Термогидродинамика переходных и аварийных режимов реакторных установок

Минск
«Вышэйшая  школа»
2016

Î.Â. Ñåìåíîâè÷

Òåðìîãèäðîäèíàìèêà
ïåðåõîäíûõ
è àâàðèéíûõ
ðåæèìîâ 
ðåàêòîðíûõ
óñòàíîâîê

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в качестве учебного пособия
для студентов учреждений
высшего образования
по специальностям 
«Физика (по направлениям)», 
«Ядерные физика и технологии»

УДК 621.039.5:[532.5+536.24](075.8)
ББК 31.46я73
 
C30

Рецензенты: кафедра «Тепловые электрические станции» Белорусского национального технического университета (заведующий кафедрой доктор 
технических наук, профессор Н.Б. Карницкий); ученый секретарь Института 
энергетики Национальной академии наук Беларуси кандидат технических 
наук А.П. Ахрамович

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения изда те ль ства.

Семенович, О. В.
С30  
Термогидродинамика переходных и аварийных режимов реакторных установок : учеб. пособие / О. В. Се мено вич. — Минск : Вышэйшая школа, 2016. – 239 с. : ил.
ISBN 978­985­06­2721­6.

Учебное пособие содержит необходимый физико­математический 
базис, достаточный для рассмотрения задач тепломассопереноса в ядерных энергетических установках. Излагаются основы термомеханики 
сплошных сред, освещаются вопросы теплопроводности, конвективного теплообмена в однофазных и многофазных средах. Основное внимание уделяется исследованию процессов, протекающих в водоохлаждаемых реакторах, в первую очередь с водой под давлением. 
Для студентов учреждений высшего образования по специальностям «Физика», «Ядерные физика и технологии».

УДК 621.039.5:[532.5+536.24](075.8)
ББК 31.46я73

ISBN 978-985-06-2721-6 
 Семенович О.В., 2016
 
 Оформление. УП «Издательство 
 “Вы шэйшая школа”», 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга предназначена в качестве учебного пособия по курсам «Тепломассоперенос в ядерно­энергетических 
установках» и «Термогидродинамика переходных и аварийных 
режимов реакторных установок» для студентов – будущих физиков­инженеров. 
Целесообразность издания такого учебного пособия объясняется следующим обстоятельством. Многое из существующей учебной литературы по данному предмету написано достаточно давно (а новые издания не претерпевают существенных изменений) и не вполне соответствует современному уровню, а значит, не удовлетворяет в должной мере требованиям по 
подготовке физиков­инженеров, способных быть, в частности, 
экспертами в области детерминистического анализа безопасности ядерных энергетических установок (ЯЭУ). Тем не менее 
работа в данном направлении подразумевает наличие у специалиста не только безупречных знаний по физике и технике 
установок, но и математической культуры.
Наука о переносе энергии (тепла), импульса (количества 
движения) и массы вещества – тепломассоперенос (тепломассообмен) – своим появлением и бурным развитием начиная 
с середины прошлого столетия обязана в первую очередь таким 
отраслям, как ядерная энергетика, авиация и космонавтика. 
Решать задачи, выдвигаемые практическими потребностями 
этих отраслей, невозможно без учета тесной взаимосвязи процессов гидродинамики и теплообмена.
Развитие ядерной энергетики всегда было связано с решением проблем тепломассопереноса во всех устройствах ЯЭУ, 
и в первую очередь в ядерном реакторе и реакторной установке. 
К сожалению, смысл того, что ядерный реактор не только аппарат, позволяющий осуществлять управляемую цепную реакцию деления ядер, но и теплоэнергетический агрегат, часто 
теряется за объяснением ядерно­физических процессов в нем. 
Нисколько не умаляя необходимость точного знания последних, хотелось бы отметить: вся история ядерной энергетики 
указывает на то, что именно недостаток знаний в области тепломассообмена и механики напряженно­деформированного 
состояния (прочности) наиболее часто приводил и приводит 
к неполадкам в работе АЭС и авариям.
В процессе работы над учебным пособием автор пришел 
к выводу, что изложение материала в строгом соответствии 

