Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной: Теория и задачи

УДК 517.2
ББК 22.161.6
       С14

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета 
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова

Р:

доцент ф-та ВМК МГУ к.ф.-м.н. В. В. Тихомиров, 
проф. ф-та ВМК МГУ д.ф.-м.н. В. В. Фомичёв

ISBN 978-5-19-011094-4

© И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова, 2015
© Факультет вычислительной математики и кибернетики 
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2015
© Издательство Московского университета, 2015 

Садовничая И. В., Фоменко Т. Н., Хорошилова Е. В.
Математический анализ. Дифференцирование функции одной 
переменной: Теория и задачи. Учебное пособие для студентов 
1 курса университетов.– М.: Издательство Московского университета, 2015. – 152 с.

ISBN 978-5-19-011094-4

Издание посвящено теоретическим и практическим аспектам темы 
«Дифференцирование функции одной переменной», изучаемой в рамках 
программы курса математического анализа. Оно основано на опыте чтения авторами лекций и ведения практических занятий на факультете 
ВМК МГУ. Пособие содержит 3 главы, первая из которых посвящена общим теоретическим аспектам. Она содержит основные понятия и факты, 
связанные с дифференцированием функций, а также некоторые примеры 
применения производных для решения различных задач. Во второй главе 
излагается общая схема исследования функции и построения ее графика, 
даются рекомендации по решению задач на отыскание наибольшего 
(наименьшего) значения функции на заданном множестве. Демонстрируется ряд примеров решения таких задач. Третья глава содержит задачи 
по всем рассматриваемым разделам. Большая часть задач приводится 
с подробными решениями, остальные рекомендуются для самостоятельной работы студентов. Ко всем задачам даны ответы. Цель данного учебного пособия – помочь студенту в изучении теоретической части и приобретении практических навыков решения задач по теме «Дифференцирование функции одной переменной».
Для студентов университетов. Издание может быть полезно преподавателям, читающим лекции и ведущим практические занятия по математическому анализу и всем, кто желает самостоятельно изучить данные 
темы или более подробно с ними ознакомиться.

С14

УДК 517.2
ББК 22.161.6

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      4

Г1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ    . . . . . . . . . . .      5

§1. Понятие дифференцируемости. 
Производная и ее свойства    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      5

§2. Дифференциал функции, 
его свойства и применение    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     13

§3. Производные и дифференциалы высших порядков, 
формула Лейбница. Дифференцирование 
параметрически заданной функции    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     15

§4. Основные теоремы о дифференцируемых 
функциях    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     19

§5. Раскрытие неопределенностей    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     25

§6. Формулы Тейлора и Маклорена    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     32

§7. Исследование функций    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     43

Г2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ 
ГРАФИКОВ    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     54

§1. Общая схема исследования функции и построения 
ее графика    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      54

§2. Отыскание наибольшего или наименьшего 
значения функции на множестве    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     63

Г3. ЗАДАЧИ    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     67

§1. Задачи к главе 1    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     67

§2. Задачи к главе 2    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    116

§3. Ответы и решения    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    129

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   150

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемые читатели! Учебное пособие содержит материал по теме 
«Диф ференцирование функции одной переменной» в объеме про грам  мы по математическому анализу для первого курса факультета ВМК. 
Данное издание продолжает серию учебных пособий [8]–[12], написанных авторами в предыдущие годы и посвященных различным разделам математического анализа, изучаемого на первом курсе.
В пособии три главы. В 1 и 2 главах излагается теоретический материал. В первой главе приводится основной теоретический материал по 
данной теме. Во второй главе содержится теоретический материал 
и примеры по исследованию поведения функции и построению ее графика, а также по отысканию наибольшего (наименьшего) значений 
функции на множестве. В каждой из первых двух глав своя двойная нумерация определений и всех утверждений, с указанием номера параграфа.
В третьей главе помещены задачи по всем разделам первых двух глав. 
В ней содержатся не только задачи из известного задачника Б. П. Демидовича, но и из других источников. Мы полагаем, что решение задач 
является одной из наиболее эффективных форм усвоения теоретического материала. Большая часть задач приводится с подробными решениями, остальные даются для самостоятельной работы студентов. 
Ко всем задачам даны ответы.
В конце пособия имеется список литературы, где перечисляются 
учебники и задачники, которые использовались при составлении данного пособия, а также некоторые источники для дальнейшего знакомства с изложенными в пособии темами.
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов первого 
курса факультета ВМК МГУ, а также для первокурсников других университетов, изучающих математический анализ. Мы надеемся, что оно 
окажется полезным как студентам, так и преподавателям при изучении 
или преподавании данной темы.

И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова

Глава 1.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.

§1. Понятие дифференцируемости. Производная и ее
свойства.

