Начертательная геометрия

Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ 

Содержит общие и специальные разделы начертательной геоме
трии: конструирование геометрических моделей, позиционные за
дачи, метрические и конструктивные задачи, тени в ортогональных 

проекциях, перспектива и тени, аксонометрия и тени, проекции с 

числовыми отметками. Имеется большое количество иллюстраций и 

примеров.

Л. И. СУПРУН, Е. Г. СУПРУН 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  ГЕОМЕТРИЯ
Л. И. СУПРУН, Е. Г. СУПРУН 

Принятые обозначения и символы 

 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун 
 
 
 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ   
ГЕОМЕТРИЯ 
 
Допущено учебно-методическим советом  
Сибирского федерального университета  
в качестве учебника для студентов, обучающихся  
по специальности «Архитектура»,  
протокол № 9 от 14.06.17 г.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2018 

Принятые обозначения и символы 

 

2 

УДК 514.181(07) 
ББК 22.151.34я73 
         С899 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы:  
К. А. Вольхин, кандидат педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой начертательной геометрии Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин);  
Г. А. Мальцева, кандидат педагогических наук, доцент кафедры 
инженерной графики Сибирского государственного аэрокосмического 
университета  имени академика М. Ф. Решетнёва 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Супрун, Л. И. 
С899             Начертательная геометрия : учебник / Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 244 с. 
ISBN 978-5-7638-3802-2 
 
Содержит общие и специальные разделы начертательной геометрии: 
конструирование геометрических моделей, позиционные задачи, метрические 
и конструктивные задачи, тени в ортогональных проекциях, перспектива и тени, 
аксонометрия и тени, проекции с числовыми отметками. Имеется большое количество иллюстраций и примеров.  
Предназначен для студентов специальности «Архитектура» 07.03.01. 
 

 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 514.181(07) 
ББК 22.151.34я73 
 
ISBN 978-5-7638-3802-2                                                                 © Сибирский федеральный  
                                                                                                               университет, 2018 

Принятые обозначения и символы 

 

3 

 
ПРИНЯТЫЕ  ОБОЗНАЧЕНИЯ  И  СИМВОЛЫ 
 
Обозначения геометрических образов, символы их взаиморасположения и логических операций, составляющие геометрический язык начертательной геометрии, приняты с учётом обозначений и символов курса 
геометрии средней школы. 
1. Точки – заглавные буквы латинского алфавита или цифры: A, B, 
C, D, …,1, 2, 3, …; 
линии  строчные буквы латинского алфавита: a, b, c, d, e, f, …; 
плоскости и поверхности – строчные и прописные буквы греческого алфавита: α, , , , … ; 
углы – строчные буквы греческого алфавита: α, , , , … . 
2. Плоскость проекций – буква греческого алфавита π с добавлением индекса: 
π1 – первая, или фронтальная, плоскость проекций; 
π2 – вторая, или горизонтальная, плоскость проекций; 
π3, π4, π5, …  дополнительные плоскости проекций. 
3. Оси проекций – строчные буквы: х12, х13, х23, х34,… . 
4. Оси в аксонометрии и перспективе: х, y, z. 
5. Проекции на плоскостях: 
π1  A1, B1, …, 11, 21, …, a1, b1, …, α1, 1, 1, …; 
π2  A2, B2, …, 12, 22, …, a2, b2, …, α2, 2, 2, …; 
π3  A3, B3, …, 13, 23, …, a3, b3, …, α3, 3, 3, …; 
π4 – A4, B4, …, 14, 24, …, a4, b4, …, α4, 4, 4, …. 
6. Символы: 
  принадлежность: A  a – точка A принадлежит линии a; 
∩  пересечение: a ∩ b – линии a и b пересекаются; 
  результат: a1 ∩ b1  С1 – a1 пересекают b1 в точке С1; 
равенство: AB =CD  длина отрезка AB равна длине отрезка CD; 
  следовательно: K  m, K  n  m ∩ n = K; 
  тождественное равенство или совпадение: A1  B1   проекции 
точек А и В совпадают; 
  перпендикулярность: p  m; 
║  параллельность: с║d; 
  соответствие: А2  А1 – проекция А2 соответствует проекции А1. 
  отрицание (наличие в символе смысла частицы «не»): A  b  
точка A не принадлежит линии b. 

