Основы геометрического моделирования

«» 
. . – УДК 658.512(075)
ББК 32.84(Я73)

Л639

Печатается по решению кафедры систем автоматизированного 

проектирования Института компьютерных технологий и 

информационной безопасности Южного федерального университета

(протокол № 6  от  13 января 2018 г.)

Рецензенты:

зав. кафедрой прикладной математики и информационных систем 

Таганрогского института управления и экономики, доктор технических 

наук, профессор В. П. Карелин

профессор кафедры систем автоматизированного управления Института 
радиотехнических систем и управления ЮФУ, доктор технических наук, 

профессор В. И. Финаев

Лисяк, В. В. 

Л639     Основы геометрического моделирования : учебное пособие / 

В. В. Лисяк ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ;
Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2018. –
91 с.

ISBN 978-5-9275-2845-5
В учебном пособии рассматриваются математические основы представле
ния кривых и поверхностей, удаления скрытых граней, даются сведения по составу и структуре графических систем и их технической поддержки.

Предназначено для студентов всех форм обучения направлений 09.03.01

«Информатика и вычислительная техника» и 09.03.02 «Информационные системы и технологии».

УДК 658.512(075)

ББК 32.84(Я73)

ISBN 978-5-9275-2845-5        

© Южный федеральный университет, 2018
© Лисяк В. В., 2018 
© Оформление. Макет. Издательство 

Южного федерального университета, 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время проектирование объектов машиностроения, про
мышленного и гражданского строительства, приборостроения немыслимо 
без применения средств трёхмерного моделирования. При этом широко используется интерактивный режим, позволяющий пользователю вести диалог с ЭВМ на естественном языке изображения схем, сборочных единиц, 
общих планов и т.п. В таких системах применяются геометрические модели, как наиболее понятные и наглядные для инженерно-технических работников, не имеющих специальной математической подготовки. Поэтому сегодня геометрическое моделирование является неотъемлемым инструментом инженера. Наиболее широко геометрическое моделирование применяется в синтезе и анализе пространственных форм объектов.

Учебное пособие «Основы геометрического моделирования» состоит из 

4-х разделов.

В разделе 1 студенты знакомятся с математическими основами пред
ставления кривых и поверхностей как базовыми элементами создания геометрических моделей. Для получения наглядного представления о форме 
объекта, помещённого в трёхмерное пространство, необходимо перед его 
визуализацией решить задачу удаления невидимых линий и граней объекта. 
С этой целью рассматриваются широко распространённые методы решения 
этой задачи, такие как: сортировка по глубине, z-буфер, разбиение области, 
построчное сканирование и др. 

Раздел 2 знакомит студентов с современной архитектурой графических 

систем. Рассмотрена их структура, функции и стандарты в этой области, в
частности графическая корневая система для двухмерной и трёхмерной областей. Рассмотрены классы функций графической корневой системы: рабочая станция, элементы ввода-вывода, сегментация, преобразования.

При создании графической системы решается комплекс задач, который 

обеспечивает удобные средства общения пользователя, работающего на 
графических устройствах с системой. При этом предполагается, что язык, с 
помощью которого пользователь работает с системой, формирует облик 
или схему объекта проектирования, вносит изменения и является
графическим языком. Основные сведения по языкам графических систем 
приводятся в этом разделе.

Предисловие

4

В разделе 3 рассмотрена видеосистема графических подсистем. Рас
смотрение видеосистемы начинается со знакомства с особенностями зрительной системы человека и типами видеоадаптеров. При этом уделено 
внимание практическим вопросам, таким как: характеристики видеокарты, 
влияющие на её выбор, определение, какая видеокарта установлена в компьютере, и особенности 3D-видеокарт. В этом разделе даются также основные сведения о жидкокристаллических дисплеях, твист-эффекте ЖКмолекул, рассмотрено устройство TFT-дисплеев и LED-мониторов.

При подготовке учебного пособия в основном использовался материал 

авторов [1], методически хорошо проработанный материал учебника [2] и 
монографии [4], а также для освещения современного состояния прикладных аспектов литература [3, 5–9].

1. ОСНОВЫ ТРЁХМЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Введение

Необходимость описывать пространственные объекты появляется в 

двух ситуациях:

1. Когда необходимо описать уже существующий объект: от простой 

грани до пластилиновой модели (автомобиль) или географического объекта 
(гора, хребет). В общем случае реально существующий объект не точно соответствует своему представлению. Поэтому, когда объект можно представить комбинацией математических поверхностей, то выбирают определённые точки объекта и требуют, чтобы представление объекта в этих точках 
точно соответствовало объекту только в этих точках или расстояния между 
представлением и выбранными точками объекта были малыми.

2. В задачах автоматизированного проектирования. В этом случае нет 

заранее существующей модели исследуемого объекта. Конструктор имеет, 
как правило, лишь приблизительный эскиз и создаёт пространственную 
форму в интерактивном режиме. Поэтому используемое представление 
объекта должно быть удобно для работы в диалоге, чтобы поверхность 
можно было легко привести к желаемой форме.

