Электричество и магнетизм в техническом университете. Теория и решение задач

Рекомендовано к изданию
УМО «Ядерные физика и технологии»

ЛИСИЦЫН С.Г.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ  
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
ТЕОРИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Рецензенты:
Д.Л. Карпеев 
Канд. пед. наук, доц. каф. ЭПП ОТИ НИЯУ МИФИ
Д.А. Самарченко
Канд. физ.-мат. наук, доц. каф. 006 НИЯУ МИФИ

С.Г. Лисицын
Электричество и магнетизм в техническом университете. Теория 
и решение задач: Учебное пособие / С.Г. Лисицын — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2018. — 400 с. 

ISBN 978-5-91559-253-6

Основные положения раздела «Электричество и магнетизм» проиллюстрированы подробными решениями задач различной сложности. 
Теоретический материал изложен максимально сжато, однако ряд 
теоретических положений представлен в качестве задач, расширяющих и уточняющих важные моменты теории. 
Содержание последних глав пособия несколько выходит за традиционные рамки, включая в себя вывод из уравнений Максвелла 
волновых уравнений, закона сохранения энергии, излучение, волны 
в длинных линиях, распространение волн в металлах и плазме, 
ферромагнитный резонанс, свойства диэлектрической и магнитной 
проницаемости в переменных полях. 
Ряд задач дают читателю представление о работе основных электрических машин (электродвигателей, генераторов, трансформаторов). 
Проанализированы вопросы сохранения и преобразования энергии 
при работе этих устройств. 
Во многих задачах требуется получить численный ответ, что позволяет студенту оценить масштабы изучаемых явлений. В пособии 
используются как Гауссова система единиц, так и СИ.
Учебное пособие предназначено для студентов инженерно-физических и физико-технических специальностей, а также преподавателей 
общей физики.

ISBN 978-5-91559-253-6
© 2018, С.Г. Лисицын
© 2018, ООО Издательский Дом 
«Интеллект», оригинал-макет, 
оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ

П р ед и с ловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
11

Глава 1. Электрическое взаимодействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
13

1.1. 
Сравнение кулоновской и гравитационной сил. . . . . . . . . . . . .  
15
1.2. 
Скорость движения электрона в атоме водорода . . . . . . . . . . . .  
15
1.3. 
Заряженные шарики на нитях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
16
1.4. 
Устойчивость заряженной частицы в сферической полости. . . .  
16

Глава 2. Принцип суперпозиции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
18

2.1. 
Равновесие пяти свободных зарядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
18
2.2. 
Двухэлектронный атом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
19
2.3. 
Устойчивость заряда в трубке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
19
2.4. 
Равновесие четырёх связанных зарядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
20

Глава 3. Напряжённость электрического поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
22

3.1. 
Поле на оси тонкого кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
23
3.2. 
Поле в центре заряженной полусферы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
26
3.3. 
Поле равномерно заряженного диска  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
27
3.4. 
Поле плоскости с круглым отверстием  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
28

Глава 4. Силовые линии электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
30

4.1. 
Поле заряженной сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
31
4.2. 
Поле равномерно заряженного шара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
32
4.3. 
Движение электрона в атоме Томсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
34
4.4. 
Заряженный шар со сферической полостью  . . . . . . . . . . . . . . .  
35

Глава 5. Электростатический потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
37

5.1. 
Потенциал заряженной сферы и шара  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
39
5.2. 
Потенциал однородного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
41
5.3. 
Поле нити. Стандартный и нестандартный способы . . . . . . . . .  
41

Глава 6. Теорема Гаусса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
44

6.1. 
Поле равномерно заряженного шара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
47
6.2. 
Поле равномерно заряженной плоскости  . . . . . . . . . . . . . . . . .  
49
6.3. 
Поле бесконечной прямолинейной нити. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
50
6.4. 
Поле толстой бесконечной пластинки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
51
6.5. 
Силовые линии системы двух зарядов одного знака  . . . . . . . . .  
52
6.6. 
Взаимодействие точечного заряда и квадратной заряженной 
пластинки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
53

Оглавление
4

6.7. 
Приведение теоремы Гаусса к дифференциальной форме. 
Дивергенция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
54
6.8. 
Дивергенция в сферических и цилиндрических координатах. . .  
56
6.9. 
Примеры применения теоремы Гаусса в дифференциальной 
форме: поле шара, толстой пластинки, атома водорода . . . . . . .  
59
6.10. Атмосферное электричество  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
62
6.11. Центральное поле постоянной напряжённости . . . . . . . . . . . . .  
62
6.12. Уравнение Пуассона для потенциала  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
63
6.13. Решение уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
64
6.14. Неустойчивость системы точечных зарядов. . . . . . . . . . . . . . . .  
65

Глава 7. Дипольный момент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
67