Начертательная геометрия 

 

4 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Начертательная геометрия входит в группу общетехнических           
дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Она учит 
грамотно владеть выразительным языком чертежа, умению составлять 
и свободно читать чертежи. Изучение начертательной геометрии способствует развитию у студентов пространственных представлений и пространственного воображения  качеств, характеризующих высокий уровень         
инженерного мышления и необходимых для решения прикладных задач. 
Неоценима её роль в развитии аналитического и, как следствие, логического мышления. Это очень важно для воспитания творческой личности. 
Учебник составлен в соответствии с программой подготовки студентов по направлению «Архитектура». Он включает в себя 7 глав: конструирование геометрических моделей, позиционные задачи, метрические 
задачи, тени в ортогональных проекциях, перспектива и тени, аксонометрия и тени, проекции с числовыми отметками.  
При изложении материала применён проективный подход к конструированию геометрических моделей, предложенный в своё время профессором 
Ленинградского инженерно-строительного института К. И. Вальковым. 
Этот подход объединяет все геометрические модели (ортогональный чертёж, перспективу и аксонометрию). У них единое первоначало. Все они 
построены по методу двух изображений. Являясь самостоятельной, каждая из этих моделей может быть построена по двум данным изображениям 
как дополнительная проекция – ортогональная, центральная или параллельная. Таким единым аппаратом является схема Гаука. Несколько иначе 
выглядят геометрические модели в проекциях с числовыми отметками. Но 
и здесь используется линейное проецирование. Правда, только на одну 
плоскость. Роль второй проекции играет числовая отметка. 
Позиционные свойства всех этих моделей совершенно одинаковы. 
Это значит, что алгоритмы решения позиционных задач независимо от модели 
одни и те же. Сохраняются на всех моделях также принципы и закономерности 
построения теней. Поэтому глубокое и доскональное изучение ортогональных 
проекций значительно облегчает понимание последующих разделов.  
Материалы разработанного учебника соответствуют перспективным требованиям обеспечения фундаментальной подготовки специалистов, работающих в области архитектуры, дизайна и градостроительства.  
Они позволяют приобрести одну из ключевых профессиональных компетенций – умение решать графическими методами многие важные теоретические и практические задачи. 

1. Конструирование геометрических моделей 

 

5 

 
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ   
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ  МОДЕЛЕЙ 
 
 
1.1. Предмет и метод начертательной геометрии 
 
Активная деятельность человека связана с передачей и переработкой 
информации о явлениях внешнего мира. Причем одну и ту же информацию 
можно передать различными способами. Желая, например, определить форму и размеры проектируемого сооружения, можно использовать словесные объяснения, математические символы, рисунок, чертеж, макет. Если 
различные физические предметы или явления позволяют извлекать одну 
и ту же информацию, то говорят, что они моделируют друг друга. Каждый 
такой предмет является моделью других, и наоборот. Так, например, азбуку 
Морзе можно считать однозначной моделью алфавита. Человек и имя, 
мысль и речь – примеры неоднозначных моделей. 
Начертательная геометрия изучает способы конструирования геометрических моделей, позволяющих передавать и обрабатывать геометрическую информацию. 
Геометрическая информация  это сведения о форме, размерах 
и взаимном расположении геометрических образов. Геометрический образ – 
это точка, прямая, плоскость, поверхность. 
Геометрическая модель должна быть однозначной и удобной 
в использовании 
Простейшая такая модель может быть получена методом линейного проецирования. 
 
 
1.2. Операция линейного проецирования 
 
Выберем в пространстве плоскость π и точку S, не принадлежащую π. 
Точку S назовем центром проецирования, а плоскость π – плоскостью 
проекций или плоским полем проекций (множество точек плоскости называется точечным, или плоским, полем). Центр S и плоскость π составляют 
аппарат проецирования. 
Выбрав аппарат проецирования, можно построить проекцию любой точки А пространства. Для этого через S и А проводим луч и отмечаем 

Начертательная геометрия 

 

6 

его пересечение с картиной: SA ∩ π = А′ (рис. 1). Луч SA называется проецирующим лучом, а точка А′ – проекцией точки А. 
В зависимости от положения центра S относительно картины различают следующие виды 
проецирования: центральное и параллельное. 
Если центр S находится на конечном расстоянии, то проецирование называется центральным (рис. 1). При параллельном проецировании 
центр бесконечно удален, и все проецирующие 
лучи проходят параллельно друг другу.  
Параллельное проецирование, в свою 
очередь, подразделяется на ортогональное и косоугольное. 
Если проецирующие лучи перпендикулярны картине π, то проецирование называется 
ортогональным (рис. 2, а). 

 

 
 
Рис. 1 

Если проецирующие лучи проходят под острым углом к картине π, 
то проецирование называется косоугольным (рис. 2, б). 
Поскольку проецирующими элементами являются прямые линии, 
то рассмотренное проецирование называется линейным. 
 

 
а 
б 
Рис. 2 
 
Отметим свойства линейного проецирования, в котором зафиксированы центр проецирования и плоскость проекций. 
Свойство 1. Каждой точке K пространства соответствует единственная ее проекция K′, если эта точка не совпадает с центром проецирования, но каждой точке M′ плоскости проекций соответствует бесчисленное 
множество точек М, М 1, М 2, … пространства, для которых точка M′ является проекцией (рис. 3). 
Свойство это следует непосредственно из определений, поэтому не 
нуждается в доказательстве. 

π 

π
π 

1. Конструирование геометрических моделей 

 

7 

Свойство 2. Линейной проекцией прямой линии является также 
прямая линия, если эта проекция не вырождается в точку (рис. 4). 
Центр S и проецируемая прямая АВ определяют в пространстве 
плоскость σ. При пересечении σ с плоскостью π получается проекция A′B′ 
прямой АВ. Но две плоскости пересекаются по прямой линии. Следовательно, А′В′ – прямая линия. Проекция прямой вырождается в точку только 
лишь в том случае, когда эта прямая проходит через центр проецирования. 
Свойство 3. Линейное проецирование сохраняет инцидентность 
(взаимную принадлежность) элементов (рис. 4). 
 

 

Рис. 3 
Рис. 4 
 
Так, если в пространстве точка С принадлежит прямой АВ, то проекция С′ будет принадлежать проекции A′B′. Это следует из того, что все 
проецирующие лучи, проходящие через А, В и С, лежат в одной проецирующей плоскости σ и, следовательно, пересекают π в точках, лежащих на 
линии пересечения плоскостей σ и π. 
 
 
1.3. Метод двух изображений 
 
Имея аппарат линейного проецирования, состоящий из одного 
центра и одной плоскости проекций, нельзя построить однозначную          
модель точки пространства. В этом случае на основании свойства 1 не 
возникает взаимно однозначного соответствия между точкой пространства 
и её проекцией на плоскость π. Поэтому удвоим аппарат проецирования. 

1 

2 

Начертательная геометрия 

 

8 

Возьмем в пространстве две плоскости π1 и π2, расположенные под произвольным углом друг к другу, и два центра S1 и S2. Пусть проецирование на 
обе плоскости будет центральным (рис. 5). 
 

 
 
Рис. 5 
 
Плоскость π1 будем называть первой плоскостью проекций (или 
первым полем проекций), π2 – второй плоскостью проекций (или вторым 
полем проекций). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью 
проекций. Обозначим ее х12 = π1∩π2. Линию S1S2, соединяющую центры 
проецирования, назовем линией центров. Отметим точки пересечения ее 
с π1 и π2: S1S2∩π1 = U1, S1S2∩π2 = U2. U1 и U2 назовем исключенными точками. 
S1, S2, π1, π2, U1, U2 составляют аппарат проецирования метода 
двух изображений. Возьмем произвольную точку А пространства и спроецируем ее из S1 и S2 на π1 и π2. Получим пару проекций А1 и А2. Докажем, 
что они определяют однозначную модель точки А. 
Центры S1, S2 и проецируемая точка А определяют некоторую 
плоскость α. Она пересекает плоскости проекций π1 и π2 по прямым U1X = 
= α∩π1 и U2X = α∩π2, где Х = α∩х12. Так как проецирующий луч S1A проходит 
через две точки, лежащие в плоскости α, то он весь лежит в этой плоскости. Поэтому точка пересечения его с плоскостью π1 обязательно попадет 
на прямую U1X, т. е. А1 U1X. По тем же самым соображениям проекция А2 
должна попасть на U2X, т. е. А2U2X. Точки А1 и А2 будут единственными, 
поскольку прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Таким образом, можно сказать, что произвольной точке А пространства поставлена 
в соответствие единственная пара проекций А1, А2: А(А1, А2). 

1. Конструирование геометрических моделей 

 

9 

Справедливо и обратное утверждение. Представим, что имеем центры S1, S2, плоскости π1, π2 с исключенными точками U1, U2 и две проекции 
А1U1X, A2U2X. Докажем, что в этом случае можно построить единственную точку А пространства, являющуюся прообразом пары точек А1, А2. 
Соединим А1 с S1 и А2 с S2. Эти прямые лежат в одной плоскости α, 
определенной треугольником U1XU2. Следовательно, они, пересекаясь, 
дают единственную точку А. Таким образом, (А1, А2)  А. Что и требовалось 
доказать. На основании доказанного можно утверждать, что пара (А1, А2), 
полученная рассмотренным методом двух изображений, задает однозначную модель точки А, не принадлежащей линии центров S1S2. Проекции А1 
и А2 одной и той же точки А пространства будем в дальнейшем называть 
соответственными точками, а лучи U1X и U2X, на которых они лежат, – 
соответственными лучами. 
В зависимости от взаимного расположения плоскостей проекций 
π1, π2 и центров проецирования S1, S2 возникают различные частные варианты метода двух изображений. 
 
 
1.4. Метод ортогональных проекций  
(метод Монжа) 
 
Пусть π1  π2 и проецирование на обе плоскости ортогональное 
(рис. 6, а). В таком случае линия центров S1S2 будет бесконечно удалена, 
следовательно, бесконечно удаленными окажутся и исключенные точки 
U1 и U2. Определим их направление. 
Так как S1A  π1 и S2A  π2, то проецирующая плоскость α перпендикулярна одновременно π1 и π2. Следовательно, линия пересечения этих 
плоскостей (ось проекций х12) перпендикулярна α. Поэтому U1X  x12 
и U2X  х12. Значит, исключенные точки U1 и U2 бесконечно удалены в направлении, перпендикулярном х12. Полученная модель точки является 
пространственной. Для перехода к плоской модели мысленно удалим проецируемую точку А вместе с проецирующими лучами и повернем плоскость  вокруг оси х12 до совмещения с π1. Вследствие перпендикулярности 
лучей U1X и U2X к х12 исключенные точки U1 и U2 при совмещении совпадут. Модель примет вид, представленный на рис. 6, б. Здесь плоскости π1 
и π2 условно показаны ограниченными. Но на плоской модели контуры 
плоскостей проекций не нужны. Их можно убрать.  
В результате получим чертеж, изображенный на рис. 6, в.  
Чертеж, полученный при совмещении плоских полей, называется 
эпюром.