Количественные методы в экономических исследованиях

Количественные 
методы 
в экономических 
исследованиях 

Под редакцией  
доктора экономических наук, профессора М.В. Грачевой,   
доктора экономических наук, профессора Ю.Н. Черемных, 
кандидата экономических наук, доцента Е.А. Тумановой 

Второе издание,  
переработанное и дополненное 

Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации в качестве учебника 
для студентов вузов, обучающихся по специальностям  
экономики и управления (080100) 

Рекомендовано Учебно-методическим центром  
«Профессиональный учебник» в качестве учебника 
для студентов вузов, обучающихся по специальностям  
экономики и управления (080100) 

————————————— 

Соответствует Федеральным государственным  
образовательным стандартам третьего поколения

Москва 2017

ÓÄÊ 330.43(075.8) 
ÁÁÊ 65â6ÿ73 
       Ê60 

Ð å ö å í ç å í ò û: 
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Ê.Â. Ïàïåíîâ 
(çàâ. êàôåäðîé ýêîíîìèêè ïðèðîäîïîëüçîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 
Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà) 
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. Ãàâðèëåö 
(çàâ. ëàáîðàòîðèåé «Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñîöèîëîãèÿ» ÖÝÌÈ ÐÀÍ) 

Ãëàâíûé ðåäàêòîð èçäàòåëüñòâà Í.Ä. Ýðèàøâèëè, 
êàíäèäàò þðèäè÷åñêèõ íàóê, äîêòîð ýêîíîìè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, 
ëàóðåàò ïðåìèè Ïðàâèòåëüñòâà ÐÔ â îáëàñòè íàóêè è òåõíèêè 

Êîëè÷åñòâåííûå ìåòîäû â ýêîíîìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ:  
Ê60  ó÷åáíèê äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì ýêîíîìèêè è óïðàâëåíèÿ / Ïîä ðåä. Ì.Â. Ãðà÷åâîé, 
Þ.Í. ×åðåìíûõ, Å.À. Òóìàíîâîé. — 2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. — 
Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 
 — 687 ñ. 

ISBN 978-5-238-02331-1 

Ó÷åáíèê ïîñâÿùåí ðåøåíèþ ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ êîëè÷åñòâåííûõ ìåòîäîâ. Èçëîæåí øèðîêèé êðóã ïðîáëåì è ìåòîäîâ êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ëèíåéíîé àëãåáðû, ìàòåìàòè÷åñêîãî 
ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òåîðèè èãð, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé 
ñòàòèñòèêè, òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Ðàçíîîáðàçíûå ïðèìåðû è çàäà÷è èëëþñòðèðóþò ïðèìåíåíèå ðàññìîòðåííûõ 
ìåòîäîâ. Ïðåäñòàâëåííûå ðàçäåëû îòíîñÿòñÿ ê öèêëó ôóíäàìåíòàëüíûõ 
ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí, èçó÷åíèå êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì 
äëÿ ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ýêîíîìèêè. 
Äëÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ýêîíîìè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ è ýêîíîìè÷åñêèõ âóçîâ, ýêîíîìèñòîâ, íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ. 

ÁÁÊ 65â6ÿ73 

ISBN 978-5-238-02331-1 

© ÈÇÄÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2004, 2013 
Ïðèíàäëåæèò èñêëþ÷èòåëüíîå ïðàâî íà èñïîëüçîâàíèå è ðàñïðîñòðàíåíèå 
èçäàíèÿ (ÔÇ ¹ 94-ÔÇ îò 21 èþëÿ 2005 ã.).  
Âîñïðîèçâåäåíèå âñåé êíèãè èëè ëþáîé åå ÷àñòè ëþáûìè ñðåäñòâàìè èëè â 
êàêîé-ëèáî ôîðìå, â òîì ÷èñëå â èíòåðíåò-ñåòè, çàïðåùàåòñÿ áåç ïèñüìåííîãî 
ðàçðåøåíèÿ èçäàòåëüñòâà. 
© Îôîðìëåíèå «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2013 

2017.

