Математика в школе, 2018, № 5
научно-теоретический и методический журнал
Покупка
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
Школьная Пресса
Наименование: Математика в школе
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 80
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МАТЕМАТИКА в школе 5/2018 НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ В НОМЕРЕ: Министерство образования и науки Российской Федерации ООО «Школьная Пресса» Издаётся с мая 1934 г. Периодичность – 10 номеров в год АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА 3 Якубов А.В. Преподавание математики: зависимость результатов от профессионализма учителя и руководства школы ОСОБЫЕ ТОЧКИ 8 «Бесполезные метания и смутные перспективы» и другие новости (обзор интернетресурсов) ОЛИМПИАДЫ 12 Агаханов Н.Х, Глухов И.В., Городецкий С.Е., Подлипский О.К. Онлайн-этап олимпиады «Физтех» 2018 года по математике 20 Будак Б.А., Горяшин Д.В., Зеленский А.С., Козко А.И., Крицков Л.В., Панфёров В.С., Разборов А.Г., Сергеев И.Н., Шейпак И.А., Юмашев М.В. Олимпиада по математике «Покори Воробьёвы горы» – 2017–2018 КОНСУЛЬТАЦИЯ 33 Ажгалиев У. О нескольких способах вычисления одного неопределённого интеграла 39 Елизарова Н.Г., Понарядова Р.С., Палкина М.А. О систематизации геометрических знаний учащихся (на примере решения одной задачи разными способами) МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР 43 Седова Е.А., Пчелинцев С.В., Удовенко Л.Н. Метод математической индукции в школьном математическом образовании 60 Тумашева О.В. Системно-деятельностный подход на уроках математики в поликультурном классе: особенности реализации БИБЛИОТЕКА 67 Какие задачи решали наши предки? ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ 68 Карп А.П. Неромантический герой математического образования (О П.К. Шмулевиче) ЗАДАЧИ 76 Кукушкин Б.Н. Задачи простые, но…
Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук. Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования. Распространяется в печатном и электронном виде. Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы. Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается. Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов. Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77–33044 от 04 сентября 2008 г. Формат 84×108 /16 Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3219. Заказ Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13 © ООО «Школьная Пресса» © «Математика в школе», 2018, № 4 В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info) Главный редактор Е.А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Д. Троицкая Редакционная коллегия: Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Г.И. Саранцев, Е.А. Седова, А.Л. Семёнов Редакторы: С.В. Дворянинов, Н.М. Карпушина, Б.Н. Кукушкин, В.П. Норин, С.Н. Федин Отдел задач С.И. Токарев, Б.Н. Кукушкин Выпускающий редактор И.А. Моргунова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная вёрстка В.Н. Бармин ООО «Школьная Пресса» Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62 Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80 E-mail: matematika@schoolpress.ru Интернет http://www.школьнаяпресса.рф Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ: ЗАВИСИМОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ОТ ПРОФЕССИОНАЛИЗМА УЧИТЕЛЯ И РУКОВОДСТВА ШКОЛЫ В статье, на примере отдельного района Чеченской Республики, в обзорном плане анализируются решения организационных вопросов, влияющих на качество преподавания и уровень знаний по математике. В последнее время журналом достаточно много внимания уделяется состоянию математического образования в Чеченской Республике [1,2,3]. В публикациях даётся подробный анализ низких результатов ЕГЭ по математике, поскольку республика стабильно замыкает показатели других регионов России. Такому положению дел есть объективные причины: это является следствием двух военных кампаний, результатом которых явилось возникновение серьёзных кадровых проблем с наличием учителей и руководства в школах и научных учреждениях Чечни. Хотя в своё время уровень позволил дать стране таких академиков, как М.Д. Миллионщиков, А.А. Дородницын, С.Н. Хаджиев и др. С другой стороны, и это мое личное мнение, без должной математической культуры в регионах сильному государству вряд ли светит перспектива. Многие современные проблемы образования относятся к федеральному уровню (всевозможные ФГОСы, компетенции и т.