Геометрия и графика, 2018, № 4

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2018

Подписано в печать 25.12.2018.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Вышнепольский В.И., Киршанов К.А., 
Егиазарян К.Т. 
Геометрические места точек, равноотстоящих 
от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 . . . . .3
Сальков Н.А.
Общие принципы задания линейчатых 
поверхностей. Часть 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Пшуков Т.Э., Мамчуев М.О.
Приближенное решение задачи о квадратуре 
круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Беглов И.А., Рустамян В.В., Антонова И.В.
Математическое описание метода вращения 
точки вокруг криволинейной оси второго 
порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Дмитриева И.М., Иванов Г.С.
Компетентностный подход в преподавании темы 
«Касательная плоскость и нормаль» . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Бойков А.А.
О построении моделей объектов пространства 
четырех и более измерений в учебном процессе . . . .54
Панченко В.А.
Современные средства обучения графическим 
дисциплинам студентов заочной формы 
обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
Филимонова О.С.
Дисциплина «Инженерная и компьютерная 
графика» в системе высшего военного 
образования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

2018. Том 6. Вып. 4
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2018. Vol. 6. Issue 4
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия). 

УДК 514                                                                                  
DOI: 10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377

В.И. Вышнепольский 
Канд. пед. наук, доцент, зав. кафедрой МИРЭА – 
Российский технологический университет, Институт 
радиотехнических и телекоммуникационных систем,
Россия, 119571, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 78 
К.А. Киршанов 
Студент МИРЭА – Российский технологический 
университет, Институт тонких химических технологий 
имени М.В. Ломоносова,
Россия, 119571, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 86 
К.Т. Егиазарян
Студент МИРЭА – Российский технологический 
университет, Институт тонких химических технологий 
имени М.В. Ломоносова,
Россия, 119571, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 86

Геометрические места точек, 
равноотстоящих от двух 
заданных геометрических фигур. 
Часть 3

Аннотация. Исследованы геометрические места точек (далее — ГМТ), равноудаленных от сферы и прямой и от конической поверхности и плоскости. Для сферы и прямой рассмотрены следующие четыре случая. 
Прямая проходит через центр сферы (а = 0), при этом 
полностью при положительных радиусах сфер получается 
поверхность вращения, образующей которой является парабола, а осью вращения – данная прямая. Вершина параболы 
образует самую большую параллель на участке между точками 
пересечения образующей параболы с осью вращения. Назовем 
такой параболоид перпендикулярным параболоидом вращения. 
Прямая пересекает сферу, но не проходит через центр  
(0 < α < R/2) – перпендикулярный параболоид, причём поверхность также полностью получается при положительных 
значениях радиусов. 
Прямая касается сферы (а = R/2) – поверхность, проекциями которой являются параболы, лемнискаты и окружности, и отрезок от точки касания до центра сферы при положительных значениях радиусов, луч от центра сферы, перпендикулярный данной прямой – при отрицательных значениях радиусов, причём луч и отрезок принадлежат одной 
прямой. 
Прямая лежит вне сферы (α > R/2) – получаются две 
разные поверхности, имеющие общие свойства с гиперболическим параболоидом, одна из которых получается при положительных значениях радиуса, другая при отрицательных. 
Замечено, что ГМТ, равноудаленных от сферы и прямой 
и от цилиндра и точки, совпадают при равных радиусах и 
расстояниях от осей до точек и прямых, если учитывать поверхности, полученные как при положительных, так и при 
отрицательных значениях радиусов. 

ГМТ, равноудаленных от конической поверхности вращения и плоскости – две эллиптические конические поверхности, которые в случае 7.4.1 вырождаются в конические поверхности вращения. В случаях 7.4.3 и 7.4.4 одна эллиптическая коническая поверхность вырождается в плоскость и 
параболический цилиндр соответственно.
Ключевые слова: геометрия, начертательная геометрия, 
геометрические места, ГМТ, аналитическая геометрия.