50-.. Ó÷åáíèê ïîñâÿùåí ðåøåíèþ ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ êîëè÷åñòâåííûõ ìåòîäîâ. Òåðìèí «êîëè÷åñòâåííûé» îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåõ 
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäàõ, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ è àíàëèçà 
âû÷èñëÿåìûõ (à íå àáñòðàêòíûõ) ìîäåëåé ýêîíîìèêè, ðåøåíèÿ êîòîðûõ 
ìîãóò áûòü äîâåäåíû äî êîíêðåòíîé ÷èñëîâîé ôîðìû. Âû÷èñëÿåìûå ìîäåëè 
ýêîíîìèêè îòëè÷àþòñÿ îò àáñòðàêòíûõ òåì, ÷òî ïàðàìåòðû è ýêçîãåííûå 
ïåðåìåííûå ïåðâûõ (â îòëè÷èå îò âòîðûõ) ôîðìèðóþòñÿ íà áàçå ðåàëüíûõ 
(èëè ýêñïåðòíûõ) äàííûõ. 
Àáñòðàêòíûå ìîäåëè ìîãóò áûòü òîëüêî òåîðåòè÷åñêèìè, âû÷èñëÿåìûå — 
êàê ïðèêëàäíûìè, òàê è òåîðåòè÷åñêèìè. 
 ó÷åáíèêå èçëîæåí øèðîêèé êðóã ïðîáëåì êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ëèíåéíîãî è âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òåîðèè èãð, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. 
Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî ãåîìåòðè÷åñêèì èëëþñòðàöèÿì è ýêîíîìè÷åñêèì ïðèëîæåíèÿì. 
Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ëèíåéíîãî è âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ îòíîñÿò ê öèêëó ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí, èçó÷åíèå êîòîðûõ îáÿçàòåëüíî äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ ãîñóäàðñòâåííûõ óíèâåðñèòåòîâ. Îíè èíòåðåñíû è ñàìè ïî ñåáå, òàê êàê ÿâëÿþòñÿ 
îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû, íåîáõîäèìîé ñîâðåìåííîìó ýêîíîìèñòó, 
çàíèìàþùåìóñÿ êàê òåîðåòè÷åñêèìè, òàê è ïðèêëàäíûìè ïðîáëåìàìè.  
Ìàòåðèàë, âêëþ÷åííûé àâòîðàìè â ãëàâû 1—4, òðàäèöèîííûé: ýëåìåíòû òåîðèè íåÿâíûõ ôóíêöèé, êëàññè÷åñêèå ìåòîäû îïòèìèçàöèè, ñèìïëåêñíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è åãî îáîñíîâàíèå, òåîðèÿ äâîéñòâåííîñòè, òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à, âûïóêëîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ýëåìåíòû òåîðèè øòðàôíûõ ôóíêöèé. 
 ãëàâå 5, ïîñâÿùåííîé òåîðèè èãð, èçëàãàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòîðîíà 
âîïðîñà è îáñóæäàþòñÿ ýêîíîìè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ. Ðàññìîòðåíû îñíîâíûå âîïðîñû òåîðèè ìàòðè÷íûõ è áèìàòðè÷íûõ èãð: ðåøåíèÿ â ÷èñòûõ 
è ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ, òåîðåìà Íåéìàíà, ñâÿçü ñ ëèíåéíûì ïðîãðàììèðîâàíèåì, ðàâíîâåñèå ïî Íýøó, ýôôåêòèâíîñòü ïî Ïàðåòî, øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû. 
 ãëàâàõ 6—9, ïîñâÿùåííûõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé 
ñòàòèñòèêå, óäåëÿåòñÿ âíèìàíèå ñïåöèôèêå âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêîãî 
ñïîñîáà ðàññóæäåíèé. 
Ó÷åáíèê íàïðàâëåí íà ôîðìèðîâàíèå è ðàçâèòèå ïðîôåññèîíàëüíûõ êîìïåòåíöèé â îáëàñòè ïðèêëàäíîãî ýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà.  
 ðåçóëüòàòå èçó÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ó÷åáíèêà ñòóäåíòû 
áóäóò çíàòü: 
ïîñòàíîâêó è  ðåøåíèå îñíîâíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è òåîðèè èãð, âåðîÿòíîñòíîñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ è ìîäåëåé; 
ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû, ïîäõîäû è ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. 

 ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ ïðåäñòàâëåííûõ â ó÷åáíèêå ìåòîäîâ è ìîäåëåé 
ñòóäåíòû áóäóò óìåòü: 
ôîðìóëèðîâàòü è îáîñíîâûâàòü âûâîäû èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííîãî 
ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ;  
èíòåðïðåòèðîâàòü ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ è ìîäåëåé,  â òåðìèíàõ èñõîäíîé ñîäåðæàòåëüíîé (ýêîíîìè÷åñêîé) çàäà÷è. 
ôîðìóëèðîâàòü òåîðåòèêî-èãðîâóþ ìîäåëü êîíôëèêòíîé ñèòóàöèè; 
ðåøàòü âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèå çàäà÷è âû÷èñëèòåëüíîãî è àíàëèòè÷åñêîãî õàðàêòåðà äëÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé;  
îïðåäåëèòü ñòàáèëüíîñòü ýêîíîìåòðè÷åñêèõ îöåíîê, ïðîâåðèâ èõ ñîñòîÿòåëüíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü;  ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ïðåäïîëàãàåìîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðîãíîçèðîâàòü ðåçóëüòàò ïðèíÿòîãî ðåøåíèÿ;  
Ïîñëå èçó÷åíèÿ ïðåäñòàâëåííûõ ìàòåðèàëîâ ñòóäåíòû áóäóò âëàäåòü: 
íàâûêàìè ëîãè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé; ìåòîäîëîãèåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; 
íàâûêàìè ðàáîòû ñ ôóíêöèÿìè, îïèñûâàþùèìè ýêîíîìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ; îñíîâíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèé íà ýêñòðåìóìû; 
ïðèåìàìè è ñïîñîáàìè  îáðàáîòêè ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèè ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ; 
ìåòîäàìè íàõîæäåíèÿ è àíàëèçà îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé â çàäà÷àõ 
ðàçëè÷íîãî òèïà; 
íàâûêàìè êîëè÷åñòâåííîãî àíàëèçà è  âûáîðà íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ 
èç íèõ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ äàííûõ;  
ìåòîäàìè ðàçðàáîòêè âàðèàíòîâ óïðàâëåí÷åñêèõ ðåøåíèé è îáîñíîâàíèÿ èõ âûáîðà ñ ó÷åòîì ïðîâåäåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ è èñïîëüçîâàíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ ìåòîäîâ àíàëèçà äàííûõ; 
íàâûêàìè èíòåðïðåòàöèè ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ è ôîðìóëèðîâêè êà÷åñòâåííûõ âûâîäîâ íà îñíîâå ïðîâåäåííûõ êîëè÷åñòâåííûõ ðàñ÷åòîâ. 
 
 ó÷åáíèêå èçëîæåíû êëàññè÷åñêèå ðàçäåëû ìàòåìàòè÷åñêèõ êóðñîâ, êîòîðûå àâòîðû ÷èòàþò íà Ýêîíîìè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà:  

 
ãëàâà 1 — ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. ×åðåìíûõ (ï. 1.1—1.4) 
ñò. ïðåïîä. À.À. Ëþáêèí (ï. 1.5) 
ãëàâà 2 — ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. ×åðåìíûõ (ï. 2.1—2.5) 
ñò. ïðåïîä. À.À. Ëþáêèí (ï. 2.6) 
ãëàâà 3 — êàíä. ýêîí. íàóê, àññèñò. ß.À. Ðîùèíà (ï. 3.1; 3.3.3) 
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. ×åðåìíûõ (ï. 3.2; 3.4) 
               êàíä. ýêîí. íàóê, äîö. Â.Ô. Ïàõîìîâ (ï. 3.3.1; 3.3.2)  
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Þ.Ï. Îðåâêîâ (ï. 3.5)  
êàíä. ýêîí. íàóê, äîö. Á.Ý. Ñëåïàê (ï. 3.6) 
ãëàâà 4 — ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Å.Ã. Áåëîóñîâ 
ãëàâà 5 — êàíä. ýêîí. íàóê, äîö. À.Þ. ×åëíîêîâ (ï. 5.1; 5,7; 5.8)  
              ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. ×åðåìíûõ (ï. 5.2—5.6) 
ãëàâà 6 — êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Ë.Í. Ôàäååâà 
      êàíä. ýêîí. íàóê, àññèñò. ß.À. Ðîùèíà 
ãëàâà 7 — êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Ë.Í. Ôàäååâà 
ãëàâà 8 — êàíä. ýêîí. íàóê, äîö. Å.Í. Ëóêàø 
ãëàâà 9 — ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Ì.Â. Ãðà÷åâà 

