Специальные разделы математики

СПЕЦИАЛЬНЫЕ

РАЗДЕЛЫ 

МАТЕМАТИКИ

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

201В.А. КрАмАрь, В.А. КАрАпетьян, В.В. АльчАКоВ

Севастопольский государственный университет

ПРАКТИКУМ

Крамарь В.А., Карапетьян В.А., Альчаков В.В.
Специальные разделы математики: Практикум. — М.: Вузов
ский учебник: ИНФРА-М, 2019. — 123 с.

ISBN 978-5-9558-0504-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012039-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104710-1 (ИНФРА-М, online)

Рассмотрены специальные разделы математики, которые используют
ся при изучении ряда специализированных дисциплин по направлению 
«Управление в технических системах». Приведены основные понятия, 
определения, теоремы. Для закрепления теоретического материала в конце каждого раздела приведены примеры и упражнения.

Предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов машино
строительных и приборостроительных специальностей вузов, а также слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в области систем управления.

К77

© Вузовский учебник, 2016

УДК 51-74(075.8)
ББК 22.1
 
К77

Подписано в печать 19.02.2019. Формат 60 90/16. Бумага офсетная 

Печать цифровая. Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 8,0 

ППТ20. Заказ № 00000

ТК 632778-1019406-240616

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ISBN 978-5-9558-0504-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012039-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104710-1 (ИНФРА-М, online)

УДК 51-74(075.8)
ББК 22.1

ООО «Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52

www.vuzbook.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Предисловие

Настоящее учебное пособие написано на основе курса «Специальные разделы математики», читаемого на протяжении ряда лет 
студентам, обучающимся по направлению «Управление в технических системах». Целью преподавания дисциплины «Специальные 
разделы математики» является необходимость углубить и расширить 
знания студентов по ряду областей высшей математики, которые 
являются теоретической основой специальных дисциплин, а также 
дать студентам полное представление об основных принципах работы с различными видами математических моделей, используемых в 
инженерной практике. Кроме того, студенты должны овладеть навыками решения практических задач. Учебное пособие составлено в 
соответствии с рабочей программой дисциплины «Специальные 
разделы математики» направления 27.03.01 «Управление в технических системах» и обеспечивает полную теоретическую и методическую поддержку соответствующих разделов математики.

Глава 1 
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 
В ОПИСАНИИ СИСТЕМ

1.1 
Краткие теоретические сведения

Множество есть совокупность элементов. Все элементы множества предполагаются различными. Элементы множеств — это отдельные объекты, из которых состоит множество.
Принадлежность элемента множеству обозначается как a
A
∈
, 
непринадлежность — как a
A
∉
.
Конечным называется множество, содержащее конечное число 
элементов. Количество элементов конечного множества называют 
мощностью множества A .
Множества можно задавать при помощи:
1. Перечисления:

{ , , , , }
A
a b c d e
=

Данный способ возможен лишь для конечных множеств;
2.Задания свойств:

{ условие принадлежности}.
A
a
=

Универсальное множество–U – это множество, в которое входят 
элементы всех множеств, рассматриваемых в исследуемой математической модели. 
Если любой элемент множества А входит во множество В, то множество А называется подмножеством множества В. Обозначение: 
A
B
⊆
.
Если существует элемент x
B
∈
, такой, что x
A
∉
, то множество А 
называется собственным подмножеством множества B . Обозначение: 
A
B
⊂
.
Два множества А и В равны (А=В), если А и В содержат строго 
одинаковые элементы.

Операции над множествами

Чтобы ввести операции над множествами, необходимо ввести 
такую систему подмножеств, чтобы:
• операции можно было производить над любыми подмножествами 
из этой системы;
• результатом операции было подмножество из этой системы.
Наиболее часто используется система P(U) — множество всех подмножеств универсального множества U. Если множество U — конечное, то 
( )
2U
P U
=
.

Объединением двух множеств А и В, обозначается A
B
∪
, называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А, 
и множеству В или одновременно и А, и В.

{
или
или
,
}
A
B
x x
A
x
B
x
A x
B
=
∈
∈
∈
∈
∪
.

Свойства операции объединения:
1. A
A
A
=
∪
;
2. Если A
B
⊆
, то A
B
B
=
∪
.
 (Следствия 
,
A
A A
U
U
∅ =
=
∪
∪
).
Указанную операцию можно обобщить на любое число множеств:

1

n

i
i
B
A
=
= ∪
. 

Пересечением двух множеств А и В, обозначается A
B
∩
, называется множество, элементы которого принадлежат одновременно 
и множеству А, и множеству В.

{
и
}
A
B
x x
A
x
B
=
∈
∈
∩
.

Свойства операции пересечения:
1. A
A
A
=
∩
;
2. Если A
B
⊆
, то A
B
A
=
∩
.
 (Следствия: 
,
A
A
U
A
∅ = ∅
=
∩
∩
).
Указанную операцию можно обобщить на любое число множеств.

1

n

i
i
B
A
=
= ∩
.

Разностью между множествамиА и В, обозначается 
\
A
B , называется множество, элементы которого принадлежат множеству А, но 
не принадлежат множеству В

\
{
A
B
x x
A
=
∈
 и 
}
x
B
∉
.

Операция разности в общем случае не коммутативна, т.е. 
\
\
A
B
B
A
≠
.
Если определено универсальное множество, то дополнением множества А до универсального называется множество, элементы которого принадлежат универсальному множеству и не принадлежат 
множеству А.

{
и
}
A
x x
U
x
A
=
∈
∉
.

Свойства операции дополнения:
1. A
A
=
;
2. 
,
U
U
= ∅ ∅ =
.
Разбиение множества U — R(U) — это система множеств 
iA , удовлетворяющая следующим требованиям:
1. 
iA
∀
≠ ∅ ; 2. 
,
i
j
A
A
i
j
= ∅
≠
∩
; 3. 
i
i
A
U
=
∪
.

В разбиение может входить конечное и бесконечное количество 
множеств.
Операции над множествами обладают следующими свойствами:
• свойства коммутативности объединения и пересечения.

,
A
B
B
A
A
B
B
A
=
=
∪
∪
∩
∩
;

• свойства ассоциативности объединения и пересечения.

(
)
(
)
,
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
=
=
∪
∪
∪
∪
∩
∩
∩
∩
;

• свойства дистрибутивности объединения и пересечения.

(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
=
∩
∪
∩
∪
∩
,
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
=
∪
∩
∪
∩
∪
;

• законы поглощения

(
)
A
A
B
A
=
∩
∪
 ,
(
)
A
A
B
A
=
∪
∩
;

• законы склеивания

(
)
(
)
A
B
A
B
A
=
∩
∪
∩
,(
)
(
)
A
B
A
B
A
=
∪
∩
∪
;

• законы (теоремы) де-Моргана

A
B
A
B
=
∩
∪
, A
B
A
B
=
∪
∩
.

Прямое произведение множеств

Кортежем размерности n называется упорядоченный набор из 
n элементов

1
2
( ,
,...,
)
n
a
a a
a
=
,

в котором каждый из элементов 
ia  принадлежит заданному множеству 
iA . Здесь 
ia — координаты кортежа, а 
iA  — координатные множества.
Если зафиксировать конкретные значения n и 
,
1..
iA
i
n
=
, то получим множество кортежей.
Пусть в n- мерных кортежах 
1
2
( ,
,...,
)
n
a
a a
a
=
 координаты 
ia  принадлежат множествам 
iA . Тогда, множество всех кортежей А и называется прямым произведением множеств

1
2
....
n
A
A
A
A
=
×
×
⋅
.

Проекция и сечения множеств

Проекции кортежей. Пусть 
1
2
...
n
a
A
A
A
∈
×
×
. Тогда проекцией 
кортежа a на i-е координатное множество называется его i-я координата.

Пр i
i
a
a
=
, 

Пр
( ,
)
ij
i
j
a
a a
=
, где j>i.

Аналогично вводятся проекции на три и более координатных 
множеств.
Проекцией множества 
1
2
...
n
D
A
A
A
⊆
×
×
×
 на i-е координатное 
множество называется множество проекций Пр i a  всех кортежей 
a
D
∈
.
Аналогично определяются проекции множества Пр ij D  и на большее количество координатных множеств.
Сечением множества 
1
2
...
n
D
A
A
A
⊆
×
×
×
 по значению α  координаты 
ia D(
)
ia = α  называется множество всех кортежей a
D
∈
, у которых i-я координата равна 
.

(
)
{
иПр
}
i
i
D a
a a
D
a
= α =
∈
= α .

Отображения и функции множеств

Пусть заданы множества X, Y и S
X
Y
σ ⊆
×
. Между элементами 
множеств x
X
∈
 и y
Y
∈
 установлено соответствие σ , если ( , )
x y
Sσ
∈
. 
При этом тройка множеств 
(
, ,
)
X Y Sσ
σ =
называется соответствием.
Множество X называется множеством прообразов (аргументов). 
Множество Y называется множеством образов (значений). Множество Sσ  — графиком соответствия.
Часто используется другое обозначение соответствия:

: X
Y
σ
→
.

Матричный способ задания соответствия определяется матрицей, 
составляемой по следующему правилу:

1, (
,
)

0,(
,
)

i
j
ij
i
j

x x
S
M
m
x x
S

σ
σ
σ

∈
⎧⎪
=
= ⎨
∉
⎪⎩

Для всякого соответствия s существует обратное соответствие

1
1
( ,
,
)
Y X S
−
−
σ
σ
=
.

Здесь множество 
1
S
Y X
−
σ ⊆
⋅
, причем 
1
( , )
y x
S −
σ
∈
 тогда и только 
тогда, если ( , )
x y
Sσ
∈
.

1
{( , ) ( , )
}
S
y x
x y
S
−
σ
σ
=
∈
.

Обратное соответствие получается из исходного, если исходное 
соответствие рассматривается в обратном порядке. Проекция графика соответствия на первое координатное множество Пр X Sσ  называется областью определения, а проекция графика соответствия на 
второе координатное множество Пр Y Sσ  называется областью значения.
Частным случаем соответствия является отображение.