V.I. Vyshnepolsky
Ph.D. of Engineering, Associate Professor, Head of Chair
MIREA – Russian Technological University,
Institute Radio Engineering and Telecommunication Systems,
86, Vernadsky Av., 119571, Moscow, Russia 
K.A. Kirshanov
Student,
MIREA – Russian Technological University,
Institute Radio Engineering and Telecommunication Systems,
86, Vernadsky Av., 119571, Moscow, Russia
K.T. Egiazaryan
Student,
MIREA – Russian Technological University,
Institute Radio Engineering and Telecommunication Systems,
86, Vernadsky Av., 119571, Moscow, Russia

Loci of Points Equally Spaced From Two Given 
Geometrical Figures. Part 3

Abstract. The loci (L) equally spaced from a sphere and a straight 
line, and from a conic surface and a plane, are considered. The 
following options have been considered.
The straight line passes through the center of the sphere  
(a = 0), at the same time completely at spheres’ positive radiuses 
a surface of rotation is obtained, forming which the parabola is, 
and a rotation axis – this straight line. The parabola’s top forms 
the biggest parallel on the site points of intersection of the parabola’s forming with the rotation axis. Let's call such paraboloid a 
perpendicular paraboloid of rotation.
The straight line crosses the sphere, but does not pass through 
the center (0 < a < R/2) – a perpendicular paraboloid, at that the 
surface is also completely obtained at radiuses’ positive values.
The straight line is tangent to the sphere (a = R/2) – a surface 
which projections are parabolas, lemniscates and circles, and a 
piece from a tangency point to the sphere center – at radiuses 
positive values; a beam from the sphere center, perpendicular to 
this straight line – at radiuses negative values, at that the beam and 
the piece belong to one straight line.
The straight line lies out of the sphere (α > R/2) – two different surfaces, having the general properties with a hyperbolic paraboloid, are obtained, one of which is obtained at radius positive 
values, and another one – at radius negative values.
It has been noticed that loci, equally spaced from a sphere and 
a straight line, and from a cylinder and a point, coincide at equal 
radiuses and distances from axes to points and straight lines if to 
take into account the surfaces obtained both at positive, and negative values of radiuses.

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Введение
Изучением геометрических мест точек занимался 
в 1941 г. Дмитрий Иванович Каргин (1880–1949) [13; 
18; 23]. Изучали геометрические места точек Александр 
Давидович Посвянский (1909–…) с коллегами [24], 
Владимир Яковлевич Волков (1946–2016) с коллегами [2; 3], Геннадий Сергеевич Иванов [14–16], он же 
с коллегами [28; 29], Антон Георгиевич Гирш [9], Н.В. 
Наумович [21], И.И. Александров [1].
Совсем недавно нам удалось установить — изучал 
равноудаленные геометрические места в конце 50-х — 
начале 60-х гг. прошлого века В.В. Глоговский [10–12], 
особенно отметим его статью «Эквидистанты» [10]. 
В это же время вышла книга Н.В. Наумович «Геометрические места в пространстве» [21].
Затронули тему геометрических мест точек Марк 
Яковлевич Выгодский (1898–1965) в своих ставших 
классическими справочниках по элементарной и 
высшей математике и в работе [4], а также один из 
авторов этой публикации [6–8].
На Всероссийском студенческом конкурсе «Инновационные разработки» за одиннадцать лет его существования было заслушано 59 проектов самой 
разной тематики: 3D-моделирование, элементы САПР, 
подвижной состав железных дорог, двигатели, турбины, компрессоры и их части, геометрия, энергосберегающие установки, автомобили и другие передвижные средства, сигнализация, солнечные часы, 
строительство, история науки и техники, методические вопросы преподавания и пр. [5]. Пять из представленных на конкурсе проектов (8%) — работы по 
равноудаленным геометрическим местам. Почти все 
из них завоевали призовые места. В 2013–2014 гг. — 
третьи места, в 2017-м — второе и в 2018-м один из 
авторов этой работы занял третье место.
Данная статья является продолжением работ «Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1» [6] и «Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных 
геометрических фигур. Часть 2: геометрические места 
точек, равноудаленных от точки и конической поверхности» [7]. В предлагаемой вашему вниманию работе 
рассматриваются ГМТ, равноудаленных от:
1) сферы и прямой;
2) конической поверхности и плоскости. 