с последовательностью лекционных тем, предусмотренной 
планами, не позволит избежать повторов и некоторой «чересполосицы». К тому же в книжках, «копирующих» лекционный 
курс, нет необходимости: в процессе обучения студенты получают электронные варианты лекционного материала.
В данном учебном пособии освещаются следующие вопросы термогидродинамики ядерных установок: основы термомеханики сплошных сред, теплопроводность, конвективный 
теплообмен (как в однофазных, так и в многофазных средах). 
Книга содержит необходимый физико­математический базис, 
достаточный для рассмотрения задач тепломассопереноса 
в ЯЭУ. Последние три главы посвящены рассмотрению термогидродинамических задач детерминистического анализа безопасности. Это та область исследований, в которой в ближайшее десятилетие будут сконцентрированы основные усилия 
физиков­реакторщиков, специализирующихся в области теплофизики ядерных реакторов и реакторных установок.
Вопросы замыкания систем уравнений, в частности проблемы моделирования турбулентности, в данном пособии не 
рассматриваются. Представляется разумным изложить их в отдельной книге, так как в последние годы в практике термогидродинамического анализа РУ стали активно использоваться 
так называемые CFD­коды. Достоверность и точность результатов, получаемых с помощью этих программных средств, во 
многом определяется тем, насколько грамотно моделируются 
эффекты турбулентности.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность рецензентам: доктору технических наук, профессору 
Н.Б. Карницкому и коллективу возглавляемой им кафедры 
«Тепловые электрические станции» Белорусского национального технического университета; ученому секретарю Института энергетики НАН Беларуси кандидату технических наук 
А.П. Ахрамовичу. Высказанные ими ценные замечания и пожелания, несомненно, позволили улучшить рукопись. Некоторые из пожеланий, касающиеся включения ряда разделов, не 
нашли отражения в данной книге лишь потому, что это привело бы к существенному увеличению ее объема и сделало бы 
ее менее удобной в работе. Упомянутый материал (в частности, 
касающийся замыкающих соотношений для рассмотренных 
здесь систем уравнений математических моделей) станет частью готовящегося к изданию учебного пособия, которое будет 
дополнять предлагаемую книгу.
Автор 

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ  
ТЕОРИИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

§1.1. Основные понятия термомеханики  
сплошных сред

Теория тепломассопереноса (тепломассообмена) заявила 
о себе как самостоятельная отрасль физики в конце 1940­х – 
начале 1950­х гг. Появление этой области знания было предопределено развитием целого ряда отраслей промышленности, 
в первую очередь атомной энергетики, авиации и ракетостроения, космической техники, химических технологий, металлургии. Насущные практические потребности делали актуальными физико­математические задачи, решение которых было 
невозможно в рамках только механики сплошных сред или 
теории теплообмена. Необходимо было решать задачу переноса и массы и энергии в некоторой исследуемой области (например, техническом устройстве).
Механика сплошных сред – один из «китов», на которых базируется теория тепломассопереноса (во всяком случае, большая 
ее часть, включающая в себя и ту область, которую принято называть теплофизикой ядерных энергетических установок). Поэтому основные понятия и положения этой отрасли физики 
являются, очевидно, таковыми и в теории тепломассопереноса.
В рамках названного подхода окружающий нас материальный мир трактуется как некая сплошная среда. Определим, что 
понимается под этим термином. Для этого используем общепринятое определение [1–5].
Сплошная среда – физико­математическая абстракция, согласно которой материя рассматривается как система частиц 
или материальных точек (точечных объектов, обладающих массой), распределенных в пространстве Е (трехмерном евклидовом) таким образом, что существует взаимно однозначное непрерывное отображение этой системы на пространство Е: каждой точке z пространства Е соответствует некоторая (и только 
одна) частица (материальная точка) ζ, и наоборот, каждой частице (материальной точке) ζ соответствует некоторая (и только одна) точка z пространства Е, называемая ее местом.

Используя введенные обозначения, сформулируем вышесказанное следующим образом:

 
z = Χ( );
ζ  
(1.1)

 
ζ =
−
Χ
1( ).
z  
(1.2)

Совокупность материальных точек, занимающих в каждый 
момент времени некоторую замкнутую область пространства E, называется телом.
Из вышеизложенного следует, что существует взаимно однозначное непрерывное отображение тела на область пространства E. Это отображение называется конфигурацией тела.
При рассмотрении поведения тела во времени конфигурацию в начальный момент времени называют исходной, а конфигурацию в некоторый последующий момент времени – актуальной.
Множество Ω всех тел называется вселенной. Множество Ω 
обладает структурой частично упорядоченного множества [1– 
3]. Предполагается, что все тела обладают массой.
Для того чтобы иметь возможность математического описания исследуемых процессов в рамках принятого формализма, 
необходимо обладать некоторым средством связи физической 
реальности с выбранной для ее математического описания моделью пространства и времени: в нашем случае – трехмерным 
евклидовым пространством и действительной осью времени. 
Таким средством может быть система отсчета.
Система отсчета – группа тел, взаимное расположение которых остается неизменным в течение всего интервала времени, в который ведется наблюдение (изучение) поведения исследуемого тела или исследуемой системы тел.
Необходимо располагать математическим способом описания положения тел в пространстве­времени. Роль такого математического способа выполняет система координат.
Система координат – система правил, описывающих (представляющих) каждый объект (точку) некоторого класса (пространства, области пространства) C соответствующим упорядоченным набором (действительных или комплексных) чисел 
(компонент, координат) х1, х2,.. .
Число координат, требуемых для определения каждой точки 
(х1, х2, …, хN), называется размерностью пространства С.
Заметим: система отсчета и система координат – не одно 
и то же. Система отсчета – совокупность материальных объ7

