Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), 2013, № 6 (спецвып.)

ПРОБЛЕМА
ГОЛЬДБАХА

В.А. Горбунов

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Г 67 

511 
Г 67 
 
 
 
Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253-03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 
29.124—94). Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной 
службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия
человека № 77.99.60.953.Д.014367.12.12 
 
 
 
 
 
Горбунов В.А. 

Проблема Гольдбаха // Горный информационно-аналити
ческий бюллетень (научно-технический журнал). Отдельная
статья (специальный выпуск). — 2013. — № 6. — 28 с.— М.: 
издательство «Горная книга» 

ISSN 0236-1493 
 
Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (1.1) позволяет 
на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для 
интервала (
)

#
0;
kp
 в первое множество (обозначаемое {
}
#
k
p
N
) входят про
стые числа, образующие праймориал 
#
kp
и числа, кратные множителям 
праймориала. Во второе множество (обозначаемое {
}
Nϕ ) входят числа 

взаимно простые с праймориалом 
#
kp . Сюда входят: единица, все простые числа 
ip интервала (
)

#
;
k
k
p
p
 и составные числа 
iq , являющиеся все
возможными произведениями простых чисел 
ip и удовлетворяющими 
условию 
(
)

#
0;
i
k
q
p
∈
. Количество элементов множества {
}
Nϕ  определяется 

функцией Эйлера и равно (
)

#
kp
ϕ
. 

УДК 511

©  В.А. Горбунов, 2013 
©  Издательство «Горная книга», 2013 
ISSN 0236-1493 

©  Дизайн книги. Издательство  
«Горная книга», 2013 

 
 

1. ВВЕДЕНИЕ 
 
Теория простых чисел начинается с определения и доказательства бесконечности множества простых чисел. Самое первое 
доказательство принадлежит Эвклиду и для наших целей оно самое подходящее. 
Произведение первых k простых чисел обозначают 
#
kp  и называют праймориалом, 
#
2 3 5 ...
k
k
p
p
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
. 
Тогда 
#
1
kp + не имеет простых делителей меньших или равных 
kp . Следовательно, оно либо простое (
)
k
p
p
>
, либо составное, у которого множители простые числа большие 
kp . То же самое можно сказать про число 
#
1
kp − , (оно либо простое, либо составное с делителями большими 
kp ). 
Можно пойти дальше. Так как доказано, что существуют 
простые числа 
i
k
p
p
>
, то выражения 
#
k
i
p
p
±
 также либо простые 
числа, либо составные с делителями большими 
kp . Например, 

#
7
1
209
11 19
− =
=
⋅
, 
#
29
41
6469693189
−
=
 — простое число. 
Используя закон распределения простых чисел, имеем представление о количестве простых чисел на интервалах (0, 100), (0, 
1000), (0, 10000) и т.д., [1]. Однако, как расположены простые 
числа внутри этих интервалов закон ответа не дает. 
С другой стороны, из примеров видно, что с помощью небольших простых чисел через праймориалы 
#
kp  можно получать сколь 
угодно большие простые числа и знать их расположение, (простое 
число 6469693189 расположено на 41 левее праймориала 
#
29 ). 
Такие рассуждения приводят к мысли рассматривать простые числа не в интервалах ограниченных степенями 10n , а в интервалах, границами которых являются праймориальные числа. 
Введем в рассмотрение бесконечную систему праймориальных 
последовательностей: 
#3 , 
#
2 3
⋅
, 
#
3 3
⋅
, 
#
4 3
⋅
; 

#5 , 
#
2 5
⋅
, 
#
3 5
⋅
, 
#
4 5
⋅
, 
#
5 5
⋅
, 
#
6 5
⋅
; 

#
7 , 
#
2 7
⋅
, …………………,
#
10 7
⋅
; 
……………………………………… 

#
kp , 
#
2
kp
⋅
, …………(
)
#
1
1
k
k
p
p
+ −
⋅
; 
(1.1) 

и посмотрим расположение простых чисел относительно членов 
этих последовательностей. 
Простые числа, расположенные относительно членов первой 
последовательности можно записать в виде 
#3
1
m⋅
∓ , m = 1, 2, 3, 
4: 
#3
1
5
− =
, 
#3
1
7
+ =
, 
#
2 3
1
11
⋅
− =
, 
#
2 3
1
13
⋅
+ =
, 
#
3 3
1
17
⋅
− =
, 

#
3 3
1
19
⋅
+ =
, 
#
4 3
1
23
⋅
− =
. 
Среди простых чисел, расположенных относительно членов 
второй и других последовательностей системы (1.1), кроме простых чисел вида 
#
1
k
m p
⋅
∓  есть и другие простые числа, которые 
могут быть записаны также с использованием членов праймориальных последовательностей. 
В интервале (
)
#
0,
kp
 целые числа разобьем на два класса. В 

первый класс включим простые числа, образующие праймориал 

#
kp , (
)
2,3,5,...,
kp
 и числа кратные множителям этого праймориала. Обозначим это множество через 
#
k
p
N
. Например, 
#
5
N : {2, 3, 4, 

5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}. Множество чисел второго класса обозначим через Nϕ . В нашем примере Nϕ : {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. 

Числа второго класса взаимно простые с праймориалом 
#
kp  и 

их количество определяется функцией Эйлера (
)
#
kp
ϕ
. 

Обратим внимание на важный момент: все простые числа 
интервала (
)
#
0,
kp
, кроме образующих праймориал 
#
kp  принадле
жат множеству Nϕ . 
Во множество Nϕ  кроме простых чисел входит 1 и составные 
числа 
iq , являющиеся всевозможными произведениями простых 

чисел 
(
)
#
,
i
k
k
p
p
p
∈
, (
)
#
,
1
i
k
q p
= . 

Отметим два важных обстоятельства: 1). Числа кратные 
множителям праймориала 
#
kp , (включая и простые числа, образующие праймориал) расположены симметрично относительно 
середины интервала (
)
(
)
#
0,2
0,
k
n
p
→
, 
# / 2
k
n
p
=
. В нашем примере, 

(
#
#5
kp =
), это будут пары: {2, 28}, {3, 27}, {4, 26}, {5, 25}, {6, 24}, 
{8, 22}, {9, 21}, {10, 20}, {12, 18}, {14, 16}. 

2). Аналогично, числа множества Nϕ  также расположены 

симметрично относительно 
# / 2
k
n
p
=
. В нашем примере это 
будут пары: {1, 29}, {7, 23}, {11, 19} и {13, 17}. 
Последнее свойство симметрии расположения чисел 
множества Nϕ  является определяющим при изучении рас
пределения простых чисел. 
В [2] такой подход использовался для генерирования простых чисел любой величины, (приведены примеры простых чисел 
вида 2
1
mp +  с количеством знаков 304). 
Для гипотезы Гольдбаха, (в дальнейшем ГГ.), такой подход 
позволяет обнаружить закономерности, о которых ранее не было 
известно. В формулировке ГГ. «любое четное число большее 4 
может быть разложено в сумму двух простых чисел» вопрос этих 
закономерностей вообще не затрагивается. Например, почему 
четное число 
#
2
13
30030
n =
=
имеет 900 вариантов разложения на 
сумму двух простых чисел, а рядом стоящее четное число 

#
2
13
2
30028
n =
−
=
 имеет только 231 вариантов разложения в 
сумму двух простых чисел. В чем причина такого различия? И 
вообще, фраза «может быть разложено в сумму двух простых чисел» имеет смысл для небольших четных чисел. Если, например, 
четное число 
#
2
167
n =
, (66 знаков), имеет количество вариантов 
разложения в сумму двух простых чисел, определяемое числом 

61
~ 10 , то эта фраза звучит также как, скажем «в море можно набрать стакан воды». 
Для четных чисел 6
2
634
n
≤
≤
 на рис.1 приведено характерное поведение функции 
(
)
2
K
n
∗
 — числа разбиений четного чис
ла 2n  на сумму двух простых чисел. 
Из рис.1 видно, что функция 
(
)
2
K
n
∗
 является возрастающей, 
(в среднем), но не является монотонно возрастающей. Экспериментальные наблюдения с различными праймориалами вскрывают эту причину. Разложение праймориальных чисел 
#
k
m p
⋅
 систе
мы (1.1) определяется множеством простых чисел 

#
0;
2

k
i
m p
p
⎛
⎞
⋅
∈⎜
⎟
⎝
⎠
, 

при которых числа вида 
#
k
i
m p
p
⋅
−
 оказываются простыми. Тогда,  

K(2n)

0

10

20

30

40

50

0
100
200
300
400
500
600
700

K(2n)

 
Рис. 1. Характерное поведение функции 
(
)
2
K
n
∗
— числа разбиений четного 

числа 2n  на сумму двух простых чисел, (точечный график, соединенный 
прямыми отрезками) 
 
(
) (
)
#
#
2
k
i
k
i
n
m p
p
m p
p
=
⋅
=
+
⋅
−
. Для разложения четных чисел вида 

#
2
k
n
m p
h
=
⋅
±
, где h — четное число, на интервале 

#
0;
2

k
m p
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
 тре
буется наличие пар простых чисел 
(
)
{
}
;
i
i
p
p
h
−
 и 
(
)
{
}
;
i
i
p
p
h
+
, при 

которых числа 
#
k
i
m p
p
⋅
−
, (
)
0
h =
, оказываются простыми. Оче
видно, что таких пар всегда меньше, чем простых чисел 
ip , при 

которых числа вида 
#
k
i
m p
p
⋅
−
 оказываются простыми. Гипотеза 
Гольдбаха будет опровергнута, если для какого, то h  таких пар 
не обнаружится вообще. К этому важному моменту мы вернемся 
позже. Самым неожиданным, пожалуй, оказывается то, что составные числа множества Nϕ  неявным образом принимают уча
стие в разложении четных чисел на сумму двух простых чисел. 
Так, в приведенном ранее четном числе 
#
2
13
2
30028
n =
−
=
 количество вариантов разложения равно 231. Из них 130 вариантов 
генерируются парами простых чисел (близнецов), и 101 вариантов разложения генерируются смешанными парами (
)
;
i
i
p q  для 

чисел вида 
#
2
k
n
m p
h
=
⋅
−
 и (
)
;
i
i
q p  для четных чисел вида 

(
)
#
#
2
k
i
k
i
n
m p
h
p
m p
q
=
⋅
+
=
+
⋅
−
. Чем больше праймориал 
#
kp , тем 

больше доля составных чисел 
iq  на множестве Nϕ  и, следова
тельно, больше смешанных пар для любого четного h . 
Таким образом, в разложении четных чисел 
#
2
k
n
m p
h
=
⋅
±
на 
сумму двух простых чисел принимают участие все элементы 

множества 

#
;
2

k
k
m p
N
p
ϕ
⎛
⎞
⋅
∈⎜
⎟
⎝
⎠
. 

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЛЕНОВ ПРАЙМОРИАЛЬНЫХ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СИСТЕМЫ (1.1)  
НА СУММУ ДВУХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 
 
Рассмотрим произвольную последовательность системы 
(1.1): 
#
k
m p
⋅
, 
(
)
1
1,2,...,
1
k
m
p +
=
−
. Начнем с первого члена 
#
kp . 

На интервале (
)
#
0;
kp
 простые числа, (кроме образующих 

праймориал), принадлежат множеству {
}
Nϕ . Разобьем интервал 

(
)
#
0;
kp
 точкой 

#

2

kp
n =
 на два интервала 

#
0; 2

kp
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 и 

#
#
;
2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. Таким 

образом, точка 

#

2

kp
n =
 является серединой интервала (
)
#
0;
kp
. 

Элементы множества {
}
Nϕ  расположены симметрично отно
сительно 

#

2

kp
n =
, а простые числа 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
 являются под
множеством множества {
}
Nϕ  этого интервала. Так что, если на 

множестве {
}
Nϕ  интервала 

#
#
;
2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 найдутся простые числа, 

симметрично расположенные относительно n  с простыми числа
ми 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
, то сумма этих простых чисел будет равна 

#
2
k
n
p
=
. 

Гипотезе Гольдбаха можно дать эквивалентную геометрическую формулировку: для любого натурального 
(
)
,
3
n n ≥
 най
дется, по крайней мере, одна пара простых чисел, симметрично расположенных относительно n , (для 
3
n =
 эта пара 
простых чисел сливается в одну точку). 
Возвращаясь к случаю 
#
2
k
n
p
=
 докажем «ГГ» и, более того, 

дадим количественную оценку числа разбиений 
{
}
#
k
K
p
∗
 праймо
риала 
#
kp  на сумму двух простых чисел. 
Пусть 
k l
p +  наибольшее простое число удовлетворяющее условию 

#
k l
k
p
p
+ ≤
,  
(2.1) 

Тогда множество простых чисел {
}
1
2
,
,...,
k
k
k l
p
p
p
+
+
+
 будут 

наименьшими делителями составных чисел 
{
}
iq
Nϕ
∈
 из интерва
ла 

#
#
;
2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Для проблемы ГГ представляют интерес элементы множест
ва {
}
Nϕ  из интервала 

#
#
;
2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
, расположенные симметрично от
носительно 

#

2

kp
n =
 с простыми числами 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
. Очевидно, 

что для простого числа 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
 симметрично относительно 

n  расположен элемент 
#
i
k
i
p
p
p
′ =
−
. 
Если 
ip′  не делится ни на одно из простых чисел, удовлетворяющих условию (2.1), то 
ip′  — простое число и, следовательно, 

(
)
#
#
i
i
i
k
i
k
p
p
p
p
p
p
′
+
=
+
−
=
. 

В дальнейшем поступим следующим образом. Найдем все 

составные числа множества {
}
Nϕ  из интервала 

#
#
;
2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 симмет

рично (относительно n ) простым числам 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
. Тогда, ос
тавшиеся числа вида 
#
i
k
i
p
p
p
′ =
−
 будут простыми числами, и нет 
необходимости тестировать их на простоту! 
Составим таблицу вычетов для праймориала 
#
kp : 
Таблица 2.1 

jp  
1
kp +  
2
kp +  
… 
k l
p +  

(
)
#
mod
;
k
j
p
p
 
1r  
2r  
… 
lr  

 
Для определения составных чисел множества {
}
Nϕ  из интер
вала 

#
#
;
2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 будем руководствоваться следующей теоремой. 

Теорема 2.1. Число вида 
#
k
i
p
p
−
, где 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
- простое 

число, будет составным, если 

(
)
(
)
#
mod
;
mod
;
k
j
i
j
j
p
p
p p
r
=
=
,  
(2.2) 

причем 
jp  является делителем числа 
#
i
k
i
q
p
p
′ =
−
. 
Доказательство. Из условия (2.2) следует 

#
1

2

;
k
j
j

i
j
j

p
p
b
r

p
p
b
r

⎫
=
⋅
+
⎪⎬
=
⋅
+
⎪⎭
.  
(2.3) 

Вычитая из первого равенства второе, получим 

(
)
#
1
2
i
k
i
j
q
p
p
p
b
b
′ =
−
=
⋅
−
, 
1
2
,
b b
Z
∈
, 
1
2
b
b
>
.  
(2.4) 

Теорема доказана. 
Простые числа 
ip , удовлетворяющие условию (2.2) теоремы, 
находятся из арифметических прогрессий с первым членом 

1
j
a
r
=
, (если 
jr  — нечетное число), или 
1
j
j
a
r
p
=
+
, (в случае четного 
jr ). Разность прогрессии 
2
j
d
p
=
. 
Количество арифметических прогрессий равно количеству 
наименьших делителей, удовлетворяющих условию (2.1). 

Итак, пусть 
1
kp +  — наименьшее простое число, принадле
жащее интервалу 

#
; 2

k
k
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. Число 
#
k
i
p
p
−
, где

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
 — 

простое число, делится на 
1
kp +  с вероятностью 

1

1

kp +

. Действи
тельно, 
(
)
#
1
1
mod
;
k
k
p
p
r
+
=
, где 
1
1
1
1
k
r
p +
≤
≤
− . А 
(
)
1
mod
;
i
k
i
p p
r
+
=
, где 

1
1
1
i
k
r
p +
≤
≤
− . Вычет 
1r  будем считать известным, а вычет 
ir  слу
чайным, поскольку простое число 

#
; 2

k
i
k
p
p
p
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
 выбираем слу
чайно 
(любое). 
Отсюда 
вероятность 
события 

(
)
{
}
1
1
mod
;
i
i
k
A
p p
r
+
=
=
 равна 
(
)

1

1
1
i
k
P A
p +
=
− . 

. В дальнейшем, для удобства эту вероятность будем считать 

равной 
(
)

1

1

i
k
P A
p +
=
. Для больших праймориалов это допущение 

будет почти незаметным. 

Пусть 
jp
(
)
#
;
k
k
p
p
∈
 — делитель для чисел вида 
#
k
i
p
p
−
. Ве
роятность, что это число делится на 
jp  равна 
(
)
1

j

j

P A
p
=
. Тогда, 

вероятность противоположного события равна 
1
1
j
j
P A
p

−
⎛
⎞ = −
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Обозначим через A  событие: {число 
#
k
i
p
p
−
 простое}. Тогда, 
вероятность такого события равна 

( )

1
2

1
1
1
1
1
...
1

k
k
k l
P A
p
p
p
+
+
+

⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
⋅
−
⋅
⋅
−
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
,  
(2.5) 

где 
k l
p +  наибольшее простое число, удовлетворяющее условию 

#
k l
k
p
p
+ ≤
. 

Таким образом, любое число вида 
#
k
i
p
p
−
 с вероятностью 

( )
P A  может оказаться простым.