Моделирование систем и процессов, 2016, № Том 9. Вып. 1

ISSN 2219-0767

МОДЕЛИРОВАНИЕ 

СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

научно-технический журнал

2016
Том 9

Выпуск 1

2016

ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА

ОАО «НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ»

Журнал зарегистрирован в Управлении Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций по Воронежской области (ПИ № ФС 361008Р от 15.04.2008)

ISSN 2219-0767

Журнал издается 4 выпуска в год

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Редакционная коллегия
Главный редактор 
В.К. Зольников, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой ВГЛТУ

Ответственный секретарь С.А. Евдокимова, канд. техн. наук, доцент ВГЛТУ

Редакционный совет
Председатель 
В.Е. Межов, д-р техн. наук, профессор, профессор ВГЛТУ

Члены редакционного совета

В.И. Анциферова, канд. техн. наук, доцент
Е.А. Аникеев  канд. техн. наук, доцент
А.В. Ачкасов, канд. техн. наук
В.Н. Ачкасов, д-р техн. наук
В.М. Бугаков, д-р техн. наук, доцент
Л.И. Бельчинская, д-р хим. наук, профессор
В.С. Горохов, канд. техн. наук
В.Н.Гриднева, канд. филол. наук, доцент
Ю.Ю.Громов д-р техн. наук, профессор

М.В. Драпалюк, д-р техн. наук, профессор
В.П. Крюков, канд. техн. наук
В.В. Лавлинский канд. техн. наук, доцент
И.П. Потапов, канд. техн. наук
Ю.С. Сербулов, д-р техн. наук, профессор
А.В. Стариков, д-р техн. наук, доцент
В.С. Стародубцев, д-р техн. наук, профессор
А.И. Стоянов
А.И. Яньков, канд. техн. наук

Разделы журнала
Технические науки
Физико-математические науки
Филологические науки
Химические науки
Экономические науки

Статьи, поступающие в редакцию, рецензируются. Мнение редакции может не совпадать с мнением 
авторов. При перепечатке ссылка на журнал обязательна. Материалы публикуются в авторской редакции. За достоверность сведений, изложенных в публикациях, ответственность несут авторы. Цена свободная.

Правила доступны на сайте http://www.vglta.vrn.ru/Pages/FreePages/kaf_VT/Default.htm

Учредитель: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. 

Морозова» 

Адрес учредителя и редакции: 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8, тел 8 (473)-253-67-08.
Адрес издателя: 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8, тел 8 (473)-253-67-08.
ЛР ИД  №00437 от 10.11.99

Подписано в печать 24.02.16 Формат бум. 6084 1/16  Объем 5,38 п.л. Тираж 1000. Заказ № 261
Отпечатано с готового оригинал-макета 25.02.2016 г. Дата выхода в свет 25.02.2016 г.

 Моделирование систем и процессов, 2016
 Воронежский государственный лесотехнический университет, 2016
 ОАО «Научно-исследовательский институт электронной техники», 2016

Содержание

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Застрожнов И.И., Рогозин Е.А., Никулина Е.Ю. Методологические основы синтеза подсистем защиты информационного ресурса ...........................................................................................5

Котов П.А. Конструктивные аспекты электродинамики...............................................................8

Котов П.А. Метод вещественных граничных задач выработки действительных граничных 
условий..............................................................................................................................................11

Котов П.А. Содержательный аспекты взаимодействия материальных тел в задачах общей астрономии...........................................................................................................................................14

Макарова Ю.А., Мануковский А.Ю. Определение параметров зон размыва земляного полотна автомобильной дороги в условиях подтопления .....................................................................20

Мезенцев А.Б., Сазонова С.А. Аппроксимационный алгоритм учета технологических и режимных ограничений в задаче параметрической оптимизации гидравлических систем.........24

Мезенцев А.Б., Сазонова С.А. Вычислительный эксперимент по апробации аппроксимационного алгоритма параметрической оптимизации гидравлических систем ..............................29

Мезенцев А.Б., Сазонова С.А. Локальная корректировка диаметров гидравлических систем 
при параметрической оптимизации и обеспечении безопасности при эксплуатации..............33