Основой для систематизации ГМТ является табл. 1, 
приведенная в работе [6]. 

Таблица 1
Геометрические места 

Геометрические 
объекты

Точка

Прямая

Окружность

Плоскость

Сфера

Цилиндрическая 
поверхность

Коническая 
поверхность

Тор

1
2
3
4
5
6
7
8

Точка
1
1.1 2.1
3.1 4.1 5.1
6.1
7.1
8.1

Прямая
2
2.2
3.2 4.2 5.2
6.2
7.2
8.2

Окружность
3
3.3 4.3 5.3
6.3
7.3
8.3

Плоскость
4
4.4 5.4
6.4
7.4
8.4

Сфера
5
5.5
6.5
7.5
8.5

Цилиндрическая 
поверхность
6
6.6
7.6
8.6

Коническая 
поверхность
7
7.7
8.7

Тор
8
8.8

Как видно из табл. 1, ГМТ, равноудаленных от 
сферы и прямой, имеют обозначение 5.2, а от конической поверхности и плоскости — 7.4.
Из 36 возможных сочетаний по два объекта шесть 
первых с 1.1 по 6.1 были рассмотрены в статье [6] 
(полностью или частично), а ГМТ 7.1 — в работе [7].

Методы исследования геометрических мест

По сути, начертательная геометрия является теорией изображений [27], а также основой геометрического моделирования. Начертательная геометрия является основой аналитической геометрии и компьютерной 
графики [25; 26]. Аналитическая геометрия применяет 
математический аппарат для изучения геометрических 
объектов, в то время как компьютерная графика использует компьютер в сочетании со специальным программным обеспечением для моделирования «наглядных» 3D-моделей геометрических фигур.
Исходя из вышесказанного, можно выделить два 
основных подхода к изучению ГМТ: аналитический 
и графический [6]. Для полноты исследования и 
подтверждения результатов, полученных каким-либо одним из двух подходов, следует воспользоваться 
и тем и другим, иначе не всегда удается верно трактовать полученный результат.
В данной работе сочетаются оба метода исследования. Инструментом графического подхода является 
система «КОМПАС-3D v.17.1», в которой были выполнены 3D-модели и чертежи исходных геометрических 
мест. В качестве аналитической составляющей выведены формулы каждой полученной поверхности, а 
также формулы характерных сечений поверхностей. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19

Locus, equally spaced from the conic surface of rotation and 
the plane, are two elliptic conic surfaces which in case 7.4.1 degenerate in the conic surfaces of rotation. In cases 7.4.3 and 7.4.4 
one elliptic conic surface degenerates in a plane and a parabolic 
cylinder respectively.
Keywords: geometry, descriptive geometry, loci, L, analytical 
geometry.

Кроме того, были использованы расчетные программы-визуализаторы, такие как Wolfram Mathematica Alpha.
5.2. Сфера и прямая
Как и в рассмотренных ранее примерах — «5.1. 
Точка и сфера» и «6.1. Точка и цилиндрическая поверхность» [6] — возможны четыре случая взаимного расположения прямой и сферы (рис. 1): 
5.2.1) центр сферы лежит на прямой;
5.2.2) прямая пересекает сферу;
5.2.3) прямая касается сферы;
5.2.4) прямая находится снаружи сферы.
Общая характеристика (рис. 1)
Расположим прямую d и центр сферы Δ в плоскости xy, причем прямая d параллельна оси y, центр 
сферы О лежит на оси x. Центр О сферы и прямая d 
отстоят от оси y на параметр a (рис. 1).

