиомами, а все остальные предложения получаются 
как логические следствия аксиом. 
Зародившись в работах древнегреческих ученых, аксиоматический метод получил дальнейшее развитие после открытия в начале 
XIX века неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Бойяи. По 
мере накопления опыта аксиоматического изложения (здесь надо отметить работы М. Паша, Дж. Пеано) уточнялось понятие аксиоматического метода. Впервые список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии, был дан в книге немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии» (1899 г.). 
Покажем, как можно формировать математическую теорию, 
пользуясь аксиоматическим методом.  
Пусть (для простоты) даны три множества: М1, М2, М3 и их прямое произведение М = М1 × М2 × М3. Всякое непустое подмножество 
∆ множества М называют отношением, определенным во множествах  
М1, М2, М3. Если элемент (т1, т2, т3), где  т1 ∈ М1,  т2 ∈ М2,  т3 ∈ 
М3, принадлежит ∆, то говорят, что элементы т1,  т2,  т3  находятся в 
отношении  ∆. 
Пусть на тройке множеств М1, М2, М3 заданы некоторые отношения ∆1, ∆2 … ∆k. Обозначим через А1, А2 … Аt свойства этих отношений, которые мы явно не формулируем. 
Определение 1.1.1 Математической структурой называется 
множество S = {М1, М2, М3, ∆1, ∆2 … ∆k}, где отношения ∆l обладают 
свойствами: 

Σ = {А1, А2 … Аt}.                                     (1.1.1) 

 
Список Σ называется списком аксиом. Элементы множеств  М1, 
М2, М3 называют основными или неопределяемыми понятиями, а отношения ∆l – неопределяемыми отношениями. Таким образом, математическая структура определяется списком аксиом Σ. 
Пример. Рассмотрим структуру п – мерного векторного пространства. Пусть дано не пустое множество элементов V и множество R – поле вещественных чисел. Элементы первого множества 
назовем векторами и будем их обозначать прописными буквами ла
тинского алфавита со стрелкой наверху, то есть a, b

 и т.д. На множествах V и R зададим два отношения: ∆1 – сложение векторов; ∆2 – 
умножение вектора на число. 
Потребуем, чтобы эти отношения удовлетворяли ниже перечисленным аксиомам, разбитым на три группы. 
I. Аксиомы сложения векторов: 
1. Всяким двум векторам a и b
 ставится в соответствие един
ственный вектор c, называемый суммой векторов a и b

 и обозначае
мый: 
b
a
c



+
=
.  

2. Для всяких векторов a и b
 выполняется коммутативный закон, 

то есть 
a
b
b
a




+
=
+
. 

3. Для всяких векторов a, b
,  выполняется ассоциативный за
кон (
)
(
)
c
b
a
c
b
a






+
+
=
+
+
. 

4. Существует вектор 0


, называемый нулевым, такой, что для 

всякого вектора  выполняется равенство
.
0
a
а



=
+
 
5. Для всякого вектора a существует вектор (–a), называемый 

противоположным вектору a, такой, что: 
(
)
.0



=
−
+
а
а
  
II. Аксиомы умножения вектора на число: 
1. Для всякого вектора a, для всякого числа k существует един
ственный вектор 
a
k
b


=
, называемый произведением вектора a на 
число k. 

2. Для всякого вектора a выполняется равенство: 
a
а

 =
1
. 
3. Для всякого вектора a, для всяких чисел 
l
k,
выполняется 
распределительный закон умножения вектора на число относительно 
сложения чисел (
)
.a
l
a
k
a
l
k



+
=
+
 

4. Для всяких векторов 
b
а

,
, для всякого числа k выполняется 
распределительный закон умножения вектора на число относительно 

сложения векторов 
(
)
b
k
a
k
b
a
k




+
=
+
. 
5. Для всякого вектора a, для всяких чисел k и l выполняется равенство 
(
)
( )a
kl
a
l
k

 =
. 
III. Аксиомы размерности: 
1. Существует п линейно независимых векторов. 
2. Всякие п + 1 вектор линейно зависимы. 
Структура S = { V, R, ∆1, ∆2 }, определяемая выше перечисленными 12 аксиомами, называется структурой п – мерного векторного 
пространства над полем вещественных чисел и обозначается Vn.  
Список Σ может определять не один набор отношений σ = {∆1, ∆2 
… ∆k} на данных множествах М1, М2, М3 и, следовательно, не одну математическую структуру. Обозначим через Т множество структур, 
определяемых данным списком аксиом. Если структура S принадлежит 
множеству T, то говорят, что S – математическая структура рода Т. 
Используя неопределяемые понятия, отношения и выстраивая 
конечную цепочку из аксиом, взятых в определенном порядке из 
списка Σ, формируют новые понятия и отношения, которые называют 
определяемыми, а также их свойства. Эти свойства называют логическими следствиями списка Σ. Множество предложений, являющихся 
логическими следствиями аксиом системы Σ, называется теорией 
структур рода Т. Как правило, такую теорию обозначают через τ(Т). 
Каждому роду присваивается определенное название (теория групп, 
теория аффинных пространств и т. д.). 
В геометрии используются различные понятия и отношения. Их 
свойство быть неопределяемым или определяемым в данной теории за