I

1 
2 
1

1.1. 1.1.1. Ïîíÿòèÿ «ìíîæåñòâî» è «ýëåìåíò ìíîæåñòâà» îòíîñÿòñÿ ê íà÷àëüíûì ïîíÿòèÿì, êîòîðûå ñòðîãî íå îïðåäåëÿþòñÿ, à ïîÿñíÿþòñÿ 
ïðèìåðàìè. 
Ìîæíî ãîâîðèòü î ìíîæåñòâå æèëûõ äîìîâ â ïîñåëêå, ìíîæåñòâå òîâàðîâ äàííîé ïàðòèè, ïîñòóïèâøåé â ìàãàçèí äëÿ ïðîäàæè, î 
ìíîæåñòâå òî÷åê äàííîé ïðÿìîé. «Ïîä ìíîæåñòâîì ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò.å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü 
ñâÿçàíà â îäíî åäèíîå öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà» 
(Ã. Êàíòîð, ñîçäàòåëü òåîðèè áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ). 
Ïðåäìåòû, ñîñòàâëÿþùèå ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè. Ìíîæåñòâà ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áîëüøèìè áóêâàìè (
,
M
A ,
B , …), à èõ ýëåìåíòû — ìàëûìè áóêâàìè ( m , a , b , …). Òî, ÷òî 
íåêîòîðûé îáúåêò m  ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà 
,
M  çàïèñûâàåòñÿ «
M
m» è ÷èòàåòñÿ « m  ïðèíàäëåæèò Ì ». Òî, ÷òî îáúåêò z  íå 
ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà 
,
M  çàïèñûâàåòñÿ êàê «
»
M
z è ÷èòàåòñÿ « z  íå ïðèíàäëåæèò Ì ».
Åñëè îáúåêòû m , n , p , q , … ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâî 
,
M  òî ýòî 

çàïèñûâàåòñÿ òàê: 
,
,
,
,
q
p
n
m
M .

Ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü çàäàíî â âèäå ñïèñêà ñîñòàâëÿþùèõ åãî 
ýëåìåíòîâ, ò.å. ïóòåì ïåðå÷èñëåíèÿ åãî ýëåìåíòîâ. 
Ñïèñîê ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íûì (íàïðèìåð, òàêîé ñïèñîê 
4
3
2
1
,
,
,
m
m
m
m
), òàê è áåñêîíå÷íûì:

à) ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ êîíêðåòíîé ó÷åáíîé ãðóïïû (èõ ôàìèëèè äåéñòâèòåëüíî ñîñòàâëÿþò ñïèñîê); 
á) ìíîæåñòâî âñåõ ïàëüòî, ñäàííûõ ïîñåòèòåëÿìè òåàòðà â ãàðäåðîá (ñïèñîê òàêèõ ïàëüòî ìîæåò áûòü ñîñòàâëåí); 
â) ìíîæåñòâî öèôð äåñÿòè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ 

9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
,0
M
;

1. 7

ã) ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî ÷èñëà k âêëþ÷èòåëüíî:  
k
k
,
,2
,1
N
;

ä) ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 
,
,3
,2
,1
n
N
;

å) ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë 

    
,2
,2
,1
,1
,0
Z
;

æ) ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë 

,
2
2
,
2
2
,
1
3
,
1
3
,
3
1
,
3
1
,
1
2
,
1
2
,
2
1
,
2
1
,1
,1
,0
Q

   (åñëè ïðè âûïèñûâàíèè ýëåìåíòîâ íàáîðà Q ïîÿâëÿþòñÿ äðî
áè (íàïðèìåð, 
1
2
2
,
1
2
2 ), êîòîðûå óæå âñòðå÷àëèñü ðà
íåå, òî îíè ëèáî âû÷åðêèâàþòñÿ, ëèáî íà ñàìîì äåëå íå âûïèñûâàþòñÿ); 
ç) ìíîæåñòâî ãóñåé (à íå óòîê), ïëàâàþùèõ â äåðåâåíñêîì ïðóäó. 