д.). Но есть проблемы, которые можно и нужно решать на региональном уровне. В данной статье хочется обратить внимание на уровень организации преподавания математики, равно, как и руководства в школах, в продолжение вопросов, поднятых в предыдущих публикациях [4]. Некоторые данные, что естественно, совпадают. Кадровая политика в сфере управления образованием и организации учебновоспитательного процесса в образовательных учреждениях в советское время, в последний период её существования, строилась на научной основе. К руководящему составу в сфере образования предъявлялся целый ряд требований, в числе критериев которых были, в первую очередь, образовательный уровень, учитывались наличие опыта, коммуникабельность и другие характеристики. Планомерно создавался, в основном, из работников и выходцев школ, кадровый резерв руководителей, из которого проводилась ротация. Назначение непрофессионала руководителем, особенно в сфере образования, было скорее исключением, нежели правилом. Имели место случаи, когда партийного работника направляли в школу руководителем. Но и такие руководители, как правило, были высокообразованными людьми. Развал СССР нарушил системность, а это привело к тому, что в руководстве в различных сферах, в том числе и в образовании, оказались люди, не имевшие никакого отношения к данной отрасли, не говоря уже об их несоответствии вышеназванным критериям.
Математика в школе 5 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Анализ решения кадровых вопросов в руководстве учебными заведениями показывает наличие серьёзных претензий к назначенцам. А если учесть, что оценка деятельности управленцев и управленческих ведомств, как правило, проводится систематически лишь самим аппаратом или вышестоящими структурами в виде публикаций отчётов, сведений, планов и т.д., то фактически не анализируются роль и влияние уровня руководства на реальную практическую деятельность в виде учебно-воспитательного процесса в учебных заведениях. Википедия под непрофессионализмом подразумевает «отсутствие мастерства в какой-либо сфере деятельности». Непрофессионализм руководства в сфере образования как на федеральном, так и на региональном уровнях, непрофессионализм учителей отрицательно сказываются на работе всего учительства и недостаточно отражены в публикациях о научных проблемах современной России. Существующая практика (не только в Чечне) выявляет немало фактов, когда руководителями образовательных ведомств становятся лица, не имеющие даже представления о своих функциональных обязанностях. Мы рассмотрим лишь некоторые проблемы, связанные с анализом практики решения организационных вопросов на примере одного из районов ЧР, представляющих научный интерес автора статьи. Для меня как для бывшего учителя математики и информатики, вузовского работника эти направления являются определяющими. Я не буду указывать район, так как каждый заинтересованный может проанализировать имеющийся кадровый состав в своём собственном районе и увидеть аналогичную картину, не сильно отличающуюся от приведённой в статье. Требования к учителю и руководителю школы определены в ряде документов, квалификационных характеристиках должностей работников образования [5]. Одним из требований к руководителю для назначения на должность является наличие пятилетнего стажа. Однако это требование не соблюдается. Практика назначения гуманитариев и естественников руководителями школ – директорами и завучами, имевшая место в советской школе, не применяется. То есть если прежде директором школы назначался гуманитарий, то завуч, как правило, являлся естественником, и наоборот. Это позволяло организовать качественный контроль преподавания практически во всех школьных дисциплинах. Сейчас в рассматриваемом районе, где дети обучаются почти в 40 школах, подобное сочетание фактически отсутствует. В советское время директор считался учителем учителей. Его, как правило, отличали высокий образовательный уровень, знание педагогики, психологии и многие другие критерии. Но самым главным было его умение преподавать свой предмет. Он мог указать не только на ошибки в организации урока, воспитательного мероприятия, но и личным примером показать пути и способы их организации и проведения, доказать свою правоту убедительными аргументами. Руководителем такой директор, как правило, становился после прохождения всех ступеней школьной жизни: учительпредметник, завуч, директор. В рассматриваемом районе в решении кадровых вопросов, можно увидеть следующую картину (по состоянию на ноябрь 2017 года). Директорами школ работают юристы, экономисты, инженеры, составляя почти 20% руководителей. Естественно, без требуемого педагогического стажа.