Пусть функция y
=
f(x) определена на промежутке
(a, b); точка x0 ∈ (a, b); число ∆x достаточно мало, так что
x0 + ∆x ∈ (a, b).

Определение 1.1. Приращением функции y = f(x) в
точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, называется число ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0).

Утверждение 1.1. Функция y = f(x) непрерывна в точке
x0 тогда и только тогда, когда lim
∆x→0 ∆y = 0.

Доказательство.
По
определению
функция
f(x)
непрерывна
в
точке
x0
тогда
и
только
тогда,
когда
lim
∆x→0 f(x0
+
∆x)
=
f(x0),
что
равносильно

lim
∆x→0(f(x0 + ∆x) − f(x0)) = 0. □

Определение 1.2. Число
lim
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x
(при

условии, что этот предел существует) называется производной функции y = f(x) в точке x0.

Обозначения: f′(x0), f′(x)|x=x0, y′(x0), df

dx

x=x0, dy

dx

x=x0.

Определение 1.3. Правой (левой) производной функции y = f(x) в точке x0 называется число

f′
+ =
lim
∆x→0+0
f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x
(
f′
− =
lim
∆x→0−0
f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x

)
.

Утверждение 1.2. Функция y
=
f(x) имеет в точке
x0
производную
f′(x0)
тогда
и
только
тогда,
когда
f′
+(x0) = f′
−(x0)(= f′(x0)).

5

Пример 1.1. Рассмотрим функцию f(x) = |x|. Вычислим
ее левую и правую производную в точке x0 = 0:

f′
+(0) =
lim
∆x→0+0
|0 + ∆x| − |0|

∆x
=
lim
∆x→0+0
∆x
∆x = 1;

f′
−(0) =
lim
∆x→0−0
|0 + ∆x| − |0|

∆x
=
lim
∆x→0−0
−∆x
∆x = −1.

Очевидно, что в данном случае f′
+(0) ̸= f′
−(0), следовательно,
f′(0) не существует.

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции y = f(x). Отметим на нем точки M(x0, f(x0)) и N(x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)). Прямая MN называется секущей графика функции f(x). Зафиксируем точку
M. Тогда угол между секущей MN и осью Ox зависит только
от ∆x. Обозначим его φ(∆x).

Определение
1.4. Касательной к графику функции
y = f(x) в точке M называется предельное положение секущей MN при стремлении точки N к точке M (то есть
при стремлении приращения ∆x к нулю).

Угол φ(∆x) при этом стремится к некоторому углу φ0, который называется углом наклона касательной к оси Ox.

Теорема 1.1. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, то в точке M(x0, f(x0)) существует касательная к графику f(x), причем tg φ0 = f′(x0), где φ0 — угол
между касательной и положительным направлением оси Ox,
−π

2 < φ0 < π

2 .

Доказательство. Обозначим через H = H(x0 + ∆x, f(x0))
точку с координатами (x0+∆x, f(x0)). Тогда ∠NMH = φ(∆x),

tg ∠NMH = NH

MH = f(x0 + ∆x) − f(x0)

(x0 + ∆x) − x0
= ∆y

∆x.

Следовательно, φ(∆x) = arctg ∆y

∆x. Перейдем к пределу при

∆x → 0:
lim
∆x→0 φ(∆x) =
lim
∆x→0 arctg ∆y

∆x
= arctg lim
x→0
∆y
∆x
=

= arctg f′(x0) = φ0.
□

6

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке
M(x0, f(x0)) имеет вид: y = f′(x0)(x − x0) + f(x0).

Определение
1.5.
Функция
y
=
f(x)
называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) может быть представлено в виде:

∆y = A∆x + ¯o(∆x),
∆x → 0
или
∆y = A∆x + α(∆x) · ∆x,

где α(∆x) → 0 при ∆x → 0. Здесь A — некоторая постоянная,
не зависящая от ∆x.

Теорема 1.2. Функция y = f(x) дифференцируема в точке
x0 тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную f′(x0). При этом постоянная A в определении дифференцируемости равна f′(x0).

Доказательство.
Необходимость.
Пусть
∆y = A∆x + α(∆x) · ∆x, где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.

Тогда ∆y

∆x = A + α(∆x), следовательно,

f′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x = lim
∆x→0(A + α(∆x)) = A.

Достаточность.
Пусть
существует
f′(x0).
Тогда
∆y
∆x = f′(x0)+¯o(1) при ∆x → 0. Значит, ∆y = f′(x0)∆x+¯o(∆x)
при ∆x → 0. □

Теорема 1.3. Если функция y = f(x) дифференцируема в
точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как

∆y = f′(x0)∆x + ¯o(∆x) = f′(x0)∆x + α(∆x)(∆x),

где α(∆x) — бесконечно малая при ∆x → 0, то lim
∆x→0 ∆y = 0. □

Замечание 1.1. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция f(x) = |x| непрерывна, но не дифференцируема в
точке x = 0.

