Условия представимости функции в виде разности выпуклых

И.М. ПРУДНИКОВ

УСЛОВИЯ 

ПРЕДСТАВИМОСТИ 
ФУНКЦИИ В ВИДЕ 

РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ

Монография

Москва

ИНФРА-М

2018

УДК 514(075.4)
ББК 22.151

П85

Прудников И.М.

П85
Условия представимости функции в виде разности 

выпуклых : монография / И.М. Прудников. — Москва : 
ИНФРА-М, 2018. — 143 с.

ISBN 978-5-16-107026-0 (online)

В 
каждом 
параграфе 
дана 
геометрическая 
трактовка 

полученных результатов через поворот кривых из рассматриваемых 
классов на графиках функций. Выпуклые и ПРВ функции нашли 
широкое применение в разных областях математики и техники из-за 
хороших свойств выпуклых функций.

Представляет 
интерес
для 
геометров, 
занимающихся 

построением внутренней геометрии поверхностей, а также для 
специалистов в области оптимизации.

УДК 514(075.4)

ББК 22.151

ISBN 978-5-16-107026-0 (online)
© Прудников И.М., 2018

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

1
6

1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

1.2
.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

2
M− 22

2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

2.2
m− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

2.3
, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

2.4
.. m− . . . . . . . . . . .
36

3
39

3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

3.3
r(·) .. . . . . . . . . . . . . . . . .
59

3.4
.. . . . . . . . . . . .
62

4
M−
N

65

4.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

4.2
Sn−1
1
(0) . . . . . . . .
66

4.3
.. m− n . . . . . . . . . . . .
76

5
79

5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

5.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

5.3
1 . . . . . . . . .
97

6
99

6.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

6.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3
6.2.1 . . . . . . . 123

6.4
r(·), n . . . . . . . . . . . . 126

7
4 130

7.1
. . . . . . . . 130

7.2
. 133

8
136

137

.. - ,

.. - (),

- ,

Sn−1
1
(0) = {q ∈ Rn |∥ q ∥= 1},

Bn
1 (0) = {q ∈ Rn |∥ q ∥≤ 1},

N +− ,

N− ,
¯A− A,

co A− A,

bd A− A,

intA− A,

ρH(A, B)− A, B ,

ℜn− n-,

∇f(x) = f ′(x)− f(·) x,

domf− f(·),

Γf = {(y, x) ∈ Rn|y = f(x), x ∈ domf}− f(·),

Π− ,

(a, b)− a b,

K = con{a1, a2, . . . , ak}− K, a1, a2, . . . , ak,

Pr(Q)− Q Π.

1
. . , ,

, . .

1.1
, [1]-[22]. . , , [18].

.. [1]. , , , . DC .

.

1.1.1 ϕ(·) D, x1, x2 ∈ D α1, α2 ≥

0 , α1 + α2 = 1 , ϕ(α1x1 + α2x2) ≤ α1ϕ(x1) + α2ϕ(x2).

, D − , x1, x2 ∈ D D α1x1 + α2x2, α1 + α2 = 1, α1, α2 ≥ 0.

f(·) (), f(·) = f1(·) − f2(·),

f1(·), f2(·)− .

, , [6]. . [12]. , (, ) "", .. , 22-27 2017 -[21].

. [8].

, , , , [7].

, , [15].

h(·) : Rn → R :

h(g) = f ′(x0, g) = ∂f(x0)

∂g
= lim α→+0(f(x0 + αg) − f(x0))/α,

g ∈ Rn f(·) x0. [15], h(·) (..)

, ..

h(λg) = λh(g)

λ > 0.

[6] f(·) () x0 , h(g) = h1(g) − h2(g),

h1(·), h2(·)− .

[7] .. Rn,

. h1(·), h2(·) ∂h1(0), ∂h2(0) . [7]

h1(g) = max
v∈∂h1(0)(v, g),
h2(g) = max
v∈∂h2(0)(v, g) ∀g ∈ Rn.

v g: (v, g). , f(·) x0 h(·) .. .

, 9 . .. . , [12].

, , .

, .. . , . .

x → f(x) : [a, b] → R - .

, Nf, f(·) ,

[a,b]. , f(·)

, , ∨(f ′; a, b) < ∞,

, . ∨

f ′ [a,b].

[2] .., . (. [23], [24] ).

..-, R2, , , .

. , 10 , .

[2] .. , , , .

, f(·) : R2 → R . , [2].

, f(·). . f1(·) : R2 → R. [2], f1(·) − f(·) = f2(·)

.

, , , f1(·) − f(·), . , , f1(·) − f(·), , f1(·) − f(·) .

, f(·) , f1(·) − f(·) . , , f(·). , f1(·),

f1(·) − f(·) . , f(·), −f(·) − 11 , f1(·) − f(·) . f1(·) − f(·) R2. , , .

, .

. , . [15], g ∈ Rn ϕ(·) x0 + αg, α > 0,

ϕ′(x0+αg, g) = ∂ϕ(x0 + αg)

∂g
= lim α→+0(ϕ(x0+αg+τg)−ϕ(x0+αg))/τ,

α.

f(·) : Rn → R , .. x, y ∈ R2 ∥f ′(x) − f ′(y)∥ ≤ L∥x − y∥,

L− ,  . , .

L∥x∥2.

g f1(x) = L∥x∥2 − f(x)

x0 x0 + αg, α > 0, ∥x∥2 = (x, x)− x.

x0 g f ′
1(x0, g) = 2L(x0, g) − f ′(x0, g)

x0 + αg g f ′
1(x0 + αg, g) = 2L(x0 + αg, g) − f ′(x0 + αg, g).

, , .

f ′
1(x0 + αg, g) − f ′
1(x0, g) = 2L(x0 + αg, g) − 2L(x0, g)−

−f ′(x0 + αg, g) + f ′(x0, g) ≥ 2Lα∥g∥2 − Lα∥g∥2 ≥ 0,

, , , f1(·)− . , , f(·) L∥x∥2 f1(x):

f(x) = L∥x∥2 − f1(x).

, , Rn.

, f(·) .

f(·) , L , ..

sup
x∈D
∥f ′′(x)∥ = sup
x∈D
∥∇2f(x)∥ = L,

f ′′(·) = ∇2f(·) D f(·).

, , . . .

1.2
.

ϕ(·), q ∈ R2, − .. , L. Φ(t) = ϕ(cos t, sin t) = ϕ(r(t)), r(t) = (cos t, sin t),

t ∈ [0, 2π]− [16].

Φ(·) L. |Φ(t1) − Φ(t2)| = |ϕ(r(t1)) − ϕ(r(t2))| ≤

≤ L∥r(t1) − r(t2)∥ = 2L sin |t1 − t2|

2
≤ L|t1 − t2|.

, Φ(·) (..) t [0, 2π] [10].

, [10], ∨(Φ′; 0, 2π) Φ′(·) [0, 2π], , , .

1.2.1 , .. ϕ(·) (), , (∃c(ϕ) > 0) :
∨(Φ′; 0, 2π) < c(ϕ),

Φ(t) = ϕ(r(t)), r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].

. . ϕ(·) .. ϕ1(·), ϕ1(·) :

ϕ(q) = ϕ1(q) − ϕ2(q) ∀q ∈ R2.

Φ1(t) = ϕ1(r(t)), Φ2(t) = ϕ1(r(t)), r(t) = (cos t, sin t), ∀t ∈ [0, 2π].

, Φ(t) = Φ1(t) − Φ2(t) ∀t ∈ [0, 2π].

[10]

∨(Φ′; 0, 2π) ≤ ∨(Φ′
1; 0, 2π) + ∨(−Φ′
2; 0, 2π) = ∨(Φ′
1; 0, 2π) + ∨(Φ′
2; 0, 2π).

, ∨(Φ′
1; 0, 2π) < c(ϕ1).

{ti}, i ∈ 1 : s, S1
1(0) = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}, Φ1(·)

. , Φ1(·) S1
1(0), ϕ1(·) [6], L1.

[10] sup
{ti}

s
1
|Φ′
1(ti) − Φ′
1(ti+1)|.
(1.1)

Φ′
1(ti) = (ϕ′
1(r(ti)), p(ti)),

p(ti) = r′(ti), ∥p(ti)∥ = 1, |Φ′
1(ti+1) − Φ′
1(ti)| = |(ϕ′
1(r(ti+1)), p(ti+1)) − (ϕ′
1(r(ti)), p(ti))| =

= |(ϕ′
1(r(ti+1)), p(ti+1)) − (ϕ′
1(r(ti)), p(ti+1))+

+(ϕ′
1(r(ti)), p(ti+1)) − (ϕ′
1(r(ti)), p(ti))| ≤

≤ |(ϕ′
1(r(ti+1)), p(ti+1)) − (ϕ′
1(r(ti)), p(ti+1))|+

+|(ϕ′
1(r(ti)), p(ti+1)) − (ϕ′
1(r(ti)), p(ti))| ≤

≤ ∥ϕ′
1(r(ti+1)) − ϕ′
1(r(ti))∥ ∥p(ti+1)∥ + ∥p(ti+1) − p(ti)∥ ∥ϕ′
1(r(ti))∥ ≤

≤ ∥ϕ′
1(r(ti+1)) − ϕ′
1(r(ti))∥ + L1 ∥p(ti+1) − p(ti)∥,
(1.2)

∥p(ti+1)∥ = 1, ∥ϕ′
1(r(ti))∥ ≤ L1.

i
∥p(ti+1) − p(ti)∥

S1
1(0), 2π.

i
∥ϕ′
1(r(ti+1)) − ϕ′
1(r(ti))∥.

ϕ1(·)− .. , [11] ϕ1(r(t)) =
max
v∈∂ϕ1(0)(v, r(t)) = (v(t), r(t)), v(t) ∈ ∂ϕ1(0),

∂ϕ1(0) - ϕ1(·) .

 − ϕ1(·) , . r(t) ∈ S1
1(0), ϕ1(·) , v(t) ∈ ∂ϕ1(0) v(t) = ϕ′
1(r(t)) = ∇ϕ1(r(t)). [6] ∂ϕ1(0)

v(t) r(t).

i
∥ϕ′
1(r(ti+1)) − ϕ′
1(r(ti))∥ =
i
∥v(ti+1) − v(ti)∥.

v(ti), v(ti+1), i ∈ 1 : s, , , , ∂ϕ1(0).

sup
ti

i
∥ϕ′
1(r(ti+1)) − ϕ′
1(r(ti))∥

L∂ϕ1(0), ∂ϕ1(0). L∂ϕ1(0) P(L∂ϕ1(0)).

, (1.1 ) (1.2)

P(L∂ϕ1(0)) + 2πL1.

, ϕ(·) = ϕ1(·) − ϕ2(·), ∨(Φ′; 0, 2π) ≤ ∨(Φ′
1; 0, 2π) + ∨(Φ′
2; 0, 2π) ≤

≤ P(L∂ϕ1(0)) + P(L∂ϕ2(0)) + 2πL1 + 2πL2,

∂ϕ1(0), ∂ϕ2(0), L1, L2−
ϕ1(·)
ϕ2(·)
.
P(L∂ϕ1(0)), P(L∂ϕ2(0))−
,
∂ϕ1(0), ∂ϕ2(0). .

. 3.1.1 . B2
1(0) = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1} {r(ti)} ∈ S1
1(0), i ∈ 1 : m, m . .. ϕm(·) .

ϕm(·) 0, r(ti), r(ti+1) ϕm(0) = 0, ϕm(r(ti)) = ϕ(r(ti)), ϕm(r(ti+1)) = ϕ(r(ti+1)).

i−, 0, r(ti), r(ti+1), ϕm(·) , .. r = λ1r(ti) + λ2r(ti+1), λ1, λ2 > 0,