Метод и искусство математического моделирования

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования

1

К.Э. Плохотников

МЕТОД И ИСКУССТВО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Курс лекций

Москва

Издательство «ФЛИНТА» 

2017

2-е издание, стереотипное

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

2

УДК 519.8(042.4) 
ББК  22.12я73 
          П39 

Плохотников К.Э. 

П39
      Метод и искусство математического моделирования [Электронный  ресурс]:  
курс лекций / К.Э. Плохотников.  — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2017. —  519 с. 
ISBN 978-5-9765-1541-3 

В основу курса положены ответы на вопросы: что такое (математическая) модель? 
как она возможна? и некоторые другие вопросы. В курсе изложена общая методология
метода математического моделирования, а также ряд фактурных моделей из различных
областей научной деятельности. В курсе устанавливается соответствие методологических
детерминантов моделирования и конкретики затронутых предметных областей. В полной
мере формализовать процесс генерации моделей не удается. Математические модели, 
представленные в курсе можно поделить на два больших класса: модели из
естественнонаучных областей и общественных наук. К естественнонаучным относятся
модели: пространственных 
миграций 
планктонных 
организмов, 
морфогенеза, 
термогеометрической динамики конечного кристалла, электромагнитного коллектора, 
турбулентности, общей циркуляции атмосферы, дискретного пространства времени и
квантовой электродинамики. К математическим моделям общественных наук относятся: 
нормативная модель глобальной истории, модель политики с позиции силы, 
психофизическая модель.  

Для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в
естественнонаучных областях. Он также может оказаться полезным преподавателям в
таких областях, как моделирование, уравнения математической физики, вычислительные
методы, компьютерные науки, информационные технологии. 

УДК 519.8(042.4) 
ББК  22.12я73 

ISBN 978-5-9765-1541-3
© Плохотников К.Э., 2017 

© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
3

 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. 7 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР КУРСА ЛЕКЦИЙ “МЕТОД И ИСКУССТВО 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ” ...............................................................7 

Лекция №1 ............................................................................................................. 11 

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ..............................11 

§1. Историческая ретроспектива.................................................................................................................11 
§2. Формальное определение математического моделирования...........................................................14 
§3. Неформальное толкование математического моделирования ........................................................22 

Лекция №2 ............................................................................................................. 32 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МИГРАЦИЙ ПЛАНКТОННЫХ 
ОРГАНИЗМОВ.......................................................................................................................32 

§1. Введение .....................................................................................................................................................32 
§2. Динамика преследования-убегания для двух особей: одного хищника и одной жертвы ...........35 
§3. Кинетические уравнения и гидродинамическое приближение в описании биоценоза...............37 
§4. Преследование-убегание на примере двух видов ...............................................................................40 
§5. Преследование-убегание, диффузия и источники ..............................................................................47 
§6. “Энергетический” биоценоз....................................................................................................................54 
§7. Заключение................................................................................................................................................61 

Лекция №3 ............................................................................................................. 62 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МОРФОГЕНЕЗА ......62 

§1. Введение .....................................................................................................................................................62 
§2. Рост отдельной ткани...............................................................................................................................64 
§3. Баланс вещества в пределах растущей ткани.....................................................................................67 
§4. Одномерное приближение.......................................................................................................................68 
§5. Рост одномерной ткани. Вычислительный эксперимент .................................................................75 
§6. Моделирование роста трех связанных одномерных тканей.............................................................82 
§7. Заключение................................................................................................................................................88 

Лекция №4 ............................................................................................................. 89 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ КОНЕЧНОГО 
КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА .................................................................................89 

§1. Введение .....................................................................................................................................................89 
§2. Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре? ......................................................91 
§3. Двухвременной формализм ....................................................................................................................97 
§4. Окрестность нулевой температуры ....................................................................................................103 
§5. Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции 
поверхности (100)Pt......................................................................................................................................107 
§6. Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции 
поверхности (100)W......................................................................................................................................116 
§6. Заключение..............................................................................................................................................129 