Новиков А.И., Новикова Т.П. Априорное ранжирование факторов в моделировании технических систем.......................................................................................................................................37

Рогозин Е.А., Дровникова И.Г., Никитин А.А., Шагиров Т.В. Алгоритмы количественной 
оценки защищенности автоматизированных систем на основе требований ГОСТ Р ИСО/МЭК 
15408-1-2013.....................................................................................................................................40

Рыскулова С.Р. Технологические процессы в медеплавильном производстве как объекты 
контроля, учета и управления.........................................................................................................42

Сазонова С.А. Аналитический подход решения задачи параметрической оптимизации при 
обеспечении безопасности функционирования гидравлических систем...................................44

Сазонова С.А. Задача параметрической оптимизации и обеспечения безопасности функционирования гидравлических систем.................................................................................................48

Стородубцева Т.Н., Кузнецов Д.С. Анализ причины возникновения резонанса и аэродинамический неустойчивости высоких сооружений и гибких конструкций .......................................52

Юдина Н.Ю., Хальзев Н.В. Анализ современного программного обеспечения по анализу и 
оценке результатов наблюдений при прогнозировании и выдаче управляющих решений загрязнения окружающей среды........................................................................................................58

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

Владимиров С.А. О целостной сбалансированной теоретически и реально возможной модели 
макроэкономической системы........................................................................................................62

АННОТАЦИИ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ...........................................................................69

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 004
DOI: 10.12737/21616

Методологические основы синтеза подсистем защиты 

информационного ресурса

И.И. Застрожнов1, Е.А. Рогозин1, Е.Ю. Никулина2

1Воронежский институт МВД России

Аннотация —
В статье приводятся методологиче
ские основы синтеза подсистем защиты информационного ресурса в системах электронного документооборота, на основе комплексной оценки эффективности, обеспечивающие создание подсистемы защиты информационного ресурса, соответствующей предъявляемым к ней 
требованиям.

Ключевые слова —
Информационный ресурс, элек
тронный документооборот, защита информации, эффективность.

I. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время, в условиях интенсивной ин
форматизации человеческой деятельности, проблема 
обеспечения информационной безопасности
(ИБ) 

систем электронного документооборота (СЭД) выходит на первый план. Это связано с тем, что недостаточно глубоко проработана одна из основных проблем теории защиты информации от несанкционированного доступа (НСД) в СЭД – методология синтеза 
подсистем 
защиты 
информационного 
ресурса 

(ПЗИР). Синтез проектных решений по созданию 
ПЗИР является основой их проектирования и от того, 
насколько успешно выполнены процедуры синтеза, в 
определяющей мере зависят потребительские свойства будущей ПЗИР. 

II. ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПОДСИСТЕМ ЗАЩИТЫ 

ИНФОРМАЦИОННОГО РЕСУРСА

При синтезе ПЗИР необходимо соблюдать сле
дующие основные принципы проектирования систем, 
в которых отражаются особенности их построения [13]:

- принцип параллельного проектирования ПЗИР 

совместно с разработкой самой защищаемой СЭД, 
начиная с формулировки общего замысла её построения, и на всех основных этапах. Невыполнение этого 
принципа может привести к низкой эффективности 
защиты, отвлечению дополнительных ресурсов и 
увеличению затрат на обеспечение ИБ; 

- разработка ПЗИР должно осуществляться специа
листами такого же уровня, что и самой СЭД. Кроме 
того, необходимо привлекать к созданию ПЗИР специалистов широкого профиля, обеспечивающих комплексное решение вопросов защиты информационного ресурса (ЗИР);

- обеспечение простоты ПЗИР, т.е. она должна с 

минимальной избыточностью удовлетворять требованиям по необходимой эффективности, что повышает ее надежность, экономичность, уменьшает влияние 
на временные характеристики СЭД;

- удобство обращения с ПЗИР, "прозрачность" для 

пользователя СЭД;

- обеспечение конфиденциальности документов и 

информации, регламентирующих построение ПЗИР.

