Геометрия для самоподготовки. 9 класс

Пособие
для учащихся
учреждений общего среднего
образования

УДK 514(075.3/.4)
ББK 22.151я721
 
C60

Ре ц е н з е н т: старший преподаватель кафедры естественнонаучных дисцип лин и информационных технологий ГУO «Mинский областной институт 
развития образования» B.B. Kазаков

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2153-5 
© Cолтан Г.Н., Cолтан A.Е., 2014
 
© Oформление. УП «Издательство
 
 “Bышэйшая школа”», 2014

Предисловие

Пособие написано в соответствии с программой по математике для общеобразовательных учреждений. В нем изложен курс геометрии 9 класса в виде материалов для самоподготовки, большинство из которых включает рассмотрение теоретических вопросов и решение типовых задач. Наиболее важное (определения, аксиомы, теоремы) выделено 
специальными шрифтами. После объяснительного текста 
предложены контрольные вопросы, которые предназначены 
для повторения и проверки усвоения теории. Далее идут 
упражнения для закрепления теоретических знаний и формирования практических умений и навыков. Для повторения учебного материала и подготовки к контрольным работам в отдельные параграфы включены задачи по основным 
темам, в которых предлагаются специальные задания под 
рубрикой «Проверь себя!». Также имеются «Приложения», 
в которых приведены таблицы квадратов натуральных чисел (10–99), приближенных значений синусов, косинусов 
(0°–90°) и тангенсов (0°–89°) углов. К упражнениям даются 
указания и ответы. 
Для лучшего усвоения материала целесообразно пользоваться этим пособием по следующей схеме. 
1. Изучить теоретический материал и примеры решения 
задач.
2. Ответить на контрольные вопросы и приступить к выполнению упражнений. 
3. Для проверки правильности решения задач и при возникновении значительных затруднений в их решении обратиться к ответам и указаниям.
Желаем успехов!
Авторы

3

I. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ 
МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Взаимное расположение прямой
и окружности

Рассматривая вопрос о взаимном расположении прямой 
и окружности, можно отметить, что: 
1) если расстояние от центра окружности до прямой 
равно радиусу, то эта прямая имеет только одну общую 
точку с окружностью (рис. 1, а); 
2) если расстояние от центра окружности до прямой 
больше радиуса, то эта прямая не имеет общих точек с 
окружностью (рис. 1, б); 
3) если расстояние от центра окружности до прямой 
меньше радиуса, то эта прямая имеет с окружностью 
только две общие точки (рис. 1, в). 

Обоснуем третий случай. Пусть дана окружность с центром в точке О, радиус которой ОА = R, а расстояние ОН от 
точки О до данной прямой равно d (d < R). Отметим на этой 

O d = R
d > R
d < R
O
O

а
б
в

Pис. 1

прямой точки В и С такие, что ВН = НС = 

= 
R
d
2
2
−
 (рис. 2). Тогда по теореме 
Пифагора ОВ = ОС = R, следовательно, 
данная прямая имеет с окружностью 
две общие точки – В и С.
Докажем теперь, что прямая и 
окружность не могут иметь более двух 
общих точек. Допустим, что прямая b 
имеет три общие точки В, D и С с этой 
окружностью (рис. 3). Тогда ОВ = ОD = 
= ОС, а треугольники ОВD и ОDС – равнобедренные. Проведем медианы ОK и 
ОН этих треугольников. Они являются 
и их высотами. Получили, что из точки О 
проведены два перпендикуляра ОK и 
ОН к прямой b, а это противоречит теореме о единственности перпендикуляра, 
проведенного из точки к прямой. Значит наше допущение неверно. Следовательно, прямая и окружность не могут 
иметь более двух общих точек. 
З а д а ч а. В данной окружности с центром в точке О проведены хорда АВ и радиус ОМ, пересекающий эту хорду в 
точке K, которая делит радиус и хорду пополам. Найти длину этой хорды, если диаметр окружности равен 12 см.
Р е ш е н и е. Проведем радиусы ОА и 
ОВ окружности (рис. 4). Треугольник 
АОВ равнобедренный. Отрезок ОK его 
медиана, проведенная к основанию, 
следовательно, ОK – высота треугольника. Из прямоугольного ΔОKА по теореме Пифагора АK = 
27 см = 3
3 см. 
Тогда АВ = 6
3 см.
О т в е т: 6
3  см.

1. Каково может быть взаимное расположение прямой и окружности?

O

H
B
A
C

Pис. 2

O

B K D H C

Pис. 3

A

O

B
K

M

Pис. 4

У п р а ж н е н и я

1. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром в точке О и радиусом, равным 9 см, если: 
а) АВ = 24 см, ОА = ОВ = 15 см; б) АВ = 16 м, ОА = ОВ = 17 м?
2. Расстояние от центра окружности до точки М меньше радиуса этой окружности. Докажите, что любая прямая, 
проходящая через точку М, имеет с окружностью две общие точки.
3. Отрезок ВН – перпендикуляр, проведенный из точки В 
к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 6 см. Сколько общих точек имеют прямая ВН и окружность, если: а) ∠ВОН = 60°, ОВ = 12 см; б) ВН = 5 см, 
∠ОВН = 45°?
4. а) Докажите, что радиус, проходящий через середину 
хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей. 
Верно ли обратное утверждение?
б) Точка А удалена от центра данной окружности на расстояние, меньшее ее радиуса. Постройте все точки, симметричные относительно точки А, которые принадлежат 
данной окружности.
5. а) В окружности проведены диаметры АВ и СD. Установите вид четырехугольника ВDАС. 
б) Отрезок АВ является диаметром окружности, а ее хорды ВС и АМ параллельны. Докажите, что хорда СМ является диаметром этой окружности.
6. а) Точка О – общий центр двух окружностей (рис. 5, а). 
Докажите, что ΔАОВ и ΔСОD подобны. 

A

B

C

D

O

A

B

O

C

D

а
б

Pис. 5

б) Докажите, что прямые АВ и DС параллельны (рис. 5, б), 
если точка О – общий центр окружностей. 
7. Постройте квадрат АВСD со стороной, равной 4 см, 
и окружность с центром в точке А и радиусом 3 см. 
Сколько общих точек имеет данная окружность с прямыми АВ, ВС и ВD? Ответ обоснуйте. 

2. Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую 
точку, называется касательной к окружности. 
Эту общую точку называют точкой 
касания прямой и окружности (рис. 6). 
Т е о р е м а  (признак касательной). 
Если прямая проходит через конец радиуса, принадлежащий окружности, и 
перпендикулярна ему, то она является 
касательной к окружности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямая 
АВ перпендикулярна радиусу окружности ОА, конец которого (точка А) лежит на окружности 
(рис. 7). Тогда произвольная точка Х прямой АВ, отличная 
от точки А, удалена от центра О окружности на расстояние 
ОХ, большее ОА (ОD = ОА, ОХ > ОА, 
так как гипотенуза прямоугольного 
треугольника длиннее его катета). Поэтому точка Х не принадлежит окружности. Следовательно, прямая АВ имеет только одну общую точку А с окружностью. Значит она является касательной к окружности.
Т е о р е м а  (свойство касательной). Если прямая касается окружности, то она перпендикулярна ее радиусу, проведенному в точку касания.

O

A
a

Pис. 6

B
A
X

O

D

Pис. 7

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямая 
АВ касается окружности в точке А 
(рис. 8). Допустим, что радиус окружности ОА не перпендикулярен прямой 
АВ. Проведем радиус ОН окружности, 
перпендикулярный прямой АВ, и отложим на прямой АВ отрезок НС, равный отрезку НА. Тогда ОС = ОА 
(по свойству серединного перпендикуляра ОН к отрезку АС). Следовательно, точка С также принадлежит окружности. Получили, что прямая АВ имеет с 
окружностью более одной общей точки, а это противоречит 
тому, что АВ – касательная к окружности. Значит наше 
предположение неверно. Следовательно, радиус ОА перпендикулярен касательной АВ. 
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
З а д а ч а. Построить касательную к данной окружности, 
проходящую через точку, не принадлежащую ей.
Р е ш е н и е. Пусть дана окружность 
с центром в точке О и точка А, не лежащая на окружности (рис. 9). Проведем 
отрезок АО и построим на этом отрезке как на диаметре окружность, обозначим центр этой окружности О1. 
Тогда общие точки В и С окружностей 
являются точками касания прямых 
АВ, АС и данной окружности, так как 
∠ОВА = ∠ОСА = 90° (треугольники ОВА и ОСА – прямоугольные, так как их медианы ВО1 и СО1 равны половине 
стороны ОА).

1. Какая прямая называется касательной к окружности? 
2. Сформулируйте и докажите признак касательной.
3. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное признаку 
касательной.

O

B
A H C

Pис. 8

B

O

C

O
A

1

Pис. 9

У п р а ж н е н и я

8. 
Докажите, что если прямая имеет с окружностью общую точку, которая не является точкой касания, то она 
имеет еще одну общую точку с этой окружностью.
9. 
а) Прямая АВ касается окружности в точке В. Известно, что расстояние от точки А до центра окружности 
равно 2 дм, а ее радиус равен 1,5 дм. Найдите АВ. 
б) Дана окружность с центром в точке О радиуса 5 см и 
точка А, удаленная от центра окружности на расстояние, большее радиуса. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности в точке В. Найдите АВ, если 
∠ОАВ = 50°.
10. а) Через точку окружности проведены касательная и 
хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между касательной и хордой.
б) Через концы хорды, равной радиусу окружности, 
проведены две касательные к ней. Найдите угол между 
этими касательными.
11. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены 
перпендикуляры АМ и ВK к касательной, которая образует с прямой АВ острый угол. Докажите, что точка 
касания является серединой отрезка МK.
12. Постройте с помощью циркуля и линейки касательную 
к окружности: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную данной прямой.

3. Свойства касательных к окружности

Т е о р е м а  (свойства касательных, проведенных к 
окружности через одну точку). Если через точку, не лежащую на окружности, провести две касательные к ней, то отрезки касательных, заключенные между этой точкой и точками касания, равны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными.

Д а н о: AB, AC – касательные к 
окружности, B, C – точки касания, 
O – центр окружности.
Д о к а з а т ь: AB = AC, ∠OAB = 
= ∠OAC.
Докажите эту теорему сами, используя рис. 10.
Две окружности называются касающимися, если они 
имеют только одну общую точку.
З а д а ч а. Каждая из трех окружностей с центрами в точках А, В и С касается двух других (рис. 11, а). Найти радиус 
каждой окружности, если АВ = т, ВС = п и АС = р. 

Р е ш е н и е. Докажем сначала, что расстояние между 
центрами двух данных окружностей равно сумме их радиусов. Пусть окружности с центрами в точках А и В касаются в 
точке K (рис. 11, б). Тогда радиусы этих окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Поскольку через точку, взятую на прямой, можно 
провести только одну прямую, перпендикулярную ей, то 
точки А, K и В лежат на одной прямой. По свойству измерения отрезков АВ = АK + KВ. 
Обозначим искомые радиусы окружностей через х, у и z. 
Так как окружности касаются, то 

х + у = т,     у + z = п,     х + z = р.

A

B

O

C

Pис. 10

A

K
B

A
C

B

p

m
n

а
б

Pис. 11