7.1. 
Потенциал точечного диполя  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
68
7.2. 
Потенциал системы зарядов на больших расстояниях . . . . . . . .  
68
7.3. 
Напряжённость поля точечного диполя  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
69
7.4. 
Взаимодействие точечного заряда и диполя  . . . . . . . . . . . . . . .  
72
7.5. 
Диполь в электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
73
7.6. 
Взаимодействие диполей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
74
7.7. 
Потенциальная энергия диполя в электрическом поле  . . . . . . .  
75

Глава 8. Проводники в электрическом поле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
77

8.2. 
Поле экранированного заряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
80
8.3. 
Взамодействие точечного заряда и проводящей пластинки . . . .  
81
8.4. 
Точечный заряд возле бесконечной проводящей стенки  . . . . . .  
82
8.5. 
Плотность зарядов, индуцированных точечным зарядом 
на проводящей стенке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
83
8.6. 
Потенциал заряженного проводящего шара  . . . . . . . . . . . . . . .  
85
8.7. 
Потенциал шара, находящегося в поле точечного заряда. . . . . .  
85
8.8. 
Заряд заземлённого шара, находящегося 
в поле точечного заряда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
85
8.9. 
Сила взаимодействия заземлённого проводящего шара 
и точечного заряда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
86
8.10. Дипольный момент проводящего шара, находящегося 
в однородном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
88
8.11. Сила взаимодействия незаземлённого проводящего шара 
с точечным зарядом и диполем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
89

Глава 9. Энергия системы зарядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
91

9.1. 
До какой скорости разгонятся два одинаковых заряда 
под действием сил взаимного отталкивания?  . . . . . . . . . . . . . .  
94
9.2. 
Энергия заряженного проводника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
95
9.3. 
Энергия двух параллельных пластин, заряженных 
разноимёнными зарядами. Энергия электрического поля  . . . . .  
95
9.4. 
Энергия поля проводящего заряженного шара  . . . . . . . . . . . . .  
97
9.5. 
Каков размер электрона?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
98
9.6. 
Какую работу нужно совершить для удаления проводящей 
пластины из электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
98
9.7. 
Сила взаимодействия двух заряженных пластин  . . . . . . . . . . . .  
99

Оглавление

9.8. 
Какие силы растягивают заряженную сферу?  . . . . . . . . . . . . . .  
99
9.9. 
Подъём проводящей жидкости в электрическом поле . . . . . . . .  
100
9.10. Потеря равновесия заряженной капли жидкости. . . . . . . . . . . .  
102

Глава 10. Электроёмкость проводника. Конденсаторы. . . . . . . . . . . . . .  
104
10.1. Какой заряд можно передать проводнику 
от электрофорной машины?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
105
10.2. Сколько тепла выделяется при соединении 
двух заряженных проводников?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
106
10.3. Ёмкость плоского конденсатора  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
107
10.4. Ёмкость конденсатора со сферическими обкладками  . . . . . . . .  
108
10.5. Ёмкость конденсатора с коаксиальными цилиндрическими 
обкладками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
109
10.6. Ёмкость при параллельном и последовательном соединениях 
конденсаторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
110
10.7. Заряды и напряжения на последовательно соединённых 
конденсаторах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
111
10.8. Энергия заряженного конденсатора  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
111
10.9. Потери энергии при соединении 
заряженных конденсаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
112
10.10. Момент сил, действующих на пластины конденсатора 
переменной ёмкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
113
10.11. Ёмкость в более сложных соединениях конденсаторов  . . . . . . .  
114

Глава 11. Диэлектрики в электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
118
11.1. Теорема Гаусса в диэлектрике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
122
11.2. Поле точечного заряда в диэлектрике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
124
11.3. Граничные условия для векторов E и D  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
124
11.4. Точечный заряд в сферическом слое диэлектрика . . . . . . . . . . .  
126
11.5. Преломление силовых линий на границе 
двух диэлектриков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
128
11.6. Диэлектрический цилиндр в однородном 
электрическом поле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
131
11.7. Точечный заряд на границе раздела двух диэлектриков. . . . . . .  
132
11.8. Поле поляризованного диэлектрического цилиндра  . . . . . . . . .  
133
11.9. Ёмкость конденсатора, заполненного диэлектриком . . . . . . . . .  
135
11.10. Энергия конденсатора, заполненного диэлектриком . . . . . . . . .  
136
11.11. С какой силой притягиваются пластины 
заряженного конденсатора, заполненного диэлектриком? . . . . .  
137
11.12. С какой силой втягивается в заряженный конденсатор 
диэлектрическая пластина? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
137
11.13. Ёмкость конденсатора со слоистым диэлектриком  . . . . . . . . . .  
139
11.14. Поле в конденсаторе со слоистым диэлектриком  . . . . . . . . . . .  
139
11.15. Ёмкость конденсатора с неоднородным диэлектриком  . . . . . . .  
141
11.16. Поляризационные заряды в неоднородном диэлектрике . . . . . .  
142
11.17. Диэлектрическая проницаемость «газа» проводящих шариков. .  
143
11.18. Насколько точна модель «газа» проводящих шариков?  . . . . . . .  
144
11.19. Теорема Гаусса в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . . . . .  
145
11.20. Простой пример применения теоремы Гаусса 
в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
146

Оглавление
6

Глава 12. Постоянный электрический ток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
148

Уравнение непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
149
Закон Ома. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
150
12.1. Заряды в неоднородном проводнике с током  . . . . . . . . . . . . . .  
151
Ток в тонких проводниках. Закон Ома для участка проводника . .  
152
12.2. С какой скоростью движутся заряды в проводнике? . . . . . . . . .  
153
12.3. Постоянный ток в проводящей среде  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
155
12.4. Сопротивление растекания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
157
12.5. Как быстро исчезает объёмный заряд в проводнике?  . . . . . . . .  
157
12.6. Сопротивление при последовательном 
и параллельном соединении проводников. . . . . . . . . . . . . . . . .  
158
12.7. Нахождение сопротивления сложной цепи 
последовательным упрощением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
159
12.8. Эквивалентное преобразование цепи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
160
12.9. Ток в перемычке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
160
Закон Джоуля–Ленца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
161
12.10. Какая лампа в гирлянде горит ярче? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
162
Сторонние силы. ЭДС источника тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
163
12.11. Закон Ома для замкнутой цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
163
12.12. Ток в замкнутой цепи, напряжение на источнике тока, 
мощность источника, кпд источника  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
164
12.13. Сколько тепла выделяется при зарядке конденсатора?  . . . . . . .  
166
12.14. Время зарядки конденсатора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
167
12.15. Работа источника тока, заряжающего конденсатор . . . . . . . . . .  
169
12.16. Трудно ли вытащить диэлектрическую пластину 
из конденсатора?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
169
Правила Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
171
12.17. Цепь с двумя источниками тока включёнными параллельно . . .  
173

Глава 13. Постоянное магнитное поле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
175

13.1. Как связаны единицы величины магнитного поля 
в гауссовой системе и СИ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
177
13.2. Как изменяется напряжённость электрического поля 
при изменении системы отсчёта?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
178
13.3. Движение заряда в постоянном однородном 
магнитном поле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
179
13.4. Как изменится скорость электрона в атоме водорода, 
если поместить его в магнитное поле?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
180
13.5. Дрейф заряда в неоднородном магнитном поле. . . . . . . . . . . . .  
181
13.6. Движение электрона в скрещенных полях. . . . . . . . . . . . . . . . .  
183
13.7. Электрон в лампе с плоскими анодом и катодом  . . . . . . . . . . .  
186
13.8. Сила, действующая на проводник с током 
в магнитном поле (сила Ампера). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
187
13.9. Магнитный насос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
188
13.10. Разрыв кольца с током магнитным полем . . . . . . . . . . . . . . . . .  
189
13.11. Виток с током в однородном магнитном поле. . . . . . . . . . . . . .  
190
13.12. Магнитный момент катушки, навитой на половинку тора. . . . .  
193
13.13. Каким будет равновесное положение витка или катушки 
с током в однородном магнитном поле? . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
194

Оглавление

13.14. Измерение магнитного поля с помощью весов 
и катушки с током  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
194
13.15. Равновесие тяжёлой рамки с током в магнитном поле  . . . . . . .  
195
13.16. Магнитный момент атома. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
196
13.17. Движение магнитного момента атома в магнитном поле. . . . . .  
197
13.18. Движение магнитного момента атома в магнитном поле 
с учётом потерь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
198
Магнитные поля зарядов и токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
200
13.19. Какие силы действуют между движущимися зарядами?. . . . . . .  
202
13.20. Формула Био–Савара–Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
204
13.21. Магнитное поле прямолинейного проводника с током . . . . . . .  
206
13.22. Сила взаимодействия двух бесконечных параллельных 
проводников. Как определяется единица тока в СИ?  . . . . . . . .  
206
13.23. Магнитное поле на оси кругового витка с током. . . . . . . . . . . .  
207
13.24. Магнитное поле элементарного участка поверхностного тока. 
Магнитное поле тока, текущего по плоскости. . . . . . . . . . . . . .  
208
13.25. Магнитное поле соленоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
209
13.26. Поле вблизи конца полубесконечного соленоида  . . . . . . . . . . .  
211
Механическая работа магнитного поля над витком с током  . . . .  
214
13.27. С какой силой взаимодействуют два соленоида? . . . . . . . . . . . .  
218
13.28. Взаимодействие витка с током и длинного прямолинейного 
провода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
220

Глава 14. Теорема о циркуляции магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . .  
222