Актуальная тема 5 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Наличие диплома о педагогическом образовании в современной России ещё не есть свидетельство о наличии высшего педагогического образования. Однако его отсутствие — свидетельство того, что дисциплины педагогического образования даже не прослушаны. Растиражированные как успешные формы обучения так называемые дополнительное образование или профессиональная переподготовка не могут решить проблему. Естественно, что эти руководители не могут профессионально руководить ни педагогическим, ни ученическим коллективами. Они, в основном, пытаются выполнять указания вышестоящих органов, в смысле того, как они это понимают. Могут указать на очевидные, даже для обывателя, недостатки. Но показать что-либо личным примером, особенно путём проведения урока – этого от них добиться невозможно. Практикуемые и имеющие место, в том числе и в нашей республике, различные меры по повышению квалификации путём проведения аттестации учителей, директоров школ, организация для них специальных курсов не оказывают серьёзного влияния на результаты деятельности. Ещё одной особенностью современной сферы образования страны (Чечня не исключение) стало нарастание «остепенности» в общем образовании включая лиц, ни одного дня не проработавших в школе, но "глубоко разбирающихся" в её проблемах. Здесь фигурируют не только директора, но и учителя. Но почему-то на результатах ОГЭ/ЕГЭ это не отразилось. Анализ организации преподавания математики, проведённый тогда же в этом же районе показал следующую картину. Вначале отметим, что в статье не ставится задача раскрыть все негативные последствия существующей (назовём его нелогичной) формы организации преподавания математики. Некоторые кадровые решения приходится принимать от безысходности, из-за отсутствия квалифицированного учителя. Но если отдельные кадровые решения являются вынужденными, как необходимость «залатать дыру», то целый ряд других вызывает сомнение. В республике, где два вуза одновременно имеют совместные выпуски по педагогическим направлениям более 35 лет и выпускают ежегодно более ста математиков, для 478 школ кадрового недостатка быть не должно. Преподавание математики в районе осуществляют более 120 учителей. Из них базовое экономическое образование имеют 15 человек, инженерное – 3, по одному юристу, химику и специалисту по туризму. Без высшего образования – 11 человек (включая студентов), то есть суммарно – более четверти учителей не имеют соответствующей квалификации. В одной из школ все трое учителей математики не имеют соответствующей квалификации. Приведём результаты ЕГЭ2017 по математике в этой школе. Базовый уровень Сдавали 10 человек. Сдали 8. Двое получили по 14 и 15 баллов, соответствующих «4». У оставшихся 6-ти отметки – «3». Все выпускники этой школы, сдававшие профильный экзамен, сдавали и базовый. Профильный уровень Сдавали 8, сдал – 1, решив 7 заданий аналогов базового уровня и одно задание повышенного уровня сложности (9-е задание), практически преодолев лишь минимальный порог. В течение всего учебного
Математика в школе 5 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. года XI класс состоял из 10-ти учеников, которые продолжили обучение после «люстрации» выпускников IX-х классов. Практика в районе такова, что учителей обязывают проводить дополнительные занятия. При таком количестве учащихся уроки можно организовать на высоком методическом уровне, качественно проводить индивидуальную работу. Тем не менее двое учащихся не сдали даже базовый экзамен. В районе есть школа, в которой преподавание математики в XI-х классах ведёт учитель без стажа. В другой школе студентка 2 курса без стажа ведёт 30 часов математики, здесь же нагрузка на другого учителя математики составляет 40 часов. Все приведённые данные говорят о серьёзных проблемах организации преподавания математике в школах района. Учителю, даже имея соответствующее образование, достаточный уровень квалификации, требуется определённое время, чтобы состояться как специалист. Из собственного опыта приведу такой пример: в начале педагогической деятельности я работал в школе в горном селе. Там же учителем работал ещё один мой коллега – преподаватель математики. За пять лет очной учёбы в Чечено-Ингушском государственном университете он не пропустил ни одного занятия. После занятий он занимался в республиканской библиотеке им А.