ектов (тел); а система координат – математический способ 
описания положения тел в пространстве­времени.
В дальнейшем будем иметь дело с трехмерным евклидовым 
пространством и использовать в основном декартову прямоугольную систему координат, реже – цилиндрическую и сферическую.
Выбрав систему координат, конфигурацию тела В можно 
описать, аналогично (1.1) и (1.2), задав множество радиус­векторов частиц, составляющих тело:

 
z
B
B
α
χ
ζ
{
} =
{ }
(
); 
(1.3)

 
ζ
χ
α
{ } =
{
}
(
)

−
B
B
z
1
. 
(1.4)

Будем использовать тензорные обозначения. Как показывает практика, это делает формулы более компактными 
и удобными. Для тензоров используются общепринятые обозначения (см., например, [6]). Предполагается, что свободные 
индексы принимают значения x, y и z (рассматриваемое пространство трехмерное евклидово), по «немым» индексам выполняется (если специально не оговорено обратное) суммирование.
Движение тела – однопараметрическое семейство конфигураций, действительным параметром которого является время t:

 
z
t
B
B
α
χ
ζ
{
} =
{
}
(
)
,
; 
(1.5)

 
ζ
χ
α
{ } =
{
}
(
)

−
B
B
z
t
1
,
. 
(1.6)

Тело В и любая из его пространственных конфигураций, 
очевидно, не одно и то же. Но для наблюдения и изучения тело 
доступно только в своих конфигурациях.
Конфигурация тела может изменяться и вследствие его деформации.
Деформация (от лат. deformatio – искажение) – изменение 
взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга (рис. 1.1).
Место некоторой частицы тела в конфигурации κ обозначим так:

 
z κ
α
κ ζ
=
( ). 
(1.7)

Частица в точке zκ

α конфигурации κ может быть представлена следующим образом:

 
ζ
κ
κ
α
=
(
)
−1 z
. 
(1.8)

Если χ – движение тела, то

 
z
t
z
t
z
t
α
κ
κ
α
κ
α
χ ζ
χ
χ κ
= (
) =
(
)≡
(
)
(
)

−
,
,
,
.
 
 
 
1
 
(1.9)

Выражение (1.9) определяет семейство деформаций по 
сравнению с исходной конфигурацией. Индекс κ указывает на 
то, что форма χκ зависит от выбора конфигурации.
Выбрав систему координат, радиус­вектор zκ
α частицы ζ в 
начальный момент времени, когда она находится в начальной 
конфигурации κ0, можно записать в координатах:

 
z
z
e
i
i
κ
α
κ
α

0
0
=
 
. 
(1.10)

Координаты z κ0 называются материальными координатами 
материальной частицы ζ.
Материальные координаты – координаты в начальной конфигурации.
Уравнение (1.9) можно записать в материальных координатах:

 
z
z
t
z
z
z
t
α
κ
κ
α
κ
κ
κ
κ
χ
χ
=
(
) =
(
)
,
,
,
,
.
1
2
3
 
(1.11)

Материальная (субстанциональная) производная – это производная по времени в системе материальных координат:

Рис. 1.1. Изменение конфигурации тела вследствие деформации

d
d t
t
t

D
d t
t

m

z
z
z
z

Ψ
Ψ
Ψ

Ψ
Ψ

≡ ∂
∂




≡ ∂
∂





≡ ∂
∂





κ
α
κ
κ
κ
1
2
3
,
,
;

 

z
z
z
z
t
κ
α
κ
κ
κ
≡ ∂
∂




Ψ

1
2
3
,
,
.

 
(1.12)

Здесь Ψ – некоторая физическая величина. В тождествах 
(1.12) использованы две несколько различные формы записи 
оператора материальной (субстанциональной) производной. 
Обе они в равной мере правомочны, как и термины «материальная производная» и «субстанциональная производная». 
Употребление той или иной формы и термина полностью определяется привычкой или пристрастием автора и никак не влияет на суть изложения. В дальнейшем будем использовать вторую (с прописной литерой D) форму оператора и термин «субстанциональная» как чаще встречающиеся в литературе.
Выберем систему координат (не обязательно материальную). Зафиксируем некоторую точку zα пространства (например, совпадающую с пространственным положением центра 
масс тела в его исходной конфигурации).
Частная производная по времени – производная по времени, 
вычисляемая в данной точке:

 
∂
∂
≡
≡ ∂
∂




≡ ∂
∂




Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
t
t
t
t

z
z
z
z
,
,
,
.