Теорема 1.4 (производная сложной функции). Пусть
функция x = φ(t) дифференцируема в точке t0, а функция

7

y = f(x) дифференцируема в точке x0 = φ(t0). Тогда сложная функция y = f(x(t)) дифференцируема в точке t0, причем

(f(φ(t0))′t=t0 = f′(x0) · φ′(t0).

Доказательство. Выберем приращение ∆t ̸= 0. Тогда соответствующее ему приращение функции x = φ(t) представляется в виде: ∆x = φ(t0 + ∆t) − φ(t0). Приращение функции y = f(x), соответствующее приращению ∆x, имеет вид:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0). Так как функция f(x) дифференцируема в точке x0, то ∆y = f′(x0)∆x+α(∆x)∆x, где α(∆x) → 0
при ∆x → 0. Отсюда получаем, что

∆y
∆t = f′(x0)∆x

∆t + α(∆x)∆x

∆t =

= f′(x0)φ′(t0)∆t + β(∆t)∆t

∆t
+ α(∆x)φ′(t0)∆t + β(∆t)∆t

∆t
=

= f′(x0)φ′(t0) + f′(x0)β(∆t) + φ′(t0)α(∆x) + β(∆t)α(∆x) =

= f′(x0)φ′(t0) + ¯o(1),
∆t → 0.

Здесь β(∆t) → 0 при ∆t → 0 в силу дифференцируемости
функции x = φ(t) в точке t0; поскольку из дифференцируемости функции следует ее непрерывность, то можно утверждать,
что ∆x → 0 при ∆t → 0. Значит, действительно выражение

f′(x0)β(∆t) + φ′(t0)α(∆x) + β(∆t)α(∆x) = ¯o(1)

при
∆t
→
0. Отсюда следует, что сложная функция
y = f(x(t)) дифференцируема в точке t0 и ее производная
(f(φ(t0))′t=t0 = f′(x0) · φ′(t0). □

Теорема 1.5 (производная обратной функции). Пусть
функия y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой
окрестности точки x0; пусть существует f′(x0) ̸= 0. Тогда
в некоторой окрестности точки y0 = f(x0) определена обратная функция x = f−1(y), причем она дифференцируема в точке
y0 и
(
f−1(y)
)′ y0 =
1

f′(x0).

8

Доказательство. Обратная функция x
=
f−1(y) определена, строго монотонна и непрерывна в окрестности точки y0 по теореме об обратной функции. Пусть приращение ее аргумента ∆y
̸=
0; тогда приращение функции
∆x = f−1(y0 + ∆y) − f−1(y0) также отлично от нуля (в силу строгой монотонности обратной функции). Значит, можем

утверждать, что ∆x

∆y = 1

∆y
∆x
. Кроме того, так как x0 = f−1(y0),

x0 + ∆x = f−1(y0) + ∆x =

= f−1(y0) + f−1(y0 + ∆y) − f−1(y0) = f−1(y0 + ∆y),

то
f(x0 + ∆x) = f(f−1(y0 + ∆y)) = y0 + ∆y.

Следовательно,

f(x0 + ∆x) − f(x0) = y0 + ∆y − f(f−1(y0)) = ∆y,

то есть выражение ∆y действительно есть приращение функции y = f(x) в точке x0, соответствующее приращению аргумента ∆x. Заметим также, что ∆x → 0 при ∆y → 0, поскольку
функция f−1(y) непрерывна в точке y0. Отсюда

lim
∆y→0
∆x
∆y = lim
∆y→0
1
∆y
∆x
= lim
∆x→0
1
∆y
∆x
=
1

lim
∆x→0

∆y
∆x
=
1

f′(x0).

Это и означает дифференцируемость обратной функции. □

Теорема 1.6. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы

в точке x0, то функции u(x) ± v(x), u(x) · v(x) и u(x)

v(x) (если

v(x0) ̸= 0) также дифференцируемы в точке x0, причем

(u(x) ± v(x))′ x0 = u′(x0) ± v′(x0);

(u(x) · v(x))′ x0 = u′(x0) · v(x0) + u(x0) · v′(x0);

(u(x)

v(x)

)′ x0 = u′(x0) · v(x0) − u(x0)v′(x0)

v2(x0)
.

9

Доказательство.
1)
Обозначим:
y(x)
=
u(x) ± v(x),
∆u
=
u(x0 + ∆x) − u(x0), ∆v
=
v(x0 + ∆x) − v(x0),
∆y = y(x0 + ∆x) − y(x0). Тогда

∆y = (u(x0 + ∆x) ± v(x0 + ∆x)) − (u(x0) ± v(x0)) =

= (u(x0 + ∆x) − u(x0)) ± (v(x0 + ∆x) − v(x0)) = ∆u ± ∆v.