14.1. Индукция магнитного поля тороидальной катушки  . . . . . . . . .  
225
14.2. Магнитное поле внутри бесконечного соленоида  . . . . . . . . . . .  
226
14.3. Магнитное поле тока, текущего по оси сферической оболочки .  
226
14.4. Магнитное поле толстого проводника с током  . . . . . . . . . . . . .  
227
14.5. Магнитное поле внутри цилиндрической полости. . . . . . . . . . .  
228
14.6. Магнитное поле внутри тонкостенной трубы 
с продольным разрезом в стенке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
230
14.7. Давление магнитного поля на стенки трубы  . . . . . . . . . . . . . . .  
231
14.8. Давление магнитного поля в соленоиде  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
232
14.9. Давление в неоднородном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . .  
234
14.10. Обобщение теоремы о циркуляции магнитного поля  . . . . . . . .  
235
14.11. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции  . . . . . . . . . .  
237
14.12. Потенциал поля магнитного диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
240
14.13. Сила, действующая в магнитном поле на магнитный диполь  . .  
242
14.14. Ротор в цилиндрической и сферической системах . . . . . . . . . . 
координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Глава 15. Магнитное поле в веществе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
245

15.1. Связь токов намагничивания с вектором I  . . . . . . . . . . . . . . . .  
247
15.2. Теорема о циркуляции в веществе. Вектор Н. 
Соотношение единиц СГСЕ и СИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
248
15.3. Поле вблизи полюса постоянного магнита  . . . . . . . . . . . . . . . .  
251
15.4. Граничные условия для векторов В и Н  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
252
15.5. Поле в цилиндрической полости. Как измерить В и Н?  . . . . . .  
252

Оглавление
8

15.6. Поле в зазоре постоянного кольцевого магнита  . . . . . . . . . . . .  
253
15.7. Поле бесконечной пластины, намагниченной 
в направлении своей толщины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
254
15.8. Поле бесконечной пластины, намагниченной 
параллельно её поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
255
15.9. Силовые линии постоянного магнита. 
«Магнитные заряды». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
256
15.10. Поле тонкого постоянного магнита. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
258
15.11. Поле короткого постоянного магнита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
259
15.12. С какой силой притягиваются концы 
постоянного кольцевого магнита?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
260
Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость . . . . . .  
261
Преломление магнитных силовых линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
262
15.13. Размагничивающее поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
264
15.14. Намагничивание диска конечной толщины. . . . . . . . . . . . . . . .  
265
15.15. Поле кольцевого электромагнита  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
266
15.16. Кольцевой электромагнит с сердечником, 
магнитная проницаемость которого зависит от величины 
магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
268
15.17. Поле в зазоре железного тороида 
со вставкой из постоянного магнита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
269
15.18. Поле бесконечно длинного провода с током, лежащего 
в плоскости раздела двух сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
270
15.19. Сила взаимодействия двух параллельных проводников 
с током в магнитной среде  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
271
15.20. С какой силой втягивается в катушку 
с током парамагнитный сердечник?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
272
15.21. Магнитное поле соленоида с сердечником. 
Давление магнитного поля на обмотку соленоида. . . . . . . . . . .  
273
15.22. Давление магнитного поля на обмотку соленоида, 
находящегося в магнитной среде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
274

Глава 16. Явление электромагнитной индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
275

16.1. Какая разность потенциалов возникает на концах 
проводника, движущегося в магнитном поле?. . . . . . . . . . . . . .  
275
16.2. Экологически чистый «источник энергии»  . . . . . . . . . . . . . . . .  
275
16.3. Простой генератор постоянного тока  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
277
16.4. ЭДС в замкнутом контуре, движущемся в магнитном поле . . . .  
277
Максвеллова трактовка явления электромагнитной 
индукции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
282
16.5. Совершает ли работу магнитное поле?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
283
16.6. Какой заряд протекает в замкнутом проводящем контуре 
при изменении магнитного потока?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
286
16.7. Движение перемычки в магнитном поле под действием 
постоянной внешней силы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
287
16.8. Простейший электродвигатель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
288
16.9. За счёт какого источника энергии работает электродвигатель?  .  
290

Оглавление

Глава 17. Индуктивность проводников. Явление самоиндукции  . . . . . . .  
292

17.1. Как индуктивность проводника зависит от его размеров? . . . . .  
294
17.2. Индуктивность плоской двухпроводной линии . . . . . . . . . . . . .  
295
17.3. Индуктивность коаксиального кабеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
296
17.4. Включение тока в идеальном соленоиде . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
297
17.5. Источник постоянного тока в цепи с индуктивностью  . . . . . . .  
298
17.6. Работа источника тока в цепи с индуктивностью  . . . . . . . . . . .  
300
17.7. Энергия магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
301
17.8. Трудно ли вытащить сердечник из соленоида?  . . . . . . . . . . . . .  
302
17.9. Как получить сверхсильное магнитное поле?  . . . . . . . . . . . . . .  
304
17.10. Подъёмная сила электромагнита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
305
17.11. Взаимная индуктивность контуров. Теорема взаимности. . . . . .  
307
17.12. Взаимная индуктивность двух катушек намотанных 
на замкнутый сердечник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
308
17.13. Мощная динамо-машина  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
309
17.14. Резистор, конденсатор и катушка индуктивности 
в цепи переменного тока  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
310
17.15. Процессы в LCR цепи с источником постоянного тока  . . . . . .  
313
17.16. Процессы в LCR цепи с источником переменного тока. 
Резонанс тока и резонанс напряжения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
315
17.17. Трансформатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
320