Çàìå÷àíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì r  íàçûâàåòñÿ 

÷èñëî âèäà q
p  (ò.å. 
q
p
r ), ãäå 
Z
p
,
N
q
. Ìíîæåñòâî âñåõ ðà
öèîíàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Q.

Äðîáè 

1

1
1
q
p
r ,

2

2
2
q
p
r , ãäå 

1

1
q
p  — íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, à 
1
2
p
p
,

1
2
q
q
(öåëîå ÷èñëî íå ðàâíî íóëþ), ðàâíû ìåæäó ñîáîé è èçî
áðàæàþò îäíî è òî æå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó äàëåå ïîä ðà
öèîíàëüíûì ÷èñëîì 
q
p
r ïîíèìàåòñÿ òîëüêî íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. 

Ñïèñîê ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Q (ò.å. ñïèñîê âñåõ ðàöèîíàëüíûõ 
÷èñåë) ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. 
Ñíà÷àëà âûïèñûâàåì ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàê, ÷òî 
êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò çíàìåíàòåëü, ðàâíûé åäèíèöå: 


,
1
,
,
1
3
,
1
2
,
1
1
n
.

Çàòåì òàê, ÷òîáû êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìåëî çíàìåíàòåëü, 
ðàâíûé äâóì: 

,
2
,
,
2
3
,
2
2
,
2
1
n

I. 8

è ò.ä. Ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ òàáëèöó (ìàòðèöó) ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì 
ñòðîê è ñòîëáöîâ. 

k
n
k
k
k
k
k

n

n

n

5
4
3
2
1

3
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
2
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
1
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1

.

 ýòîé òàáëèöå îñòàâèì òîëüêî íåñîêðàòèìûå äðîáè, à âñå ñîêðàòèìûå äðîáè óáåðåì (íàïðèìåð, âû÷åðêíåì). 
Î÷åâèäíî, ëþáîé ýëåìåíò íîâîé òàáëèöû åñòü ïîëîæèòåëüíîå 
ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Íàîáîðîò, ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî îáÿçàòåëüíî ïðèñóòñòâóåò â íîâîé òàáëèöå â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè. 
Ñîñòàâèì áåñêîíå÷íûé ñïèñîê èç ýëåìåíòîâ íîâîé òàáëèöû ïî 
ñëåäóþùåé ñõåìå: 
Ïîñòàâèâ â ýòîò ñïèñîê ïåðåä 
êàæäûì 
ïîëîæèòåëüíûì 
ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì ýòî æå 
÷èñëî ñî çíàêîì ìèíóñ è äîáàâèâ 
íóëü, ïîëó÷èì ïîëíûé ñïèñîê 
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Q:

,
1
2
,
1
2
,
2
1
,
2
1
,1
,1
,0
Q
,

ò.å. ïîëíûé ñïèñîê âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. 
Ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ 
êîíå÷íûì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — áåñêîíå÷íûì.  ïðèìåðàõ à—ã ïðèâåäåíû êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, â ïðèìåðàõ ä—æ — áåñêîíå÷íûå 
ìíîæåñòâà.
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, åñëè îíî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî 
ýëåìåíòà. Ïóñòîå ìíîæåñòâî îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì « ».
Ïóñòü A  è M  — äâà ìíîæåñòâà, è ïóñòü âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A  ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà 
,
M  òîãäà ìíîæåñòâî A  íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (èëè ÷àñòüþ) ìíîæåñòâà 
,
M  ÷òî çàïèñûâàåòñÿ òàê: 
M
A è ÷èòàåòñÿ « A  âêëþ÷åíî â M ».  ÷àñòíîñòè, åñëè 
,
M
m òî .
M
m Ìíîæåñòâî M  ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ïîäìíîæåñòâîì: 

1. 9

.
M
M Ïóñòîå ìíîæåñòâî è ìíîæåñòâî M  íàçûâàþòñÿ íåñîáñòâåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà 
,
M  âñå îñòàëüíûå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà M  íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè.
Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà M  îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì 2. Ñèìâîë 2ââåäåí ïî àíàëîãèè ñ ÷èñëîì 2n âñåõ ïîäìíîæåñòâ 
ìíîæåñòâà 
n
n
,
,1 N
.

