Модели и методы принятия решений в природопользовании

А.Л. Новоселов, И.Ю. Новоселова 
 
 
 
 
 
 
 
Модели и методы 
принятия решений 
в природопользовании 
 
 
Под редакцией 
заслуженного деятеля науки РФ, 
доктора технических наук, профессора Я.Д. Вишнякова 
 
Допущено Советом Учебно-методического  
объединения по образованию в области менеджмента  
в качестве учебного пособия по дисциплине специализации 
специальности «Менеджмент организации» 
 
Рекомендовано Учебно-методическим центром 
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по специальности «Менеджмент организации» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Москва 2017

ÓÄÊ [005.53:502.1](470+571)(075.8) 
ÁÁÊ 20.18â6ÿ73-1+65.28(2Ðîñ)-21ÿ73-1 
       Í76  
 
Ð å ö å í ç å í ò û: 
äîêòîð ýêîíîìè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð È.Ì. Ïîòðàâíûé 
(ÐÝÀ èì. Â.Ã. Ïëåõàíîâà)   
äîêòîð ýêîíîìè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð À.Â. Æåëòåíêîâ 
(çàâ. êàôåäðîé ìåíåäæìåíòà  
Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî îáëàñòíîãî óíèâåðñèòåòà) 
 
 
Ãëàâíûé ðåäàêòîð èçäàòåëüñòâà  Í.Ä. Ýðèàøâèëè, 
êàíäèäàò þðèäè÷åñêèõ íàóê, äîêòîð ýêîíîìè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, 
ëàóðåàò ïðåìèè Ïðàâèòåëüñòâà ÐÔ â îáëàñòè íàóêè è òåõíèêè 
 
Íîâîñåëîâ, Àíäðåé Ëåîíèäîâè÷. 
Í76     Ìîäåëè è ìåòîäû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â ïðèðîäîïîëüçîâàíèè: ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî 
ñïåöèàëüíîñòè «Ìåíåäæìåíò îðãàíèçàöèè» / À.Ë. Íîâîñåëîâ, 
È.Þ. Íîâîñåëîâà. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 
 — 383 ñ. 
I. Íîâîñåëîâà, Èðèíà Þðüåâíà. 
 
ISBN 978-5-238-01808-9 

Àãåíòñòâî CIP ÐÃÁ 

 
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòîèò èç äâóõ ðàçäåëîâ: «Ìîäåëè è ìåòîäû îáåñïå÷åíèÿ ýêîëîãè÷åñêîé áåçîïàñíîñòè» è «Ìîäåëè è ìåòîäû ýôôåêòèâíîãî 
èñïîëüçîâàíèÿ ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ». Ðàññìîòðåíû ìîäåëè óïðàâëåíèÿ 
ïðèðîäîïîëüçîâàíèåì, ïîçâîëÿþùèå ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ è îáåñïå÷èòü çàäàííûé óðîâåíü ýêîëîãè÷åñêîé áåçîïàñíîñòè ðåãèîíîâ. Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ïîäêðåïëåí ïðàêòè÷åñêèìè ïðèìåðàìè, ïîçâîëÿþùèìè ñóùåñòâåííî îáëåã÷èòü âîñïðèÿòèå 
ìîäåëåé, ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ. Â êîíöå êàæäîãî ïàðàãðàôà äàíû êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ çàêðåïëåíèÿ  ìàòåðèàëà. 
Äëÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé, èçó÷àþùèõ èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè, ýêîíîìèêó è óïðàâëåíèå â îáëàñòè ïðèðîäîïîëüçîâàíèÿ, à òàêæå ñïåöèàëèñòîâ îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ ïðèðîäîïîëüçîâàíèåì 
ðàçíûõ óðîâíåé àäìèíèñòðàòèâíîãî äåëåíèÿ è ïðàêòè÷åñêèõ ðàáîòíèêîâ 
äîáûâàþùèõ è ïåðåðàáàòûâàþùèõ êîðïîðàöèé è ïðåäïðèÿòèé.  
 