Глава 18. Ток смещения. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
323

18.1. Магнитное поле в конденсаторе с неидеальным 
диэлектриком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
325
18.2. Магнитное поле при искровом пробое конденсатора  . . . . . . . .  
326
Плотность и поток энергии. Вектор Пойнтинга. . . . . . . . . . . . .  
326
18.3. Джоулев нагрев и поток вектора Пойнтинга в проводник . . . . .  
327
18.4. Откуда и куда течёт поток энергии в цепи 
постоянного тока?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
329
18.5. Откуда искровой разряд в диэлектрике получает энергию? . . . .  
330
18.6. Магнитное поле точечного заряда и ток смещения . . . . . . . . . .  
332

Глава 19. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
335

19.1. Плоские волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
336
19.2. Структура плоской электромагнитной волны  . . . . . . . . . . . . . .  
338
19.3. Поток энергии в плоской электромагнитной волне. . . . . . . . . .  
340
19.4. Волны в двухпроводной линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
341
19.5. Волны в двухпроводной линии из двух плоских шин  . . . . . . . .  
342
19.6. Почему после включения лампочка загорается мгновенно, 
хотя электроны в проводах движутся медленно? . . . . . . . . . . . .  
343
19.7. Поток энергии в идеально проводящей линии  . . . . . . . . . . . . .  
343
19.8. Плоские монохроматические волны. Интенсивность волны  . . .  
344

Глава 20. Излучение электромагнитных волн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
346

20.1. Неоднородные волновые уравнения. 
Источники электромагнитных волн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
346

Оглавление
10

20.2. Решение волновых уравнений на больших расстояниях 
от источников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
347
20.3. Излучение системы зарядов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
349
20.4. Нахождение электрического поля в волне излучения 
непосредственно из уравнений Максвелла  . . . . . . . . . . . . . . . .  
354
20.5. Интенсивность дипольного излучения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
355
20.6. Интенсивность излучения точечного заряда  . . . . . . . . . . . . . . .  
356
20.7. Излучение заряженного гармонического осциллятора. . . . . . . .  
356
20.8. Излучение заряда, равномерно вращающегося 
по окружности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
357
20.9. Рассеяние электромагнитной волны свободным электроном . . .  
359
20.10. Излучает ли система зарядов, дипольный момент которой 
равен нулю?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
361
20.11. Существуют ли сферически симметричные волны? . . . . . . . . . .  
364

Глава 21. Распространение электромагнитных волн. . . . . . . . . . . . . . . .  
367

21.1. Отражение и преломление волн на границе раздела 
двух сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
368
21.2. Что происходит при полном отражении?  . . . . . . . . . . . . . . . . .  
370
21.3. Что и как видят рыбы из-под воды? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
371
21.4. Какая часть энергии волны, падающей на границу 
двух сред, отражается?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
372
21.5. Коффициент отражения от поверхности металла  . . . . . . . . . . .  
375
21.6. Глубина проникновения электромагнитной волны в металл. 
Скин-эффект  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
378
21.7. Какая часть энергии падающей на металл волны 
поглощается?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
379
21.8. Взаимодействие электромагнитной волны с плазмой  . . . . . . . .  
380
21.9. Каков физический смысл плазменной частоты?  . . . . . . . . . . . .  
382
21.10. Возможна ли отрицательная магнитная проницаемость, 
подобно диэлектрической проницаемости плазмы?. . . . . . . . . .  
383
21.11. Ферромагнитный резонанс в поперечном поле . . . . . . . . . . . . .  
387

Глава 22. Градиент, дивергенция и ротор — зачем они нужны?  . . . . . . .  
390

22.1. Скалярное поле и градиент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
390
22.2. Дивергенция векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
393
22.3. Ротор векторного поля  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
393
22.4. Потенциал в многосвязной области. 
Безвихревое магнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
394

П р и ложен и е. Основные формулы электромагнетизма 
в гауссовой системе и СИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
397

Рек омен д уемая л итература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
399

 ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие предназначено для студентов технических 
специальностей, изучающих курс общей физики, и создано для того, 
чтобы помочь студентам разобраться с различными аспектами теории и освоить решение задач по физике. Поскольку целью пособия 
является именно теория электромагнетизма, то эксперименту здесь 
уделено минимальное место, хотя эксперимент при изучении электромагнетизма, как и для всего курса физики, совершенно необходим. 
Изучение любой физической теории является непростым занятием, 
и достаточно глубокое её понимание невозможно без решения задач. Однако решить задачу можно лишь при условии вполне ясного 
понимания её содержания и основных законов физики, лежащих в 
основе решения. Поэтому в данном пособии немало места отведено 
основам теории, необходимой для решения задач. Ряд результатов, 
обычно излагаемых на лекциях, здесь представлен в качестве задач, 
зачастую расширяющих и уточняющих важные моменты теории.
Раздел «Электричество и магнетизм» не может быть изложен без 
использования всех известных студентам методов математики. Это 
создаёт дополнительные трудности при изучении данного раздела, 
к сожалению, неизбежные. Автор старался, по мере возможности, 
проводить все вычисления достаточно подробно, избегая задач, где 
требуются громоздкие вычисления или сложный анализ многочисленных частных случаев. Тем не менее, требования к уровню математической подготовки читателя предполагаются достаточно высокими.
В пособии практически нет оригинальных задач. Многие из них 
заимствованы из задачников, список которых приведён в конце 
пособия. Выбор именно этих задачников обусловлен тождеством 
концепций, положенных в основу, как упомянутых задачников, так 
и данного пособия. Отличие же данного пособия от упомянутых 
задачников в том, что в задачнике из-за ограниченности его объёма 
невозможно дать подробный разбор решения задачи. Пособие же 
содержит сравнительно небольшое число задач, подробный разбор 
которых и составляет его основное содержание.
Задачи в каждом разделе подобраны в порядке возрастания их 
сложности. Первые задачи носят иллюстративный характер, демон

Предисловие
12

стрируя, как работают основные понятия. Заключительные же задачи, как правило, имеют достаточно глубокое содержание, выходя за 
рамки простых упражнений. Во многих задачах требуется получить 
численный ответ. Такого рода результаты позволяют лучше понять 
суть рассматриваемых явлений, оценить их масштабы.
Учение об электричестве и магнетизме развивалось практически 
параллельно с техническими приложениями этой науки. Поэтому при 
изучении данного раздела невозможно обойтись без рассмотрения 
принципов работы различных технических устройств и процессов, 
происходящих в них: конденсаторов, катушек индуктивности, электрических моторов, генераторов и т.п. В данном пособии заметная 
часть задач посвящена этим прикладным вопросам. Разумеется, 
исследование работы всех этих устройств ведётся на простейших 
примерах, с максимальным упрощением многих деталей, чтобы не 
затемнять сущность тех физических принципов, которые лежат в 
основе их работы. Так, в задачах, посвящённых полю в диэлектриках, не рассматриваются различные типы поляризации, в разделе 
магнетизма практически исключены вопросы, связанные с явлением 
гистерезиса в ферромагнетиках. Точно также не рассматриваются 
задачи, посвящённые изучению микроскопических свойств вещества 
в электрическом и магнитном полях за исключением простейших 
свойств плазмы и ферромагнитного резонанса. По мнению автора 
эти вопросы следует рассматривать в соответствующих специальных 
курсах, не перегружая и без того непростой раздел электромагнетизма 
излишне сложным материалом.
В заключительных главах пособия рассмотрены вопросы, которые 
нередко исключаются из программ по электромагнетизму в технических вузах — получение из уравнений Максвелла закона сохранения 
энергии, волновых уравнений, исследование свойств электромагнитных волн, волн в длинных линиях. Эти разделы пособия можно 
рассматривать как дополнение к традиционному материалу, которое 
автор посчитал нужным рассмотреть, поскольку именно они дают 
ответ на вопрос о передаче энергии от источника тока в нагрузку и 
скорости передачи сигнала в линиях электропередач.
Написать учебное пособие, удовлетворяющее всех читателей 
невозможно, поэтому в конце пособия приведён небольшой список 
книг, в которых читатели могут найти для себя более приемлемое 
на их взгляд изложение тех или иных тем.
В заключение автор выражает благодарность Л.Ф. Соловейчику 
за ценные советы и поддержку в работе.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ 
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Одним из наиболее важных видов взаимодействия в 
природе является электрическое взаимодействие. В частности, силы, 
действующие в атомах и молекулах, имеют в основном электрическое происхождение; поэтому главным образом это взаимодействие 
определяет внутреннюю структуру различных тел.
Силы электрического взаимодействия связаны с существованием 
особой физической характеристики частиц — электрического заряда. 
Тела, не несущие электрических зарядов, электрически между собой 
не взаимодействуют.
Если тела можно рассматривать как материальные точки, то сила 
электрического взаимодействия между ними пропорциональна произведению зарядов этих тел и обратно пропорциональна квадрату 
расстояния между ними. Это положение называется законом Кулон а. 
Обозначив величину силы электрического взаимодействия через F, 
заряды тел через е1 и е2 и расстояние между ними через r, можно 
записать закон Кулона в виде

1 2
2
const
.
e e
F
r
=

В дальнейшем вместо того, чтобы говорить о заряженных телах, 
которые можно считать материальными точками, мы будем называть 
такие заряженные тела просто точечными зарядами. Тогда сила F, 
действующая между точечными зарядами, направлена по прямой, 
соединяющей эти заряды, и может, как показывает опыт, в одних 
случаях приводить к притяжению, а в других — к отталкиванию зарядов. Поэтому говорят о зарядах разных знаков: тела, заряженные 
зарядами одного знака, отталкиваются друг от друга, а тела, заряженные зарядами разных знаков, притягиваются друг к другу. При этом 
положительный знак силы в законе Кулона означает отталкивание, 
а отрицательный — притяжение.