Ìíîæåñòâà A  è B  íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè 
B
A è 
A
B .
Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: 
.
B
A Åñëè 
M
B è 
,
M
B òî 
èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ çàïèñü: 
.
M
B 1.1.2. Îáúåäèíåíèåì (ñóììîé) ìíîæåñòâ A  è B  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî C  (îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì 
B
A ), ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A  è B

(ðèñ. 1.1.1): 
B
x
A
x
x
B
A
C
)
def
(
.

Ñèìâîë « » îçíà÷àåò ñîþç «èëè», êîòîðûé 
ïîíèìàåòñÿ 
â 
ñîåäèíèòåëüíîðàçäåëèòåëüíîì ñìûñëå. 
 îáùåì ñëó÷àå îáúåäèíåíèå ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ 
iA  (
I
i, ãäå I  — 
íåêîòîðîå ìíîæåñòâî (êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå) èíäåêñîâ) åñòü ìíîæåñòâî C
(îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì I
i
iA
), ñîñòîÿ
ùåå èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ  

iA  (
I
i).
Ñèìâîë « » — ýòî ñòèëèçîâàííàÿ áóêâà U (îò àíãë. union — 
ñîþç, îáúåäèíåíèå). 
Ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ìíîæåñòâ A  è B
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî C  (îáîçíà÷àåìîå 
ñèìâîëîì 
B
A), ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ 
ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó 
èç ìíîæåñòâ A  è B . Äðóãèìè ñëîâàìè, 
ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A  è B  — ýòî îáùàÿ ÷àñòü ýòèõ ìíîæåñòâ (ðèñ. 1.1.2): 

B
x
A
x
x
B
A
C
)
def
(
.

Ñèìâîë « » îçíà÷àåò ñîþç «è». 

B
A
C
Ðèñ. 1.1.1

B
A

A
B

B
A
C
Ðèñ. 1.1.2

I. 10

Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ êâàäðàòîâ åñòü ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà âñåõ ðîìáîâ è ìíîæåñòâà âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Åñëè ìíîæåñòâà A  è B  íå èìåþò îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ (èìåþò ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå) (ðèñ. 1.1.3). 
 îáùåì ñëó÷àå ïåðåñå÷åíèå ñîâîêóïíîñòè 
ìíîæåñòâ 
iA  
(
I
i) 
åñòü 

ìíîæåñòâî C  (îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì I
i
iA
), ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ ýëå
ìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ 
iA  (
I
i).

Ðàçíîñòüþ äâóõ ìíîæåñòâ A  è B

íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî 
,
C  êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì «
B
A \
» è 
ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A , êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò 
ìíîæåñòâó B  (ðèñ. 1.1.4). 
Ðàçíîñòü ìåæäó ìíîæåñòâîì A  è åãî 
ïîäìíîæåñòâîì B  íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà B  âî ìíîæåñòâå A  (íà 
ðèñ. 1.1.5 — ñì. çàøòðèõîâàííûé «áóáëèê»). 
Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ: 
1)
A
B
B
A
,
A
B
B
A
(ñâîéñòâî  
    êîììóòàòèâíîñòè); 
2) C
B
A
C
B
A
,
C
B
A
     
C
B
A
(ñâîéñòâî àññîöèàòèâíîñòè); 
3)
C
A
B
A
C
B
A
,
C
A
B
A
C
B
A
(ñâîéñòâî     äèñòðèáóòèâíîñòè); 
4)
A
A
A
,
A
A
A
(ñâîéñòâî èäåìïîòåíòíîñòè); 
5)
A
A
,
A
; åñëè 
E
A , òî 
E
E
A
,
A
E
A
;
6) åñëè
E
A , òî 
A
A
E
E
\
\
;
7) åñëè 
E
A , òî 
E
A
E
A
\
,
A
E
A
\
;
8) åñëè 
E
A ,
E
B , 
òî 
B
B
A
E
A
\
,
B
B
A
E
A
\
;
9) B
B
B
A
, B
B
B
A
;
10) åñëè 
E
A ,
E
B , òî 
B
E
A
E
B
A
E
\
\
\
,
B
A
E \
B
E
A
E
\
\
.

Ñâîéñòâà 2, 3, 4, 10 åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé 
ïðîèçâîëüíîé (êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé) ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ. 

A

Ðèñ. 1.1.3

B

B

B
A
C
\
Ðèñ. 1.1.4

A
B

C

Ðèñ. 1.1.5

A

B