Лекция №5 ........................................................................................................... 131 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТОРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ 
ЭНЕРГИИ..............................................................................................................................131 

§1. Введение ...................................................................................................................................................131 
§2. Постановка задачи..................................................................................................................................133 
§3. Приемник шума......................................................................................................................................135 
§4. Численное решение уравнений приемника шума............................................................................136 
§5. Коллектор электромагнитной энергии...............................................................................................141 
§6. Численное решение уравнений коллектора ......................................................................................142 
§7. Источники энергии, отличающиеся от белого шума.......................................................................146 
§8. Заключение..............................................................................................................................................149 

Лекция №6 ........................................................................................................... 151 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ 
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ........................................................................................................151 

§1. Введение ...................................................................................................................................................151 
§2. Исследование потенциала взаимодействия.......................................................................................156 
§3. Вывод и решение основного кинетического уравнения..................................................................161 
§4. Исследование вопроса об измеряемости.............................................................................................168 
§5. Пример расчета турбулентного течения жидкости в трубе............................................................174 
§6. Заключение..............................................................................................................................................182 

Лекция №7 ........................................................................................................... 184 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЩЕЙ ЦИРКУЛЯЦИИ АТМОСФЕРЫ...............................184 

§1. Введение ...................................................................................................................................................184 
§2. Вывод основных уравнений .................................................................................................................185 
§3. Трехмерная модель движения атмосферы.........................................................................................199 
§4. Меридиональная модель движения атмосферы...............................................................................211 
§5. Заключение..............................................................................................................................................225 

Лекция №8 ........................................................................................................... 227 

ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И КВАНТОВАЯ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА .....................................................................................................227 

§1. Введение ...................................................................................................................................................227 
§2. Одномерные пространства ...................................................................................................................235 
§3. Многомерные пространства.................................................................................................................237 
§4. Скалярное вещественное поле.............................................................................................................243 
§5. Электромагнитное поле.........................................................................................................................249 
§6. Спинорное поле.......................................................................................................................................250 
§7. Взаимодействие электромагнитного и спинорного полей..............................................................253 
§8. Примеры расчета некоторых эффектов.............................................................................................256 
§9. Заключение..............................................................................................................................................262 

Лекция №9 ........................................................................................................... 264 

КОНЕЧНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И КВАНТОВАЯ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА .....................................................................................................264 

§1. Введение ...................................................................................................................................................264 
§2. Различные примеры пространств.......................................................................................................266 
§3. Взаимодействие электромагнитного и спинорного полей..............................................................269 
§4. Одномерная модель................................................................................................................................272 
§5. Код поля-пространства-времени .........................................................................................................276 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
5

§6. Заключение..............................................................................................................................................278 

Лекция №10 ......................................................................................................... 281 

НОРМАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ГЛОБАЛЬНОЙ ИСТОРИИ ..........................................281 

§1. Введение ...................................................................................................................................................281 
§2. Политические характеристики актора...............................................................................................285 
§3. Выбор доктрины.....................................................................................................................................291 
§4. Ресурсные ограничения.........................................................................................................................295 
§5. Моделирование истории........................................................................................................................297 
§6. Этика акторов .........................................................................................................................................302 
§7. Выбор........................................................................................................................................................310 
§8. Заключение..............................................................................................................................................317 

Лекция №11 ......................................................................................................... 319 

ПУТЬ СИЛЫ. РОЛЬ НАУКИ В ЭСХАТОЛОГИЧЕСКОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ........319 

§1. Введение ...................................................................................................................................................319 
§2. Что движет нами?...................................................................................................................................319 
§3. Что нам мешает осуществить Выбор?................................................................................................322 
§4. Что помогает нам в Пути? ....................................................................................................................323 
§5. Саркофаг ..................................................................................................................................................326 

Лекция №12 ......................................................................................................... 329 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИЛЫ В ГЛОБАЛЬНОЙ ПОЛИТИКЕ.............329 

