Математика в школе, 2018, № 4
научно-теоретический и методический журнал
Покупка
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
Школьная Пресса
Наименование: Математика в школе
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 79
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МАТЕМАТИКА в школе 4/2018 НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ В НОМЕРЕ: Министерство образования и науки Российской Федерации ООО «Школьная Пресса» Издается с мая 1934 г. Периодичность – 10 номеров в год АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА 3 Шевкин А.В. Арифметические способы решения текстовых задач в учебниках и на экзаменах ОСОБЫЕ ТОЧКИ 13 «Ползучая профилизация ЕГЭ» и другие новости (обзор интернет-ресурсов) ОЛИМПИАДЫ 17 Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К. Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 2017/2018 учебного года 33 Будак Б.А., Горяшин Д.В., Зеленский А.С., Козко А.И., Панфёров В.С., Разборов А.Г., Сергеев И.Н., Шейпак И.А. Олимпиада «Ломоносов — 2017–2018» по математике для X–XI классов МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР 46 Корчажкина О.М. Решение задач как вид мыслительной деятельности: общие методы (на примере предметной области «математика») ТОЧКА ЗРЕНИЯ 58 Фишман Б.Е., Эйрих Н.В. Исследовательско-учебная деятельность учащихся на уроках математики У НАС В ГОСТЯХ 64 Мануйлов В.М., Ю Чао Об экзамене гаокао по математике для научно-технических специальностей ЗАДАЧИ 73 Кукушкин Б.Н. Задачи простые, но… СЕТЕМАТИКА 76 Карпушина Н.М. Старые задачки на новый лад
Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук. Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования. Распространяется в печатном и электронном виде. Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы. Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается. Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов. Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77–33044 от 04 сентября 2008 г. Формат 84×108 /16 Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3208 Заказ Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13 © ООО «Школьная Пресса» © «Математика в школе», 2018, № 4 В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info) Главный редактор Е.А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Д. Троицкая Редакционная коллегия: Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Г.И. Саранцев, Е.А. Седова, А.Л. Семёнов Редакторы: С.В. Дворянинов, Н.М. Карпушина, Б.Н. Кукушкин, В.П. Норин, С.Н. Федин Отдел задач С.И. Токарев, Б.Н. Кукушкин Выпускающий редактор И.А. Моргунова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная вёрстка В.Н. Бармин ООО «Школьная Пресса» Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62 Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80 E-mail: matematika@schoolpress.ru Интернет http://www.школьнаяпресса.рф ЭЛЕКТРОННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЖУРНАЛУ АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА Шевкин А.В. Арифметические способы решения текстовых задач в учебниках и на экзаменах КОНСУЛЬТАЦИЯ Ветошкина Е.С., Хэкало С.П. Комбинаторика: основные понятия и задачи МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР Корчажкина О.М. Решение геометрических задач с применением методики Пойа и привлечением ИКТ ТОЧКА ЗРЕНИЯ Малышев И.Г. О новых формулах и теоремах элементарной геометрии Фишман Б.Е., Эйрих Н.В. Сценарное представление исследовательско-учебной деятельности учащихся (на примере темы «Линейная функция») Презентация ВНЕ УРОКА Павлова О.А. Математический праздник как форма внеурочной деятельности (на примере Дня числа π) ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Понтрягин Л.С. Математика в средней школе
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В УЧЕБНИКАХ И НА ЭКЗАМЕНАХ До реформы математического образования 60-х гг. прошлого века в России (СССР) для развития мышления и речи школьников использовали арифметические способы решения текстовых задач, что позволяло развивать эти «инструменты» обучения и существенно влиять на учебные успехи школьников. Поиски резервов учебного времени, необходимого для переноса уравнений и функций из старшего звена в среднее, привели к тому, что тогда посчитали более экономным сразу обучать школьников использованию уравнений в работе с текстовыми задачами. В результате вместо обучения ориентироваться в различных задачных ситуациях и действовать каждый раз сообразно имеющейся ситуации учащихся учили решать все задачи с помощью уравнений. Особенно сильно от этой перемены пострадали слабые учащиеся, мышление