Сборник решений задач по теоретической механике на примеpaх из горной техники и технологии. Ч. 3. Динамика

м о с к о в с к и й 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

РЕДАКЦИОННЫЙ 
С О В Е Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 
Л.Х. ГИТИС 

Члены редсоветпа 

И.В. ДЕМЕНТЬЕВ 

АН. 
ДМИТРИЕВ 

Б.А. КАРТОЗИЯ 

М.В. КУРЛЕНЯ 

В.И. ОСИПОВ 

Э.М. СОКОЛОВ 

КН. ТРУБЕЦКОЙ 

В. В. ХРОНИН 

В А. 
ЧАНТУРИЯ 

ЕЖ 
ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 

МОСКОВСКОГО 

ГОСУДАРСТВЕННОГО 

ГОРНОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
МГГУ, 
чл. -корр. РАН 

директор 
Издательства МГГУ 

академик РАЕН 

академик РАЕН 

академик РАЕН 

академик РАН 

академик РАН 

академик МАН ВШ 

академик РАН 

профессор 

академик РАН 

академик РАН 

В Ы С Ш Е Е Г О Р Н О Е 
О Б Р А З О В А Н И Е 

rSfffSSSSSSSSSSSSfffSSSSSSSSSfSfSSSSfSSfSSSfSSSSSSSSSSSSSSSffSSfSSSSSSSSSSSSfSSSSS. 

С Б О Р Н И К 
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ 

П О Т Е О Р Е Т И Ч Е С К О Й 
М Е Х А Н И К Е 

на примерах из горной 
техники и технологии 

Ч а с т ь 3. Д и н а м и к а 

Под общей 
редакцией 

B.C. 
Перевалова 

Допущено 
Учебно-методическим 
объединением 
вузов 
Российской 
Федерации 
по 
образованию 
в области 
горного 
дела в качестве 
учебного 
пособия 
для 
студентов 
вузов, 
обучающихся 
по 
направлению 
подготовки 
бакалавров 
и 
магистров 
"Горное дело", 
направлению 
подготовки 
дипломированных 
специалистов 
"Горное дело" и специальности 
"Горные 
машины и оборудование" 
направления 
подготовки 
дипломированных 
специалистов 
"Технологические машины 
и 
оборудование" 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО М О С К О В С К О Г О ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

2 004 

УДК 531:622.002.5 
ББК 22.25 
С 23 

Экспертиза проведена Учебно-методическим объединением вузов 
Российской Федерации по образованию в области горного дела 
(гриф выдан 07.10.2003 г., письмо № 51-115/6) 

Книга соответствует 
"Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых СанПиН 1.2.1253-03", утвержденным 
Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. 

Авторы: 
B.C. Перевалов, 
В.М. Рачек, Г.А. Доброборский, 
А.П. 
Вержанский, П.М. Вержанский, 
М.Н. Вьюшина, 
И.Н. 
Фальк 

Рецензенты: 
• докт. техн. наук, проф. кафедры "Теоретическая механика" 
МГТУ "СТАНКИН" Ю.А. Алюшин; 
• зав. отделом ОАО «ЦНИИподземмаш», Генеральный директор 
ООО НПП «ВОТУС», канд. техн. наук Л.Ф. 
Бендерский 

Сборник решений задач по теоретической механике на примеС 23 pax из горной техники и технологии. Часть 3. Динамика: Учебное 
пособие / B.C. Перевалов, В.М. Рачек, Г.А. Доброборский и др.; 
Под общ. ред. B.C. Перевалова. - М : Издательство 
Московского 
государственного горного университета, 2004. - 272 с. 

ISBN 5-7418-0058-0 (в пер.) 
Содержит решение задач, помещенных в ч. Ill Сборника задач по 
теоретической механике на примерах из горной техники и технологии 
(B.C. Перевалов, Г.А. Доброборский, Л.М. Лянсберг и др. - М.: Изд-во 
МГГУ, 2000). Приведенные решения иллюстрируют практикум классического курса теоретической механики, читаемого в горных вузах, соответствуют утвержденному Министерством образования РФ образовательному стандарту по указанному курсу и способствуют развитию требуемых стандартом знаний, навыков и умений. Особое внимание уделено 
производственной направленности тематики задач. 

Для студентов горных университетов, вузов и факультетов. Может 
быть полезен инженерно-техническим работникам горных предприятий и 
научно-исследовательских институтов. 

