Непрерывная математика: теория и практика. Предел последовательности и предел функции, непрерывные и дифференцируемые функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. В. Абрамян

НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Предел последовательности и предел функции,

непрерывные и дифференцируемые функции

Учебник

Ростов-на-Дону ─ Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2018

УДК 517.4(075.8)
ББК 22.162я73

А16

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича 

Южного федерального университета (протокол № 4 от 14 апреля 2017 г.)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики 

и вычислительного эксперимента 

Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича 

Южного федерального университета

В. С. Пилиди;

доктор физико-математических наук, профессор кафедры

математики, физики и информационных технологий

Донского казачьего института пищевых технологий и бизнеса (филиал)
Московского государственного университета технологий и управления

им. К. Г. Разумовского (Первый казачий университет)

В. Н. Беркович

Абрамян, А. В.

А16
Непрерывная математика: теория и практика. Предел последова
тельности и предел функции, непрерывные и дифференцируемые функции : учебник / А. В. Абрамян ; Южный федеральный университет. 
Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2018.  253 с.

ISBN 978-5-9275-2499-0

В учебнике освещены начальные темы курса «Непрерывная математика»: метод ма
тематической индукции, предел последовательности, предел функции, непрерывность, 
производная и ее приложения. Материал построен так, чтобы максимально облегчить студентам его изучение: сначала излагаются теоретические сведения и рассматриваются многочисленные примеры, демонстрирующие различные виды задач и методы их решения, затем предлагаются задания для самостоятельного выполнения. В конце учебника ко всем 
задачам для самостоятельного решения даны ответы. Для многих результатов приводится 
их графическая интерпретация.

Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 02.03.02 

«Фундаментальная информатика и информационные технологии».

УДК 517.4(075.8)
ББК 22.162я73

ISBN 978-5-9275-2499-0

© Южный федеральный университет, 2018
© Абрамян А. В., 2018
© Оформление. Макет. Издательство 

Южного федерального университета, 2018

Оглавление

Предисловие........................................................................................................5

Глава 1. Введение .............................................................................................7 

1.1. Метод математической индукции...........................................................7 
1.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................26

Глава 2. Предел последовательности.........................................................30 

2.1. Определение сходящейся последовательности...................................30 

2.1.1. Последовательности, имеющие конечный предел.........................30 
2.1.2. Бесконечно большие последовательности......................................38 
2.1.3. Последовательности, стремящиеся к +∞.......................................43 
2.1.4. Последовательности, стремящиеся к −∞.......................................47 

2.2. Вычисление предела последовательности ...........................................49 
2.3. Задачи для самостоятельного решения ................................................63

Глава 3. Предел функции..............................................................................64 

3.1. Определение предела функции .............................................................64 

3.1.1. Предел функции при 𝒙 → 𝒂, 𝒂 ∈ 𝐑..................................................64 
3.1.2. Предел функции при 𝒙 → +∞..........................................................70 
3.1.3. Предел функции при 𝒙 → −∞..........................................................74 
3.1.4. Предел функции при 𝒙 → ∞.............................................................79 
3.1.5. Бесконечно большие функции при 𝒙 → 𝒂 ......................................80 
3.1.6. Функции, стремящиеся к +∞ при 𝒙 → 𝒂........................................82 
3.1.7. Функции, стремящиеся к −∞ при 𝒙 → 𝒂........................................83 
3.1.8. Односторонние пределы...................................................................84 
3.1.9. Бесконечно большие функции при 𝒙 → ∞......................................86 

3.2. Вычисление пределов.............................................................................87 

3.2.1. Предел отношения многочленов......................................................90 
3.2.2. Пределы иррациональных функций................................................95 
3.2.3. Использование эквивалентностей ...................................................99 
3.2.4. Предел степенно-показательной функции....................................112 

3.3. Непрерывность и точки разрыва.........................................................119 
3.4. Задачи для самостоятельного решения ..............................................124

Глава 4. Производная функции одной переменной ..............................127 

4.1. Производная явной функции...............................................................127 
4.2. Производные высших порядков..........................................................141 
4.3. Производная обратной функции .........................................................147 
4.4. Производная функции, заданной параметрически............................149 
4.5. Производная функции, заданной неявно............................................153 
4.6. Производная функции, заданной  в полярных координатах............156 
4.7. Задачи для самостоятельного решения ..............................................158 

Глава 5. Приложения производной.......................................................... 162 

5.1. Правило Лопиталя................................................................................ 162 
5.2. Формула Тейлора ................................................................................. 172 

5.2.1. Символ 𝒐 и его свойства ................................................................ 172 
5.2.2. Разложение функций по формуле Тейлора.................................. 175 
5.2.3. Приближенные вычисления .......................................................... 185 

5.3. Формула Тейлора: раскрытие неопределенностей........................... 191 
5.4. Задачи для самостоятельного решения.............................................. 197

Глава 6. Построение графиков функций................................................ 200 

6.1. Предварительные сведения................................................................. 200 

6.1.1. Критерий монотонности функции ................................................ 200 
6.1.2. Экстремум функции ....................................................................... 200 
6.1.3. Выпуклые функции ........................................................................ 201 
6.1.4. Касательная к графику функции................................................... 202 
6.1.5. Точки перегиба................................................................................ 202 
6.1.6. Асимптоты....................................................................................... 203 

6.2. Построение графиков функций .......................................................... 204 
6.3. Задачи для самостоятельного решения.............................................. 223

Глава 7. Справочные сведения................................................................. 226 

7.1. Формулы для возведения в степень ................................................... 226 
7.2. Формулы сокращенного умножения.................................................. 227 
7.3. Арифметическая прогрессия............................................................... 228 
7.4. Геометрическая прогрессия ................................................................ 228 
7.5. Тригонометрические формулы........................................................... 229 

7.5.1. Значения и связь с обратными функциями.................................. 229 
7.5.2. Формулы приведения..................................................................... 230 
7.5.3. Период синуса и косинуса ............................................................. 232 
7.5.4. Период тангенса и котангенса....................................................... 232 
7.5.5. Сумма и разность тригонометрических функций....................... 233 
7.5.6. Функции суммы и разности аргументов ...................................... 233 
7.5.7. Функции удвоенного аргумента.................................................... 233 
7.5.8. Формулы понижения степени ....................................................... 234 

7.6. Эквивалентные функции ..................................................................... 234 
7.7. Таблица производных.......................................................................... 234 
7.8. Формула Тейлора ................................................................................. 235

Ответы к задачам для самостоятельного решения ............................... 236

Литература ..................................................................................................... 252 

Предисловие

В учебнике дается краткое описание теоретического материала по изу
чаемым разделам курса, приведены и подробно разобраны примеры, иллю
стрирующие различные виды задач и методы их решения. В конце каждой 

главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения. Все задачи

для самостоятельного решения снабжены ответами. Учебник содержит 

большое количество иллюстраций.

Обширный набор примеров и задач, включенных в учебник, дает воз
можность читателю после ознакомления с примерами по выбранной теме

закрепить изученные приемы, решая задачи по той же теме. Для ряда при
меров приводится несколько вариантов их решения. Часть формулировок 

примеров и задач была взята из классического задачника [3].

Учебник состоит из 7 глав. Глава 1 является вводной. В ней дается по
дробное описание различных вариантов метода математической индукции, 

широко применяемого при доказательстве математических утверждений и 

решении практических задач. Глава 2 посвящена изучению понятия число
вой последовательности и ее предела, а также различным методам вычисле
ния пределов числовых последовательностей. Глава 3 знакомит читателя с

понятием предела функции и различными способами его вычисления; кроме 

того, в ней обсуждается понятие непрерывной функции и дается классифи
кация точек разрыва. В главе 4 вводится понятие производной функции и 

предлагаются различные способы ее вычисления для функций, заданных 

явно, параметрически, в полярных координатах и неявным образом. Главы 5 

и 6 посвящены приложениям понятия производной. В главе 5 рассматрива
ется использование производной для раскрытия неопределенностей при вы
числении пределов и разложение функций по формуле Тейлора. Глава 6 по
священа исследованию функций с помощью производной и построению

Предисловие

графиков функций. Глава 7 содержит справочные сведения, необходимые 

при изучении рассматриваемых разделов курса.

Предлагаемый учебник призван помочь студентам направления подго
товки 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные техно
логии» в изучении практической части курса «Непрерывная математика» за 

первый семестр.

Глава 1. Введение

1.1. Метод математической индукции

Метод математической индукции состоит в следующем: утверждение 

𝑃(𝑛), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого нату
рального n, если выполняются следующие условия: 

1) утверждение 𝑃(1) истинно; 

2) если для произвольного 𝑘 ∈ 𝑁
утверждение 𝑃(𝑘)
истинно,

то утверждение 𝑃(𝑘 + 1) также истинно. 

Таким образом, доказательство утверждения по методу математиче
ской индукции состоит из двух частей: 

1) База индукции: проверяем истинность утверждения 𝑃(1). 