III. СИНТЕЗ ПОДСИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИОННОГО 

РЕСУРСА

Постановки и методы решения задач синтеза в свя
зи с трудностями формализации не достигли степени 
обобщения и детализации, свойственной математическому обеспечению процедур анализа. Достигнутая 
степень обобщения выражается в установлении типичной последовательности действий и используемых видов описаний при их преобразованиях в систему автоматизированного проектирования. 

В общем случае, синтез ПЗИР включает следую
щие основные этапы [1, 3, 4]:

- формирование и анализ исходных данных (назна
чение, структура, характеристики, состав программного обеспечения (ПО), виды и ценность информации 
в СЭД и т.д.), выработка требований к ПЗИР, формирование системы показателей ее эффективности и 
установление их граничных значений, обеспечивающих минимально допустимый уровень ИБ;

- выявление и анализ всех возможных каналов 

утечки и НСД к информации в СЭД, определение 
соответствующего перечня угроз информации, формирование моделей информационных угроз;

- выбор содержательной модели поведения потен
циальных нарушителей, определение конкретного 

подмножества из всех выявленных каналов НСД и 
утечки информации, потенциально возможных каналов для использования нарушителями определенного 
класса;

- формирование структуры ПЗИР в СЭД, выбор 

программных средств защиты информации (ПСрЗИ) 
(определение требований на вновь создаваемые средства в случае отсутствия готовых) и их комплексирование в рамках ПЗИР таким образом, чтобы перекрыть все заданные каналы утечки и НСД;

- параметрическая оптимизация ПЗИР (определе
ние значений параметров элементов системы, обеспечивающих наибольшую эффективность ПЗИР по 
выбранной системе показателей);

- структурно-параметрическая доработка ПЗИР по 

результатам оценки её эффективности, с целью достижения заданных требований (замена отдельных 
ПСрЗИ, введение дублирования для наиболее опасных угроз (каналов) и т.д.);

- интеграция подсистем и элементов ПЗИР для 

обеспечения информационной совместимости, централизованного контроля и управления со стороны 
автоматизированных рабочих мест (АРМ) администраторов ЗИР.

Часть из вышеназванных этапов являются нефор
мализуемыми или слабоформализуемыми [3, 4] и 
требуют для выполнения квалифицированных специалистов, привлечения экспертов, применения эвристических методов и подходов. Остальные этапы могут быть формализованы в рамках задач и методов 
синтеза с привлечением положений теории математического программирования.

Синтез ПЗИР при реализации ЗИР в СЭД, включает 

формирование проектируемых систем (структурный 
синтез) и выбор численных значений параметров 
элементов систем (параметрический синтез). Проектирование ПЗИР начинается с её структурного синтеза, при котором генерируется принципиальное решение по составу ПЗИР и взаимосвязям её программных 
средств (ПСр). Но эти конструкции и схемы выбираются в параметрическом виде, т.е. без указания числовых значений варьируемых параметров ПСр. Поэтому прежде чем приступить к верификации проектного решения, нужно задать или рассчитать значения 
этих параметров, т.е. выполнить параметрический 
синтез.

Структурный синтез заключается в преобразовании 

исходного описания проектируемого объекта (требования к свойствам объекта, информация об условиях 
его функционирования, ограничениях на элементный 
состав и т.п.) в результирующее описание (сведения о 
ПЗИР, её структуре - составе элементов и способах 
их соединения и взаимодействия) [3]. В качестве исходного описания, как правило, используется техническое задание на проектирование. В качестве ре
зультирующего описания используется описание варианта ПЗИР, удовлетворяющего техническому заданию.

В процессе структурного синтеза ПЗИР определя
ется вариант системы реализующий заданный техническим заданием на ПЗИР набор защитных функций, 
обеспечивающий перекрытие каналов потенциальных 
угроз несанкционированного доступа к информации 
СЭД. Учитывая, что заданный набор защитных 
функций является обязательным условием создания 
ПЗИР, то часто при разработке ПЗИР в СЭД возникает проблема выбора эффективной ПЗИР, из множества имеющихся сертифицированных систем, перекрывающих все выявленные каналы утечки и НСД в 
СЭД. Тогда проблема структурного синтеза ПЗИР в 
СЭД сводится к проблеме выбора наиболее эффективных вариантов ПЗИР на основе комплексной 
оценки их эффективности.

