Математический анализ: экспресс-курс для подготовки к государственному экзамену

В.В. Пергунов 

Математический анализ: 
экспресс-курс для подготовки 
к государственному экзамену 

Учебное пособие 

4-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 

УДК 517.2 
ББК  22.161 

П26 

Научный редактор 

П26 

Уткина Т.И., кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой 
алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике  
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ

Рецензенты: 

Михайличенко И.Н., кандидат физико-математических наук, 
доцент;  

Чурсин В.Б., кандидат физико-математических наук, доцент 

(кафедра общих и профессиональных дисциплин филиала 
ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет 
путей сообщения» в г. Орске) 

Пергунов В.В. 
      Математический анализ : экспресс-курс для подготовки к государственному экзамену [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.В. 
Пергунов. – 4-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2019. – 203 с. 

ISBN 978-5-9765-1954-1 

Данное учебное пособие представляет собой сжатое изложение 

курса математического анализа, читаемого в Орском гуманитарно-технологическом институте (филиале) ОГУ для студентов специальности «Математика»,
бакалавриата 2-го и 3-го поколения Федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования. Оно может быть 
использовано как для ускоренной подготовки к государственному экзамену, так 
и для построения лекционного курса при изучении математического анализа. 

Учебное пособие адресовано студентам физико-математических 

факультетов, учителям математики, а также всем интересующимся математикой.  

УДК 517.2
ББК 22.161 

ISBN 978-5-9765-1954-1
© Пергунов В.В., 2013 
© Издательство «ФЛИНТА», 2014 

Содержание 
 

Введение …………………………………………………………… 5

1. Введение в анализ ......................................................................... 7

1.1. Множество действительных чисел и его свойства ............. 7
1.2. Понятие функции. Основные классы числовых 

функций. Суперпозиция функций. Обратные функции ………... 9

1.3. Определение и существование точных границ множества. 

Понятие предела числовой последовательности. Основные  
теоремы о пределах числовых последовательностей ................... 15

1.4. Предел и непрерывность функции в точке. Свойства 

функций, непрерывных на отрезке ………………………............. 24

1.5. Вопросы и задания для самоконтроля ……………............. 37

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
40

2.1. Определение производной. 

Геометрический и механический смысл …………….................... 40

2.2. Односторонние и бесконечные производные …................. 44
2.3. Связь между непрерывностью 

и дифференцируемостью функции ……………............................. 46

2.4. Дифференциал и дифференцируемость …........................... 50
2.5. Основные теоремы дифференциального исчисления ........ 53
2.6. Применение производной к исследованию функций 

на экстремум, монотонность, выпуклость ……............................. 56

2.7. Вопросы и задания для самоконтроля по разделу ……….. 71

3. Интегральное исчисление функции одной переменной ........... 75

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл ....................... 75
3.2. Определенный интеграл ………............................................ 77
3.3. Свойства определенного интеграла. 

Формула Ньютона – Лейбница ........................................................ 82

3.4. Геометрические приложения определенного интервала ... 87
3.5. Вопросы и задания для самоконтроля …………….……… 99

4. Ряды ................................................................................................ 103

4.1. Понятие числового ряда и его суммы .................................. 103
4.2. Основные признаки сходимости знакоположительных 

рядов ................................................................................................... 106

3 
 

4.3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды ............................. 112
4.4. Функциональные последовательности и ряды. 

Равномерная сходимость ................................................................. 119

4.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора. 

Критерий разложимости. Достаточное условие разложимости. 
Ряды Тейлора показательной и тригонометрических функций. 
Биномиальный ряд …….................................................................... 130

4.6. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. 

Круг сходимости ……....................................................................... 137

4.7. Вопросы и задания для самоконтроля ……………………. 140

5. Дифференцируемость функции комплексного переменного ... 146

5.1. Производная функция комплексного переменного. 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. 
Понятие аналитической функции …............................................... 146

5.2. Геометрический смысл производной …............................... 152

6. Элементарные функции в комплексной области ...................... 155

7. Дифференциальные уравнения …............................................... 159

7.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого 

порядка ……………........................................................................... 159

7.2. Линейные дифференциальные уравнения второго 

порядка с постоянными коэффициентами ……............................. 168 

8. Элементы теории вероятностей и математической статистики 173

8.1. Пространство элементарных событий.

Классическое определение вероятности ………………................ 173

8.2. Статистическое определение вероятности ..….................... 180
8.3. Аксиоматическое построение теории вероятностей .......... 182
8.4. Условная вероятность. Теорема умножения. 