П. Чехова, которая работала в то время до 22.00 (библиотека имела 3 млн. единиц библиотечного фонда, впоследствии уничтоженных в ходе военных действий). Все эти пять лет, шесть дней в неделю, кроме пятницы, когда библиотека не работала, он был последним посетителем. Объёму его знаний завидовали все. Но на вопрос, в каком классе у него урок, завуч отвечал так: – Чуть-чуть постой в коридоре, опреде ли класс, где больше всего шума, зайди, растолкай детей и вытащишь его. То есть наличие знаний не давало гарантий в умении преподавать, но их отсутствие гарантировало отсутствие учителя математики. Из собственной практики могу судить, что превышение учебной нагрузки в полтора раза (27 часов в неделю) требует серь ёзных усилий. Здесь, в районе, сочетаются отсутствие квалификации и опыта при необходимости огромной нагрузки, дополненной внеурочной, бумажной, рутинной работой. Если рассмотреть результаты ЕГЭ по математике за 2017 год в этом районе, которые, в конечном счёте, являются и одним из следствий решения организационных вопросов, то получается такая картина. Базовый уровень Сдавали в районе 638 человек. Из них 71 не сдали. 0(!) баллов получили 5 человек, 1– 6 баллов – 66 человек. 10 баллов (отметка «3») – 61; 11–16 баллов (отметка «4») – 286; 17–20 баллов (отметка «5») – 54. И это притом, что на практике в Чеченской Республике действует правило выдавливания из школы выпускников IX-х классов, которые потенциально не смогут сдать ЕГЭ базового уровня. А результаты получены уже после «выдавливания» из школы выпускников IX-х классов с потенциальными проблемами по математике на базовом уровне экзамена. Профильный уровень Сдавали 442 человек. 254 не смогут претендовать на аттестат, так как имеют менее 5-ти первичных баллов, причём 7 человек из них сдали ЕГЭ по математике с оценкой 0 баллов. 188 человек смогут получить аттестат.
Актуальная тема 7 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. 420 человек не получили ни одного балла за задания третьей части. Всего 8 человек в районе получили чуть более 60 итоговых баллов. Результаты свидетельствуют о серьёзных проблемах в усвоении математики даже на базовом уровне. О конкурентоспособности среди сверстников из других регионов по математике не может быть и речи. Да и по другим предметам тоже. Сайт Минобрнауки (министром является выходец из школы, искренне заинтересованный в повышении качества образования) ЧР пестрит сообщениями о проводимых курсах по повышению квалификации учителей математики, приглашаемых из Москвы специалистах для чтения лекций, проведения практических занятий и т.д. Есть ощутимые изменения в итогах ЕГЭ в лучшую сторону. Но это не из-за курсов или деятельности именитых приглашённых, это – результат работы репетиторов. Ибо непрофессионализм никакими курсами нельзя искоренить, заменить, устранить. Не знаю, какое здесь слово употребить. Об эффективности организации преподавания математики и руководства школами в районе в этой ситуации также говорить не приходится. Причин подобных результатов много. Одна из них – это нерешённость вопроса о языке обучения математике в начальной школе, т.к. речь идёт о национальной школе с мононациональным составом населения. Учителя математики не должны заниматься устранением упущений начальной школы! Другими решениями могут быть ужесточение требований к уровню подготовки выпускников педагогических специальностей, привлечение учителей из других регионов. По этой части некоторая работа проводится. Безусловно, необходимо совершенствование практики назначения руководящего состава в школах и во всей сфере образования на профессиональной основе. Позорным фактом является наличие сайта "Диссернет", со всеми вытекающими отсюда последствиями. Литература 1. Виситаева М.