Функционально устойчивые системы управления: асимптотические методы синтеза

Москва

ИНФРА-М

2020

ФУНКЦИОНАЛЬНО УСТОЙЧИВЫЕ 

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА

Ñ.À. ÄÓÁÎÂÈÊ
À.À. ÊÀÁÀÍÎÂ

МОНОГРАФИЯ

Дубовик С.А.

Д79 
 
Функционально устойчивые системы управления: асимптоти
ческие методы синтеза : монография / С.А. Дубовик, А.А. Кабанов. — М. : ИНФРА-М, 2020. — 249 с. — (Научная мысль). — www.
dx.doi.org/10.12737/monography_5b446a985cf9a5.11626044.

ISBN 978-5-16-014078-0 (print)
ISBN 978-5-16-103311-1 (online)

Монография посвящена применению асимптотических методов для 

создания функционально устойчивых систем управления. Рассматриваются также задачи анализа больших уклонений, для чего используется аппарат функционала действия и квазипотенциалы Вентцеля — Фрейдлина. 
В этом направлении в работе получены алгоритмы, позволяющие в реальном времени прогнозировать и предотвращать критические ситуации 
в управлении возмущенной системой. Разработанные методы иллюстрируются примерами их использования в системах управления подвижными 
объектами различного назначения. 

Теоретические методы и подходы, представленные в монографии, 

предназначены для подготовки магистров по направлению 27.04.04 
«Управление в технических системах».

УДК 519.71(075.4)

ББК 22.18

УДК 519.71(075.4)
ББК 22.18
 
Д79

©  Дубовик С.А., Кабанов А.А., 2019

ISBN 978-5-16-014078-0 (print)
ISBN 978-5-16-103311-1 (online)

Р е ц е н з е н т ы: 

Согомонян С.В., кандидат технических наук, старший научный сотруд
ник научно-исследовательской лаборатории развития систем наведения, 
оптико-электронных и радиотехнических систем высокоточного оружия ВМФ Черноморского высшего военно-морского училища имени 
П.С. Нахимова;

Глеч С.Г., кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры менедж
мента Севастопольского экономико-гуманитарного института (филиал) 
Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского

А в т о р ы: 

Дубовик С.А., доктор технических наук, профессор, профессор кафедры 

информатики и управления в технических системах Севастопольского государственного университета;

Кабанов А.А., кандидат технических наук, доцент, заведующий кафе
дрой информатики и управления в технических системах Севастопольского государственного университета

ВВЕДЕНИЕ 

В теории управления давно и, по-видимому, надолго укоренился 
подход, который условно можно назвать процедурно-вычислительным. 
Возник он в период бурного развития вычислительной техники и привел 
к закреплению некоторых традиций и шаблонов, которые со временем 
стали тормозом во многих отраслях теории и практики проектирования 
систем. Вот одно из таких традиционных правил: управлять объектом 
должен окончательно сформированный «монолитный» регулятор и, 
следовательно, процедура синтеза закона управления должна строго 
предшествовать реализации самого процесса управления.  
Это правило привело к тому, что практически с момента основания 
кибернетики на самом деле существовали две совершенно не связанные 
друг с другом науки с одинаковым названием: «кибернетика». Одна из 
них – теория автоматического управления (ТАУ) – как раз и развивалась в 
рамках означенного «табу», имея целью управление динамическими 
объектами. Фактически, указанное ограничение очень сильно сужает 
возможности управления: так как наши априорные представления о 
любом управляемом процессе или явлении никогда в точности не 
совпадают с реальностью, то необходимость «продолженного синтеза» 
(online синтеза) становится очевидной. 
С другой стороны, это означает, что к началу процесса управления 
регулятор должен представлять собой не «монолит», а некоторый набор 
элементов, 
сеть, 
которая 
в 
дальнейшем 
реконфигурируется 
соответственно цели и текущим условиям и обстоятельствам управления. 
При этом, конечно, возникает потребность в средствах анализа такой 
структурированной, 
семантической 
информации. 
«Монолитный» 
регулятор не в состоянии обеспечить это важнейшее требование для 
автономного движения – требование функциональной устойчивости, 
понимаемое 
как 
способность 
выполнения 
поставленной 
задачи 
независимо от действия внешних возмущений. 
Другая «кибернетика», развивавшаяся под флагом «искусственного 
интеллекта» (ИИ), как раз и содержит в качестве ключевой идею языка и 
его семантики как средства построения систем, функционирующих в 
условиях неопределенности, на основе другой важнейшей для ИИ 
концепции – понятия имитации и ее декларативного представления. Здесь 
можно увидеть другую крайность: для ИИ часто характерно отрицание 
всякой априорной математики в описании объекта и замена ее 
процедурами обучения, асимптотически приближающими управляемую 
систему к имитируемым эталонам. Понятно, что далеко не всегда и не во 
всяком управляемом процессе управляющая сторона может позволить 
себе «роскошь» обучения, и именно тогда возникает идея использования 
априорных описаний процесса для синтеза не одного монолитного 
регулятора, а некоторого параметризованного семейства, сети, настройку 
которой (продолженный, или online, синтез) можно совершать в процессе 
управления в зависимости от хода последнего. И только такое устройство 
регулятора может гарантировать функциональную устойчивость системы 

управления. Здесь мы не будем углубляться в методы этой кибернетики 
ИИ, но воспользуемся терминологией, вырабатывающейся в последнее 
время на стыке математической информатики, нейрофизиологии и 
психологии [1–3]. При этом оказывается, что в специальном определении 
этих понятий нет необходимости – их сущность, как правило, ясна из 
контекста, но при желании указанные термины можно уточнить в 
упомянутых источниках и в литературе, которая приведена в имеющихся 
там библиографиях. 
В этой книге делается попытка именно расширенного взгляда на 
синтез управлений, а в качестве конструктивного средства анализа 
используются асимптотические методы. В определенном смысле 
асимптотические методы позволяют соединить указанные два подхода. 
На первом шаге ТАУ позволяет сформулировать и решить определенную 
совокупность 
задач, 
возникающих 
в 
рассматриваемой 
проблеме 
управления и, как правило, содержащих некоторую группу параметров. 
Если удается построить асимптотики по этим параметрам, то это 
структурирует проблему, создает понятия, а в целом – нечто, подобное 
базе знаний, позволяющее выстроить верхний уровень управления и 
принятия решений (уже в режиме online), то есть совокупность 
радикалов. 
Именно в этом основное отличие общепринятого процедурного 
способа использования асимптотик от используемого в настоящей работе 
декларативно-когнитивного (ДК). В первом случае роль асимптотик 
ограничивается исключительно упрощением вычислений и сказывается 
только на ускорении и упрощении процедуры синтеза все того же 
монолитного регулятора, причем эта процедура завершается сборкой всех 
компонент в монолитный регулятор до начала процесса управления. 
Поэтому на все дальнейшие непредвиденные возмущения и изменения в 
объекте 
уже 
в 
процессе 
управления 
указанные 
усилия 
по 
асимптотическому анализу никак не влияют и, следовательно, ко всем 
этим, вполне реальным, как правило, возмущениям и вариациям никакого 
отношения не имеют. Во втором случае – ДК-синтеза – никакой общей 
сборки не производится, а из всей совокупности компонент (радикалов) 
выделяется некоторый априорный регулятор (из части радикалов 
собирается 
начальный 
системоквант). 
Особый 
случай, 
когда 
декомпозиция процесса с помощью малых параметров используется 
только для построения критериев качества в задачах синтеза, будем 
называть декларативным синтезом (D-формат), а процедуру сборки 
радикалов в системоквант – когнитивным синтезом (K-формат). Еще 
раз: важнейшая роль асимптотического анализа в системах управления 
вовсе не в упрощении вычислительных алгоритмов, а в возможности 
создавать радикалы, а затем уже в процессе управления формировать из 
них системокванты, реализуя тем самым концепцию «продолженного 
синтеза». Понятно, что этот продолженный синтез на самом деле 
сводится к простой реконфигурации – выведению из процедуры 
управления одних радикалов и введению в него (активированию) других. 
Решать эти задачи реконфигурации и сборки радикалов в системокванте 

на основе прогноза управляемого процесса должен супервайзер, 
занимающий к текущему контуру управления некоторую верхнюю 
позицию (вторая сигнальная система). 
Эта идея online сборки является ключевой для управления в условиях 
неопределенности и для повышения функциональной устойчивости 
системы управления в целом. Но функциональная устойчивость может 
пониматься и в локальном смысле как хорошо известная робастность. 
Асимптотические методы и здесь оказываются полезны. Некоторые 
результаты в этом направлении мы приводим в главах 4 и 5.  
Методы 
асимптотического 
анализа 
давно 
используются 
для 
упрощения и декомпозиции в задачах и алгоритмах. Результаты, 
основанные на канонических представлениях систем, рассмотрены в 
главах 2 (D-формат) и 3 в рамках K-формата системы управления. 
Понятно, что для выполнения задачи и сохранения гомеостазиса [4] 
автономно движущийся объект (АДО) должен располагать некоторым 
минимальным набором радикалов, достаточным для надлежащего 
реагирования (в форме системокванта) на все возможные в процессе 
функционирования события и возмущения. В настоящей работе 
предлагается такой набор радикалов, который может оказаться 
достаточным в большом числе задач по использованию АДО: 
– линейный стационарный регулятор (LTI-радикал), 
– терминальный (гиперболический) регулятор (Т-радикал), 
– профиль больших уклонений (LDP-радикал). 
Причем первые два типа радикалов могут использоваться как в 
штатных, так и в антикризисных режимах управления. 
Главная функция верхнего уровня управления (супервайзера) в 
функционально устойчивой системе – прогнозирование. Глава 6 
посвящена применению асимптотической теории больших уклонений 
Вентцеля–Фрейдлина 
в 
задачах 
синтеза 
бортовых 
систем 
прогнозирования и управления в K-формате. Показано, что грубые 
оценки Вентцеля–Фрейдлина позволяют построить и реализовать в 
реальном времени алгоритмы работы супервайзера. Разработанные здесь 
методы и алгоритмы, а также результаты других глав, используются в 
главах 7 и 8 для построения систем управления морскими, наземными 
транспортными 
средствами 
и 
летательными 
аппаратами, 
функционирующими в том числе в безэкипажном и беспилотном 
режимах.  
Авторы выражают искреннюю благодарность за внимание к работе 
М.Г. Дмитриеву (г. Москва), А.Т. Барабанову, Б.А. Скороходу, 
В.Г. Козыреву (г. Севастополь). 

ГЛАВА 1 
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В 
УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЙ. ЗАДАЧА КОМПОЗИЦИОННОГО 
СИНТЕЗА 

Рассматриваются математические методы, с помощью которых 
возможно осуществление декомпозиции в многомерных динамических 
системах. Формулируются задачи синтеза регуляторов в условиях 
терминального и стационарного управления. 

1.1. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ТЕОРИИ 
ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ 

Современная теория управления сталкивается сегодня с теми же 
проблемами, что и все науки информационного направления. В первую 
очередь 
это 
сложность 
используемых 
математических 
моделей, 
обусловленная 
объективной 
сложностью 
решаемых 
задач, 
и 
необходимость функционирования проектируемой системы в условиях 
той или иной степени неопределенности наших знаний об управляемом 
процессе. 
В настоящее время существуют достаточно мощные методы, 
позволяющие разрабатывать алгоритмы управления для многомерных 
систем. Можно отметить метод функций Ляпунова [11–13], методы 
оптимального управления [14–21], обобщенный метод Рауса для 
алгебраизации критериев качества многомерных систем [22–24]. 
Проектирование систем управления, предназначенных для работы в 
условиях 
неопределенности, 
может 
основываться 
на 
некоторых 
гарантирующих 
принципах, 
ориентированных 
на 
наихудшие 
из 
возможных условий функционирования системы [16, 17, 25]. С другой 
стороны, 
если 
существует 
возможность 
коррекции 
алгоритма 
управления при изменении параметров возмущений, то становятся 
целесообразными усилия, направленные на достижение некоторых 
эталонных или оптимальных характеристик управления в рамках 
априорной модели возмущений. Здесь важно подчеркнуть, что 
регулятор в таком случае должен представлять дружественный 
интерфейс для более высоких уровней управления и контроля. Это 
объясняет и тот интерес к вопросам языка проектирования и методам 
представления и обработки семантической информации об объекте, 
который возникает и расширяется в последнее время в информатике и 
смежных с ней научных дисциплинах. 
Подход, предлагаемый в настоящей работе, основывается на методе 
возмущений, 
то 
есть на 
использовании 
малых 
параметров 
в 
математическом описании задачи проектирования, что позволяет 
получить простые и близкие к оптимальным решения, открытые для 
коррекции в случае изменения априорных математических моделей. 
Можно 
отметить 
близость 
предлагаемой 
процедуры 
и 
метода 
асимптотических 
частотных 
характеристик 
[26], 
существенным 

элементом которого является пренебрежение малыми постоянными 
времени в рассматриваемом диапазоне частот. 
Пусть, например, задана передаточная функция  
 

T, – положительные постоянные времени. При построении 
асимптотической амплитудно-частотной характеристики для такого 
звена вся ось частот разбивается на три множества: 
T
/
1
:
0
, 
/
1
/
1
:
1
T
, 
/
1
:
2
, 
а передаточная функция s
w
 представляется в виде произведения трех 
передаточных функций элементарных звеньев: 

 
k
s
w
0
,
, 
, 

и затем полагают с точностью до некоторой ошибки, максимальной в 
частотах сопряжения, что 

 

где 
 
 

 а 
 – в данном случае модуль комплексной 
переменной 
. 
С другой стороны, рассматриваемая передаточная функция является 
преобразованием по Лапласу решения следующей линейной системы 
второго порядка: 

 

где f  – входное воздействие.  
Точнее говоря, 
s
w
 есть преобразованная по Лапласу первая 
координата решения этой системы, когда на входе у нее дельта-функция 
t
t
f
. От этой канонической формы уравнений в пространстве 
состояний можно перейти к следующей эквивалентной записи, не меняя 
для простоты обозначений: 

 

или 

,
0
,
)
1
(
)
1
(
)
(
T
s
Ts
k
s
w
1
1
)
(
1
Ts
s
w
1
1
)
(
2
s
s
w
,
),
(
,
),
(
,
),
(
)
(
)
(

2
2

1
1

0
0

A
A
A
j
w
A

,)
/(
)
(
)
(
)
(
2
0
2
Tj
j
w
j
w
A
,)
(
)
(
)
(
1
0
1
j
w
j
w
A
,)
(
)
(
0
0
j
w
A
s

s

,
1

,

2
1
2

2
1

f
T
k
x
T
T
x
T
x

x
x

,
1

,

2
1
2

2
1

f
T
k
x
T
T
x
T
x

x
x

(1.1) 

Если в этой системе 
 – малый положительный параметр, то она 
является сингулярно возмущенной по этому параметру [27–29] и 
тихоновской, то есть удовлетворяющей теореме А.Н. Тихонова [27], так 
как коэффициент T
T
при «быстрой» переменной x2 в уравнении 
для x2 при 
0
равен ‒1, то есть отрицателен. В силу этого, полагая 
, будем иметь (обозначая через y решения вырожденной системы): 
kf
y
y
2
1
0
. 
Разрешая это уравнение относительно y2 и подставляя этот корень  
kf
y
y
1
2
 
в первое уравнение системы (1.1) вместо переменной x2, получим для 
первой координаты вырожденного решения 
 
kf
y
Ty
1
1
,  
(1.2) 
что дает в преобразованиях по Лапласу передаточную функцию 
0
w . 
1
w , 
аппроксимирующую w в диапазоне «средних» частот 
1
. 
Если в (1.1) оба параметра – малые положительные, причем 
 имеет 
более высокий порядок малости, чем T (
T
o
), то эта система 
оказывается сингулярно возмущенной по двум параметрам и следует 
применять, соответственно, обобщенный вариант теоремы А.Н. 
Тихонова [27]. Условием этой последней, кроме того что названо, будет 
отрицательность коэффициента при y1 в уравнении (1.2), что также 
выполнено. Это в свою очередь дает право положить 
 в (1.2) и 
получить 
kf
z 1
0
. 
В оригиналах это является эквивалентом того факта, что в области 
 «низких» частот амплитудно-частотная характеристика 
 
рассматриваемой 
передаточной 
функции 
аппроксимируется 

характеристикой усилительного звена 
. Наконец, 
аппроксимация в области 
2
«высоких» частот отражает то 

обстоятельство, что в растянутом времени 
1
 система (1.1) 

аппроксимируется присоединенной системой и интегралом. 
Такая аналогия позволяет рассчитывать на метод сингулярных 
возмущений как на эффективный инструмент синтеза систем. Причем в 
отличие от классических методов частотного анализа методы теории 
возмущений могут использоваться для весьма широкого класса 
многомерных 
систем, 
хотя 
возможности 
в 
рамках 
линейной 
стационарной теории все же остаются более широкими. 
 

.

,

2
1
2

2
1

f
T
k
x
T
T
x
x

x
x
T

0
0
T

0
)
(A

k
j
w
A
)
(
)
(
0
0

1.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ 

Кроме внутренней проблематики линейных задач, в теории 
проектирования систем управления существует всегда вопрос о 
принципиальной возможности применения линейных методов в 
конкретных условиях управления и необходимости использования 
нелинейных моделей. 
Объектом 
нашего 
анализа 
будет 
в 
самом 
общем 
случае 
стохастическая система 

 
  
(1.3) 

где 
 – вектор стандартных независимых «белых шумов». 
В системе (1.3) 
– вектор управления 
 в каждый момент 
 

является функцией от траектории 
. 

Вектор функции 
x
U~
, 
y
x,
и 
x
удовлетворяют условиям 
существования 
сильного 
решения 
(1.3) 
[30]. 
Среди 
стратегий 
управления особое внимание будем уделять марковским: 
 
[30, 31]. Волна над символами будет обозначать (если не оговорено 
иначе) зависимость решения уравнения от малых параметров, о явном 
вхождении которых в (1.3) укажем ниже. Предполагая стратегию 
управления в (1.3) марковской и подставляя 
 в (1.3), 
получим уравнение автономной системы: 

 
  
(1.4) 
Все возможности линейной теории могут быть использованы для 
синтеза управления в (1.3), если возмущения в (1.4) или (1.3) малы в 
каком-либо смысле. В детерминированной теории часто вводятся 
возмущения, 
малые 
абсолютно 
при 
всех 
. 
Это 
позволяет 
аппроксимировать рассматриваемую систему линейной в окрестности 
некоторого невозмущенного решения. Если это последнее является 
состоянием равновесия, то в результате появляется возможность 
использования аппарата линейной стационарной теории. 
Теория случайных процессов и, в частности, стохастические 
дифференциальные 
уравнения 
предоставляют 
средства 
для 
существенного расширения таких возможностей синтеза на основе 
введения более универсального понятия малости возмущений. Так, если 
в (1.4) выделить явно малый параметр в диффузионной составляющей: 

 
  
(1.5) 
то это вовсе не будет означать абсолютной малости возмущений при 
всех t. В (1.5) обозначено только то, что возмущения малы в среднем по 
ансамблю всех их возможных реализаций. Большие и даже сколь угодно 
большие величины возмущений не исключаются совсем, а малыми 
оказываются их вероятности в сравнении с вероятностями появления 

,
~
,
)
~
(
)
~
,
~
(
~
0
x
x
w
x
U
x
x
t
t
t
t
t
twr
t
U~
t

t
t
s
t
x
U
U
t
s
x
s
x
,0
,0
~
~
~
:
0
:)
~
,
(
~
t
t
x
U
U
~
~
~ t
t
x
U
U
~
~
~ ,
~
,
)
~
(
)
~
(
~
0
x
x
w
x
x
a
x
t
t
t
t
t

,
~
,
)
~
(
)
~
(
~
0
x
x
w
x
x
a
x
t
t
t
t

возмущений с малыми абсолютными величинами. Это обстоятельство 
делает стохастические модели типа (1.5) более адекватным средством 
синтеза систем управления, чем соответствующие детерминированные. 
Практическая сторона дела состоит в том, что модели (1.5) позволяют 
не только осуществить локальную стабилизацию состояния равновесия 
невозмущенной системы, но и контролировать и прогнозировать такие 
состояния в системе (1.5), в окрестности которых ее движение уже не 
аппроксимируется 
линеаризованной 
системой, 
связанной 
со 
стабилизируемым состоянием равновесия. 
Во всем этом круге проблем ключевую роль играют методы 
асимптотического анализа динамических систем с малыми случайными 
возмущениями [32]. Мы приведем здесь те результаты этой теории, 
которые будут существенно использоваться в дальнейшем изложении. 
Начать следует с теоремы, в которой рассматривается несколько иная 
модель, чем (1.5). А именно, пусть задана система для n-вектора x~ : 

 
  
(1.6) 
где , 
 – случайный процесс со значениями в R1. 
Прежде 
чем 
сформулировать 
теорему, 
приведем 
алгоритм 
построения коэффициентов разложения 
tx~  в (1.6) по степеням : 

 
. 
(1.7) 
Используя обычную технику теории возмущений, подставим это в 
(1.6) и разложим правую часть по степеням 
. Приравнивая 
коэффициенты при одинаковых степенях 
 слева и справа, получим 
уравнения для коэффициентов разложения. Пусть 
– произвольный 
степенной ряд с коэффициентами из Rn: 
 

Рассматривая разложение правой части (1.6) Y
X
a
,
~
, обозначим 

, 
, 

Будем иметь последовательно 

 

где 

 

является 
-матрицей производных 
y
x
a
,
 по первому аргументу, 
вычисленной в точке 
; 

 

является 
-матрицей производных 
y
x
a
,
 по второму аргументу, 
вычисленной в точке y=b. 

,
~
,)
,
~
(
~
0
x
x
x
a
x
t
t
t
0
t

)
(
)
2
(
2
)1(
)
0
(
~
k
t
k
t
t
t
t
x
x
x
x
x
X~

k
k c
c
c
X
1
0
~

0
)
,
~
(
!
1
)
,
,
,
,
(
1
0
k

k

k
k
k
d
Y
X
a
d
k
Y
c
c
c
V
V
,1,
0
k

,
)
0,
(
)
0,
(
),
0,
(

0
1
1
0
1

0
0
Y
c
G
c
c
A
V
c
a
V
c
x
x
y
x
a
c
x
x
d
y
x
a
d
y
c
A
j

i
)
,
(
)
,
(
)
,
(

n
nc
x b
y
y
y
x
a
b
y
y
d
y
x
a
d
b
c
G
j

i
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1

l
n