Независимые события. Формула полной вероятности ..………... 185

8.5. Генеральная совокупность. Выборка. Способы образования 

выборки. Статистическая оценка параметров распределения ........ 190

8.6. Интервальные оценки параметров распределения .…........ 194

Вопросы к государственному экзамену по математическому
анализу …………………………………………...…......................... 197
Библиографический список ……..................................................... 201

4 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Данное учебное пособие разработано в соответствии с программой государственного экзамена по математике для выпускных курсов 
педагогических специальностей 050201 – Математика и 050202.65 – 
Информатика (с дополнительной специальностью «Математика»),  
а также направлений бакалавриата «Физико-математическое образование» (профиль «Математика») и «Педагогическое образование» 
(профиль «Математика»). Содержательной основой этого экспресскурса служит материал спецсеминара «Избранные вопросы анализа» и 
обзорных лекций по математическому анализу, читаемых автором на 
выпускных курсах физико-математического факультета ОГТИ (филиала) ОГУ в течение многих лет. 
Экспресс-курс включает 8 разделов, отражающих содержание 
основной части государственного экзамена по математическому анализу в соответствии с учебными программами и Государственным 
образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 050201 – Математика, ФГОС ВПО 2-го и 3-го 
поколения бакалавров. Представленный материал несколько шире и 
глубже, чем это требуется для ответа на вопросы экзамена. В пособии приводятся подробные доказательства фундаментальных положений математического анализа, примеры и контрпримеры, позволяющие глубже уяснить изучаемые понятия. В разделах, касающихся 
основных теорий: предела и непрерывности функций, дифференциального и интегрального исчислений, рядов, – выдержан единый 
подход к построению доказательств, формулировок теорем и определений. 
Ярко выражена логическая структура доказательства теорем, 
основанная на аксиомах множества действительных чисел, определений и теорем теории пределов, точных границ множеств. В большинстве случаев после словесной формулировки дается запись в кванторах, что позволяет достаточно компактно и четко строить доказательство теорем, использовать определения и т. д. 
5 
 

В конце каждого крупного раздела предлагаются вопросы и задания для самоконтроля. Большинство из них носит нестандартный 
характер. Их решение способствует более глубокому усвоению теории. Материал вопросов и заданий может служить основой для организации спецсеминара по подготовке к государственному экзамену. 
Завершает экспресс-курс перечень вопросов по математическому 
анализу из программы государственного экзамена по математике. 
Учебное пособие способствует повторению, систематизации 
знаний студентов по наиболее важным, фундаментальным разделам 
математического анализа, раскрывает различные практические аспекты анализа. Оно может использоваться при изучении математического анализа на любых курсах. 

6 
 

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

1.1. Множество действительных чисел и его свойства 
 
Определение 1.1. Множеством действительных чисел R называется объединение множества рациональных чисел Q и множества 
иррациональных чисел J. 
В курсе «Алгебры» доказывается, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной, но периодической десятичной дроби, а иррациональное число – в виде бесконечной непериодической дроби. Таким образом, всякое действительное число можно изобразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. 
На множестве действительных чисел определены две бинарные 
алгебраические операции: сложение и умножение, – относительно 
которых множество R является полем. 
Рассмотрим те свойства множества действительных чисел, которые не отражены в курсе «Алгебры», но необходимы для построения теорий математического анализа. 
1. Свойство линейной упорядоченности 
Определение 1.2. Множество M называется линейно упорядоченным, если на нём определено отношение «меньше», обладающее 
следующими свойствами: 
1) иррефлексивностью – никакой элемент множества М не может быть меньше самого себя: 

(
)
x
M x
x
∀ ∈
<
; 

2) транзитивностью: 

, ,
| (
)
(
)
(
)
x y z
M
x
y
y
z
x
z
∀
∈
<
∧
<
⇒
<
; 
3) трихотомией – для любых двух элементов из М выполняется 
одно и только одно из соотношений: 

,
| (
)
(
)
(
)
x y
M
x
y
x
y
y
x
∀
∈
=
∨
<
∨
<
. 
В частности, отсюда следует, что если x
y
≤
 и y
x
≤
, то x
y
=
. 
Множество действительных чисел R линейно упорядочено. 
2. Свойство плотности 
Между двумя различными действительными числами находится 
третье действительное число: 

(
)
(
)
,
|
|
x y
R x
y
z
R x
z
y
∀
∈
<
⇒ ∃ ∈
<
<
. 

7 
 

Можно доказать, что на любом интервале ( , )
a b  существует,  
по крайней мере, одно рациональное число. 
3. Свойство непрерывности 
Существует два подхода к определению непрерывности множества действительных чисел: по Кантору и Дедекинду. 
Аксиома Кантора: Всякая последовательность вложенных 
сегментов [
]
[
]
[
]
1
1
2
2
,
,
...
,
...
n
n
a b
a b
a b
⊃
⊃
⊃
⊃
 имеет хотя бы одну общую точку, принадлежащую всем сегментам этой последовательности. 
Назовём последовательность вложенных сегментов стягивающейся, если длина их стремится к нулю при n → ∞. Из аксиомы следует теорема 1.1. 
Теорема 1.1. (Г. Кантор). Для всякой стягивающейся последовательности сегментов существует единственное число, принадлежащее всем сегментам. 
Другой подход связан с понятием сечения во множестве действительных чисел. 
Определение 1.3. Сечением множества М называют пару множеств (X, Y), если выполняются следующие три условия: 
1) множества X и Y не пусты; 
2) множества X и Y образуют разбиение множества М на классы, то есть 
, 
X
Y
M X
Y
∪
=
∩
= ∅ ; 
3) если 
, 
x
X y
Y
∈
∈
, то x
y
<
. 
Сечение обозначают 
|
X Y , при этом X  – нижний класс, а Y  – 
верхний класс сечения. 
Определение 1.4. Число α  назовем рубежом сечения 
|
X Y , если выполняются два условия: 
1) всякое число, меньшее α , попадает в нижний класс, то есть 

x
x
X
α
<
⇒
∈
; 
2) всякое число, большее α , лежит в верхнем классе, то есть 

y
y
Y
α
>
⇒
∈
. 
Само число α  может принадлежать как нижнему, так и верхнему классам. Если 
X
α ∈
, то во множестве X оно является наибольшим. Во множестве Y, если 
Y
α ∈
, оно наименьшее. 
Принцип Дедекинда: Всякое число определяет сечение множества действительных чисел, и всякое сечение множества дей
8 
 

ствительных чисел имеет рубеж, который является либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшим в верхнем классе.  
Если основным принимается принцип Кантора, то принцип Дедекинда доказывается как теорема, и наоборот. 
Заметим, что множество рациональных чисел обладает всеми 
предыдущими свойствами, кроме свойства непрерывности. Например, множества 
{
}
|
2
X
x
Q x
=
∈
<
 и 
{
}
|
2
Y
y
Q y
=
∈
>
 образуют 

сечение, но 
2
α =
 не рациональное число. 
 
1.2. Понятие функции. Основные классы числовых функций. 
Суперпозиция функций. Обратные функции 
 
Определение 1.5. Пусть даны два множества А и B. Соответствие между множествами А и В, при котором каждому элементу 
x
A
∈
 поставлен в соответствие единственный элемент y
B
∈
, называют отображением или функцией. Если множества А и В – числовые, то функция также называется числовой.  
Обозначают: 
:
f
A
B
→
 или 
( )
y
f x
=
, при этом  множество А 
называют областью определения функции f, а множество всех образов 
( )
f A  элементов множества А во множестве В, называют областью значений функции. 
Функцию 
:
f
A
B
→
 называют сюрьективной, если каждый 
элемент из В имеет прообраз во множестве А.  
Функцию 
:
f
A
B
→
 называют инъективной, если различным 
элементам из множества А соответствуют различные элементы из 
множества В. 
Функция 
:
f
A
B
→
 называется биективной, если она сюрьективная и инъективная. 
Биективная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В. 
Определение 1.6. Пусть даны две функции 
:
f
A
B
→
  
и 
:
g B
C
→
. Функция 
:
h A
C
→
 называется композицией функций 
(или сложной функцией), если 
(
)
(
)
( )
( )
x
A h x
g f x
∀ ∈
=
. 
Определение 1.7. Функция 
:
g B
A
→
 называется обратной для 
функции 
:
f
A
B
→
, если 
(
)
( )
( )
x
A y
B x
g y
y
f x
∀ ∈ ∀ ∈
=
⇔
=
. 
 

9 
 

 
 
Из определения непосредственно следует: 
Для того, чтобы функция 
:
f
A
B
→
 имела обратную функцию 

:
g B
A
→
, необходимо и достаточно, чтобы функция f  была биективной. 
Будем рассматривать функции, определённые на подмножествах множества R с областью значений также в R. 
Выделяют четыре способа задания функций: 
1. Аналитический 
Функция называется заданной аналитически, если она записана 
в виде формулы, в которой участвуют знаки алгебраических действий и символы элементарных функций. 
Если при этом область определения не указана, то под областью 
определения понимают множества значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл. 
2. Графический 
Множество точек плоскости ( , )
x y  называют графиком функции 

( )
y
f x
=
, если при подстановке чисел ( , )
x y  в это равенство, оно становится тождеством. 
Отсюда следует, что кривая на плоскости является графиком 
некоторой функции, если любая вертикальная прямая пересекает её 
не более чем в одной точке. 
Если функция задана графически, то областью определения 
служит проекция кривой на ось OX, а областью значений – проекция 
на ось OY. 
Пример. 