Б. Олимпиада по математике в Чеченской Республике Математика в школе. – 2006. – № 6. – С. 52–57. 2. Гишларкаев В.И. Некоторые предложения по реализации в Чеченской Республике Концепции математического образования в РФ. Математика в школе. – 2018. – № 1. – С. 44–52. 3. Якубов А.В. Нужна ли математика Чечне. Математика в школе. – 2016. – № 1. – С. 3–7. 4. Якубов А.В. Непрофессионализм руководства как фактор низкого уровня качества образования республики. Народное образование № 9–10, 2017, с. 52–58 5. Федеральный закон об образовании №273 в редакции от 29.07.2017; Единые квалификационные характеристики должностей работников образования, утвержденные приказом Минздравсоцразвития №761н от 26.08.2010 и др. Якубов А.В., ЧГПУ (г. Грозный), к.п.н. доцент, КНИИ им. Х.И. Ибрагимова РАН (г. Грозный),
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ОСОБЫЕ ТОЧКИ Перспективы далёкие и близкие В ШКОЛУ ПОКА ХОДИТЬ НАДО, НО ТОЛЬКО ПОКА... (взят курс на демонтаж традиционной системы образования?) 1 сентября 2018 года в столице стартует проект «Московская электронная школа» (МЭШ), а вскоре планируется реализовать аналогичный всероссийский проект. По замыслу реформаторов, использование в обучении новейших электронных технологий позволит объединить школы в общее «электронное образовательное пространство». На уроках ученики будут пользоваться планшетами или смартфонами, связываясь по Wi-Fi с интерактивной доской, «посещать» виртуальные экскурсии, пользоваться виртуальными лабораториями, электронными библиотеками и пр. Каждый урок учитель должен будет готовить в электронном виде, а проводить срез знаний и выставлять оценки станет компьютер. Уже идёт массовое техническое переоснащение столичных школ, а педагогов спешно обучают новой системе. Однако ни родители, ни специалисты, ни общественность не в курсе, что Департамент образования Москвы и Министерство просвещения РФ взялись «преобразовать» традиционное обучение в электронное за счёт колоссальных бюджетных средств. Проект экспериментальный, не имеет аналогов в мире и недостаточно апробирован. Годом ранее в нём участвовало всего восемь школ Москвы, но кто видел результаты? Где заключения экспертов в области здравоохранения, психологов, опытных педагогов о безопасности и эффективности электронного обучения для детей? Нет ни одного документа или исследования на этот счёт, есть только голые рекомендации. Отсутствуют нормативная и законодательная базы подобного обучения. Говорят, в Москве только некоторые национальные школы и престижные частные школы проигнорировали странную реформу. Спрашивается: для чего нужно такое широкое и безальтернативное внедрение электронного обучения и какой отдачи ждут от проекта его авторы? Возможно, дело в том, что проект МЭШ полностью коррелирует с глобалистским проектом Агентства Стратегических Инициатив (АСИ) «Форсайт образования 2035», предлагающим переход на виртуальное обучение и, очевидно, направленным на слом традиционной системы образования. Но чем аукнется такой «электронный рай»? Один вывод напрашивается сам собой: в новой школе практически не остаётся места Учителю, тысячи педагогов рискуют остаться без работы, а дети без живого общения и полноценного обучения. Всё познаётся в сравнении. Какова ситуация с внедрением виртуального электронного обучения в таком технологически продвинутом государстве, как США? А там наблюдаются диаметрально противоположные процессы. Не секрет, например, что дети руководителей американских IT-компаний занимаются в школах, где вообще нет компьютеров. Внешний вид школы в Силиконовой долине прост и старомоден: стеллажи с энциклопедиями, атласами, справочниками, деревянные парты, доска с цветными мелками, бумажные тетради и учебники, цветные карандаши, приспособления для лепки из глины и иголки для шитья. Педагоги настоятельно не рекомендуют учащимся использовать компьютеры и гаджеты дома, а родители уверены, что компьютеры не позволяют раз