При этом задачу структурного синтеза ПЗИР в СЭД 

формализовано можно представить как задачу выбора варианта ПЗИР (m), из множества имеющихся сертифицированных систем (M), обеспечивающего максимальное значение интегрального показателя комплексной оценки эффективности системы

max
m
Еи 
(1)

1,
m
М

.

В качестве ограничения в данной задаче выступает 

возможность перекрытия ПЗИР всех выявленных 
каналов утечки и НСД в СЭД. При этом, значения 
интегрального показателя эффективности каждого 
варианта ПЗИР, используемого для сравнения при 
выборе системы, целесообразно оценивать при значениях управляемых параметров, обеспечивающих 
максимальную эффективность данного варианта 
ПЗИР.

Задача параметрического синтеза может быть 

сформулирована как задача определения значений 
параметров элементов системы, наилучших с позиций удовлетворения требований технического задания, при неизменной структуре проектируемого объекта [3]. В этом случае, параметрический синтез 
ПЗИР сводится к параметрической оптимизации системы по интегральному показателю её эффективности. Если параметрический синтез ПЗИР не приводит 
к успеху, то повторяют процедуры структурного синтеза, т.е. на очередных итерациях корректируют требования к ПЗИР, её структуру или выбирают другой 
вариант ПЗИР.

Процедуры параметрического синтеза выполняют
ся либо человеком в процессе многовариантного анализа, либо реализуются на базе формальных методов 
оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае возможна следующая постановка задач 

оптимизации. В соответствии с [3], задача параметрического синтеза формализуется как задача математического программирования (параметрическая оптимизация)

arg max F(X)
X 
 Dx

,                             (2)

где F(X) - целевая функция, 
X – вектор управляемых (варьируемых) парамет
ров,

Dx = {X| (X) < 0, (X) = 0} – допустимая область,
(X) и (X) – функции-ограничения.
В качестве целевой функции при параметрическом 

синтезе ПЗИР целесообразно использовать комплексную оценку её эффективности, осуществляемую 
с помощью интегрального критерия (Еи), выражаемого через элементарные критерии эффективности 
ПЗИР. 

Таким образом, задачу принятия решения при па
раметрическом синтезе ПЗИР в СЭД можно формализовать как задачу безусловной оптимизации следующим образом. Требуется выбрать такую альтернативу (набор значений управляемых параметров 
функционирования ПЗИР) из множества альтернатив 
(всех возможных таких наборов), чтобы интегральный показатель эффективности ПЗИР Еи достигал на 
этой альтернативе своего максимального значения 
[4]:



max
и
E
X 
.
(3)

Эффективность ПЗИР в значительной степени оп
ределяется временем pi необходимым ей для выполнения защитных функций, которое не должно превышать максимально допустимого значения m заданного эксплуатационной документацией СЭД. В 
общем случае обе эти величины являются случайными, поэтому своевременность реализации ПЗИР защитных функций является случайным событием. При 
этом под временем выполнения защитных функций 
условимся понимать промежуток времени с момента 
обращения к ПЗИР до окончания реализации защитных функций по данному обращению. Превышение 
времени выполнения функций ПЗИР максимально
допустимого значения, во-первых, может привести к 
нарушению защищенности СЭД, во-вторых, снижает 
эффективность функционирования СЭД по прямому 
назначению. Исходя из этого, комплексную оценку 
эффективности ПЗИР, являющуюся целевой функцией при параметрическом синтезе системы, целесообразно 
осуществлять 
на 
основе 
вероятностно
временных характеристик динамики функционирования ПЗИР. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, разработана методология синтеза 

ПЗИР в СЭД, на основе комплексной оценки эффективности, которая, в складывающейся ситуации и в 
соответствии с предъявленными к системе требованиями, позволяет создать ПЗИР, обеспечивающую 
максимальный уровень защищенности при минимизации негативного влияния подсистемы на эффективность функционирования СЭД по прямому назначению.