§1. Введение ...................................................................................................................................................329 
§2. Параметризация выбора отдельного патома (геопатома) ..............................................................330 
§3. Струна силы отдельного патома .........................................................................................................333 
§4. Струна силы ансамбля патомов ..........................................................................................................342 
§5. Динамика струны силы ансамбля патомов.......................................................................................345 
§6. Заключение..............................................................................................................................................351 

Лекция №13 ......................................................................................................... 353 

ПСИФИЗИКА: К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОПЕРАТОРА С 
УСТРОЙСТВОМ .................................................................................................................353 

§1. Предыстория и введение в модель ......................................................................................................353 
§2. Устройство. Предварительное определение......................................................................................361 
§3. Устройство. Завершающее определение ............................................................................................370 
§4. Псиатом ....................................................................................................................................................376 

Лекция №14 ......................................................................................................... 390 

ПСИФИЗИКА: К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОПЕРАТОРА С 
УСТРОЙСТВОМ. II ............................................................................................................390 

§1. Оператор. Предварительное определение..........................................................................................390 
§2. Оператор. Завершающее определение................................................................................................404 
§3. Заключение..............................................................................................................................................430 

Лекция №15 ......................................................................................................... 435 

ПСИХОДИНАМИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА .............435 

§1. Введение ...................................................................................................................................................435 
§2. Властно-волевая инфраструктура политической конфигурации.................................................436 
§3. Сценарии максимизации силы в ансамбле патомов .......................................................................447 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
6

§4. Заключение..............................................................................................................................................451 

Лекция №16 ......................................................................................................... 454 

ОТ ПСИХОФИЗИКИ К ПСИ-ПАРАДИГМЕ. О ДЕМАРКАЦИОННОЙ ЛИНИИ 
МЕЖДУ НАУКОЙ И ПАРАНАУКОЙ............................................................................454 

§1. Введение ...................................................................................................................................................454 
§2. Психофизика............................................................................................................................................455 
§3. Пси-парадигма ........................................................................................................................................456 
§4. Паранаука ................................................................................................................................................458 
§5. Псифизика. Модель взаимодействия оператора с устройством....................................................460 
§6. Заключение..............................................................................................................................................465 

Лекция №17 ......................................................................................................... 467 

ОСНОВЫ ПСИХОРЕЗОНАНСНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ: 
ПСИАТОМ, ПСИКНОПКА, ПСИКОМПЬЮТЕР........................................................467 

§1. Футурология человеко-компьютерных интерфейсов......................................................................467 
§2. Псикомпьютер.........................................................................................................................................477 
§3. Псикнопка................................................................................................................................................478 
§4. Псиатом. Первое материальное воплощение....................................................................................486 
§5. Псиатом. Второе материальное воплощение ....................................................................................497 
§6. Заключение..............................................................................................................................................508 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................. 510 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
7

 

ВВЕДЕНИЕ 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР КУРСА ЛЕКЦИЙ “МЕТОД И 
ИСКУССТВО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ” 

елью данного курса является развитие у студентов навыков и вкуса к методу математического моделирования. Наряду с вычислительным экспериментом, программированием и рядом других методов, математическое моделирование входит в число важнейших в арсенале современных информационных технологий получения нового знания. 
Одна из целей данного курса лекций состоит в том, чтобы на ряде примеров в деталях проследить за тем, как создается математическая модель, как 
она используется и как выносится вердикт о степени ее адекватности объекту 
исследования. Ставится также цель выделить те общие принципы, которые 
обычно лежат за фасадом фактурных особенностей генезиса конкретных математических моделей. Кроме того большое количество различных математических моделей в рамках некоторой предметной области и их несогласованность между собой представляет серьезное препятствие в развитии математического моделирования. Разрешение данной проблемы явилось еще одной целью данного курса. Представленный перечень целей нашел свое выражение в формулировке оригинальных определений математического моделирования и математической модели объекта исследования. Под искусством 
математического моделирования подразумеваются творческие, креативные 
способности субъекта-модельера. Формализация творческих способностей 
субъекта-модельера возможна лишь отчасти. За фасадом любой математической модели всегда находится субъект-создатель, преследующий свои, в основном властно-волевые потребности по овладению либо фрагментом природы, либо фрагментом социальной реальности. 
В курсе обсуждаются как естественнонаучные, так и модели, относимые к общественным дисциплинам. В этом одно из заметных отличий данного курса, т.к. дается сквозной, универсальный взгляд на ряд природных и социальных процессов. Аспект математического моделирования в части общественных наук несет еще одну важную нагрузку. Он нацелен на выявление и 
обсуждение тех разделов в науке, которые обладают наивысшим социальным 
приоритетом. 
Данный курс лекций является модернизацией прежних публикаций автора1. Модернизация затронула модели из области математической биологии, 
твердого тела и сплошной среды. Была также несколько модифицирована 