УДК 531:622.002.5 
ББК 22.25 

ISBN 5-7418-0058-0 
© Коллектив авторов, 2004 
© Издательство МГГУ, 2004 
© Дизайн книги. Издательство МГГУ, 2004 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
v//////s//////M^ 

Настоящая книга, содержащая решения задач из раздела III 
"Динамика" книги "Сборник задач по теоретической механике на 
примерах из горной техники и технологии" (B.C. Перевалов, 
Г.А. Доброборский, Л.М. Лянсберг и др.; Под общ. ред. B.C. 
Перевалова. - М.: Издательство МГГУ, 2000), предназначается в 
качестве учебного пособия по общей (теоретической) механике 
для студентов вузов горного профиля, но вполне может быть 
использована для самообразования и повышения квалификации 
инженерно-технических 
работников 
горных 
предприятий 
и 
научно-исследовательских институтов. 

В ходе работы над данным учебным пособием в условия 
ряда задач были внесены некоторые изменения и уточнения, 
исправлены 
замеченные 
опечатки 
и 
в 
отдельных 
случаях 
предложены решения, несколько отличающиеся от приведенных 
в указанном выше задачнике. В предлагаемой книге авторы 
по-прежнему стремились исключить неоправданные усложнения 
и 
запутанные, 
а 
иногда 
и 
рутинные 
математические 
вычислительные операции, сохраняя тем не менее достаточно 
высокий физико-математический уровень решений. 

Как и в предыдущих частях данного пособия (ч. 1 "Статика" 
и ч. 2 "Кинематика"), объектами рассматриваемых задач являются 
реальные машины и механизмы, используемые в горной технике и 
технологии, однако для 
некоторого облегчения 
вычислений 
отдельные 
сложные 
механические 
системы 
заменены 
упрощенными 
системами, 
кинематически 
и 
геометрически 
подобными исходным конструкциям. 

Опираясь на традиции и многолетний опыт работы кафедры 
теоретической 
и прикладной механики МГИ - МГГУ, авторы 
настоящего 
учебного 
пособия 
при 
решении 
задач 
раздела 
"Динамика" 
строго 
придерживались 
концептуальных, 
методических и методологических основ высшего образования, 
установившихся 
и 
развивающихся 
в 
настоящее 
время. 
Рациональность 
предлагаемых 
алгоритмов 
решения 
задач 
многократно подтверждена как в МГГУ, так и во многих других 

5 

передовых 
высших 
учебных 
заведениях 
России, 
Украины, 
Казахстана, Грузии, Армении. Многолетнее научно-методическое 
сотрудничество 
с 
кафедрами 
аналогичного 
профиля 
вузов 
Германии, КНР, Польши, Венгрии дало возможность творчески 
использовать накопленный там опыт и имеющиеся научные и 
методические материалы. Учтены также разработки передовых 
научно-исследовательских 
и проектных 
учреждений 
горного 
профиля в области механики. 

Сохраняя принцип специализации курса 
"Теоретическая 
механика", авторы иллюстрируют возможность использования 
методов общетеоретических дисциплин для решения конкретных 
инженерных 
задач. Показан 
путь перехода от 
абстрактных 
научных положений к практической деятельности инженера и 
исследователя. 

Все 
вышеизложенное 
позволило, 
по 
мнению 
авторов, 
создать 
специфическое 
учебное 
пособие 
по 
теоретической 
механике, отражающее передовые достижения в горной технике, 
современной педагогике и психологии высшего образования. 
Адресованная в основном студентам и специалистам в области 
горного 
производства, 
данная 
книга 
вполне 
может 
быть 
использована и при подготовке инженеров других специальностей, так как многие из рассмотренных машин и механизмов 
находят применение в различных отраслях техники. 

Глава 
18 
У//УЯМУ/ЯУ/^^^ 

Дифференциальные 
уравнения движения 
материальной точки 

Основное уравнение динамики материальной точки 

та = Р, 
(18.1) 

где т - масса точки; а - ее ускорение; F - равнодействующая приложенных к ней сил. 

При решении задач данной главы используются следующие системы 
дифференциальных 
уравнений 
движения 
материальной 
точки, полученные из уравнения (18.1): 

а) в декартовых 
координатах 
х, у, z 

mx = Fx, 
ту = Fy, 
mz=Fz; 
(18.2) 

б) в цилиндрических 
координатах 
г, ф, z 

m(r-r<p

2) 
= Fr, 
т (гф + 2гф) = F^, 
m'z = Fz; 
(18.3) 

в) в естественной 
форме, т. е. в проекциях на естественные оси траектории точки — касательную 
т, 
главную 
нормаль п и бинормаль Ь 

ms = mv=FT, 
mv

2/p 
= Fn, 
0 = Fb. 
(18.4) 

В левой части каждого из этих уравнений содержится 
произведение массы точки на известное из кинематики выражение для проекции ускорения точки на соответствующую ось, в правой части - проекция равнодействующей на 
эту ось. 

7 

18.1. Кусок угля поступает со скоростью v на ленту наклонного конвейера, движущуюся со скоростью и > v (рис. 18.1, а). 
Определить время и путь скольжения куска по ленте, если угол 
наклона конвейера к горизонту равен а, а коэффициент трения 
угля по ленте - /. 

а 
б 

Р е ш е н и е . Кусок угля поступает на конвейер со скоростью 

v, меньшей, чем скорость 
и ленты, поэтому последняя в течение некоторого времени (времени скольжения 
1а) обгоняет кусок, причем его скорость 
v r 
относительно ленты (скорость 
скольжения) направлена противоположно направлению движения рабочей ветви ленты. Начальное значение v^0> этой скорости 
численно равно разности и - v. 

Поместим начало отсчета (начало координат) в точку 
Мо 
падения куска на ленту, ось Мох направим вдоль ленты в сторону относительного движения куска (рис. 18.1,6). 

На кусок угля, принимаемый за материальную точку М, во 
время его скольжения по ленте действуют: сила тяжести 
trig; 

нормальная к поверхности ленты реакция связи F„; сила трения 

F f , 
направление которой противоположно направлению скорости скольжения v r, т. е. совпадает с направлением скорости и . 

Уравнение движения куска уг ля относительно ленты 

Рис. 18.1 

mar 
=mg 
+ F„ + F} 
(1) 

где аг - ускорение этого движения. 

8 

Проецируем уравнение (1) на координатные оси: 

тх - те sin а - F,,) 

•• 
i \

 
( 2 ) 

ту = mg cos а - F„.) 

Поскольку кусок угля скользит по ленте, не отрываясь от 
нее, а сама лента считается идеально ровной, то движения вдоль 
оси у нет, значит, у = 0, поэтому из второго уравнения системы 

(2) имеем Fn = mg cos а. Сила трения 
Ff = f F„ = j mg cos a. 

Подставляя это выражение в первое уравнение системы (2) и сокращая на т, получаем 

х =g sin а - fg cos a = g (sin a - / cosa) = const. 
(3) 

Следовательно, пока v r Ф О, т. е. пока существует скольжение куска угля по ленте конвейера, ускорение этого относительного движения 

ar= х =g (sin a - / cos a) = const. 
(4) 

Отметим, что для нормальной работы конвейера величина 
силы трения F; должна быть больше, чем величина составляющей силы тяжести mg sin а, иначе уголь будет просто скатываться с ленты. Это значит, чго /cos a > sin а, а ar < 0. 

Скорость и перемещение куска находим по известным из кинематики формулам для определения параметров равнопеременного движения точки (см. [2], § 44). 

Скорость равнозамедленного прямолинейного относительного движения точки М 

vr = v^0) + art = и - v + g(sin a -/cos a)/. 
(5) 

Время скольжения l a находим из выражения (5) при v r = 0: 

ta = (и - v) / [g (/" cos a - sin a)]. 

И наконец, пугь скольжения куска, т. е. расстояние s, которое точка М в равнозамедленном движении пройдет по ленте с 
момента падения куска угля в точку А/о до того момента, когда 

9 

скорости лепты и куска сравняются, а скорость скольжения станет равной нулю: 

s = v K 0)/ck + artCK

2/2 
= (u- vX" - v) / [g (/cos a - sin a)] + 

+ g(sin a -/cos a){(u - v) / [g (/"cos a - sin a)]}

2/ 2 = 

= (ы - v)

2/ [2 g (/"cos a - sin a)]. 

Ответ: tCK = (и - v) / [g (f cos a - sin a)]; 

л = (ы - v)

2/ [2 g (/"cos a - sin a)]. 

18.2. На начальном этапе торможения (0 < / < Л) самосвала 
массой т =100 т, движущегося по горизонтальной дороге со скоростью vo = 18 км/ч, сила торможения возрастает пропорционально времени по закону F = Ftf / Л, где Fo - максимальное 
значение силы торможения, F0 = 400 кН; t\ - длительность этапа, 
t\ = 0,3 с. Определить путь s\, пройденный самосвалом за время 
t\, и скорость Vi в конце пути. 

Р е ш е н и е. На самосвал при его торможении действуют 
вертикальная сила тяжести mg; нормальная к поверхности реакция Fn горизонтальной дороги и сила торможения F, направленная противоположно скорости. Принимаем начало торможения за начало отсчета времени, начало координат совмещаем с 
центром масс самосвала, а ось х располагаем горизонтально. В 
этом случае начальные условия процесса торможения имеют вид 

to = 0, 
jc 0 = 0, vo = 18 км/ч = 5 м/с. 

Траектория движения центра масс машины совпадает с координатной осью х, поэтому дифференциальное уравнение движения получаем в виде первого уравнения системы (18.2): 

FQ 
dvx 
F0 

тх = 
/ , или т 
= 
1. 

h 
dt 
tx 

Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем его: 

m ]dvs 
\tdt, 

*о 
' l 'о 

10