Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), 2015, № 3 (спецвып.9)

ГОРНЫЙ
ИНФОРМАЦИОННОАНАЛИТИЧЕСКИЙ
БЮЛЛЕТЕНЬ № 3
СПЕЦИАЛЬНЫЙ
ВЫПУСК 9

В.А. Горбунов

НЕПРАВИЛЬНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОСТЫХ
ЧИСЕЛ

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Г 67 

511
Г 67 
 
 
 
Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253-03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 
29.124—94). Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной 
службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия
человека № 77.99.60.953.Д.014367.12.14 
 
 
 
Горбунов В.А. 

Неправильные распределения простых чисел. Отдельная ста
тья: Горный информационно-аналитический бюллетень (научнотехнический журнал). — 2015. — № 3 (специальный выпуск 9). —
32 с. — М.: Издательство «Горная книга» 
ISSN 0236-1493 

Экспериментальные наблюдения за распределением простых чисел, имеющих сотни знаков, на интервалах одинаковой длины указывают на отсутствие какой либо закономерности содержания простых чисел на этих интервалах. Асимптотический закон распределения простых чисел носит интегральный характер и 
не может учитывать особенности локального значения. Подход, используемый в 
данной статье, позволяет выяснить причины такого «странного» поведения в распределении простых чисел. Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (2.1) позволяет на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для ин
тервала (
)
k
p#
0;
 в первое множество (обозначаемое {
}

k
p
N
# ) входят простые числа, 

образующие праймориал 
k
p#  и числа, кратные множителям праймориала. Во вто
рое множество (обозначаемое {
}
Nϕ ) входят числа взаимно простые с праймориа
лом 
k
p# . Сюда входят: единица, все простые числа 
ip интервала (
)
k
k
p
p#
;
 и состав
ные числа 
iq , являющиеся всевозможными произведениями простых чисел 
ip  и 

удовлетворяющими условию 
(
)
i
k
q
p#
0;
∈
. Количество элементов множества {
}
Nϕ

определяется функцией Эйлера и равно (
)
k
p#
ϕ
.  

УДК 511

©  В.А. Горбунов, 2015 
©  Издательство «Горная книга», 2015 
ISSN 0236-1493 

©  Дизайн книги. Издательство  
«Горная книга», 2015 

 
 

1. ВВЕДЕНИЕ 
 
Основной отличительной чертой множества простых чисел 
является нерегулярность их распределения в натуральном ряде. 
Зная очередное простое число невозможно без предварительных 
исследований указать следующее простое число. Промежуток 
между двумя соседними простыми числами определяется только 
после тестирования нечетных чисел, идущих вслед за обнаруженным простым числом. 
Другим видом неопределенности распределения простых чисел 
является количество простых чисел на интервале определенной длины. На конкретном примере продемонстрируем данную ситуацию. 
Пример 1.1. На интервале (
)

#
#
709
30000;709
30000
−
+
 рас
положено 118 простых чисел. Выпишем их: 
#
709 −
ip :{ 811, 2053, 3461, 3539, 3613, 4273, 4493, 4723, 5381,  
5741, 6091, 6329, 6997, 7577, 8209, 9341, 10211, 11171,  
11299, 12161, 13093, 13229, 13691, 13697,13999, 14303,  
14389, 14449, 14627, 15199, 15341, 15649, 15817, 15937,  
16187, 16333, 16529, 16829, 17389, 17729, 18047, 18439,  
18743, 19001, 19727, 19793, 20029, 20357, 21739, 22279,  
22717, 23747, 25031, 25867, 26183, 26701, 26759, 27431,  
27847, 29009, 29669 } – 61. 
#
709 +
ip : { 883, 1789, 3769, 3863, 4397, 4441, 4523, 4583, 4679,  
5003, 5039, 5443, 6229, 6971, 8761, 11083, 11257, 12211,  
12569, 13457, 15307, 15661, 15667, 15991, 16127, 16231,  
16831, 17107, 17477, 17491, 17657, 18541, 19207, 19739,  
20261, 20399, 20411, 20549, 21023, 21787, 22073, 23029,  
23189, 24133, 24229, 24281, 24439, 24697, 25411, 25693,  
26501, 27367, 28537, 29027, 29399, 29401, 29663 } 
- 
57. 
Развернутый вид праймориала 
#
709  такой: 