Предложенная в работе методология синтеза ПЗИР 

в СЭД может быть использована при построении 
концептуальной модели управления ПЗИР, которая 
представляет собой концептуальную проработку 
проблемы создания методологии организационнотехнологического управления ЗИР в СЭД с помощью 
ПСрЗИ и обладает большими возможностями по её 
использованию при разработке способов решения 
управленческих задач [5-10].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Макаров, О.Ю. Концептуальные основы проектирова
ния управляемых программных систем защиты информации в автоматизированных системах [Текст] / 
О. Ю. Макаров, Е. А. Рогозин, И. И. Застрожнов [и др.] 
// Вестник Воронежcкого государственного технического университета. – 2003.– Вып.4.3. – С. 19-23.

[2] Корячко, В. П. Теоретические основы САПР [Текст] /

В. П. Корячко, В. М. Курейчик, И. П. Норенков. – М. : 
Энергоатомиздат, 1987. – 400 с.

[3] Норенков, И. П. Основы автоматизированного проек
тирования [Текст] / И. П. Норенков. – М. : Изд-во 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 432 с.

[4] Застрожнов, И. И. Методологические основы безопас
ности использования информационных технологий в 
системах электронного документооборота [Текст] : 
монография / И. И. Застрожнов, Е. А. Рогозин, М. А. 
Багаев. – Воронеж : ИПЦ «Научная книга», 2011. –
252 с.

[5] Застрожнов, И.И. Концептуальная модель управления 

защитой информационного ресурса системы электронного документооборота [Текст] / И. И. Застрожнов, 
Е. А. Рогозин, Л. А. Обухова // Моделирование систем 
и процессов. – 2015. – Т. 8. – № 3. – С. 23-27.

[6] Лавлинский, В. В. Один из подходов в распознавании 

системой защиты информации объектов в условиях 
неполноты априорных сведений [Текст] / П. Ю. Зубрицкий, В. В. Лавлинский, А. А. Токарев // Инженерная физика. – 2010. – № 3. – С. 21-25.

[7] Лавлинский, В. В. Информационное обеспечение для 

оценки пороговых значений в распознавании релевантных свойств информационных объектов в условиях априорной неопределенности [Текст] / П. Ю. Зубрицкий, В. В. Лавлинский // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2011. –
Т.7. – №6. – С. 209-214.

[8] Лавлинский, В. В. Формальные предпосылки решения 

проблемы оценки защищенности информации от утечки по техническим каналам [Текст] /В. В.Лавлинский, 
Ю. Ю. Громов, С. С. Никулин, А. М. Сычев // Про

мышленные АСУ и контроллеры. – 2014. – № 5. –
С. 69-75.

[9]
Лавлинский, В. В. Системы защиты информации и 
«проникновения», их взаимодействие [Текст] / В. В. 
Лавлинский, Д. В. Сысоев, О. В. Чурко, А. А. Мицель 
// Доклады Томского государственного университета 
систем управления и радиоэлектроники. – 2007. – Т. 2. 
– С. 15-17.

[10] Лавлинский, В. В. Построение топологического про
странства взаимодействия системы защиты информации с внешней средой [Текст] / В. В. Лавлинский, Д. В. 
Сысоев, О. В. Чурко, Н. Т. Югов // Доклады Томского 
государственного университета систем управления и 
радиоэлектроники. – 2007. – Т. 2. – С. 29-33.

УДК 541.2:538.3:531.10
DOI: 10.12737/21617

Конструктивные аспекты электродинамики

П.А. Котов 

Аннотация —
Рассматриваются динамические мо
дели ускоряемого смещения элементарной частицы с 
зарядом в электромагнитном поле измеримой напряженности и предлагаются содержательные отношения, 
отличительное положение и решения задач применительно к уравнениям перемещения стабильной элементарной частицы в однородном магнитном поле фиксированной напряженности.

Ключевые слова — Второй закон динамики, динами
ческая модель наблюдаемого перемещения элементарной частицы, модель гармонического осциллятора.

I. ВВЕДЕНИЕ

Известный второй закон динамики представляется 

таким выражением [1]:

,
mW
F


где m - масса, W - вектор ускорения, F - действующая сила.

В случае  F
const

запишем:

0
0
,
( )
,
dm
Fdt m
t
m






где  - скорость перемещения, t - время. 