α
1
2
3

 
(1.13)

Если положение точки zα в выбранной системе координат 
совпадает в ее положением zκ
α

0 в исходной конфигурации, то 
частная производная по времени и субстанциональная производная совпадают в начальный момент.
В дальнейшем по мере движения точки (со скоростью vα) 
эти величины становятся различными. Они соотносятся следующим образом:

 
D
d t
v
t
v
t
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
≡
+
≡ ∂
∂
+∇
⋅
,
,
.
α
α
  
(1.14)

Если Ψ – вектор (тензор 1­го порядка) или тензор 2­го порядка, выражение (1.14) принимает следующий вид:

 
D
d t
v
t
Ψ
Ψ
Ψ

β
β
β

α
α
≡
+
,
,
; 
(1.14а)

D
d t
v
t
Ψ
Ψ
Ψ

αβ
αβ
αβ
β
α
≡
+
,
,
. 
(1.14б)

Полная производная – это производная по времени в системе отсчета, движущейся в системе координат выбранной системы отсчета с некоторой скоростью wα:

 
d
d t
w
t
w
t

Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
≡
+
≡ ∂

∂
+∇
⋅
,
,
.
α
α
  
(1.15)

Если Ψ – вектор (тензор 1­го порядка) или тензор 2­го порядка, выражение (1.14) принимает следующий вид:

 
D
d t
w
t
Ψ
Ψ
Ψ

β
β
β

α
α
≡
+
,
,
; 
(1.15а)

 
D
d t
w
t
Ψ
Ψ
Ψ

αβ
αβ
αβ
β
α
≡
+
,
,
. 
(1.15б)

Очевидно, что справедливы соотношения

 
d
d t
D
d t
w
v
Ψ
Ψ
Ψ
≡
+
−
(
)
,
,
α

α
α
 
(1.16)

 
D
d t
d
d t
v
w
Ψ
Ψ
Ψ
≡
+
−
(
)
,
.
α

α
α  
(1.17)

Частную производную функции Ψ по аргументу ϕ в дальнейшем будем обозначать Ψ,ϕ:

 
Ψ
Ψ

,
.
ϕ
ϕ
≡ ∂

∂
 
(1.18)

Каждому телу А соответствует определенная система тел A, 
так чтобы масса этих тел являлась массой Вселенной. Система 
тел A называется внешней или окружающей средой для тела А.
Векторную величину f α(B, C), характеризующую действие 
тела В на тело С, будем называть силой, с которой тело В действует на тело С.
В механике сплошной среды принимается, что все силы 
удовлетворяют двум аксиомам (свойствам) [1–5]. Сформулируем их.
Аксиома С-1. Для определенного тела А сила f α(C, A) является аддитивной функцией, определенной для всех тел С, составляющих тело А.

Таким образом, сила, с которой тело А действует на окружающую среду A, есть сумма сил, с которыми на окружающую среду действуют все тела, являющиеся составными частями тела А.
Аксиома С-2. Для определенного тела А сила f α(A, C) является аддитивной функцией, определенной для всех тел С, составляющих тело A.
Таким образом, сила, с которой окружающая среда A действует на тело А, есть сумма сил, с которыми на тело А действуют все составные части окружающей среды.
Силы, с которыми приходится иметь дело в механике 
сплошных сред, классифицируют на внешние, взаимные, контактные.
Внешняя сила – сила, возникающая (по крайней мере, отчасти) вне тела и действующая на материальные частицы, составляющие тело.
Внешняя сила – пространственное векторное поле. Примеры: сила тяжести, электростатическая сила между двумя заряженными телами.
Пусть fe
α – удельная (отнесенная к единице массы) внешняя сила, с которой окружающая среда A действует на тело A. 
В таком случае для суммарной внешней силы, действующей на 
часть Р тела A, справедливо выражение

 
F
f
x
dV
e
P
e
VP

α
α
β
ρ
=
(
)
∫
, 
(1.19)

где ρ ≡ ρ(xα, t) – массовая плотность вещества, составляющего 
тело, кг/м3; VP – объем части P тела.
Взаимная сила – сила, возникающая внутри тела и действующая на пары материальных частиц, составляющих тело.
Взаимная сила – векторное поле, являющееся функцией 
материальных координат. Примеры: межмолекулярные силы, 
электростатическая сила между двумя заряженными телами.
Определим

 
A
A
P
P
A
P
P
≡
−
(
)
−
(
)
≡


,
.0  
(1.20)

Пусть fm

α – удельная взаимная сила, с которой (A–Р) действует на Р. Общая взаимная сила, приложенная к Р, выражается так:

 
F
f
x
dV
m P
m
VP

α
α
β
ρ
=
(
)
∫
. 
(1.21)