Математический анализ. Ряды и несобственные интегралы

УДК 517.382(075.8)
ББК 22.161я73
М34

А в т о р ы :  О.А. Кастрица, С.А. Мазаник, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович

Рецензенты: кафедра высшей математики УО «Белорусский государственный 
университет информатики и радиоэлектроники»; профессор кафедры высшей математики УО «Белорусский государственный экономический университет», доктор 
физико-математических наук М.П. Дымков

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения изда те льства.

ISBN 978-985-06-2636-3 
© Оформление. УП «Издательство
 
“Вы шэйшая школа”», 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

Разделы анализа, где рассматриваются функции, которые определяются как суммы рядов или интегралы, зависящие от параметра, в том 
числе несобственные, представляют существенные трудности при изучении. Это обусловлено сложностью теорем, позволяющих выяснять 
свойства таких функций и правила применения к этим функциям обычных операций математического анализа (переход к пределу, дифференцирование, интегрирование). Теоремы такого рода обычно содержат ряд 
условий, которые не всегда легко проверить. Как правило, эти условия 
связаны с понятием равномерного предельного перехода.
Глубокое понимание теорем и приобретение навыков их применения на практике достигается только путем выполнения достаточного 
количества специальных упражнений и решения задач. Роль преподавателя в этом процессе чрезвычайно важна. Но в последнее время 
в учебном процессе университетов делается серьезный упор на самостоятельную работу студентов. Самостоятельное изучение математики всегда было достаточно трудным делом, а изучение упомянутых 
выше разделов – особенно трудным. Авторы надеются, что данное 
пособие окажет студентам помощь при изучении рядов и несобственных интегралов, зависящих от пара метров.
Учебное пособие написано на основании многолетнего опыта преподавания математического анализа на факультете прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета. 
Пособие состоит из семи глав, построенных по одному и тому же принципу. В первой части каждой главы приводится необходимый теоретический материал (определения, теоремы и т.д.), который сопровождается большим количеством примеров, поясняющих введенные понятия 
и теоремы. Доказательства не приводятся. Исключение составляет 
глава 6, посвященная так называемым именным интегралам. Приведенные здесь доказательства являются дополнительной иллюстрацией 
применения теоретического материала двух предыдущих глав к вычислению и исследованию интегралов, имеющих важное значение для 
математического анализа и его приложений. Во второй части главы 
содержится большое количество упражнений для самостоятельного 
выполнения. Работа с этими упражнениями позволит студентам приобрести опыт исследования математических объектов, изучаемых в 
соответствующей главе. Разумеется, выполнение всех упражнений не 
обязательно. Даны ответы и указания к упражнениям. В третьей части 
главы приводится вариант контрольной работы для проверки усвоения 
материала главы.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам – профессору М.П. Дымкову, профессору Н.В. Цегельнику и доценту Л.А. Ко

нюх за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания и советы, 
позволившие улучшить пособие, а также сотрудникам кафедры высшей 
математики Белорусского государственного университета, постоянное 
общение с которыми способствовало созданию этой книги.
Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу: УП «Издательство “Вышэйшая школа”», пр. Победителей, 11, 220048, Минск. 

Авторы

ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 
И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.1. Сходимость числово го ряда

1.1.1. Основные понятия

Рассмотрим числовую последовательность (
).
an
 Отправляясь от нее, 
построим последовательность (
),
Sn  полагая, что

S
a
S
a
a
S
a
a
a

S
a
n
k

n

k

1
1

2
1
2

3
1
2
3

=1

,
,
,

,

=
=
+
=
+
+

= ∑

………………

………………

Последовательность (
)
Sn  удобно изучать, записав ее в виде выражения (бесконечной суммы)

 

k
k
a
=

∞
∑
1
, 
(1.1)

называемого числовым рядом (кратко – рядом). Числа ak  называют членами ряда. Суммы Sn, n =1,2,
,
…  называют частными суммами ряда (1.1). 
Если последовательность (
)
Sn  сходится, т.е. если существует конечный 
предел S
S
n
n
=
→∞
lim
, то говорят, что ряд (1.1) сходится, и число S называ
ют суммой ряда. В этом случае пишут:

k
k
a
S
=

∞
∑
1
=
.