Особые точки 9 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. виваться творческому мышлению подростков, вниманию, памяти, коммуникабельности. Иными словами, в их представлении школа и компьютеры несовместимы. Отсутствуют компьютеры и в закрытых элитных школах Англии и Японии. Подробности: http://www.rospisatel.ru/bochkov-obraz.htm. Портрет педагога БЕСПОЛЕЗНЫЕ МЕТАНИЯ И СМУТНЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ (почему современная школа ориентируется на призрачное будущее?) Что не так с нашим образованием и почему? Кто в этом виноват? Мнения «консерваторов» и «либералов» известны: у одних образование угробили враги и пятая колонна, у других – дураки. А в чём видят главную проблему сегодняшней школы учителя? Один из них отвечает так: в патологической устремлённости в будущее. При этом задаётся вполне разумными вопросами. Кто-нибудь знает, какое оно, это будущее? У кого-нибудь есть прогноз хотя бы на 10 лет вперёд, который исполнится хотя бы на 70%? Кругом одни футурологи, не пророчествует нынче только ленивый, но почему эти массовые гадания так похожи на коллективный психоз? «Наше образование не только мечется из крайности в крайность, оно разрывается на тысячи крайностей. И никакой системы», – уверен педагог. Прикрываясь разными лозунгами, детей готовят ко всему, что только можно вообразить, и даже к тому, чего вообразить нельзя. На деле это порой выглядит абсурдно. Как вам такая задача «на чтение графика реальной зависимости» из ВПР по биологии для учащихся 11 класса? Какой-то загадочный Валентин Александрович, обобщая некую загадочную статистику медицинских учреждений, собрал данные об изменении массы тела с возрастом у пациентов мужского пола и отразил закономерность на графике. График показывал, что мужчины набирают вес... только до 16 лет. Не веря глазам своим, учитель заглянул в ответ, где утверждалось: «После 16 лет масса тела остаётся постоянной». Несчастным пятиклассникам, писавшим аналогичную работу, её авторы предложили прочитать текст про бурундука и подробно описать... бобра, который там даже не упоминался. Так кто тут неадекватен? Клиническая картина налицо, и её мы имеем уже сегодня. Насколько вообще правомерна установка образования на будущее? Разве так было всегда? Отнюдь. Когда-то в России образование ориентировалось даже не на настоящее, а на прошлое. Теперь же говорят, такой подход не работает, современный тренд – напичкать программу всем, чем только возможно (авось пригодится?), и как следует перетасовать. «И вот готовят наших детей к этому разному, к этому всему и при этом ничему не учат. А главный урок между тем впереди. И урок этот будет жесток. Будущее наступит такое, что наши дети всё равно предстанут перед ним безоружными». Подробности: https://www.gazeta.ru/column/yardaeva/11752831.shtml. Из жизни учёных САНГАКУ. СВЯЩЕННАЯ МАТЕМАТИКА (чем примечательна японская храмовая геометрия?) В Японии в период Эдо (1603–1868) – эпоху её самоизоляции от внешнего мира – возникла уникальная математическая традиция – васан. Известно, что некоторые от
