Геометрия и графика, 2018, № 3

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2018

Подписано в печать 25.09.2018.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Кокарева Я.А. 
Синтез уравнений линейчатых поверхностей 
с двумя криволинейными и одной прямолинейной 
направляющими  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Денисова Е.В., Хуснетдинов Т.Р., 
Воронина М.В.
Проецирование коническими винтовыми 
линиями с постоянным шагом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Бумага А.И.
Вычислительные алгоритмы моделирования 
одномерных обводов через k наперед заданных
точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Жихарев Л.А.
Фрактальные размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Поликарпов Ю.В.
Содержание вузовского курса начертательной 
геометрии в эпоху третьей промышленной 
революции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
Бойков А.А., Сидоров А.А., Федотов А.М.
К вопросу о методике использования алгоритмов 
при решении задач начертательной геометрии . . . . . .56

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Куприков М.Ю., Маркин Л.В.
Геометрические аспекты автоматизированной 
компоновки летательных аппаратов . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2018. Том 6. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА - Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2018. Vol. 6. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия). 

УДК 514                                                                                  
DOI: 10.12737/article_5bc454948a7d90.80979486

Я.А. Кокарева 
Канд. техн. наук, доцент,
Донской государственный технический университет,
Россия, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Синтез уравнений линейчатых 
поверхностей с двумя 
криволинейными и одной 
прямолинейной направляющими

Аннотация. Линейчатые поверхности давно известны и 
находят широкое применение в строительстве, архитектуре, 
дизайне и технике. И если с технической точки зрения более 
привлекательны развертываемые поверхности, то архитектура и дизайн удачно экспериментируют и с неразвертываемыми. В данной работе рассматриваются неразвертываемые 
линейчатые поверхности с тремя образующими, две из которых криволинейные. Согласно классификации, такие поверхности называются дважды косыми цилиндроидами.
В работе предложен способ получения дважды косых цилиндроидов путем погружения кривой в линейчатую конгруэнцию гиперболического типа. Действительными директрисами такой конгруэнции являются прямая и кривая. В качестве 
криволинейной директрисы предложено использование винтовых линий (цилиндрической и конической), а в качестве 
прямолинейной – ось винтовой линии. Тогда прямолинейный 
луч конгруэнции будет одновременно пересекать винтовую 
линию и ее ось. Параметрами конгруэнции являются шаг 
линии и радиус направляющего цилиндра или конуса. Выбор 
криволинейной директрисы обоснован тем, что винтовые 
линии нашли широкое применение в технике и архитектуре. 
Соответственно, поверхности на их основе могут иметь большой потенциал. В работе приведены параметрические уравнения рассматриваемых конгруэнций. Уравнения конгруэнции рассмотрены с точки зрения введения новой криволинейной системы координат. В статье также изучены координатные поверхности и координатные линии полученной 
системы.
Для извлечения поверхности необходимо погрузить кривую в конгруэнцию. Для синтеза уравнений использован 
конструктивно-параметрический метод, основанный на 
подстановке параметрических уравнений погружаемой линии 
в уравнения конгруэнции по особому алгоритму. В статье 
приведены 5 примеров синтеза уравнений линейчатых поверхностей типа дважды косой цилиндроид и их визуализация.
Метод является универсальным, алгоритмизированным, 
а значит, и легко адаптируемым для автоматизированного 
построения поверхностей с изменяемыми параметрами как 
конгруэнции, так и погружаемой линии.
Ключевые слова: линейчатая поверхность, линейчатая 
конгруэнция, дважды косой цилиндроид, винтовая линия, 
параметрические уравнения.