и речь которых лучше развиваются в действиях с величинами и их образами, чем при формальных манипуляциях с «иксами». В последней версии ФГОСа и в Программе по математике (с 2015 г.) предпринят возврат к использованию хорошо зарекомендовавшего себя традиционного способа работы с текстовыми задачами, что делает публикуемую статью актуальной. Многие годы обучение решению текстовых задач по математике в советской, а затем и в российской школе базировалось на использовании уравнений c пятого класса (даже с начальной школы), что негативно сказывалось на развитии мышления и речи школьников. Но так было не всегда. До середины 1960-х гг. прошлого века арифметические способы решения задач были основными на начальной стадии обучения решению текстовых задач. Это давало значительные преимущества в развитии мышления и речи учащихся. Уровень математического образования в стране в то время был достаточно высоким, а про общий уровень образования и про методы обучения в СССР хорошо написано в заключении Аналитической записки об образовании в СССР: «Госу дарства, самостоятельно соревнующиеся с СССР, впустую растрачивают свои силы и ресурсы в попытках, обречённых на провал. Если невозможно постоянно изобретать методы, превосходящие методы СССР, стоит всерьёз задуматься над заимствованием и адаптацией советских методов»1. В ходе реформы математического образования в конце 1960-х гг. прошлого века это преимущество было поставлено под сомнение. Чтобы освободить учебное время для более раннего введения элементов теории множеств, уравнений, неравенств, функций приняли решение отказаться от арифметических способов решения задач и сразу учить детей использовать урав 1 См. http://statehistory.ru/4316/Analiticheskayazapiska-NATO-ob-obrazovanii-v-SSSR-1959-g-/
Математика в школе 4 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. нения. Музыкальное свидетельство тому есть в одной из песен А.Б. Пугачёвой: Нам учитель задаёт С иксами задачи. Кандидат наук и тот Над задачей плачет. Академики С.Л. Соболев и А.Л. Минц посчитали, что обучение математике в школе проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии»: сначала детей учат решать задачи арифметически, а потом приходится затрачивать силы на «переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах» [1]. Борьба с типовыми задачами продолжилась и дальше. Так, через 20 лет после начала реформы и через 10 лет после первого выпуска школьников, обученных по новой программе и по новым учебникам, Н.Я. Виленкин писал: «…придётся ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом»2. До упомянутой реформы в России (СССР) была развитая и уникальная для мировой практики обучения математике типология задач. Это задачи на все действия, «на части», на нахождение двух чисел по их сумме и разности, на движение, на дроби, на совместную работу, на пропорции, на проценты и т.п. К этому времени в массовой практике текстовые задачи уже не решали с помощью «фальшивого правила» или «девичьего правила». Их стали решать с помощью уравнений разного типа. Учащихся учили ориентироваться в различных арифметических ситуациях, по тем или иным признакам понимать, с задачей какого типа они имеют дело, а потом применять подходящий способ решения. Речь идёт о простейших задачах, к которым часто сводится решение более сложной задачи. Так развивалось умение комбинировать разные способы решения задач. Нигде в мире такой методически грамотной работы с текстовыми задачами не было. Сошлюсь на мнение математика и опытного педагога А.Л. Тоома3. За 50 лет, прошедших с начала реформы математического образования в СССР, на практике доказано, что раннее введение уравнений для решения текстовых задач себя не оправдало. Вместо обучения школьников умению различать ситуации, описанные в задачах, и действовать в соответствии с имеющейся ситуацией все задачи стали решать с помощью одного единственного приёма. В результате учащиеся перестают решать текстовые задачи, так как не надеются их решить. Как рассказала моя коллега, однажды ученик попросил её: научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть…». По-моему, ребёнок гениально выразил свою проблему – решения разных задач начинаются одинаково: «Пусть x…», а что делать дальше он не знает – в разных задачах надо действовать по-разному. Текстовые задачи решают при изучении арифметики, алгебры, геометрии, физики, а если учесть, что в последние годы дети читают всё меньше и меньше, возникает вопрос: как можно компенсировать потери и сделать обучение математике и другим школьным предметам более эффективным? Один из ответов на этот вопрос таков: нужно использовать традиционные для российской методики обучения матема 2 Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. – 1988. – № 4. 3 Некоторые его публикации представлены на сайте www.shevkin.ru