Отображением называется соответствие, у которого областью определения является область прообразов X=Пр X Sσ . Другими словами, отображение это всюду определенное соответствие.
Отображение Sσ называют сюрьективным, если для всякого элемента y
Y
∈
 существует хотя бы один элемент x
X
∈
, такой, что 

( , )
x y
Sσ
∈
.
Отображение Sσ  называют инъективным, если множество образов совпадает со множеством значений, т.е.

Y = Пр Y Sσ .

Чтобы обратное отображение было отображением, оно должно 
быть сюрьективным.
Функцией называется отображение f : X
Y
→
, если каждому элементу x
X
∈
 оно ставит в соответствие только один элемент y
Y
∈
 
(обладает свойством однозначности).

y = f(x).

Бинарные отношения

Пусть задано соответствие 
(
,
,
)
X X Sα
α =
. Элементы x, y множества Х связаны бинарным отношением a, если ( , )
x y
Sα
∈
.
Чаще вместо знака принадлежности ( , )
x y
Sα
∈
 применяют сокращенную запись x y
α . Множество кортежей называют графиком бинарного отношения.
Бинарные отношения могут быть заданы двумя способами:
1. Перечислением упорядоченных пар ( , )
x y
Sα
∈
;
2. Описанием свойств множества 
б
S .
Бинарные отношения используются в качестве признака, который лежит в основе разбиения множества на классы, т.е на представления множества через свои попарно непересекающиеся подмножества.

.
i
i
j
i
M
X ,
X
X
,i
j
=
= ∅
≠
∪
∩

Для конечных множеств могут быть использованы матричные 
и графовые способы записи бинарных отношений. 
Матричный способ состоит в следующем: все элементы множества нумеруются и составляется матрица Mα  размера x
x
×
 по правилу

,
1,
(
,
)

0, (
,
)

i
j
i j
i
j

x x
S
m
x x
S

α

α

∈
⎧⎪
= ⎨
∉
⎪⎩

.

Графовый способ. Все элементы множества обозначаются как 
вершины графа. Стрелка из
ix  в 
jx  означает, что (
,
)
i
j
x x
Sα
∈
.

Классами эквивалентности называют подмножество всех элементов, эквивалентных какому либо элементу множества.
Кроме отношения эквивалентности выделяют отношение порядка и строгого порядка.
Бинарным отношением порядка( )
≤ называют отношение, обладающее свойствами: рефлексивностью, антисимметричностью, транзитивностью.
Бинарное отношение является отношением строгого порядка( , )
< > , 
если для него справедливы свойства: антирефлексивности, антисимметричности, транзитивности.
Другие сведения, необходимые для решения задач этого раздела, 
можно получить, в частности, в [1], [2], [3], [4].

1.2 
Примеры

Пример 1. Пусть задано множество 

2
2
{( , ) (
5)
(
1)
1}
С
x y
x
y
=
−
+
−
≤
, 
2
С
R
⊆
.
Найти проекцию заданного множества С на 1-ое и 2-ое координатные множества и сечение множества С по координате 
0
y =
, по 
координате 
3
x =
 и по координате 
0
x =
.
Решение. Построим графическое представление заданного множества С.

x 
5 

1

y 

Рис. 1. Множество С

Из полученного рисунка видим, что заданные проекции имеют 
вид:

Пр 1С = Пр x С =[4,6];Пр 2С = Пр y С =[0,2],

и сечение множества С по заданным координатам — 

(
0)
{(5,0)}
C y =
=
;
(
5)
{(5, ) 0
2}
C x
y
y
=
=
≤
≤
;
(
0)
C x =
= ∅ .

Пример 2. Пусть задано множество 
{( , )
sin }
S
x y y
x
=
=
.
Найдем проекцию заданного множества на 1-е и 2-е координатные множества.

Пр 1S
R
=
; Пр 2
[ 1,1]
S = −
.

Найдем сечение множества S  по координате 
2
x
π
=
 и по коорди
нате y = 1:

(
)
{( ,1)}
2
2
S x
π
π
=
=
;

(
1)
{( ,1)
2
,
}
2
S y
x
x
k k
I
π
=
=
=
+ π
∈
.

Пример 3. Пусть заданы: множество прообразов X={x1,x2,x3}, 
множество образов Y={ 1, 2, 3, 4
y y
y
y
} и график соответствия

{( 1, 1),( 1, 2),( 1, 3),( 3, 3)}
S
x y
x y
x y
x
y
σ =
. Представить соответствие в виде 
графа и в виде матрицы.
Решение. Графическое представление соответствия имеет вид

 
x1                  x2                            x3 
 
 
 
 
 
 
 
y1                      y2                       y3                        y4 

Рис. 2. Графическое представление соответствия

Матричный способ задания соответствия определяется матрицей, 
составляемой по следующему правилу:

1 (
,
)

0 (
,
)

i
j
ij
i
j

x x
S
M
m
x x
S

σ
σ
σ

∈
⎧⎪
=
= ⎨
∉
⎪⎩

.

Таким образом, получаем матрицу вида

1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0

Mσ

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

.