Ya.A. Kokareva
Ph.D. of Engineering, Associate Professor,
Don State Technical University,
1, Gagarin Sq., 344000, Rostov-on-Don, Russia

Synthesis of Equations For Ruled Surfaces 
With Two Curvilinear And One Rectangular 
Directrixes

Abstract. Ruled surfaces have long been known and are widely 
used in construction, architecture, design and engineering. And if 
from the technical point of view the developable surfaces are more 
attractive, then architecture and design successfully experiment 
with non-developable ones. In this paper are considered non-developable ruled surfaces with three generators, two of which are 
curvilinear ones. According to classification, such surfaces are called 
twice oblique cylindroids.
In this paper has been proposed an approach for obtaining of 
twice oblique cylindroids by immersing a curve in a line congruence 
of hyperbolic type. Real directrixes of such congruence are a straight 
line and a curve. It has been proposed to use helical lines (cylindrical and conical ones) as a curvilinear directrix, and a helical 
line’s axis as the straight one. Then the congruence’s rectilinear 
ray will simultaneously intersect the helical line and its axis. Congruence 
parameters are the line’s pitch and the guide cylinder or cone’s 
radius. The choice of the curvilinear directrix is justified by the fact 
that the helical lines have found a wide application in engineering 
and architecture. Accordingly, the helical lines based surfaces can 
have a great potential. In this paper have been presented parametric equations of the considered congruences. The congruence 
equations have been considered from the point of view related to 
introducing a new curvilinear coordinate system. The obtained 
system’s coordinate surfaces and coordinate lines have been also 
studied in the paper.
To extract the surface, it is necessary to immerse the curve in 
the congruence. To synthesize the equations has been used a constructive-parametric method based on the substitution of the immersed line’s parametric equations in the congruence equations 
according to a special algorithm. In the paper have been presented 
5 examples for the synthesis of ruled surfaces equations such as the 
twice oblique cylindroid and their visualization.
The method is universal and algorithmic, and therefore easily 
adaptable for the automated construction of surfaces with variable 
parameters of both the congruence and the immersed line.
Keywords: ruled surface, lined congruence, twice oblique cylindroids, helical line, parametric equations.

Линейчатые поверхности давно привлекают внимание геометров, архитекторов, машиностроителей 
и дизайнеров. Наиболее изученными и применяемыми из неразвертываемых поверхностей являются 
геликоиды, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и поверхности Каталана [1; 5; 

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

19; 22; 27–29], которые можно увидеть практически 
повсюду.
Согласно классической классификации в русскоязычной учебной литературе, линейчатые поверхности по количеству направляющих делятся на три 
типа: с тремя, двумя и одной направляющей. В свою 
очередь, линейчатые поверхности с тремя направляющими делятся на [5]:
1) поверхность общего вида — с тремя криволинейными направляющими;
2) дважды косой цилиндроид — с двумя криволинейными и одной прямолинейной направляющей;
3) дважды косой коноид — с двумя прямолинейными и одной криволинейной направляющей;
4) однополостной гиперболоид — с тремя прямолинейными направляющими.
Линейчатая поверхность с тремя направляющими 
фактически представляет собой поверхность линейчатой конгруэнции гиперболического типа, где две 
из трех направляющих являются директрисами,  
а третья — погружаемой в линейчатую конгруэнцию 
кривой. Таким образом, дважды косые коноиды 
являются поверхностями гиперболической конгруэнции прямых Кг (1,1), а однополостной гиперболоид является ее частным случаем при погружении 
прямой.
Особое внимание конгруэнциям начали уделять 
в период развития проективной геометрии. В начале 
ХХ в. было построено множество натурных наглядных моделей по представлению пространственных 
кривых, являющихся линиями пересечения поверхностей, линейчатых поверхностей и линейчатых 
конгруэнций и их поверхностей (рис. 1). 
Практическое применение поверхностей конгруэнций прямых стало возможным с развитием синтетической и конструктивной геометрии [2; 6; 10–14]. 
В настоящее время изучение построения и визуализации таких поверхностей ведется как с точки зрения 
создания программно реализуемых алгоритмов проективной геометрии [7; 8; 19–21; 23; 25–30], так и с 
точки зрения получения параметрических уравнений 
конгруэнций и их поверхностей конструктивно-параметрическим методом [3; 4; 9; 15–18; 24].
В работах [18; 31] был предложен способ получения параметрических уравнений гиперболической 
конгруэнции прямых Кг (1,1) и ее поверхностей,  
а также рассмотрены некоторые частные случаи 
управления параметрами формы. Эти поверхности 
являются дважды косыми коноидами.
Целью настоящей работы является получение 
параметрических уравнений линейчатых поверхностей, полученных погружением кривой в конгруэнцию гиперболического типа, в которой директрисами являются прямая и винтовая линии (цилиндри
ческая и коническая с постоянным шагом), а лучом — 
прямая. Данный тип поверхности относится к ка- 
тегории дважды косых цилиндроидов. 