Актуальная тема 5 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. тике арифметические методы решения задач. Это надо делать ещё и потому, что проект новой программы по математике не предусматривает изучения уравнений в V классе, а в Федеральном стандарте имеется требование: выпускник школы должен уметь решать задачи арифметическими способами. В итоговые испытания по математике всё чаще включают текстовые задачи, не предполагающие использования уравнения или допускающие арифметическое решение наряду с алгебраическим. Мышление младших школьников и учащихся V–VI классов предметно. У них лучше развиваются мышление и речь при работе с конкретными предметами или их образами: тетрадями, книгами, карандашами и пр., чем с абстрактными «иксами», особенно у слабых учащихся. Освоив арифметические способы решения задач, ребята решают их иногда лучше своих родителей и даже учителей (такие случаи в моей практике были). Так давайте воспользуемся этим обстоятельством и начнём учить детей так, чтобы это обучение развивало их мышление и речь и было более интересным и эффективным. Опыт реализации лучших традиций отечественной методики обучения математике отражён в книгах [1–5], а также в учебниках серии «МГУ – школе» (авторы С.М. Никольский и др.), ведь работа в этом направлении началась в далёком 1985 году. Прежде чем говорить об этом опыте, отмечу трудности, с которыми сталкиваются учителя и ещё больше родители учащихся, которые в своё время учились решать задачи «по Виленкину» – исключительно с помощью уравнений. Приведу типичный пример. Мама пятиклассника интересуется у меня, где найти ответы и методические рекомендации к упражнениям из рабочей тетради (авторы М.К. Потапов, А.В. Шевкин), и просит написать для родителей решения к задачам, потому что сами они не могут решить, даже объединив усилия. Не справились, в частности, с задачей на вычитание: «Разность двух чисел на 23 меньше первого числа. Найдите второе число». Чтобы не обидеть маму коротким ответом, я дал пространные рассуждения и даже привёл пример: 33 – 23 = 10. «Как же просто! А мы с уравнениями, да ещё с двумя неизвестными нарешали... Как объяснить детям, чтобы их окончательно не запутать, голову ломали. Спасибо». Прискорбно, что у нас не только дети, но и взрослые не умеют решать задачи, с которыми в старые добрые времена, когда на арифметику в начальной школе отводили 6–7 уроков в неделю, справлялись даже слабые учащиеся. Правда, тогда учили искать взаимосвязь между арифметическими операциями, выделять компоненты действий, понимать, как зависит результат от изменения этих компонентов. Давайте бегло рассмотрим порядок работы с текстовыми задачами по учебнику для V класса из серии «МГУ – школе». При изучении натуральных чисел учащиеся осваивают два способа оформления решений – с вопросами и с пояснениями. Это работа над развитием их мышления и речи. Уровень сложности задач постепенно повышается за счёт роста числа выполняемых действий. Взаимосвязь между арифметическими операциями проясняется за счёт задач, решаемых «обратным ходом», или «с конца». Затем идут задачи «на части» – стандартные задачи про варку варенья, про сплавы, про книжки на двух полках. После них даются задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Идёт подготовка к изучению задач на движе
Математика в школе 4 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ние по реке (скорости судна по течению и против течения суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения). Рассмотрим задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Задача 1. В двух пачках 70 тетрадей. В первой пачке на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей в каждой пачке? С этой задачи хорошо начинать знакомство с данным типом задач, положив на стол две пачки тетрадей. Обычно дети предлагают снять «излишек» – 10 тетрадей, чтобы уравнять число тетрадей в двух пачках. Первое действие они сначала поясняют достаточно длинно (здесь развивается речь). После нескольких однотипных задач надо заметить что у них общего в условии (каждый раз даны сумма и разность неизвестных чисел), в первом действии (каждый раз из суммы вычитаем разность и получаем в два раза больше, чем меньшее число). Только потом учитель вводит термин «удвоенное меньшее число», упрощающий пояснение и подсказывающий второе действие. 1) 70 – 10 = 60 (тетр.) – удвоенное число тетрадей во второй пачке; 2) 60 : 2 = 30 (тетр.) – во второй пачке; 3) 30 + 10 = 40 (тетр.) – в первой пачке. Далее идут задачи, задачи на движение. Среди задач по теме «Натуральные числа» особое место занимают задачи, требующие воображаемых действий, мысленных экспериментов, предположений – всё это хорошо развивает мышление учащихся. Рассмотрим примеры. Задача 2. Мама раздала детям по 3 конфеты и у неё осталось 4 конфеты. Если бы у неё было ещё 6 конфет, то она могла бы раздать детям по 5 конфет. Сколько было детей? Предположим, что у мамы было ещё 6 конфет, тогда после первой раздачи у неё осталось бы 4 + 6 = 10 конфет. Каждому ребёнку она могла бы дать ещё по 5 – 3 = 2 конфеты. Детей было 10 : 2 = 5. Запишем решение с пояснениями. 1) 4 + 6 = 10 конфет – стало бы у мамы; 2) 5 – 3 = 2 конфеты – мама дала бы каждому ребёнку дополнительно; 3) 10 : 2 = 5 детей – было. Эта задача готовит к следующей, в которой есть действие 11 : 1 = 11. Задача 3 (из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона). Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три динария, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных? Представим, что некто раздавал сначала по 2 динария (это переформулировка условия) и у него осталось 3 динария. Если бы у него было на 8 динариев больше, то 11 динариев он распределил бы между всеми бедными, дав каждому ещё по 1 динарию. То есть бедных было 11 человек. Запишем это решение по действиям. 1) 3 + 8 = 11 динариев – можно раздать сверх выданных двух динариев; 2) 3 – 2 = 1 динарий – можно раздать каждому сверх выданных двух динариев; 3) 11 : 1 = 11 бедных – было. Задача 4. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – с 7 и с 5 кольцами (рис. 1). У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид? Рис. 1
Актуальная тема 7 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Уравняем число колец на пирамидах. Для этого снимем с каждой большой пирамиды 2 кольца. Тогда на пирамидах останется 20 ⋅ 5 = 100 колец. Сняли 128 – 100 = 28 колец. Вернём их на большие пирамиды – по 2 на каждую, тогда больших пирамид было 28 : 2 = 14. Тот же приём – использование воображаемых действий – можно применить при решении следующей задачи. Задача 5 (старинная китайская задача). В клетке сидят фазаны и кролики. Всего у них 30 голов и 70 ног. Определите число фазанов и число кроликов. В конце VI класса можно составить уравнение 4x + 2 ⋅ (30 – x) = 70, где x – число кроликов, и получить ответ. Если мы не только учим детей находить ответ, но и ставим цель развить их мышление и речь в процессе работы над задачей, если нам небезразличен эмоциональный фон обучения, то полезно вступить с учениками в диалог, найденный мною у старых мастеров методики обучения математике и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи. Вот как решали эту задачу более 100 лет назад. – Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? – 60 (30 ⋅ 2 = 60). – Но в условии задачи даны 70 ног, где же остальные? – Остальные не посчитаны – это передние лапы кроликов. – Сколько их? – 10 (70 – 60 = 10). – Сколько же кроликов? – 5 (10 : 2 = 5). – А фазанов? – 25 (30 – 5 = 25). Дети могут предложить другой способ решения. Представим, что в клетке было 30 фазанов, тогда у них было 60 ног. Если одного фазана заменить одним кроликом, то число голов не изменится, но добавится 2 ноги (лапы). Чтобы увеличить число ног на 10, надо выполнить 10 : 2 = 5 таких замен, то есть в клетке 5 кроликов, тогда фазанов 25. Завершая обсуждение темы «Натуральные числа», давайте посмотрим, как одни и те же задачи решают дети, обученные по старой российской методике, и дети, обученные решать текстовые задачи методом «пусть x...». Для примера возьмём задачу из доклада восьмиклассников про исторические математические задачи. Задача 6 (о принцессе Либуше, VIII в.). По преданию, основательница чешского государства принцесса Либуша обещала отдать свою руку тому из трёх женихов, кто сумеет решить задачу: «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и ещё одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и ещё одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и ещё три сливы дала бы третьему жениху, то корзина опустела бы. Сколько слив в корзине?» Решение восьмиклассников, рано обученных использованию уравнений при решении текстовых задач, привожу по их докладу в Интернете3, но более подробно (до уравнения) и с исправлением досадной опечатки. Пусть первоначально в корзине было х слив, тогда у первого жениха было 1 2 x + слив, у второго – 1 1 : 2 1 2 4 2 x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ слив, 3 См.: https://infourok.ru/uchebnotvorcheskiy-proektavtori-uchaschiesya-a-klassa-757344.html.
Математика в школе 4 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. у третьего – 1 9 1 : 2 3 2 4 2 8 4 x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − + + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ слив. Составим уравнение 1 9 1 , 2 4 2 8 4 x x x x + + + + + = х = 30. А вот решение той же задачи, но с другим сюжетом – про отца, трёх сыновей и делёж денег (учебник для V класса, № 1078, а). Подготовка к нему ведётся на более простых задачах. Начнём с конца (рис. 2). Рис. 2 1) 3 + 3 = 6 (руб.) – дали третьему брату; 2) (6 + 1) ⋅ 2 = 14 (руб.) – дали второму и третьему братьям вместе; 3) (14 + 1) ⋅ 2 = 30 (руб.) – денег было всего. Преимущество арифметического способа над алгебраическим очевидно, но не надо внушать детям, что так будет всегда. Задача 7 (задача Евклида). Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься? – сказал мул, – если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого? Приведу решение Кристины Марченко (ученица 6 класса, Ревякинская муниципальная гимназия, учитель Т.В. Абросимова). Два мешка составляют 1 1 1 1 3 2 6 − − = числа всех мешков (рис. 3). Всего было 1 2 : 12 6 = мешков. У мула было 12 : 2 + 1 = 7 мешков, а у ослицы 12 – 7 = 5 мешков. Рис. 3 Далее рассмотрим несколько задач уровня V–VI классов, которые предлагают на выпускном экзамене за курс средней школы. Наши казахстанские коллеги тоже проводят итоговый экзамен – Единое национальное тестирование (ЕНТ). У них есть аналог нашего ЕГЭ базового уровня, он называется «Математическая грамотность». Вот две задачи оттуда. Я использую материалы из YouTube, в которых преподаватель обучает выпускников решать задачи, применяя чаще всего «взрослые» решения. Сравним их с возможными «детскими» решениями. Следующая задача в источнике сформулирована в виде теста, приведу её в более привычном виде. Задача 8. В двух карманах было 150 монет. Затем 17 монет переложили из одного кармана в другой. В результате во втором кармане монет стало в два раза больше, чем в первом. Сколько монет было в первом кармане первоначально? Преподаватель составил уравнение (x – 17) + 2(x – 17) = 150, где x – первоначальное число монет в первом кармане, и получил ответ «67 монет». Но задача решена неверно. Верный ответ здесь «67 или 33 монеты». Проблема заключается в том, что выделенные в тексте задачи слова не означают, что монеты переместили из первого кармана во второй, они могут означать также из второго кармана в первый, поэтому правильное решение предполагает разбор обоих случаев. I 1 1 3 II III Актуальная тема 9 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Рассмотрим теперь «детское» решение для первого случая (которым ограничился преподаватель). Начнём с конца, определим, сколько монет стало в первом кармане после их перекладывания. Для этого решим задачу «на части» – как мы учим в учебнике для 5 класса. Пусть новое число монет в первом кармане составляет 1 часть, тогда во втором – 2 части. 1) 1 + 2 = 3 (части) – приходится на 150 монет; 2) 150 : 3 = 50 (монет) – стало в первом кармане; 3) 50 + 17 = 67 (монет) – было в первом кармане первоначально. Задача 9. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет. Сейчас отец старше меня в два раза. Сколько лет мне сейчас? Преподаватель составил уравнение 31 + x = 2(8 + x), где x – число лет, прошедших между двумя рассматриваемыми ситуациями, и получил x = 15. Потом определил возраст сына сейчас: 8 + 15 = = 23 года. Рассмотрим теперь «детское» решение. Папа старше сына на 31 – 8 = 23 года. Сейчас отец в два раза старше сына. Пусть возраст сына составляет 1 часть, тогда возраст отца – 2 части. Тогда 2 – 1 = = 1 часть приходится на 23 года, это и есть возраст сына сейчас. В разделе «Задачи на повторение» в конце учебника для 5 класса у нас есть такая задача. Задача 10. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок? Предполагается, что ученик запишет кратко условия задачи, обозначив буквами русского алфавита массы утёнка и гусёнка: 3у + 4г = 2500, 4у + 3г = 2400. Далее выполнит манипуляции с верными равенствами: 7у + 7г = 4900, у + г = 700, 3у + 3г = 2100 и сравнит первое равенство с последним. 2500 – 2100 = 400 (г) – весит гусёнок. Похожие задачи есть в нашем учебнике для 6 класса, есть и в ЕНТ, и в ЕГЭ базового уровня. Задача 11 (ЕНТ). Три яблока и одна груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблоко весят столько же, сколько 1 груша. Сколько персиков надо взять, чтобы уравновесить 1 грушу? Преподаватель, обучавший в Интернете выпускников казахстанской средней школы, несколько раз нарисовал весы, на чашах которых изобразил фрукты в точном соответствии с условиями задачи. А достаточно было написать два равенства: 3я + 1г = 10п, 1г = 6п + 1я, умножить на 3 обе части второго равенства и сложить его с первым равенством, чтобы получить после упрощения 4г = 28п, 1г = 7п. Одна груша весит столько же, сколько семь персиков. Задача 12 (ЕГЭ). В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: – за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; – за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Математика в школе 4 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Запишем кратко условия задачи (располагая массы золотых монет, про которые не спрашивают в задаче, в разных частях равенств): 2з = 3с + 1м, (1) 5с = 3з + 1м. (2) Уравняем количество золотых монет, умножив на 3 обе части равенства (1) и на 2 обе части равенство (2): 6з = 9с + 3м, (3) 10с = 6з + 2м. (4) Сложив равенства (3) и (4), получим: 6з + 10с = 6з + 9с + 5м, откуда, вычитая поровну из обеих частей, получим: 1с = 5м, 10с = 50м. То есть 10 серебряных монет стоят столько же, сколько стоят 50 медных. У Николая появилось 50 медных монет, значит, число серебряных монет уменьшилось на 10. Это была задача 20 из демоверсии. Можно ли по таким задачам судить о получении молодыми людьми среднего математического образования – не обсуждаем. Однако вернёмся в V класс. Там ещё есть много интересного. Сейчас мы перерабатываем учебники и стараемся учесть пожелание учителей увеличить число более сложных задач, рассчитанных на мотивированных учащихся. В новой главе 5 мы рассказываем о десятичных дробях, оставляя изучение их умножения и деления на 6 класс. Новая программа требует в 5 классе только складывать и вычитать и обыкновенные, и десятичные дроби – новый шедевр методики преподавания математики! В этой главе есть дополнение, где рассмотрены некоторые способы решения задач: рассуждение «с конца», использование вспомогательного неизвестного, переформулировка задачи. Приведу ста ринную задачу, похожую на задачи из ЕГЭ и ЕНТ. Задача 132 (Новгород, XV в.). Одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20-ю бочками и 8-ю вёдрами. Сколько насадок содержится в бочке? (Бочка, насадка, ведро – меры объёма жидкостей.) Запишем коротко условия задачи: 1б + 20в = 3б, 19б + 1н + 15,5в = 20б + 8в. Из первого равенства получим: 1б = 10в. Из второго равенства получим: 1н + 7,5в = 1б. Так как 1б = 10в, то 1н = 2,5в, 4н = 10в. Наконец, получим: 1б = 4н. В новой главе 1 «Повторение» учебника для VI класса добавлена ставшая фольклорной задача. Задача 14. Мальчик Пат и собачонка Весят два пустых бочонка. Собачонка без мальчишки Весит две больших коврижки. А с коврижкой поросёнок Весит – видите – бочонок. Сколько весит мальчик Пат Чёрно-пегих поросят? Пусть мальчик Пат, собачонка, коврижка, поросёнок и бочонок весят (в килограммах) м, с, к, п, б соответственно. Тогда верны равенства м + с = 2б, с = 2к, п + к = б. С помощью второго и третьего равенств перепишем первое равенство в виде м + 2к = 2п + 2к, откуда следует, что м = 2п, то есть мальчик Пат весит столько же, сколько весят два поросёнка. Вернёмся в раздел «Дроби» из V класса,
Актуальная тема 11 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. но пропустим знакомые задачи «на дроби». После них в учебнике идут задачи на совместную работу. Они почти на 50 лет были выброшены из учебников для V–VI классов, превратившись в конкурсные задачи в «бухгалтерские» вузы. На них стоит остановиться подробнее. Вот одна из самых древних задач такого типа. Задача 15 (Китай, II в.). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? Очевидно, что китайцев интересовало не практическое приложение ответа в задаче, а практическое приложение мышления обучаемых, развиваемого при решении этой задачи. А вот задача на совместную работу для V класса. Задача 16. Один ученик уберёт класс за 20 мин, а второй за 30 мин. За сколько минут они уберут класс при совместной работе? Подготовка к решению этой задачи ведётся с самого начала введения дробей. Обсуждаются вопросы вроде следующих. Ученик уберёт класс за 20 мин. Какую часть класса он убирает за минуту? Уче ник убирает за минуту 1 12 класса. За сколько минут он уберёт класс? Решение задачи 15 приводит к сложению дробей, но есть и другой способ решения, который рассмотрим на примере следующей задачи. Задача 17 (из «Арифметики» Л.Ф. Маг- ницкого). Один человек выпьет кадь кваса в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь. В учебнике приведено старинное решение этой задачи. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14 – 10 = = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140 : 4 = 35 дней. Для решения задачи делается предположение, что муж и жена пили квас 140 дней, то есть проводится мысленный эксперимент. Применим тот же приём для решения задачи из ЕГЭ. Задача 18 (ЕГЭ, 2009). Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена – за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём? Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют 3 окна, Настя и Лена вымоют 4 окна, а Маша и Лена вымоют 5 окон. За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют 3 + 4 + 5 = = 12 окон. Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют 6 окон, а одно окно они втроём вымоют за 60 : 6 = 10 мин. Забавная история приключилась с изменённой в первой строке задачей С. Сатина из учебника для V класса (издания до 2017 г.). Задача 19. За пять недель пират Ерёма Способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоём? Мама одной ученицы написала письмо в Минобрнауки, обвинила авторов учебника «в пропаганде алкоголя». Пришлось сочинять «копию» задачи, которая проигрывает оригиналу в занимательности сюжета.
Математика в школе 4 / 2018 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Задача 20. За пять недель маляр Истомин Покрасит стены в целом доме. А лучший мастер Глеб Куделин Покрасит стены в две недели. За сколько дней, нам интересно, Они всё сделают совместно? В учебник включены усложнённые задачи на совместную работу, например такая. Задача 21. Коза съедает стог сена за 30 дней, а корова – за 20 дней. Телёнку в день требуется половина того, что за день съедают коза и корова вместе. За сколько дней они съедают стог сена втроём? Вот её решение «в дробях» и без пояснений: 1) 1 1 : 30 30 = (стога); 2) 1 1 : 20 20 = (стога); 3) 1 1 1 30 20 12 + = (стога); 4) 1 1 : 2 12 24 = (стога); 5) 1 1 1 12 24 8 + = (стога); 6) 1 1 : 8 8 = (дней). Окончание см. на диске-приложении к журналу. Литература 1. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М.: Просвещение, 1965. – 224 с. 2. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5–6 классах. – 2-е изд., дораб. – М.: Галс, 1998. – 170 с. 3. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 5–6. – М.: ИЛЕКСА, 2018. – 106 с. 4. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 7–11 классы. – М.: ИЛЕКСА, 2017. – 208 с. 5. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. 5–11 классы. – М.: ИЛЕКСА, 2018. – 246 с. А.В. Шевкин, Москва Уважаемые читатели! В содержании печатной версии журнала «Математика в школе» №2/2018 допущены следующие технические ошибки: в разделе «Методический семинар» неправильно указаны инициалы одного из авторов статьи «Формирование познавательного интереса к математике у обучающихся в классах гуманитарно-эстетической направленности» Бодрякова В.Ю.; в разделе «Олимпиады» авторами статьи «Муниципальный этап XLIV Всероссийской олимпиады по математике в Московской области» являются Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Редакция приносит свои извинения авторам!
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ОСОБЫЕ ТОЧКИ Баба-ЕГЭ. Хроники ПОЛЗУЧАЯ ПРОФИЛИЗАЦИЯ ЕГЭ (экзамен профильного уровня противоречит Закону от образовании?) Подготовка и сдача ЕГЭ превратилась в гонку за баллами для поступления в престижные вузы. Высокие баллы даёт только выполнение сложных заданий на профильном ЕГЭ, и тут без репетиторов не обойтись. Ползучая профилизация госэкзамена загоняет в угол и детей, и родителей. Всё это идёт вразрез с Законом об образовании, принятом в 2012 году, где наша школа называется средней общеобразовательной. Ни лицеи, ни гимназии там не упоминаются. Только один раз, в статье 66, говорится, что «организация образовательной деятельности... может быть основана на дифференциации содержания с учётом образовательных потребностей и интересов обучающихся, обеспечивающих углублённое изучение отдельных учебных предметов (профильное обучение)» . То есть «углублёнка» не обязательна. Однако ЕГЭ по математике профильный и его сдаёт немало выпускников. Казалось бы, оставив продвинутую математику тем, кому она будет нужна для дальнейшей учёбы, школа получила мотивированных и знающих учеников. Но результат обескуражил. Средние баллы по профильной математике в 2016 и 2017 годах были ниже, чем в 2014 году, когда экзамен был действительно единым. Платящие налоги родители рассчитывают, что их дети получат общее среднее образование, а им прямо заявляют: профильный ЕГЭ обслуживает интересы вузов (по сути, средняя школа подстраивается под высшую). «Для нас главное – умение решить сложную задачу и записать чётко аргументированное, логически грамотное решение. Таков заказ вузов, который мы воплотили в требованиях профильного ЕГЭ», – подчеркивает в интервью г-н Ященко (напомним, раньше он заявил: базовый экзамен по математике отвечает интересам Министерства обороны). Двухуровневый ЕГЭ, как заявлялось неоднократно, соответствует Концепции развития математического образования 2013 года, в которой предусмотрены три уровня изучения математики. Спрашивается: как могут сосуществовать два упомянутых документа, прямо противоречащие друг другу? К чему ведёт увлечение ранней предметной профилизацией, которая на деле не оправдывает себя? Не подменяем ли мы разумную профилизацию (ребёнок должен попробовать себя в разных видах деятельности и попытаться понять, что ему близко) углублённым изучением предметов чуть не с начальной школы? И до каких пор учитель будет заниматься не своим делом, пытаясь преодолеть растущую с годами пропасть между профилизацией и полноценным обучением? Подробности: https://www.kommersant.ru/doc/3558709. Перспективы далёкие и близкие ОТ БУМАЖНЫХ КИМОВ – К ОБЛАЧНЫМ ТЕХНОЛОГИЯМ (амбициозные прогнозы чиновников касательно будущего ЕГЭ) К 2030 году выпускники российских школ будут сдавать единый госэкзамен в новом формате, заявил руководитель Рособрнадзора Сергей Кравцов. Это касается не только, напри