Сборник практических работ по высшей математике. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление

ЧЕРНОМОРСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЕННО-МОРСКОЕ ОРДЕНА КРАСНОЙ ЗВЕЗДЫ 
УЧИЛИЩЕ ИМЕНИ П.С. НАХИМОВА 
 
 
Е.Н. АНДРЕИЩЕВА 
 
 
СБОРНИК  
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ  
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. 
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО 
ПЕРЕМЕННОГО. 
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2019 

УДК 512(075.8) 
ББК 22.14я73 
А65 
 
Рецензент:  
О.Г. Сатыга, кандидат технических наук, доцент 
 
 
Андреищева Е.Н. 
 
А65  
Сборник практических работ по высшей математике. 
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление : 
учеб.-методич. пособие  /  Е.Н. Андреищева.  —  М.  :  ИНФРА-М,  
2019. — 99 с. 
 
ISBN 978-5-16-107783-2 (online) 
 
Цель пособия: оказать курсантам учебную и методическую помощь 
при подготовке к практическим занятиям и в ходе этих занятий 
способствовать     развитию     у     них     самостоятельности,      инициативы  
и творческого подхода при решении задач, в приобретении необходимых 
практических навыков. 
Учебно-методическое 
пособие 
предназначено 
для 
основного 
руководства при решении как типовых, так и задач общего характера одного 
из 
разделов 
курса 
высшей 
математики 
«Функции 
комплексного 
переменного. Операционное исчисление». 
 
УДК 512(075.8) 
ББК 22.14я73 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-16-107783-2 (online) 
 
 
 

© Черноморское высшее  
     военно-морское ордена  
     Красной Звезды училище  
     имени П.С. Нахимова, 2019 

16+ 

Оглавление

Предисловие.............................................................................................7
Глава 1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО .......9
Практическое занятие № 1. Комплексные числа. ............................9
1.1.   Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................9
1.2. Методические указания курсантам при подготовке    
к проведению занятия ............................................................................9
1.3. Основные теоретические положения............................................10
1.3.1. Комплексные числа, определения, алгебраическая
форма .....................................................................................................15
1.3.2. Геометрическая интерпретация, модуль и аргумент            
комплексного чисела.............................................................................10
1.3.3. Действия над комплексными числами в алгебраической  форме ....11
1.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................14
1.5. Решение типовых задач..................................................................14
1.6. Задачи для решения в классе.........................................................15
1.7. Задачи для самостоятельныx занятий...........................................17
1.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению           
перед занятием.......................................................................................18
Практическое занятие № 2. Комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах. ...............................18
2.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................18
2.2. Методические указания курсантам при подготовке
к проведению занятия ...........................................................................19
2.3. Основные теоретические положения............................................19
2.3.1. Тригонометрическая форма задания комплексного
числа .......................................................................................................19
2.3.2. Показательная форма задания комплексного числа.................22
2.3.3. Применение комплексных чисел ...............................................23
2.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................24
2.5. Решение типовых задач..................................................................24
2.6. Задачи для решения в классе.........................................................26
2.7. Задачи для самостоятельных занятий...........................................30

2.8. Перечень руководств и пособий, используемых 
на занятии...............................................................................................31
Практическое занятие № 3. Дифференцирование функции 
комплексного переменного...................................................................32
3.2. Методические указания курсантам при подготовке
к проведению занятия ..........................................................................32
3.3. Основные теоретические положения............................................33
3.3.1. Дифференцирование функции комплексного переменного 
(условия Коши – Римана 
(Эйлера – Даламбера))...........................................................................33
3.3.2. Аналитическая функция. Дифференциал..................................35
3.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................36
3.5. Решение типовых задач..................................................................37
3.6. Задачи для решения в классе.........................................................38
3.7. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению            
перед занятием.......................................................................................40
Практическое занятие № 4. Интегрирование функции 
комплексного переменного...................................................................41
4.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................41
4.2. Методические указания курсантам при подготовке
к проведению занятия ...........................................................................41
4.3. Основные теоретические положения............................................42
4.3.1. Вычисление интегралов от функции комплексного               
переменного ...........................................................................................42
4.3.2. Основные свойства интеграла от функции комплексного
переменного ...........................................................................................43
4.3.3. Формула Ньютона – Лейбница...................................................45
4.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................46
4.5.  Решение типовых задач.................................................................46
4.6. Задачи для решения в классе.........................................................50
4.7. Задачи для самостоятельных занятий...........................................56
4.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению ..........58
перед занятием.......................................................................................58

Глава 2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ...............................58
Практическое занятие № 5. Оригиналы, изображения и их 
свойства. .................................................................................................58
5.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................59
5.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия ...........................................................................59
5.3. Основные теоретические положения............................................59
5.3.1. Функция – оригинал и изображение. 
Преобразование Лапласа.......................................................................60
5.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................61
5.5. Решение типовых задач..................................................................62
5.6. Задачи для решения в классе.........................................................70
5.7. Задачи для самостоятельных занятий...........................................72
5.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению           
перед занятием.......................................................................................73
Практическое занятие № 6. Нахождение оригиналов
и изображений.......................................................................................73
6.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................73
6.2. Методические указания курсантам при подготовке
к проведению занятия ...........................................................................74
6.3. Основные теоретические положения............................................74
6.3.1 Дифференцирование оригиналов и изображений .....................74
6.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................76
6.5. Решение типовых задач..................................................................76
6.6. Задачи для решения в классе.........................................................79
6.7. Задачи для самостоятельных занятий...........................................82
6.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению 
Ф перед занятием...................................................................................83
Практическое занятие № 7. Операционный метод решения 
линейных дифференциальных уравнений...........................................83
7.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................83
7.2. Методические указания курсантам при подготовке     
к проведению занятия ...........................................................................84
7.3. Основные теоретические положения............................................84

7.3.1. Операционный метод решения линейных            
дифференциальных уравнений.............................................................84
7.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................85
7.5. Решение типовых задач..................................................................85
7.6. Задачи для решения в классе.........................................................86
7.7. Задачи для самостоятельных занятий...........................................88
7.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению           
перед занятием.......................................................................................88
Практическое занятие № 8. Операционный метод решения 
систем линейных дифференциальных уравнений..............................89
8.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений ...........................89
8.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия ...........................................................................89
8.3. Основные теоретические положения............................................90
8.3.1. Операционный метод решения систем линейных 
дифференциальных уравнений.............................................................90
8.4. Контрольные вопросы и предложения .........................................91
8.5. Решение типовых задач..................................................................91
8.6. Задачи для решения в классе.........................................................93
8.7. Задачи для самостоятельных занятий...........................................96
8.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению           
перед занятием.......................................................................................97
Литература............................................................................................98
Приложение Таблица некоторых преобразований Лапласа............99

Предисловие 

Учебно-методическое пособие рекомендуется как основное 
методическое руководство по практическим занятиям к разделам 
«Функции комплексного переменного» и «Операционное исчисление» курса высшей математики. 
Оно содержит разработку восьми практических занятий. Пособие включает теоретические основы и методы решения задач по 
теории функций комплексного переменного и операционному исчислению. 
Основной упор в изложении материала делается на методики 
и алгоритмы решения задач, применение которых демонстрируется 
на специально подобранных примерах. 
Данное учебное пособие предназначается: 
 для проведения классных практических занятий; 
 для подготовки к практическим занятиям в часы самостоятельной работы; 
 для закрепления практических навыков, полученных на 
практических занятиях; 
 для самоконтроля. 
Для того чтобы данное пособие соответствовало своему 
назначению и требуемой методике проведения практических занятий, каждая тема представлена следующей структурой: 
 тема и цель практического (лабораторного) занятия; 
 перечень отрабатываемых вопросов и умений; 
 методические указания курсантам при подготовке к проведе- 
нию занятия; 
 основные теоретические положения; 
 контрольные вопросы и предложения; 
 решение типовых задач; 
 задачи для классных занятий; 
 задачи для самостоятельных занятий; 

 перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием. 
С помощью контрольных вопросов осуществляется проверка 
готовности обучаемых к практическому занятию.  
Основное задание  решение задач, предназначенных для 
классных занятий. Оно выполняется под руководством преподавателя в тетрадях для практических занятий. От обучаемых при этом 
требуется максимум самостоятельности. Это обеспечивается: 
 проработкой лекционного материала по данной теме; 
 отработкой контрольных вопросов; 
 предварительным ознакомлением с решением типовых задач 
на данное занятие. 
Каждое практическое и лабораторное занятие составлено согласно тематическому плану и соответствует учебной программе по 
дисциплине «Высшая математика».  

Глава 1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Практическое занятие № 1 

Тема. Комплексные числа. 
Цель занятия: Закрепить, углубить и расширить теоретические 
знания по теме занятия: понятие комплексного числа, алгебраической формы комплексного числа, аргумента и модуля комплексного 
числа. Отработать умения в использовании математических методов 
в решении прикладных профессиональных задач. Овладевать математической символикой и методами построения математических 
моделей. 
Время: 2 часа. 

1.1.   Перечень отрабатываемых вопросов и умений 

        A. Перечень отрабатываемых вопросов 
1. Комплексные числа, определения, алгебраическая форма.
2. Геометрическая интерпретация, модуль и аргумент комплексного
числа. 
3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

        Б. Перечень отрабатываемых умений 
1. Владеть понятием комплексного числа в алгебраической форме.
2. Уметь находить модуль и аргумент комплексного числа, используя алгебраическую форму записи комплексного числа. 
3. Знать геометрическую интерпретацию комплексного числа и
уметь применить данные знания при решении практических задач. 
4. Знать основные действия над комплексными числами в алгебраической форме и уметь применять их при решении практических задач. 

1.2. Методические указания курсантам при подготовке 
       к проведению занятия 
1. При подготовке к практическому занятию:
 проработать лекцию «Комплексные числа» и рекомендованную 
литературу; 
 ознакомиться с решениями типовых задач, приведённых в данном 
занятии; 

 предварительно ознакомиться с содержанием основных задач, 
подлежащих решению на занятии; 
 подготовить ответы на контрольные вопросы. 
2. На практическом занятии:
 иметь настоящее учебное пособие; 
 иметь тетради для практических занятий. 

1.3. Основные теоретические положения 

1.3.1. Комплексные числа, определения, алгебраическая форма 
Определение 1. Комплексным числом z называется выражение 
вида z = x + iy, где х и у – действительные числа,  
а i − мнимая единица, i2 = −1. 

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым; 
если у = 0, то число х + i 0 = х отождествляется с действитель
ным числом х, а это означает, что множество  всех действительных 
чисел является подмножеством множества 
 всех комплексных чи
сел, т. е.  

. 

Число х называется действительной частью комплексного чис
ла z и обозначается х = Re z, а у – мнимой частью  z, у = Im z. 

Два комплексных числа z1 = х1 + iy1 и z2 = х2 + iy2 называются 

равными (z1 = z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х1= х2, у1 = у2 В частности, 
комплексное число z = х + iy равно нулю тогда и только тогда, когда 
х = у = 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не 
вводятся. 

Два комплексных числа z = х + iy и z = х = iy, отличающиеся 

лишь знаком мнимой части, называются сопряженными. 

Запись числа z в виде z = х + iу называют алгебраической фор
мой комплексного числа. 

1.3.2. Геометрическая интерпретация, модуль и аргумент 
 комплексного чисела 

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой 

М(х; у) плоскости Оху такой, что х = Re z, у = Im z. И, наоборот, 
каждую точку М(х; у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 1). 

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, назы
вается комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа 
z = х + 0i = х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат 
чисто мнимые комплексные числа  z = 0 + iy. 

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью ради
ус-вектора 
)
y
;
x
(
OM
r


. Длина вектора r , изображающего 

комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением 
действительной оси и вектором r , изображающим комплексное 
число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ. 

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент 

комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с 
точностью до слагаемого 2πk (k = 0, – 1, 1, – 2, 2 ...). 

Arg z = arg z + 2 πk, где arg z – главное значение аргумента, за
ключенное в промежутке (–π; π], т. е. - π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую 
промежутку (0; 2π)). 

1.3.3. Действия над комплексными числами в алгебраической  форме 

Сложение комплексных чисел 
   Суммой двух комплексных чисел  
z1 = х1 + iу\ и z2 = х2 + iу2 называется 
комплексное число, определяемое  
равенством 





2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z





.  
     Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:  

z1 + z2 = z2 + z1,  
          (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3). 
Из определения следует, что геометрически комплексные числа 
складываются как векторы (рис. 1). Непосредственно из рисунка 
видно, что |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.  
Это соотношение называется неравенством треугольника. 

Рис. 1

Рисунок 1

Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. 
Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1 т. е. 
z = z1 - z2, если z + z2 = z1.

Если z1 = х1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то из этого определения легко 

получить z:





2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z
z






.

Из данного равенства следует, что геометрически комплекс
ные числа вычитаются как векторы (рис. 2). 

Непосредственно из рисунка видно, что |z1 + z2| ≥ |z1| + |z2|.

Отметим, что






2
2

1
2
1
2
1
2
,
z
z
x
x
y
y
d







т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d
между точками, изображающими эти числа на плоскости. Поэтому, 
например, равенство |z – 2i| = 1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки 
zo = 2i, т. е. окружность с центром в zо = 2i и радиусом 1.

Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел z1 = х1 + iу1 и z2 = х2 + iу2 называется комплексное число, определяемое равенством





2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
y
y
x
i
y
y
x
x
z
z
z





.

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

1
2


i
.

Действительно, i2 = ii = (0 + 1i)(0 + 1i) = (0 - 1) + i(0 + 0) = –1.

Рисунок 2

Благодаря данному соотношению формула произведения двух 
комплексных чисел получается формально путем перемножения 
двучленов  х1 + iу1 и х2 + iy2: 











2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
iy
iy
x
iy
iy
x
x
x
iy
x
iy
x





2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
x
y
y
x
i
y
y
x
x
x
y
y
x
i
y
y
i
x
x








. 

Заметим, что  – 
–  

 действительное число. 
Произведение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами: 

1
2
2
1
z
z
z
z

; 





3
2
1
3
2
1
z
z
z
z
z
z

, 



3
1
2
1
3
2
1
z
z
z
z
z
z
z



. 
В этом легко убедиться, используя определение. 

Деление комплексных чисел 
Делением комплексных чисел z1 = х1 + iу1 и z2 = х2 + iу2 называется комплексное число, определяемое равенством 






2
2
2
2

1
2
1
2
2
2
2
2

2
1
2
1

2

1
y
x
x
y
y
x
i
y
x
y
y
x
x
z
z
z







. 

Данная формула получается путём домножения числителя и 
знаменателя на сопряжённое к знаменателю комплексное число  
х2 − iу2 



















2
2
2
2

2
1
2
2
1
1
2
2
1

2
2
2
2

2
2
1
1

2

1
y
x
y
y
i
y
ix
y
ix
x
x
iy
x
iy
x
 
iy
x
iy
x
z
z
z






2
2
2
2

1
2
1
2
2
2
2
2

2
1
2
1
y
x
x
y
y
x
i
y
x
y
y
x
x






. 




2
2
zz
x
iy
x
iy
x
y






1.4. Контрольные вопросы и предложения

1. Что называется комплексным числом?
2. Какие комплексные числа называются сопряжёнными, равными? 
Дайте определение вещественной и мнимой части, мнимой единицы.
3. Какую форму записи комплексного числа называют алгебраической ?
4. Изобразите модуль и аргумент комплексного числа, укажите формулы вычисления.  
5. Какие действия над комплексными числами в алгебраической 
форме вы знаете?
6. Объясните операцию сложения (вычитания) двух комплексных 
чисел.
7. Объясните операцию произведения (деления) двух комплексных 
чисел.

1.5. Решение типовых задач

1. Заданы два комплексных числа 
i
z
5
4
1


и 
i
z
3
1
2



.  

Вычислить выражение 

1

2

2
1
z
z
z
z


.

Решение.

Вычисляем произведение комплексных чисел:







i
i
3
1
5
4
i
i
i
i
17
11
15
12
5
4
2








(так как 
1
2


i
). Теперь разделим числа, умножив делимое и дели
тель на число, сопряжённое делителю:







 











i
i

i
i

i
i

5
4
5
4

5
4
3
1

5
4

3
1

 
i
i

i

i
i
i

41
7

41
19

41

7
19

5
4

15
5
12
4

2
2

2














.

Сложим результаты умножения и деления, сложив по отдель
ностидействительные и мнимые части:



i
i
i
z
z
z
z
41
7
17
41
22
10
41
7

41
19
17
11

1

2

2
1













.