Значит, lim
∆x→0
∆y
∆x = lim
∆x→0

(∆u

∆x ± ∆v

∆x

)
= u′(x0) ± v′(x0).

2) Пусть теперь y(x) = u(x) · v(x). Тогда

∆y = (u(x0 + ∆x) · v(x0 + ∆x)) − (u(x0) · v(x0)) =

= u(x0 + ∆x)(v(x0 + ∆x) − v(x0)) + v(x0)(u(x0 + ∆x) − u(x0)) =

= u(x0 + ∆x)∆v + v(x0)∆u. Следовательно, lim
∆x→0
∆y
∆x =

= lim
∆x→0 u(x0+∆x)∆v

∆x+ lim
∆x→0 v(x0)∆u

∆x = u(x0)v′(x0)+v(x0)u′(x0).

Мы воспользовались тем фактом, что функция u(x) дифференцируема в точке x0, следовательно, непрерывна в этой точке и
lim
∆x→0 u(x0 + ∆x) = u(x0).

3) Наконец, обозначим y(x) = u(x)

v(x), причем v(x0) ̸= 0. Так

как функция v(x) непрерывна в точке x0 и v(x0) ̸= 0, то существует вещественное δ > 0 такое, что v(x) ̸= 0, если x ∈ Bδ(x0).
Пусть |∆x| < δ. Тогда ∆y =

= u(x0 + ∆x)

v(x0 + ∆x) − u(x0)

v(x0) = u(x0 + ∆x)v(x0) − v(x0 + ∆x)u(x0)

v(x0 + ∆x)v(x0)
=

= v(x0)(u(x0 + ∆x) − u(x0)) − u(x0)(v(x0 + ∆x) − v(x0))

v(x0 + ∆x)v(x0)
=

= v(x0)∆u − u(x0)∆v

v(x0 + ∆x)v(x0)
. Отсюда получаем, что lim
∆x→0
∆y
∆x =

= lim
∆x→0
v(x0) ∆u

∆x − u(x0) ∆v

∆x

v(x0 + ∆x)v(x0)
= u′(x0) · v(x0) − u(x0)v′(x0)

v2(x0)
.

Мы снова воспользовались непрерывностью функции v(x) в
точке x0, откуда следует, что lim
∆x→0 v(x0 + ∆x) = v(x0). □

10

Производные основных элементарных функций.

1) C′ = 0, так как ∆C ≡ 0 в любой точке.

2) (x)′|x0 = lim
∆x→0
(x0 + ∆x) − x0

∆x
= 1.

3) (ex)′|x0 =
lim
∆x→0
ex0+∆x − ex0

∆x
= ex0 lim
∆x→0
e∆x − 1

∆x
= ex0 (по

следствию из второго замечательного предела).

(ax)′ =
(
ex ln a)′
= ex ln a(x ln a)′ = ex ln aln a = ax ln a.

4) (loga x)′ = {y = loga x} =
1

(ay)′ =
1

ay ln a =
1

aloga x ln a =
1

x ln a
(по теореме о производной обратной функции, x > 0). В част
ности, (ln x)′ = 1

x.

5)(xα)′ =
(
eα ln x)′ = eα ln x(α ln x)′ = eα ln xα1

x = xαα1

x = αxα−1,
x ̸= 0.

6)(sin x)′|x0 = lim
∆x→0
sin(x0 + ∆x) − sin x0

∆x
=

= lim
∆x→0
2 sin ∆x

2 cos
(
x0 + ∆x

2
)

∆x
= cos x0 lim
∆x→0
sin ∆x

2

∆x
2
= cos x0

(использовали первый замечательный предел).

7)(cos x)′ =
(
sin
(π

2 − x
))′
=
(π

2 − x
)′
cos
(π

2 − x
)
= − sin x.

8) (tg x)′ =
( sin x

cos x

)′
= (sin x)′ cos x − (cos x)′ sin x

cos2 x
=
1

cos2 x,

x ̸= π

2 + πk.

9) (ctg x)′ =
(cos x

sin x

)′
= −
1

sin2 x,
x ̸= πk, k ∈ Z.

10) (arcsin x)′
=
{y
=
arcsin x}
=
1

(sin y)′
=
1

cos y
=

=
1

cos(arcsin x) =
1
√

1 − sin2(arcsin x)
=
1
√

1 − x2 ,
−1 < x < 1.

Здесь мы снова применили теорему о производной обратной
функции. Перед корнем выбран знак ”+”, поскольку функция
arcsin x при −1 < x < 1 принимает значения на промежутке
(−π/2, π/2), следовательно, cos(arcsin x) > 0.

11