 
Рис. 1

ГМТ, удаленных на заданное расстояние от сферы Δ — две сферы с радиусом (R ± t), описываемые 
уравнением (1):

 
(x + a)2 + y2 + z2 = (R ± t)2.  
(1)

ГМТ, удаленных на заданное расстояние от прямой 
d — цилиндрическая поверхность с радиусом t, описываемая уравнением (2):

 
(x – a)2 + z2 = (±t)2.  
(2)

Решив систему уравнений (1), (2), получим уравнение (3), описывающее ГМТ, равноудаленных от 
сферы и прямой:

 
1
4
1
2
2

4
4

2

2
2
2
2
4

2

2
2
−
+
+
−
−
=
−
a

R
x
z
ax
R
y
y

R

R
a .  (3)

5.2.1. Центр O сферы Δ лежит на прямой d (рис. 2, 3)
Для случая, когда центр сферы Δ лежит на прямой 
d, значение параметра а = 0. При подстановке a = 0 
в уравнение (3) получим уравнение (4):

 
x
z
y
y

R

R
2
2
2
4

2

2
1
2
4
4
+
+
−
=
.  
(4)

Все сферы с радиусами R + t c цилиндрическими 
поверхностями радиуса t будут пересекаться по окружностям 1, 2, 3, 4, 1′, 2′, 3′, 4′…, расположенным вне 
сферы Δ (рис. 2).

Рис. 2
При t = 0 сфера Δ и прямая d пересекутся в точках 
P и Q, причем PO = OQ = R, так как это радиусы 
сферы, а PQ = 2R, т.е. равно диаметру сферы. 
Сферы с радиусами R – t будут пересекаться с 
цилиндрическими поверхностями по окружностям 
10, 10’ и 20 при изменении t в диапазоне 0 ≤ t ≤ R/2. 
При t = R/2 радиус сферы будет R – t = R – R/2 = R/2, 
радиус цилиндрической поверхности будет R/2, т.е. 
радиусы будут равны и поверхности коснутся по 
общей параллели AB ≡ 2° (см. рис. 2). AB = R будет 
самой большой параллелью внутренней (расположенной внутри сферы Δ) части поверхности Г5.2.1. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018                                                              

d

При дальнейшем уменьшении, точнее, изменении 
радиуса исходной сферы Δ, пересечений сфер Δi с 
цилиндрическими поверхностями Ωi не будет. При 
шаге t, выбранном на рис. 2, сферы с радиусом R – t 
уже на четвертом изменении шага превратятся в 
точку и при дальнейшем изменении шага «перейдут 
через ноль», по выражению художника Малевича. 
Таким образом, вся поверхность Г5.2.1, показанная 
семейством эквидистантных кривых (рис. 3), образуется при положительных значениях радиуса,  
в этом ее отличие от аналогичной по форме поверхности, полученной при построении ГМТ Г6.1.1, равноудаленных от точки и цилиндрической поверхности (табл. 2). 
Поверхность Г5.2.1 или, как мы ее назвали, перпендикулярный параболоид вращения обладает 
рядом интересных свойств:
• все образующие параболы (m, n и т.д.) имеют один 
фокус – центр сферы Δ – точку О, лежащую на 
оси вращения параболоида (рис. 2);
• все образующие параболы имеют директрисы, 
касательные к исходной сфере Δ, т.е. директрисы 
образуют директориальный цилиндр, касательный 
сфере Δ, осью вращения этого цилиндра является исходная прямая d.

 

Рис. 3

Сечения поверхности Г5.2.1 плоскостями, проходящими через прямую, являются одинаковыми параболами (m, n). Следовательно, эта поверхность 
может быть получена вращением параболы вокруг 
оси, параллельной директрисе и пересекающей параболу в двух точках. Сечения поверхности Г5.2.1 плоскостями, пересекающими прямую d, являются эллипсами, а если секущая плоскость перпендикулярна прямой d — окружностями.
5.2.2. Прямая d пересекает сферу Δ, но не проходит 
через центр О (рис. 4, 5)
Для случая, когда прямая d пересекает сферу Δ, 

параметр а лежит в интервале от 0 до R

2 ,  тогда по
лучим систему уравнений (3), (5):

  

1
4
1
2
2

4
4

0
2

2

2
2
2
2
4

2

2
2
−
+
+
−
−
=
−

<
<

a

R
x
z
ax
R
y
y

R

R
a

a
R.
(3)

При положительных значениях R получается поверхность, показанная семейством эквидистантных 
кривых (рис. 4). 

 

Рис. 4

Множество сфер Δi с радиусами (R — t) будет 
пересекаться с множеством цилиндров Ωi с радиусом 
t (рис. 5). Сфера и прямая пересекаются в точках P 
и Q (t = 0). Величина АВ равна радиусу сферы.
Фронтальная проекция поверхности Г5.2.2 является разными параболами m, n (см. рис. 5). Сечения 
поверхности плоскостями, пересекающими прямую 
d, являются эллипсами (рис. 5). У эллипсов, полученных при сечении Г5.2.2. плоскостями, перпендикулярными d, одна группа фокусов этих эллипсов 
лежит на прямой d, другая образует параболу P2O2Q2, 
например, фокусы эллипса f – точки O и d1 (рис. 5).
5.2.3. Прямая d касается сферы Δ в точке A (рис. 6, 7)
Для случая, когда прямая d касается сферы Δ в 

точке A, значение параметра a
R
= 2 .  При подстанов
ке  a
R
= 2

 в уравнение (3) получим уравнение (6):

 
z
x y
y

R

2
2

4

2
1
2
4
0
+
−
−
= .  
(6) 

При R > 0 получается поверхность, показанная 
на рис. 6 сплошными эквидистантными кривыми,  
и отрезок от точки касания А до центра О сферы Δ 
(рис. 6, 7). При R < 0 получается луч s от центра O 
сферы Δ, показанный на рис. 6, 7 штриховой линией.
Множество сфер Δi с радиусами (R – t) будет пересекаться с множеством цилиндров Ωi с радиусом t (рис. 7).
5.2.4. Прямая d находится снаружи сферы Δ (рис. 8, 9)
Для случая, когда прямая d лежит снаружи сферы 
Δ, параметр а больше R/2, тогда получим систему 
уравнений (3), (7):

(5)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018                                                              

Рис. 5

1
4
1
2
2

4
4
3

2
7

2

2
2
2
2
4

2

2
2
−
+
+
−
−
=
−

>


a

R
x
z
ax
R
y
y

R

R
a

a
R

( )

( )

Сферы Δ1 с радиусом R – t и Δ4 с радиусом R + t 
— первый шаг изменения радиуса исходной сферы 
Δ. Сфера Δ4 с цилиндром Ω1 коснутся в точке А. 
Пересечение всех остальных сфер Δi с цилиндрами Ωi будет происходить по пространственным кривым четвертого порядка ai (a1, a2, …) и bi (b1, b2, …) 
(рис. 9), фронтальные проекции которых a a
2
1
2
2
,
 и 

b b
2
1
2
2
,
 — дуги парабол, а горизонтальные — дуги окружностей a a
1
1
1
2
,
 и b b
1
1
1
2
,
 с центрами в точке d1 (рис. 9).
Сферы Δ5, Δ6, … с радиусами R + t будут пересекаться с цилиндрами Ω2, Ω3 образуя поверхность 
четвёртого порядка, показанную на рис. 8 сплошными эквидистантными кривыми. 
На рис. 9 эта поверхность, полученная при положительных значениях радиуса, изображается двумя 
кривыми: фронтальная проекция — парабола m с 
вершиной А и горизонтальная проекция — гипербола 
n. Вершина обеих кривых — точка А. Обратим внимание — кривые m и n «выгнуты» в разные стороны.
Светлая часть Г5.2.4., изображённая на рис. 8 штриховыми эквидистантными линиями, на рис. 9 расположенна слева, получается при отрицательных 
значениях радиуса R. При этом сфера сначала «схлопнется» в точку О и только потом начнет пересекаться с цилиндрами. При пересечении с цилиндром Ω5 
получится точка В, и при пересечении с цилиндрами 
Ω6 и Ω7 — пространственные кривые, фронтальной 
проекцией которых являются дуги парабол b b
2
1
2
2
,
, 

Рис. 6

а горизонтальной — дуги окружностей b b
1
1
1
2
,
 и т.д. 
Огибающая дуг b b
1
1
1
2
,
 — гипербола f с вершиной В, 
симметрична гиперболе n. Огибающая дуг парабол 
b b
2
1
2
2
,
 и т.д. — парабола s. Кривые f и s, показанные 
на рис. 9 штриховыми линиями — проекции светлой 
части ГМТ Г5.2.4.
Вывод. При R > 0 получается поверхность Г5.2.4, показанная на рис. 8 сплошными эквидистантных кривыми. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

При R < 0 получается поверхность Г5.2.4, показанная на рис. 8 штриховыми эквидистантных кривыми. 
Обе поверхности имеют свойства гиперболического 
параболоида, а именно, сечения в виде парабол s и 
m и гипербол f и n (рис. 9).
Сравним уравнения ГМТ, равноудаленных от прямой 
и сферы и от цилиндра и точки [6]. Уравнения указанных ГМТ совпадают. Графические изображения 
полученных геометрических мест приведены в табл. 2. 
Темным обозначены поверхности, полученные при 
R > 0, светлым — при R < 0.
Таким образом, ГМТ, равноудаленных от сферы 
и прямой и от цилиндра и точки, совпадают при 
равных радиусах и расстояниях от осей до точек и 
прямых. При этом у ГМТ, равноудаленных от прямой 
и сферы и от точки и цилиндра, поверхности с положительным и отрицательным радиусами распределяются по-разному.
При параметре а = 0 или a < R/2 ГМТ, равноудаленных от прямой и сферы, будет полностью получаться при положительных значениях радиуса сферы. 
ГМТ, равноудаленных от точки и цилиндрической 
поверхности, при положительном значении радиуса 
цилиндрической поверхности будет только центральная (темная) часть.
При параметре а = R/2 ГМТ, равноудаленных 
от прямой и сферы, при положительных значениях радиуса будет включать поверхность 4-го порядка и отрезок от точки касания до центра сферы, 
при отрицательных радиусах — луч от центра сферы. ГМТ, равноудаленных от точки и цилиндрической поверхности, при положительных радиусах 
будет лучом, при отрицательных — поверхностью 
4-го порядка. 
При параметре а > R/2 ГМТ, равноудаленных от 
прямой и сферы, представляет собой две поверхности. Обе имеют свойства гиперболического параболоида, а именно, сечения в виде парабол и гипербол. 
ГМТ, равноудалённых от прямой и сферы при 
положительных значениях радиуса сферы, будет 
являться поверхностью четвертого порядка (темная, 
снизу), при отрицательных значениях радиуса сферы — тоже поверхность четвертого порядка (светлая, 
сверху). ГМТ, равноудалённых от точки и цилиндрической поверхности, будут такие же по форме поверхности, как и в случае прямой и сферы, но расположенные наоборот.
7.4. ГМТ, равноудаленных от конической поверхности и плоскости.
Методика построения ГМТ, равноудаленных от 
плоскости и конической поверхности
ГМТ, удаленных от конической поверхности Ψ 
на расстояние t, есть две конические поверхности 

′
′′
Ψ Ψ
,
,  сдвинутые вдоль оси вращения в разные 
стороны (расстояние между очерковыми образующими равно t) (рис. 10). ГМТ, удаленных от плоскости на расстояние t, являются две плоскости, параллельные исходной и находящиеся по разные стороны от нее на расстоянии t.

Рис. 10
Изменяя расстояние t, получаем множество кривых — линий пересечений конической поверхности 
и плоскости для каждого значения t. С помощью 
команды «Поверхность по сети кривых» или команды «Поверхность по сечениям» в программе «КОМПАС-3D» получаем некоторую поверхность, являющуюся ГМТ, равноудаленных от конической поверхности и плоскости. Тем самым благодаря графическому подходу мы может получить искомую поверхность. 