                                                            
1ПлохотниковК.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и 
практика. ⎯ М.: Эдиториал УРСС, 2003. 282с.; Плохотников К.Э. Эсхатологическая стратегическая инициатива: Исторический, политический, психологический и математический комментарии. — М.: Изд-во МГУ, 
2001. 182с.; Плохотников К.Э. Нормативная модель глобальной истории. — М.: Изд-во МГУ, 1996.; Плохотников К.Э. Математическое моделирование. Экзистенциальный аспект. — М.: Изд-во МГУ, 1993. 224с. 

Ц 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
8

прежняя методология математического моделирования2,. Новая методология 
математического моделирования представлена в лекции №1. Кроме того в 
курс включены две новые лекции №16, №17. 
Приведем тематический обзор курса лекций. 
Лекция №1. Методология математического моделирования. Общее философско-методологическое введение. Системный подход. Анализ термина 
модель. Модель — сверхмодель, моделирование — сверхмоделирование. 

Лекция №2. Математическая биология. Цепочки кинетических уравнений на примере моделирования пространственных миграций планктонных 
организмов. Суточный ритм движения планктонных организмов. 

Лекция №3. Математическая 
биология. 
Модели 
типа 
“реакциядиффузия” на примере математического моделирования формообразования 
(другой термин — “морфогенез”) в биологии. Морфогенез, моделирование 
эмбрионального развития живых организмов. 

Лекция №4. Твердое тело. Метод молекулярной динамики на примере 
построения модели описания термогеометрической динамики конечного 
кристаллического образца. Проблема дальнего порядка. 

Лекция №5. Энергетика. Разработка математической модели коллектора некогерентной распределенной в пространстве электромагнитной энергии. 
Ректенная решетка. 

Лекция №6. Сплошная среда. Анализ уравнений сплошной среды с 
точки зрения их полноты в описания турбулентности.Моделирование турбулентного движения жидкости (газа) с помощью кинетического уравнения 
Больцмана. Уравнения гидродинамического типа для описания совместных 
течений, как ламинарных, так и турбулентных. 

Лекция №7. Сплошная среда. Синтез подходов Эйлера и Лагранжа на 
примере описания общей циркуляции атмосферы. Глобальная атмосферная 
циркуляция. 

Лекция №8. Теория поля.Квантовая электродинамика на примере моделирования дискретного пространства-времени в счетно-бесконечном варианте. Последовательный отказ от континуума в описании пространствавремени. 

Лекция №9. Теория поля. Продолжено исследование дискретного пространства-времени, когда число точек-событий исчерпывается конечным 
множеством. Строится аналог квантовой электродинамики в конечном дискретном пространстве-времени. Вводится понятие “code” комплекса “полепространство-время”. Аналитически исследуются простейшие одномерные 
модели. 

Лекция №10. Моделирование истории. Глобальная (гео)политическая 
система. Первое, элементарное толкование понятия свободы, ее исчисление. 

                                                            
2Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: методология и 
практика// Интеллектуальные системы. 2009. Т.13. Вып.1-4. С.5 — 32; Плохотников К.Э. Математическое 
моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. Научная конференция “Ломоносовские чтения”. Секция физики. 18-25 апреля 2003 г. Сборник расширенных тезисов докладов. ⎯ М.: Физический факультет МГУ, 2003. С.27 ⎯ 29. 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
9

Идентификация двух глобальных метаисторических целей ⎯царств свободы 
и необходимости. Моделирование истории, правое и левое в политике, традиция, инновация, прогресс. Актор ⎯ “действователь”, игрок, актер, лицо 
принимающее решение. Нравственный кодекс, категорический императив 
актора. Осознание выбора между царствами свободы и необходимости ⎯ 
второе, более глубокое толкование понятия свободы. Пространство и время 
акторов. Выбор из двух глобальных метаисторических целей во всей своей 
полноте ⎯ третье, высшее проявление свободы. Рациональный дискурс, иррациональная интуиция ⎯ методологические основы двух глобальных метаисторических целей. Метаэтика исхода выбора. 

Лекция №11. Политические детерминанты научной деятельности. Путь 
силы. Роль науки в эсхатологической перспективе. Эсхатология ⎯ религиозно-нравственное учение о конце истории. Силовая природа современной 
науки. Наука ⎯ нечто большее, чем знание, знание ⎯ нечто большее, чем 
сила. Религиозные детерминанты пути силы. Силовые детерминанты научной деятельности. Концепция “саркофага” ⎯ сумма экзистенциальных притязаний западной цивилизации. 

Лекция №12. Моделирование политики.К теории силы в глобальной 
политике. Ансамбль акторов с точки зрения их выбора из двух глобальных 
метаисторических целей. Целеполагающее единство ⎯ все, конечная цель ⎯ 
ничто. “Струна” силы отдельного актора и ансамбля акторов в целом. Построение уравнения силового поля в политике. Неограниченное наращивание 
силы ⎯ высшее проявление политики. 

Лекция №13. Психофизика.Псифизика: к теории взаимодействия оператора с устройством. Математическая модель. Рефлексивный механизм переотражения оператором объективной реальности. Воля, сила, власть и свобода 
— центральные экзистенциальные ингредиенты субъекта-оператора. Первое 
и второе определения понятия “устройство”. Определение элементарного 
оператора, названого псиатомом. 

Лекция №14. Психофизика. Первое и второе определения “оператора”. 
Взаимодействие оператора с устройством сводится к проблеме изучения власти. Исчисление власти. 

Лекция №15. Психофизика + политика. Актор истолковывается как 
оператор, взаимодействие которого с устройством сводится к проблеме изучения природы власти. Пример расчета на компьютере глобальной геополитической конфигурации на предмет анализа ситуации неограниченного наращивания силы в политике. Психофизический аспект исторической динамики. Реальна или номинальна такая политическая организация, как ООН? 

Лекция №16. Методология научной деятельности. От психофизики к 
пси-парадигме. О демаркационной линии между наукой и паранаукой. 

Лекция №17. Психорезонансные электронные устройства. Моделирование, проектирование, схемотехника. 
По материалам данного курса прочитаны спецкурсы: “Глобальное моделирование в истории и политике: научные и религиозные детерминанты”, 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
10

2001 г. на ф-те ВМ и К МГУ; “Метод и искусство математического моделирования”, 2002 — 2012 гг. на физическом факультете МГУ. Часть результатов, представленных в данном курсе лекций была поддержана двумя грантами РФФИ: “Законы коэволюции сложных систем и будущее человечества”, 
2001 — 2003 гг. (№ 01-06-80204); “Глобальное прогнозирование коэволюции 
многомерных структур: сценарии развития психо- и социосферы человечества”, 2004 — 2006 гг. (№04-06-80254). 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
11

 

Лекция №1 

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ 

Изложена методология математического моделирования. Приводится историческая ретроспектива генезиса метода математического 
моделирования. Выстраивается эволюционная последовательность 
метода математического моделирования. В основу метода математического моделирования кладется системная теория и методология. 
Определяются: элементарная модель, сверхмодель и пр. Анализируются и сравниваются различного рода определения того, что следует понимать под “математически моделированием”. Формулируются три определения: математическое моделирование предметной 
области, объекта исследования и критерий адекватности модели цели исследования. Во всех трех определениях важную роль играет 
понятие “нового знания”. Последнее понятие толкуется с нескольких точек зрения: 1) в контексте динамики связки “модель — 
сверхмодель”, 2) в результате прямого моделирования удается 
спрогнозировать результаты натурного эксперимента, 3) в результате обратного моделирования достигается наилучшее оценивание интересующих модельера свойств объекта. 

§1. Историческая ретроспектива 

овременная эпоха характеризуется феноменом глобализации. Важнейшим аспектом процесса глобализации является развитие информационной индустрии. Можно говорить об информационных технологиях получения новых знаний, их накопления и использования в самых разнообразных 
сферах человеческой деятельности. К информационным технологиям относят 
методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. В данной лекции представлен анализ современных тенденций в методологии производства научных знаний в части метода математического моделирования и вычислительного эксперимента. 
Сформулируем перечень целей курса лекций: 
♦ на ряде примеров в деталях проследить за тем, как создается математическая модель, как она используется и как выносится вердикт о 
степени ее адекватности объекту исследования; 

♦ выделить те общие принципы, которые обычно лежат за фасадом 
фактурных особенностей генезиса конкретных математических моделей; 

♦ понять, что означает большое количество различных математических моделей (в рамках некоторой предметной области) и их несогласованность между собой (проблема мультимодельности). 
Приведем ряд высказываний. А.А. Самарский называл математическое 
моделирование “... новой научной технологией, новой методологией научных 

С

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
12

исследований, поиска и прогноза”3. В более широком плане, согласно4, “... 
моделирование претендует на методологическую фундаментальность, не уступающую теории и эксперименту” или “.. как на форму интеллектуальнопознавательного бытия человека в мире электронно-вычислительных машин”. 
Появление и широкое внедрение компьютеров в качестве важнейшего 
инструмента научного процесса привело к обратному воздействию вычислительной идеологии на моделирование вообще и математическое моделирование в частности. Н.Н. Моисеев5 писал о необходимости создания специфической “машинной” математики. Ю.П. Пытьевым разрабатывается математическая теория измерительно-вычислительных систем6, позволяющая сформулировать критерий адекватности моделей. В связи с феноменом персонального компьютера авторы работы7 используют термин “интеллектуальная мастерская”, в которой персональный компьютер играет роль своеобразного 
“верстака”, позволяющего операционально работать с объективированным 
знанием. В более широком смысле, по словам К. Райта8, компьютер — устройство, порождающее “виртуальную реальность”. Это не только реальность 
“канцелярского типа” (выполнение функций бумаги, карандаша, скрепки, 
ножниц и т.п.), она ориентирована на человека в “должности” секретаря, т.е., 
по словам К. Райта, это “нобот”. 
Более подробно о концепции “виртуальной реальности” можно ознакомиться в работах9. В общем и целом переживание той или иной виртуальной реальности со стороны оператора (геймера, человека) достигается на пути применения методов математического моделирования, вычислительного 
эксперимента и программирования плюс еще нечто, что можно отнести к 
психологии оператора. 
Новые тенденции в развитии метода математического моделирования 
особенно выпукло проявляются в таких областях, как история, политика10, 
экономика11, социология12, экология13 и ряд других. Примером служит набор 

                                                            
3Самарский А.А. Проблемы использования вычислительной техники и развитие информатики// 
Вестн. АН СССР. 1985. №3, с.58. 
4Кацура А.И., Келле В.В., Новик И.Б. Философско-гносеологические аспекты системного моделирования. — Препринт ВНИИСИ. — М.,1982, с.4. 
5Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1975. 224с. 
6Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. — 
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 400с. 
7Смолян Г.Л., Шошников К.Б. Феномен персональной ЭВМ: философско-методологический аспект// 
Вопр. философии. 1986. №6. С.42—55. 
8Райт К. На пути к “глобальной деревне”// В мире науки. 1991. №5. С.37—48. 
9НосовН.А. Виртуальная психология. — М.: “Аграф”, 2000. 432с.; Концепция виртуальных миров и 
научное познание. — СПб.: РХГИ, 2000. 320с. 
10Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология 
и практика. ⎯ М.: Эдиториал УРСС, 2003. 282с. 
11Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. Математическое моделирование. 
Вып.1. ⎯ М.: ФАЗИС: ВЦ РАН, 2000. ХII+412с. 
12Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. Учебное пособие для высших учебных заведений. ⎯ М.: Издательская корпорация “Логос”, 1998. 280с. 
13Гор Эл. Земля на чаше весов. — М.: ППП, 1993. 429с.; ГоршковВ.Г. Физические и биологические 
основы устойчивости. — М., 1995. 470с.; Данилов-Данильян В.И., Лосев К.С. Экологический вызов и устойчивое развитие. — Учебное пособие. — М.: Прогресс — Традиция, 2000. 416с. 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
13

исследований, представленных Римскому клубу (более подробно в14). Эти 
исследования отмечены совершенно новым качеством — ощущается настойчивая потребность в глобальной экспертизе развития, роста, прогноза и контроля той целостности, которая еще очень смутно представляется в виде единого мирового хозяйства. В результате была сформулирована общая концепция глобального моделирования15, позволяющая подвести определенную научную базу под эти разработки. 
В связи с глобалистикой и математическим моделированием для нас 
важным является выделение роли системного подхода, системного способа 
мышления, системной методологии16. Системный подход по отношению к 
математическому моделированию выступает в двух аспектах: как метатеория 
и как элемент методологии. 
Отметим наличие двух линий в изложении методологии моделирования. Во-первых, нас интересует формальное определение математического 
моделирования. Во-вторых, нам необходимо, хотя бы в общих чертах, затронуть такие вопросы, как: что есть новое знание, возможные механизмы научного творчества на примере математического моделирования и некоторые 
другие трудно формализуемые вопросы. 
В целом используемая терминология сводится к следующим посылкам. 
Моделированию подвергается некоторая предметная область. Продвинутая 
стадия моделирования данной предметной области, как правило, характеризуется множеством частных моделей объектов исследования. Модели объектов исследования, несмотря на известную автономию друг от друга, связаны 
совместным контекстом данной предметной области. Связь моделей объектов исследования вызывает особый интерес и характеризуется специальным 
термином сверхмодель. Сверхмодель, если ее удается обнаружить и сформу
                                                            
14Лейбин В.М. “Модели мира” и образ человека. — М.: Политиздат. 1982. 255с. 
15Гвишиани Д.М. Наука и глобальные проблемы современности// Вопр. философии. 1981. №3. 
С.97— 108; Геловани В.А. Человеко-машинная система моделирования процессов глобального развития// 
Системные исследования. Методологические проблемы. — М.: Наука, 1981. С.155— 173; Дубовский С.Б. 
Система моделей глобального развития/ Методология системного анализа. — М.: ВНИИСИ, 1978. Ч.1. 
Вып.6. С.82— 94; Загладин В.В., Фролов И.Т. Глобальные проблемы современности: Научный и социальный 
аспект. — М.: Междунар. отношения. 1981. 240с.; Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. — М.: Наука, 
1982. 240с.; Новик И.Б. Новый тип модельного познания// Вопр. философии. 1980. №7. С.130—142. 
16Берталанфи Л. Общая теория систем: критический обзор// Исследования по общей теории систем. 
— М.: ИЛ, 1969. С.23—82; Берталанфи Л. Общая теория систем — обзор проблемы и результатов// Системные исследования. — М.: Наука, 1969. С.30 — 54; Берталанфи Л. История и статус общей теории систем// Системные исследования. — М.: Наука, 1973. С.20—37; Раппопорт А. Различные подходы к общей 
теории систем// Системные исследования.— М.: Наука, 1969. С.55—79; Блауберг И.В., Юдин Б.Г. Становление и сущность системного подхода. — М.: Наука, 1973. 270с.; Сагатовский В.Н. Системная деятельность и 
ее философское осмысление// Системные исследования. Методологические проблемы. — М.: Наука, 1981. 
С.52— 68; Садовский В.Н. Проблемы общей теории систем как метатеории// Системные исследования. — 
М.: Наука, 1973. С.127—146; Садовский В.Н. Основания общей теории систем. — М.: Наука, 1974. 279с.; 
Тюхтин В.С. Отражение, системы, кибернетика. — М.: Наука, 1972. 256с.; Уемов А.И. Системный подход и 
общая теория систем. — М.: Наука, 1978. 272с.; Юдин Э.Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. — М.: Наука, 1978. 391с.; LaszloE. Introduction to system philosophy: Toward a new paradigm of contemporary thought. — N.Y. Gordon and Breach, 1972. 328p.; Урманцев 
Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. — М.: Мысль, 1974. 229с.; Диалектика познания сложных 
систем/ Под ред. В.С. Тюхтина. — М.: Мысль, 1988. 317с.; Система. Симметрия. Гармония/ Под ред. 
В.С. Тюхтина, Ю.А. Урманцева. — М.: Мысль, 1988. 318с.; Урманцев Ю.А. Эволюционика. — Пущино, 
1988. 78с.; Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. — М.: ВШ, 1998. 319с. 

Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования 

 
14

лировать, позволяет построить естественную классификацию моделей объектов и всей предметной области. 

§2. Формальное определение математического моделирования 

Вначале построим формальное определение математического моделирования. Для этого необходимо сделать ряд отступлений. 
Начнем с того, что сам процесс производства математических моделей 
носит активный, деятельностный характер17. Это “индустрия”, поток деятельностно-интеллектуального производства, для которого цель, мотив, 
средства выступают на передний план. При этом “... средства познания, — 
как указывается в работе18, — теперь все чаще служат не только регулятивами собственно познавательного процесса, но и орудиями “конструирования” 
реальности, подлежащей исследованию”. 
Концепция математического моделирования19 в традиционном смысле 
сводится в общих чертах к тому, что модель опосредована объекту исследования и дает о нем новое знание. Уже в этом определении присутствует формальная (опосредованность) и неформальная (новое знание) компоненты в 
толковании понятия “модель”. 
Исходя из объекта исследования, после построения модели и получения нового знания возвращаемся к объекту, но на другом теоретикопознавательном уровне. К.Е. Морозов20 схематически этот процесс представляет в виде: объект → модель → объект. Иное содержание движению по спирали дается А.А. Самарским3: объект → модель → алгоритм → анализ результатов → управление объектом. 
Дальнейшее развитие концепции моделирования рассмотрим в связи с 
системным подходом. Обычно21 под моделью понимается некоторая система. 
А. Раппопорт22 приводит классификацию У. Уивера объектов исследования 
на: 

1) организованно простых (например, механические объекты); 
2) беспорядочно сложных (например, поликристалл); 
3) организованно сложных (например, живое). 

                                                            
17Юдин Э.Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. — М.: Наука, 1978. 391с.; Лекторский В.А. Субъект. Объект. Познание. — М.: Наука, 1980. 358с.; 
Швырев В.С. Научное познание как деятельность. — М.: Политиздат, 1984. 232с. 
18Юдин Э.Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. — М.: Наука, 1978, с.11. 
19Веников В.А. Некоторые методологические вопросы моделирования// Вопр. философии. 1964. 
№11. С.73—84; Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. — М.: Мысль, 1969. 
212с.; Новик И.Б. О моделировании сложных систем. — М.: Мысль, 1965. 335с.; Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. — М.: Мысль, 1971. 311с.; Штофф В.А. Роль моделей в познании. — Л.: Издво ЛГУ, 1963. 128с.; Штофф В.А. Моделирование и философия. — М.— Л.: Наука, 1966. 301с. 
20Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. — М.: Мысль, 1969, с.87. 
21Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. — М.: Мысль, 1971. 311с.; Анохин В.Б. 
Гносеологические проблемы математического моделирования: Дис. ... канд. филос. наук. — Л., 1983. 193с.; 
Рузавин Г.И. Математизация научного знания. — М.: Мысль, 1984. 207с. 
22Раппопорт А. Различные подходы к общей теории систем// Системные исследования. — М.: Наука, 1969. С.55—79.