Откуда решение записанного дифференциального 

уравнения с фиксированными начальными условиями 
представляется так: 

0

0
.

t

t

m
m
Fdt





Пусть задача рассматривается на отрезке [0, ]t
при
чем 
(0)
;
0.
m
t





Заслуживает внимания предлагаемое решение за
дачи разработанным выражением:

0

0
0

.

t
t

t

m
Fdt
Fdt








При выполняемом соотношении

0

0
0

t
t

t

m
F dt
F dt








возможно записать:

0
0.
m
Ft





Откуда

1

0
0
0
,
,
dm
m
t dt t





 
 

где 
0
,
m



при этом 
1

0
0

.
dm
dt
m
t





 



При соблюдаемом выражении второго закона Нью
тона:

2
m
dm dt
r




содержательным будет, в случае выполняемого представления, 
такой 
вариант 
пространственно
временного импульсно-энергетического соотношения:

2
2

0

2

,

2

m
m
m
t
t
r
r

m













причем при 
3
2 kT
 
и  0
0
t 
запишем:

3
.
kT
m
t
r
 

Научный интерес представляют энергетические ас
пекты динамики. 

Пусть [2] в одномерном варианте движение точеч
ного тела происходит под воздействием упругой восстанавливающей силы: 

2

2
,
0
,
d x
m
kx k
const

dt

 



при этом 

2
0
( 1)
.
m
x
kx

 
 

Тогда

2

0
m
k



и с учетом соотношения об эквивалентности энергии 
и массы 
2
mc
E

отмечаем:

0

.
2

k
E
c




 

Отличительное энергетическое соотношение пред
лагается разработанным так:

1

0
.
2
k
c
E




 


Актуальным представляется вещественное соот
ношение: 

0
2
.

k
mv



Важным представляются особенности динамики 

элементарных частиц в однородном магнитном поле 
фиксированной напряженности. 

II. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЧАСТИЦЫ

С ЗАРЯДОМ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Пусть вариант динамической модели ускоряемого 

перемещения электрона в однородном магнитном 
поле измеримой напряженности описывается таким 
уравнением [3]:

.
e
md
B
dt
c






Отсюда конструктивное соотношение предлагается 

автором настоящей работы разработанным так:

1
.
m
c tB
e




В случае такой модели динамики ускоряемого пе
ремещения элементарной частицы с зарядом [4]

,
dm
e
H
dt
c






где H - напряженность магнитного поля,
заслуживает внимания такой вариант исходного 
уравнения:

0,
dm
ec Hm
dt
E






искомое решение которого полагаем возможным в 
такой форме:

.
dm
ec dt
Hm
E


 




Или

1

ln
.

H
ec
m
C
dt
E







Отсюда

1
1 exp
.
H
ec
m
C
dt
E







При рассмотрении исходного выражения динамики 

частицы в магнитном поле представимого равенством:

2
1
0
e
m
r
H
c


 


выделяем

1
.
e
m r
H
c

  

Отсюда

.
e
m
H
c
  

При выполняемом соответствии:

dr
e
m
Hdt
r
c
 

представляется возможным вещественное выражение: 

0
ln
.
e
e
r C
Ht
Ht
mc
mc



При соблюдении математических требований за
пишем вариант решения: 

1
1

0
exp
exp
,
e
e
r
C
Ht
Ht
mc
mc





где

0
.
e Ht
mc
 

Конструктивный вариант динамической модели ус
коряемого смещения частицы в оговариваемом магнитном поле представляется в настоящей работе так: 

2

2
0.
d r
e H
r
mc
dt


 

В известных научных трудах таким уравнением 

описывается модель гармонического осциллятора с 

искомым решением 

1
2
cos e H
t
mc


, где  - ампли
туда. 

III. К ТЕОРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Задача об одномерном гармоническом осцилляторе 

является одной из важных задач теоретической физики. Она находит свое применение при построении 
простейшей теории колебаний, которая имеет большое значение  в самых разнообразных областях физики (в механике, радиофизике, оптике, атомной физике и др.). Новые теории, которые за последнее время появились в атомной физике, как правило, «испытывались» на ряде простейших задач, в том числе на 
построении теории гармонического осциллятора. 
Часто оказывается возможным свести изучение движения сложных систем к рассмотрению совокупности нормальных колебаний, эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. Задача о гармоническом осцилляторе сыграла большую роль также 
при создании квантовой теории поля [2].