 
ÁÁÊ 20.18â6ÿ73-1+65.28(2Ðîñ)-21ÿ73-1 
 
ISBN 978-5-238-01808-9 
Ïðèíàäëåæèò èñêëþ÷èòåëüíîå ïðàâî íà èñïîëüçîâàíèå è ðàñïðîñòðàíåíèå 
èçäàíèÿ (ÔÇ ¹ 94-ÔÇ îò 21 èþëÿ 2005 ã.) 
Âîñïðîèçâåäåíèå âñåé êíèãè èëè ëþáîé åå ÷àñòè ëþáûìè ñðåäñòâàìè èëè â êàêîé-ëèáî ôîðìå, â òîì ÷èñëå â èíòåðíåò-ñåòè, çàïðåùàåòñÿ áåç ïèñüìåííîãî 
ðàçðåøåíèÿ èçäàòåëüñòâà. 
© Îôîðìëåíèå «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2010 

2017.

Оглавление 
 
Введение 
6 
Раздел I. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ  
                 ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ 
9 
Глава 1. Прогнозирование платежей за загрязнение  
                окружающей среды 
9 
1.1. Постановка задачи прогнозирования платежей 
9 
1.2. Регрессионные модели и метод наименьших квадратов —  
              использование при прогнозировании платежей 
10 
1.3. Прогноз платежей на основе анализа приростов показателей 16 
1.4. Метод векторного прогнозирования платежей  
              за загрязнение окружающей среды 
17 
1.5. Компьютерные расчеты по прогнозированию платежей  
              за загрязнение окружающей среды 
19 
Глава 2. Моделирование формирования оптимальной  
                краткосрочной природоохранной программы  
                предприятия 
26 
2.1. Постановка задачи формирования оптимальной  
              краткосрочной природоохранной программы предприятия 
26 
2.2. Показатели результатов и экономической эффективности  
              реализации природоохранных мероприятий 
27 
2.3. Экономико-математические модели формирования  
              краткосрочной природоохранной программы 
29 
2.4. Методы поиска оптимального набора природоохранных  
              мероприятий 
31 
2.5. Методические указания по выполнению компьютерного  
              практикума по формированию оптимальной краткосрочной  
              природоохранной программы предприятия на базе  
              различных экономико-математических моделей 
38 
Глава 3. Формирование региональной природоохранной  
                программы 
40 
3.1. Структуризация и квантификация целей природоохранной  
              программы 
40 
3.2. Экономическая оценка предотвращаемого ущерба  
              при реализации природоохранных мероприятий 
51 
3.3. Экономико-математическая модель формирования  
              оптимальной природоохранной программы  
              на уровне региона 
57 
3.4. Оценка экономической эффективности природоохранной  
              программы 
72 

Глава 4. Планирование природоохранной деятельности  
                на основе применения моделей и методов линейного  
                программирования 
79 
4.1. Постановка общей задачи линейного программирования  
              и методы ее решения 
79 
4.2. Моделирование распределения инвестиций  
              для природоохранной деятельности 
90 
4.3. Оптимизационная модель распределения инвестиций  
              по объектам для снижения вероятностей аварий  
               на газопроводах 
95 
Глава 5. Планирование природоохранной деятельности  
                на основе моделей и методов нелинейного  
                программирования 
101 
5.1. Постановки задачи нелинейного программирования 
101 
5.2. Методы решения задач нелинейного программирования 
103 
5.3. Оптимальное распределение финансовых средств  
              на природоохранную деятельность между  
              объектами-загрязнителями с учетом нелинейности  
              функции сокращения ущерба окружающей среды 
123 
 