2) Индукционный переход: в предположении, что утверждение 𝑃(𝑘)

истинно для некоторого 𝑘 ∈ 𝑁 (индукционное предположение),

доказывается истинность утверждения 𝑃(𝑘 + 1). 

Пример 1.1. Доказать методом математической индукции, что при лю
бом натуральном 𝑛 верно равенство

13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = 𝑛2(𝑛 + 1)2

4
.

Решение. Обозначим

𝑆𝑛 = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3.

Тогда утверждение 𝑃(𝑛) состоит в том, что имеет место равенство

𝑆𝑛 = 𝑛2(𝑛 + 1)2

4
.

1) Проверяем базу индукции (истинность утверждения 𝑃(1)):

𝑆1 = 13 = 1,

Глава 1. Введение

12(1 + 1)2

4
= 1.

Вывод: утверждение 𝑃(1) истинно.

2) Индукционное предположение: предположим, что для некоторого 

𝑘 ≥ 1 верно утверждение 𝑃(𝑘):

𝑆𝑘 = 𝑘2(𝑘 + 1)2

4
.

Индукционный переход: докажем, что тогда верно утверждение 𝑃(𝑘 + 1):

𝑆𝑘+1 = (𝑘 + 1)2(𝑘 + 2)2

4
.

Сравним суммы 𝑆𝑘 и 𝑆𝑘+1:

𝑆𝑘 = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3,

𝑆𝑘+1 = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3
⏟              

=𝑆𝑘

+(𝑘 + 1)3.

Мы видим, что имеет место равенство

𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘+(𝑘 + 1)3.

Подставляя в правую часть выполняющееся по предположению индукции 

равенство 𝑆𝑘 =

𝑘2(𝑘+1)2

4
, получаем

𝑆𝑘+1 = 𝑘2(𝑘 + 1)2

4
+ (𝑘 + 1)3 =

= (𝑘 + 1)2 ∙ (𝑘2

4 + (𝑘 + 1)) =

= (𝑘 + 1)2 ∙ 𝑘2 + 4𝑘 + 4

4
= (𝑘 + 1)2(𝑘 + 2)2

4
.

Утверждение 𝑃(𝑘 + 1) доказано. 

Пример 1.2. Доказать методом математической индукции, что при лю
бом натуральном 𝑛 верно равенство

1.1. Метод математической индукции
9

1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) =

= 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

4
.

Решение. Обозначим

𝑆𝑛 = 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2).

Тогда утверждение 𝑃(𝑛) состоит в том, что имеет место равенство

𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

4
.

1) Проверяем базу индукции (истинность утверждения 𝑃(1)). Левая 

часть доказываемого равенства при 𝑛 = 1 равна

𝑆1 = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6,

правая часть доказываемого равенства при 𝑛 = 1 равна

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

4
= 6.

Вывод: утверждение 𝑃(1) истинно.

2) Индукционное предположение: предположим, что для 𝑘 ≥ 1 верно 

утверждение 𝑃(𝑘): 

𝑆𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

4
.

Индукционный переход: докажем, что тогда верно утверждение 𝑃(𝑘 + 1):

𝑆𝑘+1 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)(𝑘 + 4)

4
.

Сравним суммы 𝑆𝑘 и 𝑆𝑘+1:

𝑆𝑘 = 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑘 ∙ (𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 2),

𝑆𝑘+1 = 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑘 ∙ (𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 2)
⏟                            

=𝑆𝑘

+

+(𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 2) ∙ (𝑘 + 3).

Мы видим, что имеет место равенство

𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + (𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 2) ∙ (𝑘 + 3).

Глава 1. Введение

Подставляя в правую часть последнего соотношения выполняющееся по 

предположению индукции равенство

𝑆𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

4
 ,

получаем

𝑆𝑘+1 = 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

4
+ (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) =

= (𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 2) ∙ (𝑘 + 3) ∙ (𝑘

4 + 1) =

= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)(𝑘 + 4)

4
.

Утверждение 𝑃(𝑘 + 1) доказано.

Пример 1.3. Доказать методом математической индукции, что при лю
бом натуральном 𝑛 верно равенство

12

1 ∙ 3 + 22

3 ∙ 5 + ⋯ +
𝑛2

(2𝑛 − 1) ∙ (2𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)

2(2𝑛 + 1).

Решение. Обозначим

𝑆𝑛 = 12

1 ∙ 3 + 22

3 ∙ 5 + ⋯ +
𝑛2

(2𝑛 − 1) ∙ (2𝑛 + 1).

Тогда утверждение 𝑃(𝑛) состоит в том, что имеет место равенство

𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

2(2𝑛 + 1).