Математика в школе 5 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. крытия японские математики сделали одновременно с европейскими коллегами или даже раньше их. Однако последовавшее затем заимствование западной математической традиции привело к нивелированию оригинальных методов, созданных в рамках васан. В XVII веке в Японии занятие математикой всё ещё следовало средневековой традиции. Отдельные мастера, придумав какую-нибудь задачу, предлагали найти её решение коллегам по цеху и поклонникам математики (обычно это были самураи, купцы или крестьяне). При этом преобладали геометрические задачи. Условия вырезали на деревянной доске – сангаку (на фото), снабжали красочными чертежами и вывешивали в храмах как дар богам, а заодно как вызов прихожанам. В период Эдо было издано 12 сборников таких задач, и ещё сотни задач так и остались в рукописях. Этого достаточно, чтобы охватить круг основных идей и вопросов, которыми занимались японские математики, оценить стиль и методы их работы. Например, открытию теорем предшествовала долгая концентрация на рассматриваемом чертеже. Когда одного геометра спросили, как он получил свои замечательные теоремы об эллипсах, тот ответил, что не размышлял ни над чем, кроме эллипсов, в течение последних десяти лет! Интересно, что японские геометры, ознакомившись с китайским переводом «Начал» Евклида, были сильно удивлены: «Зачем доказывать такие очевидные факты, когда есть ещё столько красивых и сложных геометрических теорем?». Подробности: http://math4school.ru/sangaku.html. ПЕРИПЕТИИ СУДЬБЫ (к юбилею славного барона Фурье) В этом году исполняется 250 лет со дня рождения известного французского математика и физика Жана Батиста Жозефа Фурье (1768–1830). Он был выходцем из бедной многодетной семьи. В юности мечтал о карьере военного, но этому препятствовало его происхождение. Затем собирался принять сан, однако помешала революция. В итоге Фурье стал учёным и прошёл путь от простого школьного учителя до академика. Он также являлся одним из первых преподавателей в знаменитой Политехнической школе, основанной
Особые точки 11 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. в Париже в 1794 году. У себя на родине Жан Фурье был включён в список наиболее выдающихся французских учёных и инженеров XVIII–XIX веков, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни ещё в начале прошлого столетия. Сегодня многим Жан Фурье известен как создатель теории тригонометрических рядов. Но мало кто знает, что он, например, рассматривал различные механизмы формирования климата Земли и первый высказал предположение о существовании явления, которое теперь называют «парниковым эффектом». Или что он участвовал в Египетском походе Наполеона и проводил научные исследования, далёкие от математики. От императора Франции Жану Фурье достались пост префекта, орден Почётного легиона и титул барона. Куда сложнее оказалось стать членом Парижской академии наук... Подробности: http://math4school.ru/fourier.html; Араго Ф. Биографии знаменитых астрономов, физиков, геометров. Том 1. Пополняем ресурсы В ПОИСКАХ ОБРАЗЦОВОГО РЕШЕНИЯ (осваиваем 10 лучших стратегий решения математических задач) В столичном издательстве «Альпина Паблишер» вышла книга, заслуживающая нашего внимания. Её авторы Альфред Позаментье и Стивен Крулик – опытные американские педагоги, специалисты в области школьного математического образования. Много лет они работают с учителями и методистами, готовят будущих преподавателей математики. Основная сфера их интересов – обучение методам решения задач, умению рассуждать и мыслить критически (с начала 1980-х годов это стало неотъемлемой частью программы по математике в США). Ключевой этап решения математической задачи – выбор подходящей стратегии, ибо редко когда задачу можно решить единственным способом. Именно этот этап исследуют авторы, на конкретных примерах рассматривая десять наиболее ценных, на их взгляд, стратегий: логическое рассуждение; распознавание закономерности; действие от обратного; принятие другой точки зрения; анализ экстремальных ситуаций; решение более простой аналогичной задачи; организация данных; схематичное изображение или визуальное представление; учёт всех возможностей; обоснованное предположение и проверка. Настоящее умение заключается не в том, чтобы каждый раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже необычный, способ решения. И с этим нельзя не согласиться. Подробности: https://www.alpinabook.ru.