Раздел II. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ЭФФЕКТИВНОГО  
                  ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ 
131 
Глава 6. Моделирование добычи, переработки и потребления  
                минерально-сырьевых ресурсов 
132 
6.1. Методы экономической оценки минерально-сырьевых  
              ресурсов 
132 
6.2. Моделирование долгосрочного прогноза добычи нефти 
140 
6.3. Метод Монте-Карло для решения задач экономической  
              оценки запасов минерально-сырьевых ресурсов 
146 
6.4. Моделирование разработки нефтяных месторождений 
154 
6.5. Моделирование затрат на добычу и переработку  
              полезных ископаемых 
162 
6.6. Модели прогнозирования цен и доступности  
              минерально-сырьевых ресурсов 
167 
6.7. Анализ воздействия факторов на затраты производства  
              цветных металлов 
183 
6.8. Прогнозирование потребности в топливно-энергетических  
              ресурсах на основании перспективного энергетического  
              баланса региона 
194 
6.9. Модели оптимизации добычи, транспортировки  
              и использования минерально-сырьевых ресурсов 
203 
6.10. Модели оптимизации развития топливно-энергетического  
                комплекса региона 
219 
6.11. Решение задач локальной и векторной оптимизации  
                использования минерально-сырьевых ресурсов 
222 

6.12. Моделирование энергосберегающего строительства  
                жилых зданий 
242 
Глава 7. Моделирование использования возобновляемых  
                природных ресурсов 
255 
7.1. Методы экономической оценки возобновляемых  
              природных ресурсов 
255 
7.2. Моделирование оптимального землепользования  
              и лесопользования 
262 
7.3. Моделирование оптимального использования городской  
              территории при строительстве автостоянок 
277 
7.4. Модели изучения спроса на рекреацию 
285 
7.5. Модели развития и размещения региональных  
              рекреационных систем 
289 
7.6. Пример оптимизационного расчета спроса на рекреацию 
294 
7.7. Определение оптимального распределения групп клиентов  
              для отдыха на рекреационных объектах 
299 
7.8. Модели разрешения конфликтов в водопользовании 
304 
Глава 8. Социо-эколого-экономический анализ развития  
                территории 
321 
8.1. Информационное обеспечение социо-эколого- 
              экономического анализа территории 
321 
8.2. Многокритериальное ранжирование районов 
329 
8.3. Методы эколого-экономического зонирования  
              районов области 
335 
8.4. Пример эколого-экономического зонирования  
              муниципального округа 
339 
Глава 9. Моделирование социально-эколого-экономического  
                развития региона 
347 
9.1. Основные положения теории ориентированных графов 
347 
9.2. Модели социально-эколого-экономических систем  
              на основе ориентированных графов 
352 
9.3. Моделирование с помощью импульсных процессов  
              и анализ устойчивости систем  
              «экономика — природная среда» 
356 
9.4. Моделирование взаимодействия живых организмов 
              в природной среде 
363 
9.5. Повышение адекватности информационных технологий  
              прогнозирования процессов природопользования  
              на базе ориентированных графов 
367 
9.6. Программное обеспечение моделирования развития  
              социо-эколого-экономических систем на основе  
              взвешенных ориентированных графов 
371 
9.7. Оптимизация размещения производственных объектов  
              с учетом природно-ресурсных и экологических ограничений 373 
Библиографический список 
382 

Введение  

 
Россия обладает богатейшими запасами природных ресурсов: 34% 
мировых запасов газа, около 14% нефти, почти 24% железных руд, 
22% лесных запасов, 20% пресных вод. Темпы потребления природных ресурсов постоянно увеличиваются, что приведет к истощению и 
в конечном счете исчерпанию запасов этих ресурсов. Богатство России природными ресурсами, прежде всего — земельными ресурсами, 
превращает Россию в уникальную экологическую и ресурсную зону 
мирового значения. Сложность социально-экономических процессов, 
вовлечение в эти процессы природно-ресурсных и экологических 
компонентов выдвигают в качестве одного из важнейших условий 
эффективного управления природопользованием необходимость использования современных моделей и методов принятия управленческих решений, направленных на максимизацию эффективности использования природных ресурсов, а также предотвращения загрязнения окружающей среды и экологической реабилитации территорий 
страны.  
Подготовка настоящего учебного пособия осуществлялась специалистами Государственного университета управления на основе 
выполненных научно-практических разработок в интересах Министерства экономического развития и торговли Российской Федерации, 
Министерства природных ресурсов Российской Федерации, Комитетов природных ресурсов Вологодской области, Ханты-Мансийского 
автономного округа, Переславского муниципального округа и других 
регионов. Представленный в книге материал тщательно отрабатывался на протяжении 2004—2007 гг. в лекциях, на практических и лабораторных занятиях по таким дисциплинам, как «Экономика природопользования», «Экономика энергетических ресурсов», «Моделирование социально-эколого-экономических систем», «Управление природными ресурсами и ресурсосбережение», «Управление природоохранной деятельностью на предприятии», «Управление устойчивым 
развитием муниципальных округов», «Информационные технологии».  
Следует отметить, что технические средства постоянно обновляются и совершенствуются. Программное обеспечение с ростом возможностей вычислительной техники также быстро меняется. Языки 
высокого уровня гораздо менее подвижны, причем новые версии 
включают 
возможности 
более 
старых 
версий. 
Экономикоматематические модели и методы — наиболее устойчивая составляющая информационных технологий.  