Рис. 1. Модели линейчатых поверхностей: 
а, б — модели Мартина Шиллинга, 1911 г.; в, г — модели Ричарда Бейкера, 1905 г.

Винтовая линия была выбрана из-за частоты распространенности в технической сфере. Ранее в работах по конгруэнциям [3; 9; 15] винтовые линии 
использовались в качестве лучей конгруэнций, тогда как в данных исследованиях предлагается их использование как директрис.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12

г

                         а                                               б

в

На рис. 2, а изображена конструктивная схема 
конгруэнции с цилиндрической винтовой линией,  
а на рис. 2, б — с конической винтовой линией. 
Директриса-прямая совмещена с осью винтовых 
линий, а значит, и с осью OZ. Луч-прямая конгруэнции пересекает одновременно обе директрисы.
  
 

 
              а                                                 б

Рис. 2. Конструктивная схема конгруэнций

Принцип конструирования уравнений конгруэнции идентичен. Рассмотрим конгруэнцию с цилиндрической винтовой линией.
Уравнения директрисы-прямой 1 (см. рис. 2, а) 
имеют вид:

 
x1 = 0, y1 = 0, z1 = v.  
(1)

Уравнения цилиндрической винтовой линии 2 
имеют вид:

 
x2 = a cos u, y2 = a sin u, z2 = bu. 
(2)

Текущая точка М луча конгруэнции, проходящего через директрисы (1) и (2), описывается уравнениями:

 
xM = x1(1 – w) + x2w,
 
yM = y1(1 – w) + y2w, 
 (3)
 
zM = z1(1 – w) + z2w.

Конгруэнция является двупараметрическим множеством прямых, а ее параметрические уравнения 
имеют три изменяемых параметра — u, v, w. Таким 
образом, уравнения луча конгруэнции (3) представляют собой уравнения самой конгруэнции. После 
упрощений уравнений (3) имеем:

 
xКг = a cos uw,
 
yКг = a sin uw,  
(4)
 
zКг = v(1 – w) + buw.

Заметим, что уравнения (4) представляют собой 
уравнения u-, v-, w-конгруэнций, но в данной работе рассматриваются поверхности только последней.
Рассмотрим координатные поверхности и линии 
полученной конгруэнции (4).
Координатные поверхности:
1) u = const — плоский пучок прямых с центром на 
цилиндрической винтовой линии (2), пересекающих прямую (1) (рис. 3, а);
2) v = const — коническая поверхность с центром на 
прямой (1) и направляющей линией (2) (рис. 3, б);
3) w = const — цилиндрическая винтовая полоса 
(рис. 3, в).
 

                  а                                                б

в

Рис. 3. Координатные поверхности конгруэнции (4)

Координатные линии: u-линии — цилиндрические 
винтовые линии, v-линии — прямые, параллельные 
прямой (1), w-линии — прямолинейные лучи конгруэнции, пересекающие директрисы (1) и (2).
Для изучения структуры конгруэнции и ее области определения вычислим Якобиан, основанный 
на уравнениях (4):

 

J

x
u
y
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w

a w
w
=

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

=
−
(
)
2
1
.