висит только от исходного списка аксиом Σ. Как известно, в аксиоматике Гильберта понятия «прямая линия», «плоскость», отношения «инцидентность», «лежать между», «конгруэнтность», участвующие в построении геометрии евклидова пространства, являются неопределяемыми. В аксиоматике Вейля эти понятия и отношения подлежат определению через понятия «точка», «вектор» и перечисленные выше четыре отношения. Аналогично понятие вектора в аксиоматике Гильберта 
подлежит определению. 
Возникают три законных вопроса: 
а) Всякий ли список аксиом Σ определяет некоторую математическую структуру?  
б) Если список аксиом Σ задает математическую структуру, то 
все ли аксиомы из списка Σ необходимы для этого? 
в) Можно ли список Σ пополнить новыми аксиомами, не изменяя неопределяемых отношений и понятий, так, чтобы новый список 
определял новую структуру? 
Эти три требования, предъявляемые к списку Σ, называют требованиями «непротиворечивости», «независимости» и «полноты». 
Остановимся на них подробнее. 
Определение 1.1.2 Систему аксиом называют внутренне непротиворечивой, если из нее нельзя получить логическим путем два 
утверждения, из которых одно является отрицанием другого. 
Чтобы решать вопросы о внутренней непротиворечивости данной системы аксиом, надо изучить технику логических выводов 
предложений из аксиом. Такая задача относится к одной из задач математической логики. 
Определение 1.1.3 Список аксиом Σ называется содержательно 
непротиворечивым, если существуют конкретные множества М1, М2, 
М3 с конкретными отношениями ∆1, ∆2 … ∆k, обладающими свойствами из списка Σ. 

Такой конкретный набор множеств и отношений называется моделью структуры данного рода. Таким образом, проверка списка на содержательную непротиворечивость достигается построением модели. 
В качестве моделей рассмотренной выше структуры векторного 
пространства можно взять, например, множество направленных отрезков с общим началом, множество классов, состоящих из отрезков 
равной длины и одинакового направления, множество однострочечных матриц из п элементов и т. д. 
В физике при изучении движения тела по наклонной плоскости, 
механических свойств рычагов, подвижных и неподвижных блоков,  
клина и так далее используются различные модели векторов, в частности радиус-вектор, класс эквиполентных отрезков. 
Если модель построена, то говорят также, что построена интерпретация данного списка аксиом, и тогда проблема внутренней непротиворечивости этой системы аксиом сводится к вопросу о внутренней непротиворечивости системы тех понятий, которые были использованы при построении интерпретации. Если известно, что эта 
система понятий внутренне непротиворечива, то тогда будет внутренне непротиворечива исходная система аксиом. 
Так, например, непротиворечивость геометрии Лобачевского 
доказана Ф. Клейном и А. Пуанкаре в предположении, что непротиворечива геометрия Евклида, а вопрос о непротиворечивости гильбертовской аксиоматики евклидовой геометрии был сведен Д. Гильбертом к проблеме непротиворечивости арифметики. 
Таким образом, если оставаться только в рамках геометрии, то 
мы можем решать вопрос исключительно о содержательной непротиворечивости данной системы аксиом. 
Метод интерпретаций позволяет также решить вопрос о независимости аксиом. Пусть известно, что список Σ непротиворечив. 
Определение 1.1.4 Аксиома Аl из списка Σ называется независимой от аксиом данного списка, если предложение  Al  не является 
логическим следствием аксиом списка Σ′ = Σ \ {Аl}. 

Для проверки независимости аксиомы Аl ее заменяют в данном 

списке на отрицание 
lA . Если при этом окажется, что список 

{ }
lA

Σ′
=
Σ
∗
 непротиворечив, то это означает, что предложение Аl ло
гически не следует из списка Σ′. 
Если аксиома Al зависима от остальных аксиом списка Σ, то ее 
можно вычеркнуть из этого списка и в результате теория τ(Σ) не изменится. 
Заметим, что проверку на «независимость» нельзя применять к 
аксиомам, которые используются для формулировки других аксиом. 
Так, например, в системе аксиом, определяющих структуру группы, 
аксиома о существовании нейтрального элемента считается выполненной при формировании аксиомы о существовании симметричного 
элемента. Поэтому для этой аксиомы вопрос о ее независимости ставить нельзя. 
Определение 1.1.5 Непротиворечивая система аксиом Σ, вводящая основные отношения ∆1, ∆2 … ∆k, называется неполной, если 
существует аксиома А, удовлетворяющая условиям: 
а) аксиома А не вводит новых отношений; 
б) аксиома А независима от аксиом списка Σ; 

в) система 
{ }
А

Σ
=
Σ~
 непротиворечива. 
Если не существует аксиомы, удовлетворяющей условиям определения 1.1.5, то список Σ называется полным. Для доказательства 
полноты системы Σ достаточно доказать, что все ее интерпретации 
изоморфны, то есть между моделями существуют взаимнооднозначные соответствия, сохраняющие отношения, вводимые 
списком аксиом Σ. 
Наш рассказ будет неполным, если мы не отметим одной важной детали. Дело в том, что непротиворечивые системы аксиом можно использовать для задания более сложных структур. Так, в нашем 
примере с векторным пространством первая группа аксиом (аксиомы 
сложения) на самом деле задают алгебраическую структуру, называ