В учебном пособии собраны экономико-математические модели 
природопользования, которые уже нашли свое место в практике 
управления на различных уровнях — от предприятия до субъекта Федерации. В настоящей книге рассматриваются модели управления 
природопользованием, позволяющие повысить эффективность использования природных ресурсов и обеспечить заданный уровень 
экологической безопасности регионов. В ходе практической работы 
авторам учебного пособия стало окончательно ясно, что современная 
экономика не может существовать без обоснованных с помощью специальных математических моделей управленческих решений. При 
решении управленческих задач в области природопользования необходимо иметь обоснованные глубоким количественным анализом 
(выходящим за пределы четырех действий арифметики) инвестиционные проекты, оптимальные планы, прогнозы и т.д.  
Современный экономист должен обладать достаточно хорошими 
знаниями в области прикладной математики, математической статистики, теории вероятностей и программирования. Экономика природопользования от вербальной ориентации поворачивается к естественно-научным аспектам, что отражается в соответствующих дисциплинах в виде широкого проникновения экономико-математических 
методов во все сферы принятия решений на любых уровнях, учете не 
только экономических, но и геологических, технологических, геофизических закономерностей и характеристик.  
В силу ограниченности объема в настоящем учебном пособии не 
рассмотрен ряд экономико-математических моделей и методов 
(транспортная задача линейного программирования, задача о назначениях, задача о максимальном потоке на графе, ряд методов многомерного статистического анализа и др.). По этой же причине в данное 
учебное пособие не вошли задачи странового сравнения, анализа проблем устойчивого развития, значительный спектр задач управления 
природопользованием отраслевой тематики (транспорт, рыбное хозяйство, землеустройство и т.д.). Это объясняется тем, что экономикоматематические модели и алгоритмы решения задач управления проникли во все сектора экономики и используются в анализе, прогнозе и 
обосновании управленческих решений в области природопользования. Для обзора существующих в настоящее время моделей природопользования и алгоритмов их решения следовало бы написать многотомное издание. Авторами были специально отобраны задачи управления в области экологической безопасности и рационального использования природных ресурсов, которые достаточно полно представляют изучаемую тематику.  