В противном случае говорят, что ряд расходится.
З а м е ч а н и я. 1. Если lim
n
n
S
→∞
= +∞ или lim
,
n
n
S
→∞
= −∞  то допустима 

запись 

k
k
a
=

∞
∑
= +∞
1

 или 

k
k
a
=

∞
∑
= −∞
1

 соответственно.

2. Нумерация членов ряда может начинаться не обязательно с k =1,  
а, например, с k = 0. Индекс суммирования может быть любым, т.е.

k
k
n
n
i
i
k
k
a
a
a
a
=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

+
∑
∑
∑
∑
1
1
1
0
1
=
=
=
=... .

Таким образом, сходимость ряда – это сходимость последовательности 
его частных сумм; сумма ряда – это предел последовательности его частных сумм.

Пример. Исследовать ряд 

n
n
=2
2
1
1
∞
∑
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ln
 на сходимость.

Р е ш е н и е. Изучим частную сумму ряда:

S
n
n− =
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
+
−
⎛
⎝
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
ln
ln
ln
ln
…
⎜
⎞
⎠⎟ =

=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⋅
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
ln
1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1

2
2
2
2
…
n
−
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎡

⎣⎢
1
1
1
1
1

2
k
k
k

=
−
+
⎤
⎦⎥ =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
=
+
(
1)(
1)
1 3
2 2
2 4
3 3
3 5
4 4
(
1)(
1)
1
k
k
kk
n
n
nn
n
ln
ln
…
2
.
n

Так как lim
lim ln
ln
ln
n
n
n
S
n
n
→∞
−
→∞
=
+ =
=−
1
1
2
1
2
2,  то ряд сходится и его сумма 

S =−ln2.

Пример. Исследовать ряд 

k
k k
=

∞
∑
+
1

1
(
1) на сходимость.

Р е ш е н и е. Имеем:

S
k k
n n
n
k

n
=
+
= ⋅
+ ⋅ +
+
+
=
∑
=1

1
(
1)
1
1 2
1
2 3
1
(
1)
…

=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
+
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
1
1
2
1
2
1
3
1
1
1
…
n
n

= −
+
−
+
+
−
+ = −
+
1
1
2
1
2
1
3
1
1
1
1
1
1
…
n
n
n
,

lim
n
n
S
→∞
=1.

Значит, ряд сходится и имеет сумму S =1.

Пример. Ряд 

k

k

=

∞
∑ −
=− + − + −
1
( 1)
1 1
1 1
…  имеет частные суммы S1
1,
=−
S2
0,
=

S3
1,
=
S4
0,
.
=
…  Последовательность (
)
Sn  не имеет предела. Значит, ряд расходится.

Ряд

 

k

k
q
=

∞
∑
0

 
(1.2)

называют геометрическим рядом. Частная сумма этого ряда 

S
q
q
q
q
q
q
n
k

n
k
n
n
=
= + +
+
+
= −
−
=

−
−
∑
0

1
2
1
1
1
1
…

при q ≠1 и S
n
n = , если q =1.

Если |
|<1,
q
 то lim
n
n
S
q
→∞
= −
1
1
. Если же |
| 1,
q ≥
 то Sn  не имеет конечного предела.
Таким образом, геометрический ряд сходится, если |
|<1,
q
 и расходится, если |
| 1.
q ≥

Если q ≥1, то lim
n
n
S
→∞
= +∞. Поэтому

k

k
q
q
q

q
=

∞
∑
=
−
+∞
≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪
0

1
1
,
|
|<1,

,
1.