Взаимное расположение плоскости и конической 
поверхности

Возможные варианты взаимного расположения 
исходных объектов (рис. 11).
7.4.1. Плоскость, перпендикулярная оси конической 
поверхности.
7.4.2. Плоскость содержит в себе ось конической 
поверхности. 
7.4.3. Плоскость, касательная к конической поверхности.
7.4.4. Плоскость, рассекающая коническую поверхность по параболе.
7.4.5. Плоскость, рассекающая коническую поверхность по эллипсу.
7.4.6. Плоскость, рассекающая коническую поверхность по образующим.

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018                                                              

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19

Таблица 2

Сравнение ГМТ, равноудаленных от сферы и прямой и от цилиндрической поверхности и точки

№
п/п
Обозначение 
поверхности
Значение 
параметра а
Прямая и сфера, 5.2
Точка и цилиндрическая поверхность, 6.1

1
5.2.1, 6.1.1
a = 0

2
 5.2.2, 6.1.2
a < R/2

3
5.2.3, 6.1.3
a = R/2

4
5.2.4, 6.1.4
a > R/2

Рис. 11. Варианты взаимного расположения конической поверхности Ψ 
с центром в начале координат и плоскости Σ

Вывод общего уравнения, описывающего ГМТ, 
равноудаленных от конической поверхности Ψ 
и плоскости Σ, расположенных в пространстве 
относительно друг друга произвольным образом

Одним из многих достоинств аналитического 
подхода к изучению ГМТ является возможность 
получения общего решения, варьируя параметры в 
котором, можно прийти к любому частному. 
Во всех шести случаях (см. рис. 11) для простоты 
расчетов рассмотрим коническую поверхность Ψ с 
центром в точке О(0; 0; 0), углом при вершине 90° и 
осью i, совпадающей с осью Oz. Напомним, что ГМТ, 
удаленных на расстояние t от исходной конической 
поверхности Ψ, описываемой уравнением (8), являются две конические поверхности 
′
Ψ  и 
′′
Ψ , сдвинутые вдоль оси Oz (см. рис. 10) вверх и вниз на 

расстояние 
t

sinα

 (где α — угол между образующей 

конической поверхности и ее осью), которые описываются системой уравнений (9), (10):

                       x2 + y2 = z2.                                 (8)

 
               x
y
z
t

x
y
z
t

2
2
2

2
2
2

2
9

2
10

+
=
+
(
)

+
=
−
(
)

,
( )

.
(
)

Зададим исходную плоскость с помощью точки 
и направляющего вектора (вектора, перпендикулярного данной плоскости). Для простоты условимся, 
что плоскость Σ перпендикулярна плоскости zOx и 
проходит через точку начала координат (рис. 12). 
Зафиксируем для нее единичный нормальный вектор 
n{cosα; cosγ} (α и γ — углы наклона вектора на положительное направление оси Ox и Oz соответствен
но, а cosα и cosγ — его направляющие косинусы), 
направленный перпендикулярно плоскости из начала координат. 

 
 
 Рис. 12. К выводу уравнения (15) и (16)

Тогда уравнение плоскости Σ принимает вид:

 
x × cosα + z × cosγ = 0.  
(11)

Учтя, что γ = 90° + α, преобразуем:

 
x × cosα – z × sinα = 0.  
(12)

Уравнение (12) описывает плоскость, проходящую 
через начало координат и наклоненную под углом α 
к оси Oz. В более общем случае плоскость может 
проходить через произвольную точку N(x0; 0; 0), 
тогда уравнение примет вид:

 
(x – x0) × cosα – z × sinα = 0.  
(13)

После преобразования получим:

 
x × cosα — z × sinα – r = 0,  
(14)

где r = x0 × cosα и характеризует расстояние от начала координат до исходной плоскости.
Удаленной от нее плоскостью на расстояние t 
является плоскость, расстояние до которой от начала координат равно а = t + r:

 
x × cosα – z × sinα – (t + r) = 0.  
(15)

Вернемся к случаю, когда исходная плоскость 
проходит через начало координат (при r = 0):

 
x × cosα – z × sinα – t = 0.  
(16)

Уравнение (16) описывает семейство плоскостей, 
удаленных от данной на расстояние t. Учтя, что таких 
семейств два, преобразуем:

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 4. 3–19 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2018