 

(5)

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018                                                              

Из уравнений (3) и (5) следует, что Якобиан равен 
нулю только в двух случаях: w = 0, что соответствует 
директрисе (1), и w = 1, что соответствует директрисе (2). Таким образом, мы убедились, что прямая, 
совпадающая с осью цилиндрической линии, и сама 
цилиндрическая линия являются фокальными фигурами конгруэнции (4). Причем, так как в выражение Якобиана (5) входит только переменная w, то 
директрисы (1) и (2) являются фокальными линиями 
только конгруэнции w-прямых.
Для извлечения поверхности из конгруэнции необходимо связать один из параметров путем погружения в конгруэнцию кривой. С геометрической 
точки зрения лучи конгруэнции пересекают погружаемую линию и тем самым образуют поверхность. 
Так как в данном случае лучами конгруэнции являются прямые линии, то извлекаемая поверхность 
линейчатая.
Для получения параметрических уравнений поверхности конгруэнции воспользуемся конструктивно-параметрическим методом, предложенным 
И.А. Скиданом [3; 17]. Он заключается в дуальном 
рассмотрении уравнений (4): как параметрических 
уравнений и как способ задания криволинейных 
координат. Согласно предложенному алгоритму, 
выразим из уравнений (4) криволинейные координаты u, v, w через x, y, z:

cos
, sin
,
,

,

u
x

x
y
u
y

x
y
u
arctg y
x

w
x
y
a

v
az
barctg y
x
x

=
+
=
+
=

=
+

=
−

2
2
2
2

2
2

2 +

−
+

y

a
x
y

2

2
2
.

  

(6)

Уравнения погружаемой в конгруэнцию линии m 
имеют вид:

 
xm = f1(t), ym = f2(t), zm = f3(t). 
(7)

Подставив выражения (7) в выражения (6) для  
u, v вместо x, y, z, а затем подставив полученные 
выражения в уравнения (4), получим параметрические 
уравнения линейчатых поверхностей конгруэнции 
(4) в параметрах w, t:

 
x
a
f t

f t
f
t
w
=
( )

( ) +
( )

1

1
2
2
2
,  

(8)
 

y
a
f
t

f t
f
t
w
=
( )

( ) +
( )

2

1
2
2
2
,

z
af
t
barctg f
t
f t
f t
f
t

a
f t
f
t
w
=
( ) −
( )
( )
( ) +
( )

−
( ) +
( )
−
(
)

3
2

1
1
2
2
2

1
2
2
2
1
+

+
( )
( )
barctg f
t

f t w
2

1
.

 (8)

Область определения функций (8): f1(t) ≠ 0, f1(t)2 
+ f2(t)2 ≠ a2, f1(t0) = f2(t0) ≠ 0.
Рассмотрим примеры синтеза параметрических 
уравнений поверхностей конгруэнции (4) и их визуализацию.
Пример 1. В конгруэнцию (4) с параметрами  
a = 2, b = 1 погружается соосная директрисе (2) цилиндрическая винтовая линия:

 
xm = cos t, ym = sin t, zm = 3t.  
(9)

Подставляя уравнения (9) в уравнения (8), получаем параметрические уравнения поверхности:

 
x = 2 cos tw,
 
y = 2 sin tw,  
(10)
 
z = 5t(1 – w) + tw.

На рис. 4 изображена линейчатая поверхность 
(10) и ее три направляющие линии. В данном случае 
уравнения (10) соответствуют заданию кинетической 
линейчатой поверхности, которая образуется движение прямолинейной образующей между точками с 
одинаковым угловым параметром на двух винтовых 
линиях (2) и (9).
 

Рис. 4. Поверхность (10) конгруэнции (4)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12

Пример 2. В конгруэнцию (4) с параметрами  
a = 4, b = 1 погружается смещенная относительно 
осей координат цилиндрическая винтовая линия:

 
xm = cos t + 1, ym = sin t + 1, zm = 3t – 1. 
(11)

Подставляя уравнения (11) в уравнения (8), получаем параметрические уравнения поверхности.

x
w
t

t
t

y
w
t

t
t

=
+
(
)

+
(
) +
+
(
)

=
+
(
)

+
(
) +

4
1

1
1

4
1

1

2
2

2

cos

cos
sin
,

sin

cos
sin +
(
)

=
−
(
)

−
+
(
) +
+
(
)
×

×
− −
+

1

4 1

4
1
1

3
1
1
4
1

2

2
2

,

cos
sin

arctan sin
c

z
w

t
t

t
t

os
cos
sin

arctan sin
cos

t
t
t

t
t

+
+
(
) +
+
(
)
+

+
+
+
1
1
1

1
1

2
2

w.