если

если

1.1.2. Общие принципы сходимости рядов

Если удалить несколько первых членов ряда (1.1), например первые 

m членов, то получим новый ряд 

k
m
k
a
= +

∞
∑
1
, который называют остатком 

ряда (1.1). Для любого n
m
>
 имеет место соотношение

S
a
a
a
n
k

n

k
k

m

k
k m

n

k
=
=
+
=
=
= +
∑
∑
∑
1
1
1
,

поэтому

lim
lim
lim
n
n
n
k

n

k
k

m

k
n
k m

n

k
S
a
a
a
→∞
→∞ =
=
→∞ = +
=
=
+
∑
∑
∑
1
1
1
,

причем конечный предел в левой части равенства существует тогда 
и только тогда, когда существует конечный предел в правой части. Отсюда следует:
1) если ряд сходится, то сходится и любой его остаток;
2) если сходится какой-либо остаток ряда, то сходится и ряд;
3) если расходится какой-либо остаток ряда, то расходится и ряд;

4) если ряд сходится, то σm
k m
k
a
=
= +

∞
∑
1

 – сумма остатка; при этом 

S
Sm
m
=
+σ  и 

m
m
→∞
=
lim σ
0, т.е. последовательность (
)
σm  бесконечно малая.

Пусть ряды 

k
k
a
=

∞
∑
1
,

k
kb
=

∞
∑
1

 сходятся и α β
,
.
∈R  Тогда сходится и ряд 

k
k
k
a
b
=

∞
∑
+
1
(
),
α
β
 причем

k
k
k
k
k
k
k
a
b
a
b
=

∞

=

∞

=

∞
∑
∑
∑
+
=
+
1
1
1
(
)
.
α
β
α
β

В частности, 

k
k
k
k
a
a
=

∞

=

∞
∑
∑
=
1
1
,
α
α

k
k
k
k
k
k
k
a
b
a
b
=

∞

=

∞

=

∞
∑
∑
∑
±
=
±
1
1
1
(
)
.

Пусть ряд 

k
k
a
=

∞
∑
1

 сходится, а ряд 

k
kb
=

∞
∑
1

 расходится. Если β ≠ 0, то ряд 

k
k
k
a
b
=

∞
∑
+
1
(
)
α
β
 расходится.

Если оба ряда расходятся, то ряд 

k
k
k
a
b
=

∞
∑
+
1
(
)
α
β
 может оказаться как 

сходящимся, так и расходящимся.

Пример. Исследовать ряд 

n

n

n
=

∞

+
∑ +
−

1
2
8
3( 1)
2
 на сходимость.

Р е ш е н и е. Представим ряд в виде линейной комбинации рядов:

n

n

n
n
n
n

n

n
=

∞

+
=

∞

=

∞
∑
∑
∑
+
−
=
+
−

1
2
1
1

8
3( 1)
2
2
1
2
3
4
( 1)
2
.

Ряды 

n
n
=

∞
∑
1

1
2  и 

n

n

n
=

∞
∑ −

1

( 1)
2
 сходятся ка к геометрические ряды, следовательно, 

сходится и линейная комбинация этих рядов, т.е. исходный ряд.

Пусть ряд (1.1) сходится и имеет сумму S. Так как S
S
a
n
n
n
=
+
−1
,  то в 
пределе, когда n → ∞,  получаем:

S
S
a
n
n
=
+
→∞
lim
,

откуда следует, что для сходящегося ряда (1.1) выполняется условие

 
lim
n
n
a
→∞
= 0. 
(1.3)

Условие (1.3) является необходимым для сходимости ряда. Если это 
условие не выполнено, то ряд расходится.

Пример. Ряд 

n

n
n
=

∞
∑
+
+
1

2

2
3
5
10
2 расходится, так как

lim
lim
n
n
n
a
n
n
→ ∞
→ ∞
=
+
+
=
≠
3
5
10
2
3
10
0,

2

2

т.е. не выполнено необходимое условие сходимости.

Пример. Исследовать ряд 

n

n
n
n
=

∞
+
∑
−
+

⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
1

2

2

2
3
1
3
1

2

 на сходимость.

