Математика. Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Элементы векторного анализа

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет
Т. А. Позднякова, А. Н. Ботвич
МАТЕМАТИКА
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Учебное пособие
Красноярск
СФУ
2018

УДК 517.556/.559(075.8) 
ББК 22.171я73
П472
Рецензенты: А. Н. Втюрин, доктор физико-математических наук, 
профессор, главный научный сотрудник ИФ СО РАН;
   В. Г. Подопригора, доктор технических наук, профессор, профессор 
кафедры математических методов и информационных технологий СФУ
Позднякова, Т. А.
П472
Математика. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Элементы векторного анализа : yчеб. пособие / Т. А. Позднякова, 
А. Н. Ботвич. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 113 c.
ISBN 978-5-7638-3920-3
Изложены основные вопросы теориии интегрального исчисления
функций многих переменных: методы вычисления двойных и тройных,
криволинейных и поверхностных интегралов. Рассмотрены геометрические, механические и физические приложения этих интегралов к решению конкретных задач. Освещены некоторые приложения теории
поля.
Предназначено для студентов энергетических и радиотехнических направлений и срециальностей 13.03.02 «Электроэнергетика и
электротехника», 11.05.01 «Радиотехнические системы и комплексы», 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 11.03.03 «Конструирование и технология
электронных средств», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника»,
12.03.01 «Приборостроение», 27.03.05 «Инноватика», 25.05.03 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования».
УДК 517.556/.559(075.8) 
ББК 22.171я73
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru
ISBN 978-5-7638-3920-3
Сибирский федеральный 
университет, 2018
©

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие посвящено интегральному исчислению функций многих переменных. Для студентов технических специальностей этот
раздел курса высшей математики является одним из наиболее сложных.
Цель предлагаемого учебного пособия — помочь студентам в самостоятельном освоении прикладных аспектов изучаемого раздела.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и их геометрические, физические и механические приложения широко используются при
решении задач электротехники, радиотехники и др. Изучение интегрального
исчисления функций многих переменных, безусловно, необходимо для овладения методами математического анализа и, что особенно важно для будущих инженеров, навыками применения этих методов к решению конкретных
инженерных и технических задач.
Пособие состоит из восьми глав, в первых четырех главах изложены
основные элементы теории и приемы вычисления кратных, криволинейных
и поверхностных интегралов, приведены примеры решения типовых задач. В
пятой главе предложены задачи для самостоятельной работы (с ответами) и
задания для типового расчета. В шестой и седьмой главах представлены геометрические, механические и физические приложения интегралов к решению
конкретных задач геометрии и физики, приведено решение типовых задач, а
также задачи с ответами для самостоятельной работы студентов. Кроме того,
предложены задания для типового расчета и подробно рассмотрено решение
одного варианта расчета.
В восьмой главе изложены элементы теории поля, математический аппарат, который используется при изучении скалярных и векторных физических полей. В этой главе также представлены задачи с ответами, варианты
типового расчета с подробным решением одного варианта для закрепления
изученного материала.
Основные формулы и теоремы для лучшего их понимания сопровождаются комментариями и конкретными примерами, позволяющими подробно
раскрыть содержание вводимых понятий, физический смысл теорем и формул. Большое количество решенных и проиллюстрированных задач делает
это издание полезным как для самостоятельной работы, так и для практических занятий студентов в учебной аудитории.
Углубленное изучение материала может быть продолжено с использованием литературы, предложенной в библиографическом списке.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.1. Прямоугольная декартова система координат
Пусть область D на плоскости такова, что прямые, параллельные осям
координат, пересекаются с контуром области D не более чем в двух точках.
Такая область называется правильной. Тогда двойной интеграл сводится к повторному по одной из формул:
D
f(x, y)dxdy=
b
a



y2(x)
y1(x)
f(x, y)dy


 dx=
b
a
dx
y2(x)
y1(x)
f(x, y)dy,
(1)
D
f(x, y)dxdy=
d
c



x2(y)
x1(y)
f(x, y)dx


 dy=
d
c
dy
x2(y)
x1(y)
f(x, y)dx.
(2)
Чтобы применить формулу (1), нужно выполнить следующие действия.
1. Спроектировать область D на ось Ox. Как видно из рис. 1, проекцией
будет отрезок [a, b].
Рис. 1
Рис. 2
2. Найти уравнения линий, которые ограничивают область D снизу и
сверху: y=y1(x), y=y2(x) соответственно.
3. Вычислить внутренний интеграл в правой части формулы (1), считая x постоянным и применяя формулу Ньютона — Лейбница. Полученный
результат является подынтегральной функцией внешнего интеграла.
4. Вычислить внешний интеграл.
При использовании формулы (2) действия аналогичны, причем пределы для внутреннего и внешнего интегралов находятся так, как показано
на рис. 2.
Замечание 1. Если область D более сложного вида, то прямыми
x=const или y=const ее следует разбить на области указанного вида (рис. 3),

затем применить свойство аддитивности интеграла
D=D1∪D2∪D3,
D
f(x, y)dxdy=
D1
f(x, y)dxdy+
D2
f(x, y)dxdy+
D3
f(x, y)dxdy.
Рис. 3
Рис. 4
Аналогичное разбиение (рис. 4) проводится и в случае, если какую-либо
кривую, определяющую верхний или нижний предел внутреннего интеграла,
нельзя задать одним уравнением
D
f(x, y)dxdy=
D1
f(x, y)dxdy+
D2
f(x, y)dxdy=
=
c
a
dx
y2(x)
y1(x)
f(x, y)dy+
b
c
dx
y3(x)
y1(x)
f(x, y)dy.
П р и м е р 1. Вычислить двойной интеграл
D
(x+2y)dxdy, если область D ограничена линиями y=x2, y=0, x+y−2=0.
Решение.
Изобразим область интегрироРис. 5
вания D (рис. 5). Она правильная в направлении
оси Ox. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2)
D
(x+2y) dxdy=
1
0
dy
2−y
√y
(x+2y) dx=
=
1
0
dy
1
2x2+2yx
2−y
√y
=

=
1
0
1
2(2−y)2+4y−2y2− 1
2y−2y
3
2
dy=
=
1
6(y−2)3+ 7
2 · 1
2y2−2· 1
3y3− 4
5y
5
2
1
0
=− 1
6 + 8
6 + 7
4 − 2
3 − 4
5 = 29
20.
1.2. Полярная система координат
В случаях, когда область интегрирования круг, кольцо или часть таковых или подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2), легче вычислить
двойной интеграл в полярной системе координат. Тогда используется следующая формула замены переменных в двойном интеграле:
D
f(x, y) dxdy=
D
f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ.
(3)
Чтобы свести интеграл в правой части (3)
Рис. 6
к повторному по переменным r и ϕ, необходимо
выполнить следующее:
1. Найти пределы изменения ϕ (рис. 6),
т. е. границы, в которых находятся значения полярного угла произвольной точки области D:
α≤ϕ≤β.
2.
Найти
уравнения
линий
r=r1(ϕ)
и r=r2(ϕ), которые ограничивают область D
и определяют пределы изменения полярного радиуса r точек области D
при произвольном фиксированном значении ϕ.
3. Применить формулу
D
f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ=
β
α
dϕ
r2(ϕ)
r1(ϕ)
f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdr.
П р и м е р 2. Вычислить
D
9−x2−y2 dxdy, где область интегрирования D — круг x2+y2≤9.
Решение. Перейдем к полярным координатам по формуле (3). Область
D в полярной системе координат определяется неравенствами 0≤ϕ≤2π,
0≤r≤3. Получаем
D
9−x2−y2 dxdy=
D
9−(r cos ϕ)2−(r sin ϕ)2 rdrdϕ=

=
D
r
9−r2 drdϕ=
2π
0
dϕ
3
0
r
9−r2 dr=− 1
2
2π
0
dϕ
3
0
(9−r2)
1
2 d(9−r2)=
=− 1
2
2π
0
dϕ
2
3(9−r2)
3
2
3
0
=− 1
2 ·
− 2
3
·27
2π
0
dϕ= 9 ϕ|2π
0 =18π.
1.3. Обобщенная полярная система координат
Если область интегрирования ограничеРис. 7
на эллипсом x2/a2 + y2/b2=1 (рис. 7), проще
вычислить двойной интеграл, перейдя к обобщенным координатам по формулам x=ar cos ϕ,
y=br sin ϕ (r≥0, 0≤ϕ≤2π). В обобщенной полярной системе координат эллипс имеет уравнение r=1. Формула замены переменных в обобщенных координатах имеет вид
D
f(x, y) dxdy=ab
D
f(ar cos ϕ, br sin ϕ) rdrdϕ.
(4)
Для конкретной области D пределы изменения обобщенных полярных координат r и ϕ находятся из уравнения линий, ограничивающих эту область,
аналогично рассмотренным в случае полярной системы координат.
П р и м е р 3. Вычислить
D
1−x2/a2−y2/b2 dxdy по области D, ограниченной эллипсом x2/a2+y2/b2=1.
Решение. Полагая x=arcos ϕ, y=brsin ϕ, по формуле (4) получаем
D
1− x2
a2 − y2
b2 dxdy=ab
D
1− (ar cos ϕ)2
a2
− (br sin ϕ)2
b2
rdrdϕ=
=ab
2π
0
dϕ
1
0
1−(r cos ϕ)2−(r sin ϕ)2 rdrdϕ=ab
2π
0
dϕ
1
0
1−r2 rdr=
=− 1
2ab
2π
0
dϕ
1
0
(1−r2)
1
2 d(1−r2)=− 1
2ab
2π
0
dϕ· 2(1−r2)
3
2
3
1
0
=
= 1
3ab
2π
0
dϕ= 2
3πab.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2.1. Прямоугольная декартова система координат
Пусть тело T (рис. 8) ограничено поверхностями z =z1(x, y) (снизу),
z =z2(x, y) (сверху) и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz. Тогда луч, проведенный через внутреннюю точку тела
(x0, y0, z0) параллельно оси Oz, пересекает его границу в двух точках с аппликатами z1(x0, y0) и z2(x0, y0). Такое тело называется правильным в направлении оси Oz.
Рис. 8
Рис. 9
В этом случае тройной интеграл сводится к повторному:
T
f(x, y, z) dxdydz =
=
Dxy



z2(x,y)
z1(x,y)
f(x, y, z)dz


 dxdy=
Dxy
dxdy
z2(x,y)
z1(x,y)
f(x, y, z)dz,
(5)
где Dxy — проекция тела T на плоскость xOy.
Чтобы применить формулу (5), надо выполнить следующие действия:
1. Найти проекцию Dxy.
2. Найти уравнения поверхностей, ограничивающих тело T снизу и
сверху: z = z1(x, y) и z =z2(x, y) соответственно.
3. Вычислить внутренний интеграл, считая x и y постоянными и применяя формулу Ньютона — Лейбница.
4. Вычислить двойной интеграл по области Dxy.
Иногда удобнее проектировать тело T на плоскости xOz (рис. 9) или
yOz (рис. 10). В этих случаях применяются формулы
T
f(x, y, z) dxdydz =
Dxz
dxdz
y2(x,z)
y1(x,z)
f(x, y, z)dy,
(6)

Рис. 10
T
f(x, y, z) dxdydz =
=
Dyz
dydz
x2(y,z)
x1(y,z)
f(x, y, z) dx.
(7)
П р и м е р 4. Вычислить интеграл
T
xdxdydz, где тело T ограничено поверхностями x/3+y/4+z/9=1, x=0, y=0, z =3.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11). ПоРис. 11
строим тело T. Все поверхности — плоскости.
Плоскость x/3+y/4+z/9=1 отсекает на осях
координат отрезки, равные 3, 4, 9 единицам
соответственно. Применим формулу (5). Для
этого выполним следующие действия:
1. Определим проекцию тела T на плоскость xOy. Область Dxy — треугольник AOB.
Найдем уравнение прямой AB. Для этого
необходимо решить систему уравнений
x
3 + y
4 + z
9 =1,
z =3.
Решив данную систему, получим уравнение
прямой
AB:
4x + 3y=8,
а
также
координаты
точек
A
и
B:
A(2, 0), B(0, 8/3).
2. Уравнения поверхностей, ограничивающих тело T снизу и cверху:
z =3 и z =9 (1−x/3−y/4) соответственно.
3. Вычислим внутренний, а затем внешний интегралы:
T
xdxdydz =
Dxy
dxdy
9(1−x/3−y/4)
3
xdz =
Dxy
xdxdy z
9(1−x/3−y/4)
3
=
=
Dxy
x(9−3x− 9
4y−3) dxdy=
2
0
dx
(8−4x)/3
0
(6x−3x2− 9
4xy) dy=

=
2
0
6xy−3x2y− 9
4 · 1
2y2x
(8−4x)/3
0
dx=
2
0
(2x3−8x2+8x) dx= 8
3.
2.2. Цилиндрическая система координат
Положение точки M(r, ϕ, z) в цилиндрической системе координат определяется полярными координатами r, ϕ проекции этой точки на плоскость
xOy и аппликатой z точки M (рис. 12), 0≤r<∞, 0≤ϕ≤2π, −∞<z <∞.
Формулы связи цилиндрической системы
Рис. 12
координат с прямоугольной декaртовой имеют
вид
x=r cos ϕ, y=r sin ϕ, z =z.
(8)
Тройные интегралы в цилиндрической системе координат вычисляются следующим образом:
1. Тройной интеграл сводится к двойному
по формулам (5)—(7).
2. Двойной интеграл вычисляем в полярной или обобщенной полярной системах координат.
П р и м е р 5. Вычислить тройной интеграл
Т
y2dxdydz, если тело T
ограничено поверхностями x2+y2=z2, x2+y2=6−z, z ≥0.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 13). ТеРис. 13
ло T ограничено сверху параболоидом x2 +y2=
=6−z с вершиной в точке (0, 0, 6), снизу — конусом x2 +y2=z2. Проекция тела T на плоскость
xOy ограничена проекцией линии пересечения
поверхностей:
x2+y2=6−z,
x2+y2=z2,
⇒ 6−z =z2, ⇒
z1=2,
z2=−3.
По условию z ≥0, поэтому берем z =2. Область Dxy ограничена окружностью x2 + y2=4 с
центром в точке O(0, 0) и радиусом, равным 2.
Нижний и верхний пределы интегрирования по
z: z1=
x2+y2 и z2=6−x2−y2 соответственно.
Применим формулу (5): в двойном интеграле сделаем переход к полярной системе координат.