В учебном пособии материал разделен на два раздела: «Модели и 
методы обеспечения экологической безопасности» и «Модели и методы эффективного использования природных ресурсов». Такое деление 
материала обеспечивает быстрый поиск необходимых экономикоматематических моделей и методов их решения. Заметим, что многие 
методы используются для решения задач, представленных в разных 
разделах и главах учебного пособия. В этом случае соответствующий 
метод описывается там, где он впервые используется для решения 
поставленной задачи. При необходимости применения этого метода в 
дальнейшем на него делается ссылка, а в конце учебного пособия 
приведен список методов и моделей с указанием параграфов, в которых этот метод упоминается.  
Теоретический материал подкреплен практическими примерами, 
позволяющими существенно облегчить восприятие моделей, методов 
и алгоритмов. Поскольку многие методы и модели авторами реализованы в виде программных комплексов, обеспечивающих выполнение 
лабораторных практикумов и деловых игр на компьютерах, то в учебном пособии приведены основные экранные формы выполнения расчетов и принятия управленческих решений. Это особенно важно для 
решения задач управления природопользованием, базирующихся на 
фактических данных. 
В учебном пособии приведена реализация ряда алгоритмов в виде 
программ на языке Visual Basic, которые могут быть использованы 
при написании собственных расчетных процедур и программных 
комплексов.  
В конце каждого параграфа приводятся контрольные вопросы и 
задания для закрепления учебного материала, а также список литературы для более глубокого изучения рассмотренных проблем. 
Учебное пособие рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям, изучающим информационные технологии, экономику и 
управление в области природопользования. Книга будет полезна специалистам органов управления природопользованием разных уровней 
административного деления (города, района, субъекта Федерации) и 
практическим работникам добывающих и перерабатывающих корпораций и предприятий.  
 
 
 
 
 
 

Раздел I 

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ  
ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ 

Глава 1 
Прогнозирование платежей  
за загрязнение окружающей среды 

Ïðîãíîçèðîâàíèå ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé ÿâëÿåòñÿ âåñüìà âàæíîé çàäà÷åé óïðàâëåíèÿ ñîñòîÿíèåì îêðóæàþùåé ñðåäû.  äàííîé ãëàâå äàåòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è 
ïðîãíîçèðîâàíèÿ ïëàòåæåé çà çàãðÿçíåíèå îêðóæàþùåé 
ñðåäû è èçëàãàþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ 
ïîñòàâëåííîé çàäà÷è: òðåíäîâûé ïðîãíîç ïëàòåæåé, ïðîãíîç 
ïëàòåæåé êàê ôóíêöèÿ òåìïîâ ðîñòà ïðîèçâîäñòâà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå ìåòîäû, êàê ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, 
ìåòîä âåêòîðíîãî ïðîãíîçèðîâàíèÿ è äðóãèå. Çäåñü æå ïðèâîäèòñÿ ðÿä ïðîãðàìì íà Visual Basic, êîòîðûå ðåàëèçóþò 
íåêîòîðûå àëãîðèòìû ïðîãíîçèðîâàíèÿ. Êðîìå òîãî, ïðèâîäÿòñÿ ýêðàííûå ôîðìû äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ ïëàòåæåé ðàññìîòðåííûìè ìåòîäàìè. 

1.1. Постановка задачи прогнозирования платежей 

Комитету по природным ресурсам, администрации города или области важно знать будущие поступления в бюджет от предприятий, 
загрязняющих окружающую среду. Эти поступления осуществляются 
в виде платежей за загрязнение атмосферного воздуха, водной среды, 
а также образование и размещение твердых отходов промышленности. Таким образом, необходимо решить задачу прогнозирования платежей за загрязнение окружающей среды. Введем условные обозначения: Ft — платежи за загрязнение окружающей среды в году t (t = 1, 2, 
… T); xt — показатель темпов роста производства продукции в году t 
(t = 1, 2, … t*); Т — период наблюдений; t* — год прогноза (T < t*). 
Для выполнения прогноза платежей за загрязнение окружающей 
среды необходимо воспользоваться моделью изменения эколого

экономических показателей F, как функций Ψ(x) темпов роста производства продукции:  
 

F = Ψ(x), 

где F — прогнозируемый эколого-экономический показатель — объем  
                 платежей за загрязнение атмосферного воздуха, водной среды  
                 или размещение отходов;  
х — аргумент функции (показатель темпов роста производства про- 
         дукции). 
Для определения прогнозного значения платежей на основе этой 
функции следует подставить темпы роста производства продукции в 
году t* – xt*: 

F* = Ψ(xt*). 

Возможно также использование модели изменения экологоэкономических показателей F, как функции времени Ψ(t), т.е. трендовой модели: F= Ψ(t). В этом случае, для получения прогноза следует 
подставить в данную функцию год прогноза t*: F = Ψ(t*). 

1.2. Регрессионные модели и метод  
наименьших квадратов — использование  
при прогнозировании платежей 

Для определения прогнозируемых значений платежей от темпов 
роста производства продукции целесообразно использовать следующие зависимости: 
 
Линейная  
— Ψ(х) = a0 + a1 x 
Квадратичная  
—  Ψ(х) = a0 + a1 x + a2 x2 
Гиперболическая  
—  Ψ(х) = a0 + a1 /x  
Обратная гиперболическая  — Ψ(х) = 1/(a0 + a1 /x). 
 
Коэффициенты a0, a1, a2 должны быть определены таким образом, 
чтобы график зависимости платежей от темпов роста проходил возможно ближе к фактическим значениям платежей Ft. Самым распространенным и теоретически обоснованным методом нахождения оценок коэффициентов зависимости является метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод достаточно прост с точки зрения вычислительной процедуры и дает хорошие по статистическим свойствам 
оценки коэффициентов искомой зависимости.  
В методе наименьших квадратов необходимо минимизировать расхождение между фактическими значениями платежей Ft и их аппрок

симацией Ψ(xt) искомой зависимостью во всех точках наблюдений t = 1, 
2, … T. Поскольку отклонение может быть как в меньшую, так и в 
большую сторону, то разность этих значений целесообразно возвести в 
квадрат. Поэтому в методе наименьших квадратов значения коэффициентов a0, a1, a2 отыскиваются исходя из минимизации функции:  

(
)
2

1
min,

T

t
t
t
F
x

=
⎡
⎤
Φ =
− ψ
→
⎣
⎦
∑
 

где t — текущий момент наблюдения (год);  
     Т — период наблюдения (конечный год). 

Например, если рассматривается линейная зависимость, то функция будет записана в виде  

(
)
2
0
1
1
min.

T

t
t
t
F
a
a x

=
⎡
⎤
Φ =
−
+
→
⎣
⎦
∑
 

Поскольку функция Ф является квадратичной функцией a0 и a1, 
непрерывной, выпуклой и ограниченной снизу (Ф ≥ 0), то она имеет 
минимум. Необходимым условием существования функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по искомым коэффициентам: 

[
]
0
1
1
0
2
0
;

T

t
t
t
F
a
a x
a
=

∂Φ = −
−
−
=
∂
∑
 

[
]
0
1
1
1
2
0
.

T

t
t
t
t
x
F
a
a x
a
=

∂Φ = −
−
−
=
∂
∑
 

Раскрыв скобки, получим систему уравнений: 

0
1
1
1
;

T
T

t
t
t
t
Ta
a
x
F

=
=
+
=
∑
∑
 

2
0
1
1
1
1
.

T
T
T

t
t
t
t
t
t
t
a
x
a
x
F x

=
=
=
+
=
∑
∑
∑
 

Методом подстановки несложно найти выражения для определения искомых коэффициентов регрессионной зависимости. 
Если для прогноза предполагается использовать квадратичную зависимость, то для определения коэффициентов зависимости a0, a1, a2 
будет получена система из трех уравнений:  

2
0
1
2
1
1
1
;

T
T
T

t
t
t
t
t
t
Ta
a
x
a
x
F

=
=
=
+
+
=
∑
∑
∑
 

2
3
0
1
2
1
1
1
1
;

T
T
T
T

t
t
t
t
t
t
t
t
t
a
x
a
x
a
x
F x

=
=
=
=
+
+
=
∑
∑
∑
∑
 

2
3
4
2
0
1
2
1
1
1
1
.

T
T
T
T

t
t
t
t
t
t
t
t
t
a
x
a
x
a
x
F x

=
=
=
=
+
+
=
∑
∑
∑
∑
 

Если же используется гиперболическая зависимость, то для расчета 
коэффициентов a0 и a1 будет использована система из двух уравнений: 

0
1
1
1
1/
;

T
T

t
t
t
t
Ta
a
x
F

=
=
+
=
∑
∑
 

(
)
(
)
2
0
1
1
1
1
1
1
1
/
/
/
.

T
T
T

t
t
t
t
t
t
t
a
x
a
x
F
x

=
=
=
+
=
∑
∑
∑
 

Поскольку полученные регрессионные зависимости с разной степень точности приближают значения Ft, то целесообразно найти 
ошибку аппроксимации. Ошибка аппроксимации рассчитывается по 
формуле среднеквадратичного отклонения: 

(
)

2

1
(
)
/
.

T

t
t
t
F
x
T

=
ε =
− ψ
∑
 

Лучшей функцией, пригодной для прогноза, считается та, которая 
имеет минимальную ошибку аппроксимации. Таким образом, выбирается функция, с помощью которой следует проводить прогноз платежей. В выбранное уравнение регрессии подставляется будущее значение темпов роста производства по данной отрасли промышленности 
x* и определяется прогнозное значение платежей: 

F* = Ψ(x*). 

Прогноз может быть определен в виде предполагаемых минимального и максимального значений: F*max= F* + ε и F*min= F* – ε. 
При прогнозе платежей как функции времени можно воспользоваться теми же функциями:  
 
Линейная —
Квадратичная — 
Ψ(х) = a0 + a1 t 
Ψ(х) = a0 + a1 t + a2 t2 
Гиперболическая — 
Ψ(х) = a0 + a1 /t  
Обратная гиперболическая — 
Ψ(х) = 1/(a0 + a1 /t). 
 
Коэффициенты a0, a1, a2 — значения которых определяются методом наименьших квадратов: 

(
)
2

1
( )

T

t
t
F
t

=
− ψ
∑
→ min, 

где t  — текущий момент наблюдения (год);  
Т  — период наблюдения (конечный год).  
 
Ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле среднеквадратичного отклонения: 

(
)

2

1
( )
/
.

T

t
t
F
t
T

=
ε =
− ψ
∑
 

Для проведения расчетов ниже представлены фрагменты программ, в которых формируются системы уравнений, проводится расчет коэффициентов регрессионных уравнений и ошибки аппроксимации для линейной, квадратичной и гиперболической зависимости. 
Программы написаны на языке Basic. Количество наблюдений N; в 
одномерном массиве L1 содержатся данные о платежах за прошлые 
периоды i = 1, 2, …, N. В одномерном массиве L2 содержатся данные 
о темпах роста производства за те же периоды. В процессе работы 
программ формируется двумерный массив A, в котором записываются 
коэффициенты при искомых неизвестных (коэффициентах регрессионного уравнения) системы уравнений, получаемой на базе дифференцирования. Одномерный вектор B содержит рассчитанные в программе свободные члены системы уравнений. Искомые коэффициенты уравнений записываются в вектор С: в С(1) — коэффициент a0; в 
С(2) — коэффициент a1; наконец, для квадратичной зависимости в 
С(3) — коэффициент a2. После того, как коэффициенты найдены, в 
программах рассчитывается приближение платежей (вектор L3). Программы завершаются расчетом среднеквадратичного отклонения 
SIGMA. 

Программа расчета коэффициентов линейной зависимости 

Формирование системы уравнений (матрица А и вектор В) 

A (1, 1) = N: A (1, 2) = 0: A (2, 2) = 0 
For i = 1 To N: A (1, 2) = A (1, 2) + L2(i): A (2, 2) = A (2, 2) + L2(i) ^ 2 
Next i 
A (2, 1) = A (1, 2): B (1) = 0: B (2) = 0 
For i = 1 To N: B (1) = B (1) + L1(i) 
B (2) = B (2) + L1(i) * L2(i): Next i 

Расчет коэффициентов регрессионного уравнения С (1) и С (2) 

C (2) = (B (1) – (A (1, 1) * B (2)) / A (2, 1)) / (A (1, 2) – (A (1, 1) * A (2, 2)) 
/ A (2, 1)) 
C (1) = (B (2) – A (2, 2) * C (2)) / A (2, 1) 

Расчет приближения платежей на основе полученного регрессионного уравнения 

For i = 1 To N: L3(i) = C (1) + C (2) * L2(i): Next i