Р е ш е н и е. Найдем предел:

lim
lim
lim
n
n
n

n

n

n
a
n
n
n
→ ∞
→ ∞

+

→ ∞
=
−
+

⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
=
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
1
3
1
1
2
3
1

2

2

2

2

2
2+
−
+
+
−
=
=
→∞
2
2(
2)
3
1
2
3

2

2
.
e
e
n
n
n
lim

Так как lim
n
n
a
→∞
≠ 0, то ряд расходится.

Рассмотрим так называемый гармонический ряд

 

k
k
=

∞
∑
1

1 . 
(1.4)

Необходимое условие сходимости (1.3) для него выполняется. Предположим, что этот ряд сходится и имеет сумму S. Тогда, поскольку

S
k
S
n
n
S
n
n
S
n
k

n

n
n
n
2
1

2 1
1
1
1
2 >
1
2
1
2,
=
=
+
+ +
+
+ ⋅
=
+
=∑
…

при n → ∞ получаем противоречие: S
S
≥
+1 2.

Следовательно, гармонический ряд расходится, хотя (еще раз обращаем на это внимание) необходимое условие сходимости для него выполнено.
Сходимость ряда равносильна сходимости последовательности (
)
Sn  
его частных сумм. В соответствии с критерием Коши это означает, что 
любые частные суммы Sn  и Sm  с достаточно большими номерами n и m 
мало отличаются одна от другой. Отсюда получаем приведенный ниже 
критерий.

Критерий Коши сходимости ряда. Для сходимости ряда необходимо 
и достаточно, чтобы

∀
∃
ε
νε
> 0
, ∀
≥
n
νε, ∀
⇒
≤
= +
∑
m
n
a
k n

m

k
>
|
|
.
1
ε

Пример. Рассмотрим ряд 

k
k
k

=1

2

1
2
.

∞

−
∑ sin
 Возьмем любое ε> 0. Имеем:

k n

m

k
k n

m

k
k n

m

k
n
m
k
k

= +
= +
= +
+
∑
∑
∑
≤
≤
=
+
+
+
1

2

1

2

1
1
2
|
|
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
sin
sin
…
− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n 1
<

< 1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1 2
1
2
,
1
1
1
n
m n
n
n
+
− −
+
+
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−
=
≤
…
…
ε

если n≥
=
ν
ε
ε
log2
1, для любого m
n
> . На основании критерия Коши заключаем, 

что ряд сходится.

Пример. Ряд 

k
k
=

∞
∑
2

1
ln
 расходится, так как

1
(
1)
1
>
[
2 ]
2 >
1
2
ln
ln
ln
ln
n
m
m
n
m
m
n
n
n
+
+
+
−
=
=
=
=
…
при
ε
∀ ≥
n
2.

Действительно, функция f x
x
x
( )
2 ,
= ln
x ≥1, достигает минимума в точке 

x
e
=
2.  Минимальное значение выражения n
n
(ln
)
2
 достигается при n = 2 
и равно 1
2>1.
ln

Отметим, что 1/
0
lnk →
 при k → ∞,  т.е. необходимое условие сходимости 
ряда выполнено.

З а м е ч а н и е. Можно рассматривать и ряды с комплексными члена
ми 

k
k
a
=

∞
∑
1
, a
i
k
k
k
=
+
α
β . Ряд 

k
k
a
=

∞
∑
1

 сходится тогда и только тогда, когда 

сходятся оба ряда 

k
k
=

∞
∑
1
α  и 

k
k
=

∞
∑
1
.
β  При этом

k
k
k
k
k
k
a
i
=

∞

=

∞

=

∞
∑
∑
∑
=
+
1
1
1
.
α
β

Пример. Пусть q
r
i
=
+
∈
(
)
.
cos
sin
ϕ
ϕ
C  Ряд 

k

k
q
=

∞
∑
0

 (как и при q ∈R) сходится 

и имеет сумму 1 1(
)
−q , если |
|<1,
q
 и расходится, если |
| 1.
q ≥