#
709 = 1380265110671180253634405030613336299264996365
62299148630585801421426104824308179499221045316393513819
21564573865712490763569228376295661814770390189505137031
69278191952771328537454016440857127805568317159302017023
31280864647759745205463868066440110910469921085096619698
60784773011026549129761870. 

Это число имеет 296 знаков. Следовательно, выписанные 
выше простые числа 
np  имеют также 296 знаков. Согласно асимптотическому закону распределения простых чисел, [1], количество простых чисел на интервале 
(
)

#
#
709
30000;709
30000
−
+
 оценивается формулой 

(
)

#
#
60000
60000
709
30000;709
30000 ~
~
89
ln
680
π
−
+
≈

np
. 
 (1.1) 

Полученное значение на 29 простых чисел меньше фактического или составляет 75% от фактического значения. 
Далее, рассмотрим интервал такой же протяженности 
60000
=
l
 и расположенный на 
1 =
l
#
167  левее предыдущего интервала. То есть, центром второго интервала является точка, изображающая число 
#
#
709
167
−
. Развернутый вид этого числа такой: 

#
#
1
709
167
=
−
=
S
 
1380265110671180253634405030613336299264996365622991
48630585801421426104824308179499221045316393513819215645
73865712490763569228376295661814770390189505137031692781
91952771328537454016440857127805568317159302017023312808
64647759735575989660706600840341007762073752327734416541
66797951133166270600. 
На интервале (
)
1
30000; 1
30000
−
+
S
S
 расположено 78 простых чисел. Вот эти числа: 
1−
i
S
p : { 613, 1373, 1649, 1877, 1999, 2063, 2351, 2579, 3697, 
3833, 5237, 5801, 5953, 8563, 8779, 9829, 10391, 11717, 12539, 
12893, 13397, 13799, 13831, 15797, 16319, 17159, 17239, 17291, 
17729, 19373, 20089, 20113, 20441, 22123, 22283, 22741, 24413, 
26249, 26683, 26987, 27611, 29443 } – 42. 
1+
i
S
p : {439, 1171, 1277, 1291, 1741, 1811, 2731, 3137, 3313, 
3559, 3793, 5131, 8059, 8111, 10099, 10513, 10903, 10993, 12161, 
12281, 12659, 12823, 15263, 15451, 16361, 17659, 19183, 22157, 
23167, 23197, 24077, 24407, 25771, 26597, 28283, 28297 } – 36. 
Так же как и в первом случае, простые числа имеют 296 знаков и ln
680
≈
np
. Тогда согласно асимптотическому закону количество простых чисел на этом интервале оценивается форму

лой (1.1), то есть должно быть равно 89, а оказалось 78, то есть на 
12% меньше расчетного. 
Но второй интервал расположен ближе первого к началу координат на внушительное расстояние 
#
1
167
=
=
l
 
9629474207359839270569462159011344291964191306062130
75415963491270. 
По логике на втором интервале количество простых чисел 
должно быть больше, (по крайней мере, не меньше), чем на первом (расположенном дальше от начала отсчета). На самом деле – 
все наоборот. В науке такие «явления» называются парадоксами: 
«вопреки здравому смыслу». Но, каждый парадокс должен иметь 
свое объяснение. Позже будет дано такое объяснение. Пока же 
ограничимся замечанием: асимптотический закон распределения 
простых чисел носит интегральный характер и не может учитывать особенности локального значения. 
Рассмотрим еще один интервал такой же длины 
60000
=
l
, но 
удаленный от второго, (а также от первого) на очень большое 
расстояние 
#
#
2
1009
709
=
−
l
. 
Центром третьего интервала является точка, изображающая 
праймориал 
#
1009 . Его развернутый вид такой: 