[
]
[
]

,

,

A
a b

B
c d

=

=

  
 
       Рис. 1.1 

10 
 

 
 
3. Табличный 
Табличный способ применяется широко во всех естественных 
науках, а также для построения (приближённого) графиков. 
4. Описательный или словесный 
Словесный способ применяется тогда, когда нельзя использовать ни один из выше перечисленных. 
Например: 
1) 
( )
[ ]
f x
x
=
 –   целая часть числа x. 
Целой частью числа x называется наибольшее целое, не превосходящее x. 
2) Функция Дирихле 

1, если  - рациональное число
( )
0, если  - иррациональное число

x
f x
x

= 


. 

 
Некоторые классы функций 
10. Ограниченные функции 
Функция 
( )
y
f x
=
 называется ограниченной на множестве Е, если существует число 
0
k >
 такое, что для всех x
E
∈
 выполняется неравенство 
( )
f x
k
≤
. 
20. Монотонные функции 
Функция 
( )
y
f x
=
 называется неубывающей на множестве Е, если для любых двух чисел 
1
2
, 
x
x
E
∈
 из неравенства 
1
2
x
x
<
 следует 

(
)
(
)
1
2
f x
f x
≤
. 
Частным случаем неубывающей функции является возрастающая функция.  

( )
{
}
(
)
(
)
(
)
{
}
1
2
1
2
1
2
 возрастает на 
,
f x
E
x x
E x
x
f x
f x
⇔ ∀
∈
<
⇒
<
. 

Аналогично определяются невозрастающая и убывающая функции: 
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
{
}

( )
{
}
(
)
(
)
(
)
{
}

1
2
1
2
1
2

1
2
1
2
1
2

 не возрастает на 
,

 убывает на 
,
.

f x
E
x x
E x
x
f x
f x

f x
E
x x
E x
x
f x
f x

⇔ ∀
∈
<
⇒
≥

⇔ ∀
∈
<
⇒
>

 

Невозрастающая или неубывающая функция на множестве Е 
называется монотонной. 
Если функция одновременно неубывающая и невозрастающая 
на множестве Е, то она постоянна на этом множестве. 
11 
 

 
 
30. Чётные и нечётные функции 
Функция 
( )
f x  называется чётной на множестве Е, если для 
всех x
E
∈
 выполняется равенство 
(
)
( )
f
x
f x
−
=
, и нечётной, если 

(
)
( )
f
x
f x
−
= −
. 
Из определения следует, что множество Е должно быть симметрично относительно начала координат на числовой прямой. График 
чётной функции симметричен относительно оси OY, а нечётной – относительно начала координат. 
40. Периодические функции 
Функция 
( )
f x  называется периодической на множестве Е, если 
существует число Т, называемое периодом функции, такое, что для 
всех 
, 
x
E x
T
E
∈
+
∈
 и выполняется равенство: 
(
)
( )
f x
T
f x
+
=
. 
Из этого определения следует, что 
1) Е – неограниченное множество; 
2) любое число, кратное периоду nT , также является периодом 
данной функции. 
Пример. 
1) 
, 
y
sinx y
cosx
=
=
 – периодические функции на множестве R  
с периодом 
2
, 
T
n n
Z
π
=
∈
. 
2) 
, 
y
tgx y
ctgx
=
=
 – периодические функции с периодом 

, 
T
n n
Z
π
=
∈
. 
3) 
{ }
y
x
=
 –   дробная часть числа, периодическая функция на R. 
Периодом является любое целое число. 
4) Функция Дирихле 
 

1,  - рациональное
( )
0,  - иррациональное
x
f x
x

= 


 

 
периодическая на R, периодом является любое рациональное число 
не равное нулю. 
Действительно, пусть r  – любое рациональное число, 
0
r ≠
. Если x
Q
∈
, то x
r
Q
+ ∈
. Тогда 
( )
1, (
)
1
f x
f x
r
=
+
= , следовательно 

(
)
( )
f x
r
f x
+
=
. 
Если x
J
∈
, то x
r
J
+ ∈
. Тогда 
( )
0, (
)
0
f x
f x
r
=
+
=
 и снова 

(
)
( )
f x
r
f x
+
=
. 

12