1) Проверяем базу индукции (истинность утверждения 𝑃(1)). Левая 

часть доказываемого равенства при 𝑛 = 1 равна

𝑆1 = 12

1 ∙ 3 = 1

3 ,

правая часть при 𝑛 = 1 равна

1(1 + 1)
2(2 + 1) = 1

3 .

1.1. Метод математической индукции
11

Вывод: утверждение 𝑃(1) истинно.

2) Индукционное предположение: предположим, что для 𝑘 ≥ 1 верно 

равенство 𝑃(𝑘): 

𝑆𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)

2(2𝑘 + 1).

Индукционный переход: докажем, что тогда верно утверждение 𝑃(𝑘 + 1):

𝑆𝑘+1 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2(2𝑘 + 3)
.

Сравним суммы 𝑆𝑘 и 𝑆𝑘+1:

𝑆𝑘 = 12

1 ∙ 3 + 22

3 ∙ 5 + ⋯ +
𝑘2

(2𝑘 − 1) ∙ (2𝑘 + 1) ;

𝑆𝑘+1 = 12

1 ∙ 3 + 22

3 ∙ 5 + ⋯ +
𝑘2

(2𝑘 − 1) ∙ (2𝑘 + 1)
⏟                        

=𝑆𝑘

+

+
(𝑘 + 1)2

(2𝑘 + 1) ∙ (2𝑘 + 3).

Мы видим, что имеет место равенство

𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 +
(𝑘 + 1)2

(2𝑘 + 1) ∙ (2𝑘 + 3).

Подставляя в правую часть выполняющееся по предположению индукции 

равенство 𝑆𝑘 =

𝑘(𝑘+1)

2(2𝑘+1), получаем

𝑆𝑘+1 = 𝑘(𝑘 + 1)

2(2𝑘 + 1) +
(𝑘 + 1)2

(2𝑘 + 1) ∙ (2𝑘 + 3) =

= 𝑘 + 1

2𝑘 + 1 ∙ (𝑘

2 + 𝑘 + 1

2𝑘 + 3) = 𝑘 + 1

2𝑘 + 1 ∙ 2𝑘2 + 5𝑘 + 2

2(2𝑘 + 3)
=

= 𝑘 + 1

2𝑘 + 1 ∙ (2𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 2)

2(2𝑘 + 3)
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2(2𝑘 + 3)
.

Утверждение 𝑃(𝑘 + 1) доказано.

Глава 1. Введение

Пример 1.4. Доказать методом математической индукции, что при лю
бом натуральном 𝑛 верно равенство

13 − 23 + 33 − 43 + ⋯ + (2𝑛 − 1)3 − (2𝑛)3 = −𝑛2(4𝑛 + 3).

Решение. Обозначим

𝑆𝑛 = 13 − 23 + 33 − 43 + ⋯ + (2𝑛 − 1)3 − (2𝑛)3.

Тогда утверждение 𝑃(𝑛) состоит в том, что имеет место равенство

𝑆𝑛 = −𝑛2(4𝑛 + 3).

1) Проверяем базу индукции (истинность утверждения 𝑃(1)): левая 

часть доказываемого равенства при 𝑛 = 1 равна

𝑆1 = 13 − 23 = −7,

правая часть при 𝑛 = 1 равна

(−1)2 ∙ (4 ∙ 1 + 3) = −7.

Вывод: утверждение 𝑃(1) истинно.

2) Индукционное предположение: предположим, что для 𝑘 ≥ 1 верно 

утверждение 𝑃(𝑘):

𝑆𝑘 = −𝑘2(4𝑘 + 3).

Индукционный переход: докажем, что тогда верно утверждение 𝑃(𝑘 + 1):

𝑆𝑘+1 = −(𝑘 + 1)2(4𝑘 + 7).

Сравним суммы 𝑆𝑘 и 𝑆𝑘+1:

𝑆𝑘 = 13 − 23 + 33 − 43 + ⋯ + (2𝑘 − 1)3 − (2𝑘)3;

𝑆𝑘+1 = 13 − 23 + 33 − 43 + ⋯ + (2𝑘 − 1)3 − (2𝑘)3
⏟                            

=𝑆𝑘

+

+(2𝑘 + 1)3 − (2𝑘 + 2)3.

Мы видим, что имеет место равенство

𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + (2𝑘 + 1)3 − (2𝑘 + 2)3.

Подставляя в правую часть выполняющееся по предположению индукции 

равенство 𝑆𝑘 = −𝑘2(4𝑘 + 3), получаем

𝑆𝑘+1 = −𝑘2(4𝑘 + 3) + (2𝑘 + 1)3 − (2𝑘 + 2)3 =