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ОЛИМПИАДЫ ОНЛАЙН-ЭТАП ОЛИМПИАДЫ «ФИЗТЕХ» 2018 ГОДА ПО МАТЕМАТИКЕ Н.Х. Агаханов, И.В. Глухов, С.Е. Городецкий, О.К. Подлипский, Московский физико-технический институт (государственный университет) e-mail: nazar_ag@mail.ru N.Kh. Agakhanov, I.V. Glukhov, S.E. Gorodetskiy, O.K. Podlipskii, Moscow Institute of physics and technology (state University), e-mail: nazar_ag@mail.ru Ключевые слова: Российские олимпиады школьников по математике, олимпиадная задача. Keywords: Russian olympiads on mathematics for school students, olympiad problem. Аннотация: в статье приводятся задания (с решениями) онлайн-этапа олимпиады «Физтех» 2018 года по математике. Abstract: рroblems with solutions of the online stage of olympiad «Phystech-2018» on mathematics are provided. Онлайн-этап олимпиады «Физтех-2018» проводился для учащихся VII–XI классов с ноября 2017 года по февраль 2018 года. В нём приняли участие более 40 тысяч школьников. В математической части олимпиады школьникам было предложено по 10 задач для каждого класса. Для осуществления автоматической проверки ответом в каждой задаче являлось целое число или конечная десятичная дробь. У каждой задачи имелись несколько вариантов, различавшихся числовыми данными. В данной статье представлен один вариант заданий XI класса. XI класс 1. Две параболы y1 = x2 + ax + b и y2 = –3x2 + cx + d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D – вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам – в точке B. Найдите отношение DA : DB. О т в е т: 4. Р е ш е н и е. Пусть E – точка касания парабол. При параллельном переносе начала системы координат в точку E уравнения парабол будут иметь вид y1 = x(x – d) и y2 = –3x(x – l), где d и l – соответствующие корни трёхчленов, отличные от 0. Заметим, что (d; 0) – координаты точки D в новой системе координат. Уравнение общей касательной данных парабол имеет вид y = kx. Найдём соотношение между параметрами d, l и k из условий, что квадратные уравнения y = y1 и y = y2 имеют одно решение, распишем их: = ( ), = 3 ( ) kx x x d kx x x l − ⎧ ⎨ − − ⎩ 0 = ( ( )), 0 = 3 . 3 x x k d k x x l − + ⎧ ⎪ ⇔ ⎛ ⎞ ⎨ ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
Олимпиады 13 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Из последней системы видно, что квадратные уравнения в ней точно имеют решение x = 0, оно и должно быть единственным, отсюда получаем, что k = –d = 3l. Уравнения парабол и их общей касательной примут вид y1 = x(x – d), 2 = 3 , = 3 d y x x y dx ⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ соответственно. Найдём ординаты точек D, A и B: yD = y1(d) = 0, 2 2 = ( ) = 3 = 4 , 3 A d y y d d d d ⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ yB = y(d) = –d2. Теперь найдём искомое отношение : = = 4. D A D B y y DA DB y y − − 2. Внутри угла ABC, меньшего 135°, взяты точки M и N так, что ∠ABM = = ∠MBN = ∠NBC, AM ⊥ BM и AN ⊥ BN. Прямая MN пересекает луч BC в точке K. Найдите BN, если BM = 24, BK = 3. О т в е т: 4. Р е ш е н и е. Пусть ∠ABM = ∠MBN = ∠NBC = α (рис. 1). Вокруг четырёх угольника BAMN можно описать окружность, так как = = . 2 BNA BMA π ∠ ∠ Углы ABM и ANM опираются на одну дугу, следовательно они равны между собой и равны α. = = . 2 BNK ANM BNA π ∠ π − ∠ − ∠ − α Отсюда получаем, что = = . 2 BKN BNK NBK π ∠ π − ∠ − ∠ Из треугольника BMK следует, что 1 cos2 = = ; 8 BK BM α тогда 1 cos2 3 cos = = , 2 4 + α α = = 4. cos BK BN α A ––M N K C B Рис. 1 3. Найдите количество целочисленных решений (a; b; c) уравнения 200 150 2250 = 33750, 3 b a c ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ удовлетворяющих условию |a + b + c| ≤ 120. Ответ: 120 . Р е ш е н и е. Преобразуем левую и правую части данного уравнения: