Теория систем управления

М Г Г У 

московский 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

РЕДАКЦИОННЫЙ 
С О В Е Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 

Члены редсоеета 

И.В. ДЕМЕНТЬЕВ 

A. П.ДМИТРИЕВ 

Б.А. КАРТОЗИЯ 

В.В. КУРЕХИН 

М.В. КУРЛЕНЯ 

В.И. ОСИПОВ 

э.м. СОКОЛОВ 

К.Н. ТРУБЕЦКОЙ 

В.В. ХРОНИН 

B. А. ЧАНТУРИЯ 

Е.И. ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
МГГУ, 
чл,-корр. 
РАН 

директор 
Издательства Ml У У 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

академик 
МАН 
ВШ 

академик 
РАН 

профессор 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

ВЫСШЕЕ ГОРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 

Л.Д- Певзнер 

ТЕОРИЯ 
СИСТЕМ 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской 
Федерации по горному образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Управление и информатика 
в технических системах» 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

2 0 0 2 

УДК 622.658.012.011.56 
ББК 32.98 
П23 

Рецензенты: 
• 
Проф. Г.Н. Лебедев (Московский государственный авиационный институт (Технический университет)) 
• 
Проф. А.Д. Яризов (Российский государственный университет нефти и газа им. И М. Губкина) 

Федеральная программа 
книгоиздания России 

Певзнер Л.Д. 

П 23 
Теория систем управления. — М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2002. — 
472 с. 

ISBN 5-7418-0076-9 (в пер.) 

Представлен обобщенный, годовой курс лекций по теории автоматического управления. Содержит основные разделы современной теории управления динамическими системами. Приведены упражнения для 
практических занятий. В приложениях даны справочные сведения математического аппарата теории. 

Для студентов специальностей "Управление и информатика в 
технических системах" и "Электропривод и автоматика промышленных 
установок и технологических комплексов". Может быть использовано при 
изучении дисциплины студентами и аспирантами смежных специальностей. 

УДК 622.658.012.011.56 
ББК 32.98 

ISBN 5-7418-0076-9 
© Л.Д. Певзнер, 2002 
© Издательство Московского 
государственного 
горного 
университета, 2002 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ 
9 

1. 
Основные понятия 

теории управления 
11 

11 Ключевые понятия теории управления 
11 

1.2. Примеры автоматических систем управления 
13 

2. 
Математические модели линейных непрерывных систем 
29 

2.1. Примеры непрерывных систем 

управления 
29 

2.2. Модели состояния системы.... 30 

2.3. Линеаризация моделей системы... 42 
2.4. Модели типа "вход—выход" ... 45 
2.5. Графовые модели системы 
47 

2.6. Взаимосвязь моделей системы. 53 
2.7. Упражнения 
64 

3. 
Математические модели линейных дискретных систем 
69 

3.1. Примеры цифровых систем управления 
69 

3 2 Модели состояния линейной 
дискретной системы 
70 

3.3. Передаточные функции линейной дискретной системы 
76 

3.4. Взаимосвязь моделей 
80 

1.3 Основные задачи теории управления 
19 

1.4. Принципы автоматического управления 
20 

1.5. Классификация автоматических систем управления 
22 

1.6. Исторический очерк создания 
теории управления 
22 

3.5. Модуляционная внешняя модель дискретной системы 
82 

3.6. Упражнения 
89 

4. 
Математические модели нелинейных систем 
93 

4.1. Примеры нелинейных систем 
управления 
93 

4.2. Математические модели нелинейных систем 
94 

4.3. Топологические методы анализа нелинейных систем 
102 

4.4. Линейные представления нелинейной модели системы 
112 

4.5. Упражнения 
119 

5. 
Свойства и характеристики 
линейных непрерывных систем 
управления 
123 

5.1. Управляемость и наблюдаемость 
123 

Часть первая 
АНАЛИЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

5 

5.2. Устойчивость линейных систем 126 
5.3. Чувствительность и рсбэстность 
систем управления 
129 

5.4. Динамические характеристики 
линейных систем 
134 

5.5. Динамические характеристики 
типовых звеньев линейных систем 
управления 
141 

5.6. Упражнения 
152 

в. 
Исследование устойчивости 
линейных непрерывных систем 
управления 
155 

6.1. Метод Ляпунова для оценки устойчивости 
155 

6.2. Алгебраические критерии устойчивости 
157 

6.3. Частотные критерии устойчивости 
160 

6.4. Анализ параметрической устойчивости 
164 

6.5. Упражнения 
176 

7. 
Анализ качества процессов 
управления в линейных непрерывных системах 
179 

7.1. Динамические процессы 
и ошибки в системах управления 
179 

7.2. Оценка качества переходных 
процессов 
185 

7.3. Стохастические методы анализа качества 
193 

7.4. Машинные методы анализа 
качества процессов управления.. .198 
7.5. Упражнения 
202 

8. 
Исследование устойчивости 
и качества процессов управления в дискретных линейных 
системах 
205 

8.1. Управляемость и наблюдаемость 
205 

8.2. Устойчивость линейных дискретных систем 
210 

8 3 Характеристики дискретных автоматических систем 
216 

8.4. Анализ качества процессов управления 
220 

8.5. Упражнения 
222 

9. 
Исследование устойчивости 
и качества процессов управления 
в нелинейных системах 
225 

9.1. Анализ устойчивости в малом 226 

9.2. Устойчивость в большом и в 

целом 
229 

9.3. Абсолютная устойчивость нелинейных систем управления 
233 

9.4. Периодические процессы в 
нелинейных системах 
244 

9.5. Анализ качества процессов 
управления 
252 

9.6. Упражнения 
256 

Часть вторая 

СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

10. Синтез линейных нелрерывных систем в частотной области 261 

10.1. Методы последовательной 
и параллельной коррекции 
261 

10.2. Типовые регуляторы 
268 

10.3. Синтез последовательноподчиненных регуляторов 
274 

10.4. Упражнения 
283 

11. Синтез линейных непрерывных систем во временной области 
287 

11.1. Методы аналитического 
конструирования регуляторов 
287 

6 

11.2. Синтез линейного оптимального регулятора 
299 

11.3. Наблюдатели состояния линейной системы 
298 

11.4. Синтез замкнутой системы с 
наблюдателем состояния 
306 

11.5. Упражнения 
309 

12. 
Синтез цифровых систем 
управления 
313 

12.1. Синтез системы с последовательно включенным регулятором 
313 

12.2. Синтез системы с заданным 

расположением полюсов 
320 

12.3. Цифровые наблюдатели состояния системы 
326 

14. Системы управления, оптимальные по заданному критерию 
369 

14.1. Вариационные методы оптимального управления 
371 

14.2. Процедура принципа максимума Понтрягина 
376 

14.3. Метод динамического программирования Беллмана 
382 

14.4. Системы, оптимальные по квадратичному критерию 
392 

14.5. Системы, оптимальные по быстродействию 
396 

14.6. Субоптимальные системы и 
системы с переменной структурой. .. 402 
14.7. Упражнения 
406 

15. Системы управления с адаптацией 
409 

15.1. Задачи управления с адаптацией 
409 

15.2. Экстремальные системы и регуляторы 
411 

12.4. Упражнения 
330 

13. Синтез линейных стохастических систем управления 
335 

13.1. Задачи синтеза систем управления при случайных воздействиях 
335 

13.2. Синтез управления с минимальной дисперсией ошибки 
338 

13.3. Оптимальная стохастическая 

фильтрация 
347 

13.4. Фильтры Капмана 
351 

13.5. Параметрическая идентификация 
357 

13.6. Упражнения 
363 

15.3. Идентификация объекта управления в замкнутом контуре 
421 

15.4. Адаптивные системы с эталонной моделью 
426 

ПРИЛОЖЕНИЕ 
431 

16. 
Математический аппарат теории управления 
433 

16.1. Матрицы 
433 

16.2. Функциональные преобразования 
442 

16.3. Методы оптимизации 
445 

16.4. Случайные процессы 
455 

16.5. Программные средства для 
анализа и синтеза систем управления 
461 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
463 

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 
465 

Часть третья 
ОПТИМАЛЬНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ 
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 

ВВЕДЕНИЕ 

А
втоматизация предназначена для частичного или 
полного исключения человека из непосредственного участия в производственном процессе. Автоматизация производства направлена на то, чтобы процессы получения, преобразования, передачи и использования энергии, материалов и информации выполнялись автоматически. 

Необходимость 
автоматизации обусловлена факторами прогресса: ростом производительности и эффективности труда, увеличением мощности и быстродействия машин, повышением точности и 
качества, сложности и опасности технологических 
процессов, ростом ответственности за 
безопасность человека и его 
среды обитания. 

Автоматические 
(от 
греч. automatox — самодействующие) системы управления 
— 
средства 
автоматизации. 
Теория управления — наука, 
разрабатывающая 
и изучающая методы /и средства создания систем управления. 

Особенностью 
современного этапа научно-технического прогресса является то, 
что объектами автоматизации 
оказываются не только процессы материального производства, но и сферы умственной и 
творческой деятельности человека: организационно-административного управления, распределения ресурсов и принятия решений, проектирования и 
конструирования, информационного обслуживания, здравоохранения, научных 
исследований и образования. 

Теория управления и 
ее основная часть — теория 
автоматического управления является фундаментальной 
дисциплиной учебного 
плана 
многих инженерных специальностей. 

Эта книга написана на 
основе 
двадцатипятилетнего 
опыта преподавания дисциплины "Теория автоматического 
управления"и предназначена в 
первую очередь для студентов 
специальности "Управление и 
информатика в технических системах", однако может быть использована при изучении дисциплины студентами и аспи
9 

рантами смежных специальностей. 

Книга отвечает современной программе дисциплины 
и соответствует годовому курсу 
лекций и практических занятий. 
Материал книги структурирован так, что каждая ее глава 
делится на разделы, которые 
помимо теории содержат примеры, каждую главу заключают 
упражнения, 
которые 
можно 
решать аналитически или с использованием 
моделирующих 
программных средств. 

Язык современной теории управления есть язык математического анализа, матричной алгебры, дифференциальных уравнений, теории функций и случайных процессов, 
поэтому заключает книгу приложение, которое содержит необходимые понятия и методы 
этих теорий. 

При 
написании 
книги 
автор постоянно решал проблему, как в малом объять необъятное, как просто изложить 
сложное, как максимально раскрыть удивительную 
красоту 
современной теории управления. 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ 

Ключевые понятия теории управления — Примеры автоматических систем управления — Основные задачи теории управления — Принципы автоматического управления 
— Классификация автоматических систем управления — 
Исторический очерк создания теории управления. 

1.1. КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ 

Теория управления — наука о принципах и методах 
построения автоматических и автоматизированных систем 
управления и закономерностях протекающих в них процессов. 

Введем ключевые понятия теории управления* и затем 
поясним их: 

1) управляемый объект или управляемый процесс 

(controlled object or process); 

2) управляющее воздействие (controlling action); 
3) возмущение (disturbance); 
4) управляемая координата (controlled coordinate); 
5) координаты состояния (coordinate state); 
6) цель управления (control aim); 

* Терминология основных понятий теории управления впервые 
упорядочена в 1954 г. Академией наук СССР и представлена первому Международному конгрессу IFAC в 1960 г. Терминология современной теории управления регламентирована специальным Сборником рекомендуемых терминов, 
вып. 107 (М.: Наука, 1988). 

11 

7) управляющее устройство, или регулятор (controlling object or controller); 

6) задающее воздействие (setting action); 
9) обратная связь (feedback); 

10) закон, или, алгоритм управления (control law or 
control algorithm); 

11) система управления (control system); 
12) структура системы управления (control system 
structure); 

13) качество управления (control performance). 

Управляемый объект или управляемый процесс (1) есть 
динамическая система произвольной природы, изменяющая свои 
координаты состояния (5) и, как следствие, — выходные управляемые координаты (4) под влиянием внешних воздействий: 
управляющих (2) и возмущающих (3). Для достижения объектом 
цепи управления (6) организуется специальное внешнее воздействие, которое формируется управляющим устройством (7) на 
основе сигналов задающего воздействия (8) и воздействия обратной связи (9) по известному алгоритму, или закону управления (10). Совокупность указанных элементов, связей и отношений 
между элементами системы управления (11) образует структуру системы управления (12). Полезность системы управления 
оценивается показателями качества управления (13). 

Теория управления, используя математические модели, позволяет изучать динамические процессы в автоматических системах, устанавливать структуру и определять параметры 
составных частей системы для придания реальному процессу 
управления желаемых свойств и заданного качества. 

Теория управления является фундаментом для специальных дисциплин, решающих 
проблемы 
автоматизации 
управления и контроля технологических процессов и подвижных технологических объектов, проектирования следящих систем и регуляторов, автоматического мониторинга производства и окружающей среды, создания автоматов и робототехнических систем. 

12 

1.2. ПРИМЕРЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

Все многообразие систем регулирования и систем 
управления невозможно себе представить, поэтому приведем 
лишь некоторые примеры автоматических систем, важные с точки зрения будущей классификации этого многообразия и ставшие 
уже классическими. В последующих главах число примеров будет множится. 

1. Система регулирования частоты вращения двигателя (рис. 1). 

Цель регулирования — стабилизация частоты вращения 
рабочей машины 1 независимо от нагрузки. При изменении нагрузки на рабочей машине частота вращения двигателя 2 изменяется. Величина, пропорциональная отклонению истинной частоты вращения co(t) от заданной ©*, измеряется с помощью тахо
генератора 3 и потенциометра 4. Сигнал со* - co(t) = e(t) разности, усиленный по амплитуде и по мощности, подается в обмотку 
возбуждения генератора 5, который питает по якорной цепи двигатель независимого возбуждения так, что величина отклонения 
частоты вращения уменьшается. Потенциометр, усилитель 6 и 
генератор в данном случае выполняют функцию регулятора. Задание со* устанавливается с помощью независимого источника 
питания и может быть изменено потенциометром. 

РИС. 1 

13 

РИС. 2 

РИС. 3 

2. Система автоматической стабилизации курса 

(рис. 2). 

Гироскоп 1 раскручивается так, чтобы его ось вращения 
была направлена по заданному курсу, потенциометры задания 2 
и истинного направления 3 включены в мостовую схему. Сигнал, 
пропорциональный отклонению от курса e(t), снимается с диагонали моста, усиливается и подается на двигатель 4 рулевой машины 5. Уход с курса устраняется поворотом руля б рулевой 
машиной. 

3. Система углового сопровождения радиотелескопа (рис. 3). 

Параболическое зеркало 1 антенны фокусирует электромагнитное излучение внешнего пространства в центральной точке телескопа, откуда сигнал излучения передается по волноводу 
к приемнику. Платформа телескопа, закрепленная в карданном 
подвесе, обеспечивает движение параболоида антенны в координатах "угол места—азимут". Угол азимута измеряется цифровым оптическим датчиком 2 непосредственно на оси платформы 
относительно специального источника света. Для поворота платформы используется маломощный высокомоментный гидропри
14 

формы используется маломощный высокомоментный гидропривод 3. Задание слежения составляет азимутальный угол наблюдения, астрономические координаты которого пересчитываются в 
земные специальным вычислительным устройством 4. Цифровой 
сигнал углового рассогласования преобразуется в аналоговый 
устройством 5, непрерывный сигнал рассогласования вместе с 
сигналом коррекции, которым учитываются скорость и ускорение 
разворота платформы, подается через усилитель 6 на электромеханический преобразователь 7 гидропривода. Основными возмущениями в системе являются упругие деформации опор, вызываемые порывами ветра, неуравновешенностью конструкции 
при смене угла места и температурными изменениями. 

4. Система регулирования толщины ленты стального проката (рис. 4). 

Измерение толщины стальной полосы выполняется в системе рентгеновским толщиномером 1, непрерывный сигнал, пропорциональный толщине, преобразуется аналого-цифровым преобразователем и подается в микроконтроллер 2. Контроллер 
выполняет функции регулятора, в нем происходит сравнение текущей толщины с технологическим заданием, определяются на 
текущий момент t законы u,(t), u2(t) обжима двумя ближайшими 
клетями 3 полосы стального проката и необходимое при этом натяжение g(t) ленты. Вычисленные цифровые сигналы преобразуются в непрерывные цифроаналоговым преобразователем, подаются на исполнительные механизмы сжатия 4 и натяжения 5. 

РИС.4 

15