Г Л А В А 
 1

Глава 1. Электрическое взаимодействие
14

Какие именно заряды считать положительными, а какие — отрицательными, собственно говоря, безразлично, и принятый в физике 
выбор знаков является условным, установившимся исторически. 
Безусловный смысл имеет лишь различие знаков зарядов. Если бы 
мы переименовали все отрицательные заряды в положительные и 
наоборот, то никакого изменения в физических законах от этого 
не произошло бы. Так  как с зарядами мы встретились впервые и не 
имеем ещё единицы для их измерения, то мы можем выбрать коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равным единице:

1 2
2
e e
F
r
=
.

Тем самым мы устанавливаем определённую единицу заряда, а 
именно: заряд, который взаимодействует с другим таким же зарядом, 
находящимся на расстоянии одного сантиметра от первого заряда, 
с силой, равной одной дине1. Эта единица называется электростатической единицей заряда. Систему единиц, основанную на таком 
выборе постоянного коэффициента в законе Кулона, называют 
электростатической системой, или системой СГСЭ. Размерность 
заряда в этой системе

[ ]
[
][ ]
(
)

1/2
1/2
3/2
1/2
2
2
2
г “м
г
“м
“м
“
“
e
F
r
⎛
⎞
⋅
⋅
⎟
⎜
=
=
⋅
=
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
.

В системе единиц СИ пользуются большей единицей заряда, 
называемой кулоном  и равной:

1 кулон = 1 Кл = 3⋅109 СГСЭ единиц заряда.

В этом случае константа в законе Кулона уже не равна единице. 
Действительно, два заряда величиной в 1 Кл каждый, находящиеся 
на расстоянии 1 м один от другого взаимодействуют с силой

9 2
14
9
1 2
2
2 2
(3
)
9 10
,…
9 10
m.
(10 )
10
e e
F
r
=
=
=
⋅
=
⋅
⋅

Тем самым, в СИ:

1 2
2
const
,
e e
F
r
=

где величина константы: 
9
const
9 10
=
⋅
.

1 Сила в 1 дин сообщает телу массой в 1 г ускорение, равное 1 см/с2, 
т.е. 1 дин = 1 (г ⋅ см)/с2; соотношение между диной и ньютоном такое: 
1 Н = 1 (кг ⋅ м)/с2 = 105 дин.

Как это принято в СИ, константу обозначают 1/4πε0, где

12
0
9
1
8,854 10
4
9 10
ε
π

−
=
=
⋅
⋅
⋅

 Кл2/(Н⋅м2).

И тогда закон Кулона в СИ записывается следующим образом:

1 2
2
0
.
4

e e
F
r
πε
=

Здесь величина зарядов измеряется в кулонах, расстояние в метрах, а сила в ньютонах.

1.1. 
Сравнение кулоновской 
и гравитационной сил

Вычислить отношение силы электрического отталкивания Fe двух протонов к силе их гравитационного притяжения Fg. 
Выполнить тот же расчёт для электронов.
Решение. Согласно закону Кулона и закону всемирного тяготения 
отношение силы электрического отталкивания Fe к силе гравитационного притяжения Fg не зависит от расстояния между частицами:

2
2
10
2
2
36
2
2
8
24
4,8 10
1
1
:
1,24 10
.
6,67 10
1,67 10

e

g

F
e
Gm
e
F
G
m
r
r

−

−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
=
=
⋅
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜⎝
⎠
⋅
⋅

Вычисления велись в системе СГСЭ, где G = 6,67⋅10–8 см5/(г⋅с2) — 
постоянная всемирного тяготения, т = 1,67⋅10-24 г — масса протона, 
е = 4,8⋅10–10 ед. СГСЭ — его заряд.
Для электронов отношение сил больше на 6 порядков, поскольку 
масса электрона те почти в 2000 раз меньше массы тр протона: 
тр = 1836⋅те. Действительно, повторяя приведённые выше вычисления для двух электронов, найдём:

2
2
10
2
2
42
2
2
8
27
4,8 10
1
1
:
4,17 10
.
6,67 10
0,91 10

e

g
e

F
e
Gm
e
F
G
m
r
r

−

−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
=
=
⋅
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⋅
⋅

1.2. 
Скорость движ ения электрона 
в атоме водорода

Оценить скорость движения электрона в атоме водорода, предполагая, что его движение подчиняется законам классической 
механики. Радиус орбиты электрона принять равным 0,5⋅10–8 см.
Решение. Атом водорода представляет собой систему двух частиц: 
протона и движущегося вокруг него электрона. Считая орбиту элек
1.2. Скорость движ ения электрона в атоме водорода

Глава 1. Электрическое взаимодействие
16

трона круговой, а протон неподвижным, запишем уравнение второго 
закона Ньютона для электрона:

2
2

2 ,
m
e
R
R
υ
=

откуда найдём его скорость:

10
2
8

27
8
4,8 10
“м
2,1 10
.
“
10
0,5 10

e
e
mR
mR
υ
−

−
−
⋅
=
=
≈
≈
⋅
⋅
⋅

Как видим, скорость электрона в атоме приблизительно в 150 раз 
меньше скорости света.

1.3. 
Заряженные шарики на нитях

Два одинаково заряженных шарика массы m, подвешенных в одной точке на нитях длины l, разошлись так, что угол 
между нитями стал прямым. Определите 
заряд шариков.
Решение. На каждый из зарядов действуют три силы: тяжести, кулоновской 
силы со стороны другого заряда и натяжения 
нити. В равновесии сумма этих сил равна 
нулю. Поскольку сила натяжения направлена вдоль нити, то также вдоль нити, только 
в противоположную сторону направлена и 
сумма кулоновской силы и силы тяжести. 
Поскольку нить образует угол 45° с вертикалью (см. рис. 1.1), то 
величина кулоновской силы совпадает с величиной силы тяжести:

2

2 .
2
q
mg
l
=

Отсюда находим заряд:

2
.
q
mg l
=

1.4. 
Устойчивость заряженной частицы 
в сферической полости

Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса R, чтобы в поле тяжести 
небольшой шарик массы m и заряда Q находился в верхней точке 
полости в положении устойчивого равновесия?

Рис. 1.1

Решение. Если шарик находится в верхней точке сферической 
полости, то такое положение возможно, если кулоновская сила 
превосходит по величине силу тяжести

2
.
(2 )
qQ
mg
R
>

Однако одного этого условия недостаточно для устойчивого 
равновесия шарика. Действительно, для устойчивости равновесия 
необходимо, чтобы при малых отклонениях шарика от равновесного 
положения возникали силы, направленные в сторону равновесия. Поэтому рассмотрим силы, 
действующие на шарик 
при малом отклонении 
шарика от положения 
равновесия. Пусть шарик отклонился так, что 
радиус- вектор этого 
шарика повернулся от 
вертикали на малый 
угол 2α, кулоновская 
сила тогда отклонилась 
от вертикали на вдвое 
меньший угол α, сила тяжести сохранила вертикальное направление. 
Поскольку углы малы, то расстояние между зарядами можно считать 
неизменным, как и величину кулоновской силы. Рассмотрим сумму 
проекций сил, действующих на шарик, на направление касательной АВ (см. рис. 1.3). Для устойчивости равновесия необходимо, 
чтобы проекция кулоновской силы была больше проекции силы 
тяжести (проекция силы реакции равна нулю, т.к. она перпендикулярна касательной):
F sin α > mg sin 2α.

Поскольку угол α мал, то sin α = α, откуда получаем неравенство:

F > 2mg.

Подставляя в это неравенство силу F согласно закону Кулона, 
найдём q:

2
2
,
(2 )
qQ
mg
R
>

2
8
.
mgR
q
Q
>

Рис. 1.2
Рис. 1.3

1.4. Устойчивость заряженной частицы

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Взаимодействие между электрическими зарядами, 
определяется следующим фундаментальным свойством электрических взаимодействий: электрическое взаимодействие между двумя 
точечными зарядами не зависит от присутствия третьего заряда.
Отсюда можно заключить, что если имеется много заряженных 
тел, то сила, действующая на какое-либо из них со стороны других 
заряженных тел, равна векторной сумме сил, действующих на это 
тело со стороны каждого из других тел. Это замечательное свойство 
электрических взаимодействий носит название свойства суперпозиции. 
Не следует думать, что свойство суперпозиции является непосредственным следствием, вытекающим из самого факта существования 
электрического взаимодействия. В действительности это глубокое 
свойство электрических взаимодействий представляет собой закон 
природы. Заметим, что оно присуще не одним только электрическим 
силам и играет в высшей степени важную роль в физике.

2.1. 
Равновесие пяти свободных зарядов

В вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые одноименные заряды, равные q. Какой заряд Q противоположного знака необходимо поместить в 
центре квадрата, чтобы результирующая 
сила, действующая на каждый заряд, была 
равна нулю?
Решение. Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов q. Согласно принципу суперпозиции сила, действующая на 
этот заряд, складывается из четырёх сил: 
трёх сил отталкивания F1, F2, F3 со стороны 
трёх других зарядов q, находящихся в вершинах квадрата, и силы притяжения F4 со 
 Рис. 2.1

Г Л А В А 
 2