При рассмотрении классической теории гармони
ческого осциллятора  представляют себе, что на некоторую материальную точку с массой 
0
m
действует 

упругая сила

,
F
kx
 

где k - коэффициент упругости. Тогда классическое 
уравнение движения гармонического осциллятора 
записывают в такой форме: 

2

0
2
0,
d x
m
kx

dt




описывающей простейший колебательный процесс. 
Решение этого уравнения имеет вид:

cos
,t



где  

1
2

0

k
m

 
- круговая частота,  - амплитуда. 

Интересными представляются исследования дина
мической модели пространственного движения по 
инерции представимые уравнением:

0,
d
m dt

 

причем с учетом переносного смещения отмечаем: 

0.
mr
mr

 


Утверждение. Содержательный вариант наблюдае
мого движения частицы по инерции в однородном 
ортогональном пространстве описывается вещественным уравнением гармонического осциллятора с 

искомым решением 

1
2
cos
t


, где  - амплитуда, 

определяемая из начальных условий.  

ЛИТЕРАТУРА

[1]
Рябов, Ю. А. Движения небесных тел [Текст] / Ю. А. 
Рябов. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. –
240 с. 

[2] Соколов, А. А. Квантовая механика и атомная физика

[Текст] : учеб. пособие для физ.-мат. фак-тов пединститутов / А. А. Соколов, И. М. Тернов. – М. : Просвещение, 1970. – 424с. 

[3] Котов, П. А. Вопросы динамики стабильных элемен
тарных частиц в электромагнитном поле измеримой 
напряженности [Текст] / П. А. Котов // Моделирование 
систем и процессов. – 2015. – Т. 8. № 2. – С. 9-13. 

[4]
Паули, В. Теория относительности [Текст] / В. Паули. 
– М. : ОГИЗ. Государств. технико-теоретич. лит., 1947.
– 301 с. 

УДК 517.92
DOI: 10.12737/21619

Метод вещественных граничных задач выработки 

действительных граничных условий

П.А. Котов

Аннотация —
Предлагается конструктивное реше
ние вещественного уравнения теплопереноса с детерминированным возмущением и содержательный метод 
основной начально-граничной задачи для уравнения 
нестационарного распространения тепла с измеримыми 
начальными и граничными условиями.

Ключевые слова —
Неоднородное изотропное тело, 

уравнение теплопроводности однородного тела, начально-граничная задача для исходного уравнения нестационарного распространения тепла.

I. ВВЕДЕНИЕ

Известная модель распространения тепла в сплош
ной материальной среде описывается таким уравнением:




2
,
t
xx
yy
zz
u
a
u
u
u




где 
xx
yy
zz
u
u
u


называется оператором Лапласа 

от функции u с таким обозначением:

2
2
2

2
2
2

u
u
u
u

x
y
z




 







.

Записанное уравнение представляется и в таком 

виде:

u
u
k

t


 

 ,

которое называется уравнением теплопроводности 
[1]. Это линейное уравнение с распределенными параметрами второго порядка.

Для нахождения температуры внутри тела в любой 

момент времени недостаточно одного уравнения теплопроводности [2] неоднородного изотропного тела:

(В.1) 


 

















, , ,
, ,
, ,
, ,

, , ,
, , ,
, ,
, ,
, , ,
,

u x y z t
u
x y z c x y z
k x y z
t
x
x

u x y z t
u x y z t
k x y z
k x y z
F x y z t
y
y
z
z
















































где 


, ,
k x y z
- коэффициент теплопроводности, 



, ,
c x y z - теплоемкость тела, 



, ,
x y z

- плотность тела.

Если тело однородное, уравнение теплопроводно
сти записывают так:

(В.2) 





2
, , ,
t
xx
yy
zz
u
a
u
u
u
f x y z t




,

где

(В.3) 






2
0;

, , ,
, , ,
0

k
a
c
F x y z t
f x y z t
c











.

Для тела линейного размера, например, для одно
родного стержня уравнение теплопроводности имеет 
вид [2]:

(В.4)



2
,
t
xx
u
a u
f x t


;

Необходимо знать еще распределение температуры 

внутри тела в начальный момент времени и тепловой 
режим на границе рассматриваемого твердого тела. 

Граничные условия могут быть заданы по разному 

[2].

1) В каждой точке поверхности S тела задается 

температура

(В.5)




1
, , ,
, , ,
u x y z t
x y z t
S



где


1
, , ,
x y z t

- заданная функция.

2) На поверхности S задается тепловой поток, т. е. 

количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени, причем

;
Q
u
q
q
k
S t
N




 
 

.

Откуда

(В.6)


2
, , ,
u
x y z t
S
N




,

где 


2
, , ,
x y z t

- заданная функция.

3) На поверхности S тела происходит теплообмен с 

окружающей средой, температура 
0u которой извест
на. 

Закон теплообмена достаточно сложен и в более 

упрощенной ситуации представляется в виде эмпирического закона Ньютона. 

Согласно этому закону, количество тепла, переда
ваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:



0
q
H u
u


,

где Н – коэффициент теплообмена, который зависит 
от разности температур 
0
u
u

, свойств поверхно
сти и окружающей среды. По закону сохранения 
энергии это количество тепла должно быть равно 
количеству тепла, которое определяется на основании 
закона Фурье равенством:

u
q
k N


  
.

Тогда приходят к следующему граничному усло
вию:



0

u
k
H u
u
S
N






.

При 
1
0
h
k H



записывают

0

u
hu
hu
N





.

Отсюда в случае изотропного тела граничное усло
вие может быть записано в виде:

(В.7)


3
, , ,
u
hu
x y z t
S
N












где 


3
, , ,
x y z t

– заданная функция

Задача ставится так: найти решение 


, , ,
u x y z t

дифференциального уравнения теплопереноса

(В.8) 
t
cu
k u

  ,

удовлетворяющее начальному условию:

(В.9)  




, , ,
, ,
0
u x y z t
x y z
t




и одному из граничных условий (В.5), (В.6), (В.7).

Математические задачи (В.8), (В.5) и (В.9); (В.8), 

(В.6) и (В.9); (В.8), (В.7) и (В.9) называются основными начально-граничными задачами, которые будем рассматривать для исследуемого исходного 
уравнения нестационарного распространенного тепла 
с фиксированными вещественными параметрами такого вида:

(В.10) 
t
mcu
Vk u

 ,

где V – объем тела.

Заслуживает внимания теоретический аспект обос
нования действительных начальных и граничных условий первой начально-граничной задачи для исследуемого уравнения нестационарного распространения тепла при заданных начальных и граничных значениях:












0

1

1

, ,
;

, , ,
, , ,
,

, , ,

x y z
u

x y z t
t

t
u




   

   







II. КОНСТРУКТИВНЫЕ АСПЕКТЫ ВЫРАБОТКИ 

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 

ОСНОВНОЙ НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

Для заданного начального условия u0 искомой за
дачи запишем:

(1.1.) 

1
1

2
2

0
cos3
sin3
,
u
A
Vk
x
y
z
P
Vk
x
y
z










где 

(1.2.)

1
2

0

1
2

sin3

cos3

u
P
Vk
x
y
z
A

Vk
x
y
z













.

Для заданного граничного условия u1 предлагается 

вещественное соотношение такого вида:

(1.3) 

1

1
2

1
1

1
2

exp
cos3

exp
sin3
,

u
A
mc t
Vk

P
mc t
Vk


























Откуда:

1
1

1
1
2
2

1
0

1
1
1

1
1
2
2
2

cos
3
exp
cos3

3
exp
cos3
exp
sin3

u
u
Vk
x
y
z
mc t
Vk
P

tg Vk
x
y
z
mc t
Vk
mc t
Vk










































Отсюда представляется возможным сформировать 

содержательный вариант решения первой начально
граничной задачи для исходного уравнения нестационарного 
распространения 
тепла, 
причем: