Геометрия и графика, 2014, № 2

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Сальков Н.А., канд. техн. наук, 
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор: 
Путкова А.В.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2014

Подписано в печать 10.06.2014. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Гирш А.Г.
Мнимости в геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Хейфец А.Л., Васильева В.Н. 
Реализация обобщенной теоремы Данделена для 
произвольных квадрик вращения в AutoCAD . . . . . . . . .9

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА 
И ЧЕРЧЕНИЕ

Сафиулина Ю.Г., Шмурнов В.К.
Численные приближения «золотого сечения» 
с точки зрения графики и аппликации  . . . . . . . . . . . . . . .15

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Столбова И.Д., Александрова Е.П., 
Крайнова М.Н.
Позиции интегративности при технологизации 
предметной подготовки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Столбова И.Д., Шахова А.Б.
Качество графической подготовки студентов 
технических вузов в соответствии с современным 
состоянием единой системы конструкторской 
документации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Мельник О.П., Скорюкова Я.Г., Буда А.Г.
Нулевой контроль как составная часть методики 
обучения геометро-графическим дисциплинам . . . . . .32

2014. Том 2. Вып. 2
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного университета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Национального 
исследовательского университета «Московский 
государственный строительный университет» 
(НИУ МГСУ), Московского государственного 
университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2014. Vol. 2. Issue 2
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профес
сор.

 Витебский государственный университет имени П.М. 

Машерова (Беларусь).

 Vitebsk State University named after P.M. Masherov (Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, профессор.
 Сибирская государственная автомобильно-дорожная 

академия, Омск (Россия).

 Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk 

(Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский государственный университет тонких 

химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).

 Moscow State University of Fine Chemical Technology 

named after M.V. Lomonosov, Moscow (Russia).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, 

профессор.

 Крымская академия природоохранного и курортного 

строительства, Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический универси
тет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).

 Moscow State Technical University named after 

N.E. Bauman, Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, про
фессор.

 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Павлова Алина Абрамовна, д-р пед. наук, профессор.
 Московский государственный педагогический универ
ситет, Москва (Россия).

 Moscow State Pedagogical University, Moscow (Russia).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, про
фессор.

 Московский государственный университет геодезии 

и картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художе
ственный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).

 Moscow State Academic Art Institute named after V.I. 

Surikov (Russia).

Скидан Иван Андреевич, д-р техн. наук, профессор.
 Донецкий национальный технический университет, 

Донецк.

 Donetsk National Technical University, Donetsk.

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, доцент.
 Пермский национальный исследовательский политех
нический университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm 

(Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Московский государственный технический универси
тет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).

 Moscow State Technical University named after 

N.E. Bauman, Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Ярошевич О.В., Зеленовская Н.В.
Резервы совершенствования геометро-графической 
подготовки современного инженера . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Грошева Т.В., Кочурова Л.В., Турицына И.А.
К вопросу об организации самостоятельной 
работы студентов в процессе графической 
подготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ. БИОГРАФИИ
Вышнепольский В.И.
Лауреат Государственной премии 
И.С. Вышнепольский . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия), 
гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоно-сова, Москва 
(Россия), ответственный секретарь.

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный педагогический университет, Москва (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.11                                              DOI: 10.12737/5583

А.Г. Гирш
Канд. техн. наук, доцент,
Кассельский университет,
Германия, 34109 Кассель, Мюнхенбергштрассе, 19

Мнимости в геометрии

Аннотация. Мнимости в геометрии играют большую роль 

и мало освещены в литературе. Их присутствие в геометрии 
гораздо шире, чем это на самом деле воспринимается. Работа 
объясняет статус мнимых образов в геометрии и доказывает, 
что геометрия становится замкнутой системой только с учетом ее мнимых образов. Предлагается новый способ построения радикальной оси двух окружностей и хордальных прямых двух коник, опирающийся на инструмент машинной 
графики «центральное пропорциональное увеличение графического объекта». Способ позволяет выделить из пучка 
квадрик его линейчатые вырождения.

Ключевые слова: мнимые точки, мнимые прямые, виды 

мнимых прямых, мнимый угол, перпендикуляр к мнимой 
прямой, окружность, коника, квадрика, радикальная ось, 
хордальная прямая, дилатация, пучок, вырождения в пучке, 
синтетические и аналитические фигуры, взаимосвязь действительного и мнимого.

А.G. Hirsch
Ph.D. in Engineering, Associate Professor,
University of Kassel,
19 Monkebergstrasse, Kassel, 34109, Germany

Ostensibilities in Geometry

Abstract. Ostensibilities in geometry play a large role and are a 

little shined in literature. Their presence at geometry is much 
broader, than it actually is perceived. Work explains a status of 
ostensibilities in geometry and proves that geometry becomes the 
closed rule only taking into account its ostensibilities. A new way 
related to creation of two circles’ radical axis and two conics’ 
chordal straight lines based on machine graphics tool «Central 
Proportional Increase of Graphic Object» is offered. The way allows 
select ruled degenerations from a bunch of quadrics.

Keywords: imaginary points, imaginary straight lines, types of 

imaginary straight lines, imaginary corner, perpendicular to an 
imaginary straight line, circle, conic, quadric, radical axis, chordal straight line, dilatation, bunch, degeneration in a bunch, synthetic and analytical figures, interrelation of valid and imaginary.

Введение
Данная статья преследует цель знакомства пре
подавателей кафедр графики инженерных вузов с 
одной существенной особенностью элементарной 
геометрии, а именно с тем фактом, что геометрия — 
незамкнутая система и с необходимостью содержит 
мнимые образы. Как следствие, эта особенность 
переносится как на начертательную геометрию, так 
и на инженерную графику. Незнание можно воспол
нить, но иногда бытует просто элементарная неграмотность. Я встречал преподавателя, который ничтоже сумняшеся задавал плоскость четырьмя произвольно взятыми в пространстве точками. Но такие 
случаи можно исключить, эти люди наших статей не 
читают.

Надо сказать, что геометрия — наука сложная. 

Правила древних греков «смотри и понимай» на 
сегодня недостаточно. Геометрия оказывается незамкнутой системой знаний. Она решает не все геометрические задачи, даже если они корректно поставлены. В зависимости от условия задачи решение 
может дать фигуру, не имеющую действительного 
образа. Простой пример: задача на построение точек 
пересечения прямой с окружностью дает сбой, если 
прямая и окружность графически не накладываются. 
Задача сформулирована корректно, а решения нет. 
Почему? Не потому, что его нет как такового, а потому, что оно мнимое и геометрия не может его изобразить. Должен ли решающий геометрические задачи (под этим хочется понимать преподавателя, 
передающего свои знания дальше) иметь понятие о 
корректном условии, уметь определять число решений и учитывать возможные мнимые решения? Мы 
считаем, что да и что этому можно научиться.

Примеры мнимого в геометрии
Евклидова геометрия оперирует действительными 

фигурами, которые имеют изображение, форму и 
положение на плоскости или в пространстве. Но в 
геометрии действуют не все теоремы. К примеру, 
теорема Гаусса, в соответствии с которой две кривые 
порядка m и n имеют ровно mn точек пересечения. 
Евклидова геометрия, на которой базируется начертательная геометрия, этих точек часто недосчитывает или не находит вовсе. Недостающие точки — это 
мнимые точки. Геометрия переполнена мнимостями, 
они составляют целую геометрию в геометрии. Приведем 
еще несколько примеров, которые лежат на поверхности и которые не заметить невозможно [8; 3]:
• обычная столь всем знакомая гипербола имеет 

одну мнимую ось. По этому признаку она отличается от окружности: x2 + (iy)2 = a2 ⇒ x2 – y2 = a2, 
т.е. слово «мнимое» известно из школы;

• окружность также причастна к мнимому — каждая 

окружность плоскости проходит через две мнимые 
циклические точки;

• фокус плоской кривой — это точка на плоскости, 

в которой две ее мнимые касательные пересекаются под прямым углом;

• радикальная ось двух окружностей проходит через 

точки пересечения окружностей. По этой общей 
хорде ее еще называют хордальной прямой. Две 
непересекающиеся окружности тоже имеют ра

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 3-8

дикальную ось, которая также проходит через точки пересечения окружностей, но глаз этих точек 
не видит. Это противоречие или недомолвка?;

• пусть даны цилиндр вращения и сфера. Известно, 

что линия пересечения этих поверхностей проецируется на их общую плоскость симметрии в 
параболу. Заметим, что теорема не оговаривает 
удаление сферы от цилиндра. Проекция линии 
пересечения остается параболой при любом взаимном положении поверхностей, даже если они 
не имеют реального пересечения (рис. 1). Построение 
может быть выполнено как по способу сфер, так 
и по способу секущих плоскостей. В последнем 
случае необходимо будет строить радикальную 
ось непересекающихся окружностей, несущую 
мнимые точки пересечения окружностей.

аналитическую поддержку в виде аналитического 
уравнения, имеют выход на комплексные числа. Для 
геометрии это означает выход на мнимые точки. 
Мнимые точки составляют для действительной фигуры некоторое мнимое расширение. Комплексная 
геометрическая фигура представлена на плоскости 
«от края и до края» — действительная составляющая, 
как ядро комплексной фигуры, остается неизменной, 
мнимая составляющая служит его дополнением и 
имеет переменную форму в зависимости от геометрической операции. Если в проекции на координатную ось действительная часть фигуры занимает 
определенную часть, то оставшуюся часть координатной оси занимает ее мнимое расширение. Иначе 
действительная фигура и ее мнимое расширение 
заполняют всю координатную плоскость. В этом 
месте мы установим важный геометрический факт. 
Именно действительная фигура, не содержащая мнимых точек — это графическая или синтетическая 
фигура. Она не имеет аналитической поддержки, не 
имеет ауры мнимого дополнения, не может быть 
охвачена теоретическими положениями и не позволяет обобщений. Эллипс, к примеру, — аналитическая 
фигура, овал (от руки или как циркульный обвод) — 
синтетическая фигура. Эллипс в пересечении с прямой всегда имеет две точки — действительные, совпавшие или мнимые, овал — две, одну или ни одной. 

Сопряженные геометрии
«Если евклидова геометрия не содержит мнимых 

фигур по определению, то эти фигуры принадлежат 
некоторой другой неевклидовой геометрии». 

Это предложение ставит проблему определения 

геометрии, фигуры которой появляются в евклидовой геометрии под общим названием «мнимые».

На плоскости различают девять метрических ге
ометрий, среди которых находится как евклидова 
геометрия, так и геометрия, которой принадлежат 
евклидовы мнимые образы. Следовательно, мнимые 
фигуры евклидовой геометрии принадлежат одной 
из восьми оставшихся. Метрические геометрии различаются своими абсолютами. Абсолют — это некоторая несобственная фигура, от формы которой зависит метрика геометрии. Подробнее можно почитать, 
например, в [10]. Каждая геометрия имеет меру длины d и меру угла δ, каждая из которых может быть 
эллиптической (E), параболической (П) или гиперболической (Г), которые и определяются абсолютом 
(см. табл.).

Таблица

Метрика
dЕ
dП
dГ

δЕ
1
2
3

δП
4
5
6

δГ
7
8
9

где 1 — геометрия Римана;

 2 — геометрия Евклида;
 3 — геометрия Лобачевского;
 4 — антиевклидова геометрия;

Аналитические и синтетические фигуры
Аналитическая геометрия, в отличие от евклидо
вой геометрии, является замкнутой системой. Корректно 
поставленная задача всегда имеет своим решением 
число. Аналитическая геометрия оперирует комплексными числами, поэтому решением задачи будет 
действительное, мнимое или комплексное число, т.е. 
не появляется нового числа, неизвестного в аналитической геометрии. В геометрии же в решении задачи могут появиться мнимые точки. Они появляются, начиная с кривых и поверхностей второго 
порядка, с появлением корня 
−1  в решении их 

уравнений. Соответственно этому, в геометрии различают действительные и мнимые фигуры. 

Мнимые фигуры не содержат ни одной действи
тельной точки. Действительные же фигуры делятся 
на фигуры, имеющие ауру мнимого расширения, 
и фигуры, не имеющие ни одной мнимой точки 
(nature morte). Действительные фигуры, имеющие 

Рис. 1. Пересечение цилиндра со сферой. 

Показано построение пары мнимых сопряженных точек линии 
пересечения поверхностей с помощью секущей плоскости Σ. 

Построение радикальной оси двух окружностей опирается на алгоритм 

по рис. 4а, где δ — касательный отрезок произвольной длины

Σ
Σ

δ
δ

5 — геометрия Галилея или флаговая геометрия;
 6 — антиевклидова геометрия;
 7 — антигиперболическая геометрия;
 8 — геометрия Минковского (псевдоевклидова) 

геометрия;

 9 — дважды гиперболическая геометрия.

Если проанализировать абсолюты, то в их стро
ении можно отметить симметрию мнимых и действительных элементов. По этому признаку девять 
геометрий группируются в пять комплексно сопряженных пар:

 
 
1(dЕ, δЕ ) ~ 9(dГ, δГ),

 
 
2(dП, δЕ) ~ 8(dП, δГ),

 
 
3(dГ, δЕ) ~ 7(dЕ, δГ),

 
 
4(dЕ, δП) ~ 6(dГ, δП),

 
 
5(dП, δП) ~ 5(dП, δП),

Итак, евклидова геометрия, предмет нашего вни
мания, комплексно сопряжена с псевдоевклидовой 
геометрией Минковского. Каждая из метрических 
геометрий имеет свою начертательную геометрию и 
содержит мнимые фигуры. Из правила выпадает 
параболическая геометрия Галилея, которая сопряжена сама с собой и ее мнимые фигуры снова являются ее фигурами. С позиций комплексно сопряженной геометрии объясняется факт, почему окружность диаметром 2r как синтетическая фигура при 
сжатии складывается в отрезок длиной πr, а окружность как аналитическая фигура при сжатии складывается в прямую линию. Комплексная картина 
аналитической окружности — это пара, состоящая 
из сопряженных окружности и гиперболы. В предельном переходе евклидова окружность складывается в закрытый отрезок, а ее псевдоевклидово дополнение в форме гиперболы складывается в открытый действительный отрезок. Эти два отрезка образуют одну непрерывную действительную прямую 
через всю плоскость «от края и до края». Мнимое 
гиперболическое дополнение окружности складывается в действительный отрезок потому, что каждый 
луч в направлении сжатия несет пару мнимых сопряженных точек, которые в предельном переходе 
сливаются, как известно, в одну действительную 
точку. Их совокупность и определяет открытый действительный отрезок.

Особенности мнимых фигур
При решении геометрической задачи 

решающий создает себе картину конечного результата. Чтобы предвидеть результат геометрической операции, необходимо представлять себе форму геометрических фигур, участвующих в операции, будь они действительными или 
мнимыми. Негласное присутствие мнимых образов в евклидовой геометрии 
необходимо допускать, если мы хотим, 
чтобы корректно поставленная задача 
имела решение. Понятно, что ведущей 
геометрией в комплексной паре будет 
евклидова геометрия и мнимые образы 

будут восприниматься «евклидовым» глазом. Форма 
неевклидовых образов для «евклидова глаза» будет 
непривычной. Ниже приводим ряд свойств мнимых 
образов:
• мнимые точки, как и мнимые прямые, существу
ют только сопряженными парами — они являются образами второго порядка. Мнимые сопряженные прямые можно воспринимать как эллипс, 
стянувшийся в точку, а мнимые сопряженные 
плоскоти — как нуль-цилиндр;

• мнимый отрезок в системе координат Ori, кроме 

длины изображения имеет еще и истинную длину, 
которая может быть как мнимой, так и действительной. Отрезок изотропной прямой имеет изображение, но не имеет длины вообще;

• мнимый прямой угол не выглядит прямым, его 

изображение варьирует по величине в зависимости от наклона его сторон к изотропной биссектрисе s;

• различают три вида мнимых прямых по углу на
клона к оси Oi — прямые (от слова isotrop) имеют 
угол наклона 45°, h — прямые (от слова hoch) 
имеют угол наклона меньше 45°, t — прямые (от 
слова tief) имеют угол наклона больше 45° [6];

• мнимая окружность не круглая.

Примеры
1. Построение длины мнимого отрезка OAh — 

прямой в системе координат Ori, которую для удобства построения помещают в концевую точку отрезка. Ось Or и вторая точка A отрезка разделяются 
прямой. Из точки A опускают перпендикуляр на ось 
с основанием в точке P. Из центра P второй конец 
отрезка дугой окружности засекают на второй оси 
Oi. Отрезок OAi на оси Oi и есть истинная длина 
данного отрезка, и имеет мнимое значение. Если 
будет дан отрезок прямой, то истинная длина отрезка OBr будет на лежать оси Or и будет иметь действительное значение (рис. 2а).

2. Угловые коэффициенты m1 и m2 двух действи
тельных взаимно перпендикулярных прямых имеют 
значения m1 = k и m2 = –1/k. Угловой коэффициент 
мнимой прямой имеет мнимое значение m1 = ki. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014

Рис. 2. а) Построение истинной длины отрезка h — прямой, t — прямой и s — прямой; 

b) 1. Восставить перпендикуляр n к данной t-прямой в данной точке C. 2. Опустить 

перпендикуляр n из точки B на данную t-прямую

Отсюда угловой коэффициент перпендикулярной 
к ней прямой равен m2 = –1/(ki) или m2 = (1/k)i
(рис. 2b).

3. Построение точек пересечения прямой линии 

с кривой второго порядка является конструктивным 
постулатом до тех пор, пока линии имеют графическое наложение. Если наложения нет, то говорят о 
мнимом пересечении. Мнимое пересечение связывается с эллиптической инволюцией на секущей 
прямой, определяемой поляритетом ее точек относительно кривой второго порядка [5]. На рис. 3 приведены конструкции, позволяющие строить точки 
пересечения прямой с коникой. Точка 3 — центр 
инволюции на прямой, точки М1 и М2 — двойные 
или главные точек инволюции, которые и отождествляются с точками пересечения линий [8; 3]. 

Если окружностям придать касательное прира
щение, то новые радиусы определятся как гипотенузы треугольников с катетами δ и r1 и δ и r2, где r1 — 
радиус одной окружности, r2 — радиус второй окружности.

f
x
y
r
f
x
a
y
r

f
f
f

c
c

c
c

11
2
2
1
2
2
21
2
2
2
2
2

11
21

:
,
:
,

.

+
=
+
−
(
) +
=
+

−
=

δ
δ

р.о

При решении уравнения радикальной оси при
ращения δ сокращаются. Но появляется новый геометрически способ построения радикальной оси двух 
окружностей (рис. 4а) и новый способ построения 
хордальных прямых двух коник (рис. 4б).

Из предложения вытекают два подхода к постро
ению хордальных прямых двух коник. Если известна 
одна хордальная прямая, то параллельно ей к коникам проводят касательные приращения δ. Отрезок δ 
должен иметь длину, обеспечивающую действительное пересечение центрально увеличенных коник. 
Через точки пересечения вспомогательных коник 
пройдет вторая хордальная прямая (рис. 4б). При 
другом подходе на известной хордальной прямой 
выбирают некоторую точку A и через нее проводят 
центрально увеличенные коники, которые пересекутся на второй хордальной прямой. Точку A выбирают так, чтобы вспомогательные кривые попали в 
действительное пересечение.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 3-8

Рис. 3. Построение мнимых точек М1 и М2 пересечения прямой а

с кривой второго порядка: а) с окружностью, b) с эллипсом, 

с) с мнимым эллипсом. Шаги построения обозначены цифрами 1, 2, 

3, 4, 5, 6

4. В учебных пособиях по геометрическим постро
ениям Н.Ф. Четверухина, Б.И. Аргунова и М.Б. Балка 
рассматриваются построения взаимно перпендикулярных окружностей. Интересные, заслуживающие 
внимания решения. Но тут же рассматриваются и 
построения диаметрально пересекающихся окружностей, которые, казалось бы, лишены интереса. Но 
из наших исследований следует, что именно построения диаметрально пересекающихся окружностей 
решают задачу ортогонального положения действительной и мнимой окружностей. Неизвестно, знали 
ли классики о скрытых мнимостях этих построений, 
но определенно чувствовали их особенность и поместили в своих книгах [1; 9].

5. Если квадрики имеют общую плоскость сим
метрии и их очерки пересекаются в четырех точках, 
то через эти точки проходят шесть хордальных прямых. Если одна пара точек пересечения или обе пары 
окажутся мнимыми сопряженными, хордальных 
прямых будет только две. Для хордальных прямых 
действует следующее конструктивное предложение:

«Если каждую из двух пересекающихся коник цен
трально увеличить так, чтобы они снова пересеклись 
на общей хордальной прямой, то их касательные приращения (в направлении общей хорды будут равны)».

Рассмотрим две окружности как аффинный слу
чай двух коник:

f
x
y
r
f
x
a
y
r
c
c
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
:
,
:
.
+
=
−
(
) +
=

Уравнение радикальной оси определяется как 

fc1 – fc2 = fр.о.

Задачи
Аналитическое вращение
Окружность c вращается вокруг оси a, располо
женной параллельно плоскости окружности напротив ее центра. Вращение будем рассматривать 
а) геометрическое (физическое) и b) аналитическое: 

a) если окружность рассматривается как синте
тическая фигура, то от ее вращения вокруг указанной 
оси заметается сферический пояс (рис. 5а). Такой же 
результат дает и машинная графика;

b) если же вращение проводить «в формулах», то 

в результате вычислений получится уравнение полной сферы. Тут возникает хороший вопрос: откуда 
взялись полярные шапочки? На этот факт в свое 
время обратил внимание профессор И.И. Котов 
(МАИ). Действительно, диаметр сферы получается 
больше диаметра образующей ее окружности. Более 
того, действительную сферу можно получить и от 
вращения мнимой окружности.

Полярные шапочки, отсутствующие в сферическом 

поясе, получившемся от геометрического вращения, 

Рис. 4. Способы дилатации: а) построение радикальной оси (р.о) двух 

окружностей, b) построение хордальной прямой n по данной 

хордальной прямой m двух эллипсов

появились при помощи гиперболы как мнимого 
дополнения образующей окружности. Гипербола 
заметает мнимый однополостный гиперболоид, 
а однополостный гиперболоид в свою очередь своим 
действительным дополнением образует действительную сферу (рис. 5b). Такая вот взаимосвязь действительного с мнимым.

Приложение
В геометрии есть такая красивая теорема Вилларсо, 

говорящая, что сечение открытого тора плоскостью 
распадается на две окружности, если плоскость имеет с тором двойное касание. Доказательство теоремы 
длинное, опосредованное и нуждается в другом подходе. Другой подход нашелся, он заключается в подсчете двойных точек, включая и мнимые. В результате получено короткое и ясное доказательство [4; 11].

Заключение
Тема мнимого в геометрии не должна замалчи
ваться хотя бы по той причине, что это часть геометрии. Я не предлагаю эту тему включать в учебные 
программы, но знания преподавателей должны быть 
чуть выше знания учебного материала. Знание природы мнимого в геометрии дает более глубокое понимание геометрических конструкций и имеет гуманитарное значение. Знание природы мнимого 
имеет и вполне практическое значение при объяснении построений с участием изотропных прямых и 
циклических точек, при определении стратегии решения задач или при доказательствах теорем. Теорема, 
доказанная в какой-либо геометрии, остается справедливой и в сопряженной геометрии и это освобождает от оговорок частных мнимых случаев. Наконец, 
если какую-либо теорему удобнее доказать в области 
мнимого, то этим следует воспользоваться без ущерба для общности доказательства.

Литература

1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на 

плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.

2. Гирш А.Г. Комплексная геометрия — евклидова и псев
доевклидова. М.: Маска, 2013.

3. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. М.: Маска, 

2008.

4. Гирш А.Г. Обобщение «сечений Вилларсо» на поверх
ности вращения с образующей коникой // Электронный 
журнал по прикладной геометрии. URL: http://www.
mai.ru/~apg/ Volume 5_n11. htm (2003).

5. Глаголев Н.А. Проективная геометрия: Учеб. пособие. 

М.: ВШ, 1963.

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014

Рис. 5. а) Сферический пояс — сфера без полярных шапочек, 

b) полная сфера

Переопределение поверхности
Пусть даны эллипсоид Ф и однополостный ги
перболоид Ψ (рис. 6а). Поверхности имеют общие 
плоскости симметрии. Фронтальные очерки имеют 
четыре точки пересечения, через которые проводят 
две пары параллельных прямых. Эти прямые принимают за очерки цилиндров: (1,2; 3,4) — горизонтальный цилиндр Z1, (1,3; 2,4) — вертикальный цилиндр Z2. Параметры направляющих эллипсов построенных цилиндров определяются по точкам пересечения горизонтальных очерков исходных 
поверхностей. Направляющий эллипс e1 горизонтального цилиндра Z1 определен главными осями 
1,3; 5,7. Направляющий эллипс e2 вертикального 
цилиндра Z2 определен точками 1, 2, 5, 6, 7, 8. Большая ось 9,10 эллипса e2 может быть построена по 
способу [8], при наличии программы, по способу 
дилатации (рис. 6б, профильная проекция) или по 
способу флажков (рис. 6б, фрагмент). 

Проекция. Большая ось 9,10 определяется как 

расстояние между прямыми 9 и 10, несущими точки 
пересечения профильных проекций исходных поверхностей. По способу дилатации через конечную 
точку касательного к окружности отрезка проводят 
центрально увеличенную окружность и через конечную точку касательного к эллипсу отрезка проводят 
центрально увеличенный эллипс. Вспомогательные 
окружность и эллипс пересекаются в точках 9 и 10 
(рис. 6b).

Фрагмент. На отрезке 1,2 строят окружность (O). 

Из любой точки горизонтального очерка цилиндра 
Z2,например, из точки 6 (рис. 6б), перпендикулярно 
диаметру 12 проводят луч до пересечения с окружностью (O) в точке . Из точки 6 параллельно диаметру 12 проводят луч до пересечения с лучом ОК в 
точке. Окружность радиуса OL пересекает нормальный к 12 диаметр в точках 9 и 10. Фигура OKL6 напоминает флажок.

Рис. 6. Переопределение кривых поверхностей Φ и Ψ в линейчатые 

поверхности Z1 и Z2

6. Ливен А.В. Пространство-время и геометрия Минковского: 

Учеб. пособие. Кемерово, 2002.

7. Общее знакомство с комплексной геометрией. URL: 

http://www.anhirsch.de

8. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго 

порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / Короткий В.А.: Свидетельство о 
государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.

9. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений. 

М.: Учпедгиз, 1938.

10. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геомет
рии — к неевклидовой (вокруг абсолюта). М.: Просвещение, 
1979.

11. Hirsсh А. Ехtеnsion оf thе «Villarceau-Sektion» tо Surfaces 

of Revolution with а Generating Соniс // Jurnal for Сеоmetrу 
and Graphics, 6(2000/2), р. 121–132.

References

1. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroeniya na 

ploskosti [Geometric constructions in the plane]. Moscow, 
Uchpedgiz Publ., 1957.

2. Girsh A.G. Kompleksnaya geometriya – evklidova i psevdo
evklidova [Complex geometry — Euclidean and pseudoEuclidean]. Moscow, Maska, Publ., 2013.

3. Girsh A.G. Naglyadnaya mnimaya geometriya [Visual im
aginary geometry]. Moscow, Maska Publ., 2008. 216 p.

4. Girsh A.G. Obobshchenie «secheniy Villarso» na poverkh
nosti vrashcheniya s obrazuyushchey konikoy [Generalization 

of the «cross-sections Villarceau» on the surface of revolution with a conic generator]. Elektronnyy zhurnal po prikladnoy geometrii [Electronic Journal of Applied Geometry]. 
Available at: http://www.mai.ru/~apg/ Volume 5_n11. htm 
(2003).

5. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective geom
etry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963.

6. Liven A.V. Prostranstvo-vremya i geometriya Minkovskogo 

[Space-time and Minkowski geometry]. Kemerovo, 2002.

7. Obshchee znakomstvo s kompleksnoy geometriey [General 

familiarity with complex geometry]. Available at: http://
www.anhirsch.de

8. Korotkiy V.A. Programma dlya EVM «Postroenie krivoy 

vtorogo poryadka, prokhodyashchey cherez dannye tochki i 
kasayushcheysya dannykh pryamykh» [The computer program 
«Building a quadratic curve passing through the data points 
and data relating to direct»].

9. Chetverukhin N.F. Metody geometricheskikh postroeniy 

[Methods of geometric constructions]. Moscow, Uchpedgiz 
Publ., 1938.

10. Shcherbakov R.N., Pichurin L.F. Ot proektivnoy geometrii — 

k neevklidovoy (vokrug absolyuta) [Of projective geometry — 
to non-Euclidean (around absolute)]. Moscow, Prosveshchenie 
Publ., 1979.

11. Hirsch A. Ехtеnsion of the «Villarceau-Sektion» to Surfaces 

of Revolution with a Generating Sonis. Jurnal for Geometry 
and Graphics, 6(2000/2), pp. 121–132.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 3-8

УДК 514.18 + 004.92                           DOI: 10.12737/5584

А.Л. Хейфец
Канд. техн. наук, профессор,
Южно-Уральский государственный университет,
Россия, 454080, г. Челябинск, пр-т Ленина, д. 76
В.Н. Васильева
Доцент,
Южно-Уральский государственный университет,
Россия, 454080, г. Челябинск, пр-т Ленина, д. 76

Реализация обобщенной теоремы 
Данделена для произвольных 
квадрик вращения в AutoCAD

Аннотация. Предложен метод построения сфер Данделена 

для  произвольных поверхностей вращения второго порядка, 
основанный на параметризации в пакете AutoCAD. Приведены 
примеры. Дана оценка точности определения точек фокуса и 
директрис предложенным методом. Показано, что погрешность 
находится в пределах 10–3…10–8. Сделан вывод о высокой 
эффективности параметризации как инструмента геометрического моделирования.

Ключевые слова: сферы Данделена, шары Данделена, ко
нические сечения, коники, кривые второго порядка, квадрики, поверхности второго порядка, директриса, параметризация, 
AutoCAD.

A.L. Kheifets
Ph.D. of Engineering, Professor,
South Ural State University,
76 Lenin Avenue, Chelyabinsk, 454080, Russia
V.N. Vasilieva
Associate Professor,
South Ural State University,
76 Lenin Avenue, Chelyabinsk, 454080, Russia

Generalized Dandelin’s Theorem 
Implementation for Arbitrary Rotation 
Quadrics in AutoCAD

Abstract. A method of Dandelin’s spheres construction for 

second order arbitrary rotation surfaces based on parameterization 
in AutoCAD package has been proposed. Examples have been 
provided. The estimation of accuracy related to definition of focal 
points and directrixes by proposed method has been given. It has 
been shown that the error is in the range 10–3...10–8. A conclusion 
about high efficiency of parameterization as a tool for geometric 
modeling has been drawn.

Keywords: Dandelin’s sphere, Dandelin’s balls, conic sections, 

conics, second order curves, quadrics, second order surfaces, directrix, parameterization, AutoCAD.

Введение
Если круговой конус (или цилиндр) рассечь пло
скостью и вписать сферы, касательные к конусу и 
плоскости сечения, то точки касания сфер с секущей 
плоскостью являются точками фокусов сечения. 
Это известное положение теоремы Ж. Данделена 
(1794–1847) является основой доказательства возникновения коник (эллипса, гиперболы, параболы) 
как плоских сечений кругового конуса [1]. 

Определение конических сечений по сфере 

Данделена введено в курс начертательной геометрии 

Н.Ф. Четверухиным [2]. На этом положении основан 
раздел конических сечений (коник) в базовом курсе 
начертательной геометрии [2; 5; 7]. Однако доказательство возникновения коник и их примеры приводят только для конуса вращения (рис. 1). Центры 
сфер s1, s2 располагаются на оси конуса как на биссектрисе угла при вершине. Доказательство, полученное Данделеном, что точки касания F1, F2 являются точками фокусов сечения, образованного секущей плоскостью Σ, в данном примере эллипса e′, 
основано на существовании прямолинейных образующих конуса. Из конструкции Данделена также 
следует, что линии пересечения плоскостей Σ1, Σ2
касания сфер с конусом и плоскости Σ являются 
директрисами коники сечения, в данном примере 
директрисами d1, d2 .

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 9-14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014

Рис. 1. Сферы Данделена для кругового конуса:

Для других поверхностей вращения второго по
рядка (далее — произвольных квадрик вращения, ПКВ) 
качественные свойства сечений подразумеваются по 
аналогии с конусом на основе общности квадрик.

О сферах Данделена для ПКВ найдено упомина
ние лишь в работе М. Шаля [10], где сказано, что 
Данделен развил свою теорему и на случай однополостного гиперболоида, а сам Шаль рассмотрел общий случай для ПКВ. Но эти положения приведены 
со ссылкой на недоступные работы ориентировочно 
1820 г., содержание которых неизвестно.

Единственное доказательное рассуждение суще
ствования сфер Данделена для ПКВ найдено в работе [6]. Однако вывести из него алгоритм построения сфер для ПКВ не удается. 

В экспериментальном плане задача о нахождении 

сфер Данделена для ПКВ является частным случаем 
задачи о нахождения коники (окружности), касательной к двум заданным коникам (очеркам ПКВ), 
алгоритм которой приведен в работе [8]. 

Цель нашей работы: на основе задачи о постро
ении касательных коник создать прикладной алгоритм 
построения сфер Данделена для произвольной квадрики вращения и дать оценку точности алгоритма.

Методика исследования 
Построения и исследования выполняли в пакете 

AutoCAD. Квадрики получали как тела вращения 
коник. Коники (гиперболу и параболу) получали как 
сечения кругового конуса, эллипс является «штатным» 
примитивом пакета.

Если для конуса вращения определение очерка 

сферы сводится к элементарной задаче построения 
окружности, вписанной в треугольник (см. рис. 1), 
то для ПКВ требуется построить окружность, касательную к конике как очерку ПКВ, и к отрезку прямой как проекции плоскости сечения. Аналитические 
или геометрические решения этой задачи неизвестны. 

Указанная задача является частным случаем за
дачи о построении коники заданного типа и параметров, касательной к двум другим заданным коникам. Решение ее получено [8] на основе 2d-параметризации как инструментального средства современных графических редакторов.

Термин «параметризация» имеет различное тол
кование. В «исчислительной» геометрии — это определение количества независимых параметров геометрической модели с целью выявления возможности 
ее построения. В компьютерной графике под параметризацией понимают метод, в котором пользователь на основе геометрических представлений о решаемой задаче задает геометрические зависимости 
между элементами, например, совпадение, касание, 
параллельность, коллинеарность и др. Программное 
обеспечение графического редактора приводит объекты в заданное положение и, тем самым, к построению модели или к решению геометрической задачи. 

Параметризация как инструмент геометрическо
го моделирования широко применяется в инженерной графике (пакеты Inventor, 
Solidworks, Компас и др.). Будучи 
введенной в AutoCAD 2009, 2d-параметризация, с учетом теоретической направленности пакета, 
позволила существенно расширить 
круг конструктивных задач геометрического моделирования [3; 8; 
9], добавив это новое инструментальное средство к традиционному набору инструментов начертательной геометрии (циркулю и 
линейке).

Построение сфер Данделена 

было нами реализовано и исследовано применительно ко всем 
квадрикам вращения (одно- и двуполостный гиперболоид, параболоид, эллипсоид). Задача рассматривалась как планиметрическая 
в плоскости, проходящей через 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 2. 9–14

ось вращения квадрики. Для наглядности и проверки решения строили геометрически точные 3d-модели.

Эллипсоид вращения
Наиболее простым (после конуса и цилиндра) 

является построение сфер Данделена для эллипсоида вращения (рис. 2), поскольку эллипс является 
«штатным» примитивом AutoCAD’а. Строим очерковый эллипс e, его ось вращения i и отрезок Σ проекции секущей плоскости (рис. 2, а). На эти объекты 
накладываем зависимость фиксации («замок»). Строим 
произвольные окружности s1, s2 как предварительные 
положения искомых очерков сфер Данделена. 
К каждой из окружностей s1, s2 прикладываем геометрические зависимости, отображаемые на экране 
значками (рис. 2, б): совпадение центра окружности 
с осью эллипсоида; касание окружности с очерковым 
эллипсом e; касание окружности и отрезка секущей 
плоскости. После наложения зависимостей окружности приняли положение очерков сфер Данделена 
s1, s2. Найдены точки F1, F2 как фокальные точки 
конического сечения, выявляемые объектной привязкой пакета. Найдены также точки касания 1, 2 и 
3, 4 и окружности касания сфер и эллипсоида, соответственно c1, c2. На пересечении плоскостей этих 
окружностей и секущей плоскости Σ найдены точки 
d1, d2 как проекции директрис эллипса сечения e*. 
Задача решена.

Для проверки точности решения выполнялась его 

экспериментальная проверка. Строили «контрольный» 
эллипс e*′ как истинный вид эллипса e* сечения 
(рис. 2, в). Методами [4; 7] находили [6] точки фокуса F1′ , F2′  и одну из директрис d1′ . Простановкой 
размеров определяли значения L, L1, L2 и сравнивали их с соответствующими контрольными значениями L′, L1′ . Погрешность не превысила до 10–8 (это 
соответствует предельной точности построений и 
измерений AutoCAD’а).

Рис. 2. Сферы Данделена для эллипсоида:

а – исходные данные; б – геометрические зависимости и результат построения; в – контрольный 
эллипс для оценки точности решения; г – 3d-модель.