#
#
1009
=
lp
: 
1976665371080407518214387077199023847553908814210467
25378975487769293843132272894978086192136285876624905956
25147474943321532235492742204128846913537770322864572995
97493565410059428905688574617767410672711101149216729360
07577225828737100833334092212486308241261866030034580159
47013676475012954103807759699698139884769988141115940629
69105382074064116114026363552079012944728887286707288184
3138566340347306438762146043190. 
Списки 
простых 
чисел 
на 
интервале 
#
(1009
30000;
−
 

#
1009
30000)
+
 представлены ниже. 

#
1009
:
−
ip  { 2767, 2939, 3691, 5281, 5659, 5807, 7877, 8713, 
9311, 10627, 10837, 10853, 11633, 13063, 13729, 15439, 16829, 
17407, 17509, 17987, 18181, 18223, 18367, 19577, 19603, 19759, 
20107, 20399, 20939, 21163, 22073, 22433, 23041, 24793, 25117, 
25541, 29873 } – 37. 

#
1009 +
ip : {1289, 1439, 2393, 2399, 3221, 3361, 4211, 6701, 
8623, 9109, 9157, 10837, 11171, 11261, 11423, 15313, 15801, 16253, 
16481, 17989, 18839, 19793, 20249, 21559, 21701, 21737, 21997, 
22109, 22817, 23173, 23269, 23873, 24077, 24097, 25537, 26171, 
27697, 27809, 28607, 28753, 29399 } – 41. 
Из 
этих 
списков 
видим, 
что 
на 
интервале 
(
)

#
#
1009
30000;1009
30000
−
+
 столько же (78) простых чисел как 

и на втором интервале (
)
1
30000; 1
30000
−
+
S
S
. 

Так как 
#
ln1009
962
≈
, то согласно асимптотическому закону 
на третьем интервале расчетное количество простых чисел будет 

(
)

#
#
#
60000
1009
30000;1009
30000 ~
62
ln1009
π
−
+
≈
. 
 (1.2) 

Полученный результат составляет ~80% от фактического. Количество знаков у простых чисел на последнем интервале равно 419. 
Таким 
образом, 
на 
интервалах 
одинаковой 
длины, 
(
)
60000
=
l
 во втором и в третьем случае расположено одинаковое количество простых чисел. Количество знаков у простых чисел для первых двух интервалов равно 296, а для третьего интервала у простых чисел количество знаков 419, и результат последнего интервала вовсе ставит нас в тупик. 
В приведенном примере центры интервалов выражаются 
праймориальными числами. Праймориал 
#
2 3 5 7 ...
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
l
l
p
p  — 
произведение первых l  табличных простых чисел, является границей интервала (
)

#
0;
lp
, который оказывается чрезвычайно 

удобным для поиска простых чисел. Изучение многих проблем 
теории простых чисел на таких интервалах становится доступным благодаря выделению множества элементов {
}
ϕ
N
 взаимно 

простых с праймориалом 
#
lp , [2]. 

 

2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРАЙМОРИАЛЬНЫХ  
ЧИСЕЛ И ТЕОРЕМЫ О ДЕЛИТЕЛЯХ СОСТАВНЫХ  
ЧИСЕЛ МНОЖЕСТВА {
}
ϕ
N
 

 
Идея заключается в том, чтобы на числовой оси ввести шкалу делений праймориалами: 
#
k
mp , 
(
)
1
1,2,...,
1
+
=
−
k
m
p
; 
#
2 3...
= ⋅
k
k
p
p — 
праймориал, (произведение первых k  простых чисел). 
Введем в рассмотрение бесконечную систему праймориальных последовательностей 
#3 , 
#
2 3
⋅
, 
#
3 3
⋅
, 
#
4 3
⋅
; 

#5 , 
#
2 5
⋅
, 
#
3 5
⋅
, 
#
4 5
⋅
, 
#
5 5
⋅
, 
#
6 5
⋅
; 

#
7 , 
#
2 7
⋅
, …………………,
#
10 7
⋅
; 
……………………………………… 
#
kp , 
#
2⋅
kp , …………(
)
#
1
1
+ −
⋅
k
k
p
p ; 
……………………………………… 
(2.1) 
и посмотрим расположение простых чисел относительно членов 
этих последовательностей. 
Простые числа, расположенные относительно членов первой 
последовательности можно записать в виде 
#3
1
⋅
∓
m
, 
1,2,3,4
=
m
: 

#3
1
5
− =
, 
#3
1
7
+ =
, 
#
2 3
1 11
⋅
− =
, 
#
2 3
1 13
⋅
+ =
, 
#
3 3
1 17
⋅
− =
, 

#
3 3
1 19
⋅
+ =
, 
#
4 3
1
23
⋅
− =
. 
Среди простых чисел, расположенных относительно членов 
второй и других последовательностей системы (2.1), кроме простых чисел вида 
#
1
⋅
∓
k
m p
 есть и другие простые числа, которые 
могут быть записаны также с использованием членов праймориальных последовательностей. 
В интервале (
)

#
0,
kp
 целые числа разобьем на два класса. В 

первый класс включим простые числа, образующие праймориал 
#
kp , (
)
2,3,5,...,
kp
 и числа кратные множителям этого праймориа
ла. Обозначим это множество через {
}
#
k
p
N
. Например, 
#
5
N
: {2, 3, 

4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}. 
Множество чисел второго класса обозначим через {
}
ϕ
N
. В на
шем примере {
}
ϕ
N
:{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. 

Числа второго класса взаимно простые с праймориалом 
#
kp  и 

их количество определяется функцией Эйлера (
)

#
ϕ
kp
. 

• Обратим внимание на важный момент: все простые 
числа интервала (
)

#
0,
kp
, кроме образующих праймориал 
#
kp  

принадлежат множеству {
}
ϕ
N
. 

Во множество {
}
ϕ
N
 кроме простых чисел входит 1 и состав
ные числа 
iq , являющиеся всевозможными произведениями про
стых чисел 
(
)

#
,
∈
i
k
k
p
p
p
, (
)

#
,
1
=
i
k
q p
. 

Отметим два важных обстоятельства: 1). Числа кратные 
множителям праймориала 
#
kp , (включая и простые числа, 
образующие праймориал) расположены симметрично относительно середины интервала (
)
(
)

#
0,2
0,
→
k
n
p
, 
# / 2
=
k
n
p
. В на
шем примере, (
#
#5
=
kp
), это будут пары: {2, 28}, {3, 27}, {4, 26}, 
{5, 25}, {6, 24}, {8, 22}, {9, 21}, {10, 20}, {12, 18}, {14, 16}. 
2). Аналогично, числа множества {
}
ϕ
N
 также расположе
ны симметрично относительно 
# / 2
=
k
n
p
. В нашем примере 
это будут пары: {1, 29}, {7, 23}, {11, 19} и {13, 17}. 
• Последнее свойство симметрии расположения чисел 
множества {
}
ϕ
N
 является определяющим при изучении рас
пределения простых чисел. 
• Для составных чисел множества {
}
ϕ
N
 последовательности 

#
⋅
k
m p , 
1,2,3,...
=
m
справедливы теоремы: 

Теорема 2.1. Число вида 
=
⋅
iq
m
# −
k
i
p
p , где 

#
; 2
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠

k
i
k

p
p
p
- 

простое число, 
(
)
1
1,2,...,
1
+
=
−
k
m
p
, будет составным, если 

(
)
(
)

#
mod
;
mod
;
⋅
=
=
k
j
i
j
j
m p
p
p p
r ,  
(1) 

причем 
jp  является делителем числа 
#
=
⋅
−
i
k
i
q
m p
p . 

Доказательство. Из условия (1) следует 

#
1

2

;⎫
⋅
=
⋅
+
⎪⎬
=
⋅
+
⎪⎭

k
j
j

i
j
j

m p
p
b
r

p
p
b
r
. 
 (2) 

Вычитая из первого равенства второе, получим 

(
)

#
1
2
=
⋅
−
=
⋅
−
i
k
i
j
q
m p
p
p
b
b
, 
1
2
,
∈
b b
Z , 
1
2
>
b
b . 
 (3) 

Теорема доказана. 

Теорема 2.2. Число вида 
iq =
⋅
m
# +
k
i
p
p , где 

#
; 2
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠

k
i
k

p
p
p
 

— простое число, будет составным, если 
(
)
(
)

#
mod
;
mod
;
⋅
+
=
k
j
i
j
j
m p
p
p p
p ,  
(1) 

причем 
jp  является делителем числа 
#
=
⋅
+
i
k
i
q
m p
p . 

Доказательство. Пусть 
(
)

#
1
mod
;
⋅
=
k
j
m p
p
r ,  
(2) 

(
)
2
mod
;
=
i
j
p p
r ,  
(3) 

причем 

1
2
+
=
j
r
r
p . 

Тогда, из условий (2) и (3) следует 

#
1
1
⋅
=
⋅
+
k
j
m p
p
b
r , 
 (4) 

2
2
=
⋅
+
i
j
p
p
b
r  
 (5) 

Складывая (4) и (5), получим 

(
) (
)
#
1
2
1
2
=
⋅
+
=
⋅
+
+
+
i
k
i
j
q
m p
p
p
b
b
r
r
 
 (6) 

или, 

(
)
1
2
1
=
⋅
+
+
i
j
q
p
b
b
, 
1
2
,
∈
b b
Z . 
 (7) 

Теорема доказана. 
Теоремы (2.1) и (2.2) можно использовать для нахождения 
множества составных чисел 
{
}
ϕ
∈
iq
N
, имеющих один и тот же 

делитель 

#
; 2
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠

k
j
k

p
p
p
. Так, для нахождения таких чисел на ин
тервале 

#
#
;
2
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

k
k
p
p
 из условия (1) теоремы 2.1 образуем арифмети
ческую прогрессию с первым членом 

1 =
j
a
r , (если 
jr  — нечетно), или 
1 =
+
j
j
a
r
p , (если 
jr  — 

четно). Разность арифметической прогрессии 
2
=
j
d
p . 

Пример 2.1. На интервале (
)

#
#
167
30000;167
−
 найти состав
ные числа 
{
}
ϕ
∈
iq
N
 с делителем 
173
=
jp
. 

Из 
условия 
(1) 
теоремы 
2.1 
имеем: 
(
)
(
)
#
mod 167 ;173
mod
;173
106
=
=
ip
. Тогда 
1
106
173
279
=
+
=
a
; 

2 173
346
=
⋅
=
d
. Членами арифметической прогрессии будут следующие простые числа: 

=
ip
: { 971, 1663, 3739, 8237, 8929; 9967, 10313, 11351, 
12043, 17579, 18617, 19309, 20347, 20693, 22769, 24499, 25537, 
26921 } – 18. 
 (2.2) 
Руководствуясь теоремой 2.2, найдем список простых чисел 
′ip , при которых числа вида 
#
167
′
=
+
i
i
q
p  имеют делителем простое число 
173
=
jp
: 

:
′ =
ip
{ 1451, 2143, 3181, 3527, 4219, 7333, 11831, 13907, 
17021, 17713, 18059, 24979, 26017, 28439, 29131 } – 15. 
 (2.3) 
Некоторые из составных чисел из этих списков имеют только по одному большому простому числу в своем разложении на 
простые множители. В этом случае удается получить полностью 
такое разложение. Например, 
#
167
17579
−
= 173·2148270961813087827488541295460574798036
821836830052171290937. 
#
167
24979
+
= 173·5566170062057710561022810496538349301713
405379226665175814818013. 
Пусть 
#
#
709 /167
173 179 ... 709
=
=
⋅
⋅
⋅
M
. Рассмотрим интервал