В базе данных интегрированных САПР хранится модель объекта про
ектирования, которая отражает значимые для тех или иных приложений 
свойства объекта и которая при её использовании в конкретной подсистеме 
САПР может содержать ряд разнородных характеристик и параметров. 
Модели, используемые в задачах проектирования, содержат данные о форме объекта, его размерах, применяемых материалах, а также его механические, электрические, термодинамические и другие характеристики. Для обработки модели объекта в графических системах САПР существенными
являются геометрические свойства объекта, которые задают его форму, 
размеры и пространственное положение компонентов. Если для объекта 
наиболее важными являются геометрические свойства, то он называется 
геометрическим, а его описание – моделью геометрического объекта.

Для реализации систем геометрического моделирования важными яв
ляются три взаимосвязанных метода: 

1) описания и формирования  геометрических моделей;
2) моделирования и представления геометрических моделей; 
3) отображения моделей на графических устройствах.

1. Основы трехмерного моделирования

6

Взаимодействие этих методов показано на рис. 1.1. 

Рассмотрим наиболее употребительные методы моделирования, фор
мирования и отображения геометрических моделей.

В настоящее время в системах трёхмерного моделирования широко ис
пользуются каркасные, поверхностные и монолитные модели. В зависимости от объекта проектирования и решаемой задачи применяется та или иная 
модель, представляющая реальный объект с различной степенью точности.

Каркасные модели. Этот вид моделей похож на объект, созданный из 

соединенных между собой проволок (рёбер). При этом грани объекта не 
определены, но их границы представлены ребрами. Так как каркасная модель не имеет поверхности (грани), скрывающие ребра, то такая модель получается прозрачной. В связи с этим при отсутствии визуальной поддержки
(например, в виде перспективы) понять, как выглядит реально объект,
практически невозможно. В каркасной модели определены линейные размеры, но из-за того, что в ней не определены грани, понятие объёма для неё 
применять нельзя.

Каркасная модель наиболее простая и используется в силу своей про
стоты в системах проектирования с низкой производительностью. При 
этом 3D-модель состоит из списка координат вершин и связей между ними.

В системах проектирования невысокой производительности часто ис
пользуются каркасные модели, описывающие объекты, имеющие поверхности более 1-го порядка. При этом применяется интерполяция поверхности плоскими гранями, но при этом получают не реальное, а условное 
изображение объекта.

П
О
Л
Ь
З
О
В
А
Т
Е
Л
Ь

Методы описания и 

формирования модели 

геометрии

Методы отображения 

моделей геометрии

Модель геометрии

Методы моделирования 

геометрии

Рис. 1.1. Взаимосвязь методов в геометрическом моделировании

1.1. Введение

7

Каркасные модели широко применяют в качестве одного из методов 

визуализации. Например, получают каркасные модели на основе моделей
твердого тела или моделей со скульптурными поверхностями. В этом случае получаются изображения объектов с точечным, линейным, дискретным 
или сетчатым каркасами.

Существуют задачи, для которых каркасные модели дают эффективные 

решения. Таким типичным классом задач является создание и тестирование 
программ управления движениями робота. В этом случае каркасная модель 
робота анализируется в ЭВМ в реальном масштабе времени, что даёт возможность эффективного отслеживания динамики его действия.

Поверхностные модели. В поверхностных моделях определены как  

ребра, так и поверхности. Поэтому такие модели значительно лучше представляют объект, чем каркасные модели. В поверхностных моделях грани, 
расположенные на переднем плане, зарывают грани заднего плана. Поэтому, когда изображение выводится на монитор, то можно составить адекватное представление о трёхмерном объекте. Поверхностная модель имеет 
объем, но не имеет массы.

Поверхностные модели широко применяются там, где разрабатывают 

динамические поверхности. Такие поверхности отличаются тем, что взаимодействуют с внешней средой. Например, фюзеляжи самолетов, обводы 
судов, кузова автомобилей, воздушные и гидравлические каналы и т.д.

Проектируя скульптурные поверхности, как правило, применяют кар
касно-кинематический метод, который основан на перемещении образующих по направляющим. При моделировании поверхности применяют аппроксимацию, обеспечивающую получение поверхности с необходимыми 
характеристиками.

Монолитные модели. Этот вид модели является наиболее полным и 

соответственно наиболее сложным представлением объекта. Он описывает
внутренние особенности объекта и его устройство. Монолитная модель 
имеет объём и массу и содержит характеристики материала. Поэтому 
большинство систем проектирования, использующие монолитные модели,
содержат средства автоматического расчёта этих параметров и широко 
применяются в системах проектирования машиностроительных объектов. 

Рассмотрим два широко применяемых метода представления трёхмер
ных поверхностей: полигональные сетки и параметрические бикубические 
куски.

1. Основы трехмерного моделирования

8

Полигональная сетка представляет собой множество связанных между 

собой плоских многоугольников. Например, поверхность многих зданий 
можно описать полигональной сеткой. Этот метод представления объектов 
обладает низкой точностью, что является его недостатком.

Объект можно описать также параметрическими бикубическими кус
ками. Термин «бикубический» означает, что уравнения, описывающие координаты точек поверхности, имеют два параметра с показателями степени 
при них не выше третьей. 

Представление объекта параметрическими бикубическими кусками

требует существенно меньшее число бикубических кусков, чем аппроксимация поверхности полигональной сеткой, что является несомненным достоинством метода. С другой стороны, алгоритмы, работающие с бикубическими кусками, существенно сложнее алгоритмов, работающих с многоугольниками.

1.2. Полигональные сетки

Три множества – ребер, вершин и многоугольников – определяют поли
гональную сетку. Рёбра соединяют вершины сетки. Каждый многоугольник
представляется последовательностью ребер или вершин. Для описания полигональной сетки можно использовать разные способы, которые различаются своими достоинствами и недостатками. Прикладной программист
должен использовать способ, наиболее эффективный для решения своей 
задачи. Однако он может применить в своей задаче несколько способов 
описаний полигональной сетки. Например, один из способов будет наиболее эффективен для работы с внешней памятью, другой – для внутреннего 
представления, третий – для удобства работы самого пользователя. Чтобы 
оценить эти способы описаний сетки, пользуются следующими показателями:

 необходимый объём памяти;
 вычислительная эффективность процедур нахождения вершин, при
надлежащих ребру, или нахождения всех ребер, принадлежащих отдельному многоугольнику;

 эффективность процедуры подготовки и вывода на устройство визу
ализации изображения полигональной сетки;

1.2. Полигональные сетки 

9

 эффективность процедуры проверки корректности представления 

сетки (например, пропуски рёбер, вершин или многоугольников).

Эффективность перечисленных процедур существенно зависит от того, 

насколько полно представлено в явном виде описание зависимости между 
многоугольниками, вершинами и ребрами.

Рассмотрим несколько широко распространённых способов описания 

полигональных сеток.

Явное задание многоугольников. Задать многоугольник – значит пе
речислить координаты его вершин в порядке обхода их вокруг многоугольника:

P=((x1,y1,z1), (x2,y2,z2), … ,(xn,yn,zn)).

При этом каждая пара соседних вершин в многоугольнике соединяется 

ребром. Для отдельного многоугольника такой способ записи эффективный, но вследствие дублирования координат общих вершин для всех соседних многоугольников, задание всей полигональной сетки требует много 
памяти. Ещё одним недостатком метода явного задания многоугольников 
является неявное описание общих ребер и вершин, которое представляет 
трудности при нахождении многоугольников с общей вершиной.

При этом возможна ситуация, когда координаты одной и той же вер
шины из-за ошибок в округлении могут в разных многоугольниках иметь 
разные значения координат. В связи с этим можно не найти правильного 
соответствия. Недостатком рассматриваемого способа является то, что общие ребра многоугольников вычерчиваются по два раза. 

Задание многоугольника с помощью указателей в список вершин.

В этом способе описания полигональной сетки каждой вершине сетки приписывается указатель (индекс), который определяет место координаты соответствующей вершины в списке вершин V=((x1, y1, z1), (x2, y2, z2),…,
(xn, yn, zn)). При этом координаты каждой вершины присутствуют в списке 
координат только один раз. Поэтому при описании всей сетки экономится 
существенный объём памяти и становится легкой и эффективной корректировка координат вершин.

Такой способ представления полигональной сетки не зависит от оши
бок округления координат и экономичен по требуемой памяти. Однако и в 
этом способе не просто находятся многоугольники с общими ребрами, а 
при визуализации всей сетки рёбра по-прежнему рисуются дважды. Эти 

1. Основы трехмерного моделирования

10

недостатки можно устранить, если в представлении сетки рёбра описывать 
в явном виде.

Явное задание ребер. Этот способ описания сетки наиболее трудоё
мок, но имеет некоторые преимущества. В способе явного задания рёбер 
каждый многоугольник описывается указателями на список ребер, в котором они встречаются один раз. При этом ребро в списке ребер представляется инцидентными ему вершинами и номерами многоугольников, которым это ребро принадлежит. 

При этом способе задания полигональной сетки визуализация сетки

выполняется вычерчиванием не многоугольников, а ребер. Поэтому исключается многократное рисование общих ребер и существенно сокращается время визуализации полигональной сетки.

В некоторых приложениях (например, в картографии) ребра сеток при
надлежат более чем двум многоугольникам. В этих случаях описания ребер 
расширяются с целью включения произвольного числа многоугольников.

Проиллюстрируем рассмотренные методы на примере представления 

фрагмента полигональной сетки (рис. 1.2) различными методами.

1. Явное задание многоугольников:

V= (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8); vi= (xi, yi, zi );

V2
V1
e10

V3

V5

V7

V8
e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

e9

e11

Р1

Р2

Р3

Р4

Рис. 1.2. Фрагмент полигональной сетки

V4

V6