(12)

Как видно из уравнений (12) и рис. 5, образующие 
данной поверхности, в отличие от поверхности (10), 
угловые параметры двух винтовых линий, между 
которыми заключена поверхность (12), не идентичны.
 

Рис. 5. Поверхность дважды косого цилиндроида, 
проходящего через две цилиндрические винтовые линии

Пример 3. В конгруэнцию (4) с параметрами  
a = 2, b = 1 погружается окружность, произвольно 
расположенная в пространстве:

x
t
t

y

m

m

= −
−
+
(
) −
= −
−
+

2
2
3
3
1 75
0 75
0 75

2
2
3
3
1 75
0 75

,
,
sin
,
cos
,

,
,
sin
,
cos
,

,
,
sin
.

t
t

z
t
m

(
) +
=
−
+
(
) +

0 75

6
3
1 75
0 75
2

 

(13)

Подставляя уравнения (13) в уравнения (8), получаем параметрические уравнения поверхности (рис. 
6), которые не приведены в работе вследствие их 
громоздкости.
 

                     а  
 
 
 б

Рис. 6. Поверхность дважды косого цилиндроида, 
проходящего через цилиндрическую винтовую линию и окружность: 
а — изображение поверхности; б — определитель поверхности

Аналогичным образом рассмотрим конгруэнцию 
с конической винтовой линией.
Уравнения директрисы-прямой 1 (см. рис. 2, б) и 
уравнения текущей точки М луча конгруэнции описываются соответственно уравнениями (1) и (3).
Уравнения конической винтовой линии 2 имеют вид:

 
x2 = au cos u, y2 = au sin u, z2 = bu. 
(14)

Подставляя уравнения (1) и (14) в уравнение (3), 
получим параметрические уравнения конгруэнции 
прямых гиперболического типа с двумя директрисами — конической винтовой линией и ее осью:

 
xКг = au cos uw,
 
yКг = au sin uw, 
(15)
 
zКг = v(1 – w) + buw.

Рассмотрим координатные поверхности и линии 
полученной конгруэнции (15).
Координатные поверхности:
1) u = const — плоский пучок прямых с центром на 
конической винтовой линии (14), пересекающих 
прямую (1) (рис. 7, а).

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018                                                              

2) v = const — коническая поверхность с центром на 
прямой (1) и направляющей линией (14) (рис. 7, б).
3) w = const — коническая винтовая полоса (рис. 7, в).

 

в

Рис. 7. Координатные поверхности конгруэнции (15)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12

Координатные линии: u-линии — конические 
винтовые линии, v-линии — прямые, параллельные 
прямой (1), w-линии — прямолинейные лучи конгруэнции, пересекающие директрисы (1) и (14).
Вычисляя Якобиан аналогично рассмотрению 
предыдущей конгруэнции, можно убедиться, что 
он равен нулю только в двух случаях, соответствующих линиям (1) и (14), что доказывает их фокальность.
Для извлечения поверхности из конгруэнции (15) 
погрузим в нее линию (7). Для этого выразим из 
уравнений (15) криволинейные координаты u, v, w 
через x, y, z:

 
cos
, sin
,
,

,

u
x

x
y
u
y

x
y
u
arctg y
x

w
x
y

aarctg y
x

v
z
b
a
x

=
+
=
+
=

=
+

=
−

2
2
2
2

2
2

2 +
−
+

y
aarctg y
x

aarctg y
x
x
y

2

2
2
.

 

(16)

Подставив выражения (7) в выражения (16) для 
u, v вместо x, y, z, а затем подставив полученные 
выражения в уравнения (15), получим параметрические уравнения линейчатых поверхностей конгруэнции (15) в параметрах w, t:

x
aarctg f
t

f t

f t

f t
f
t
w

y
aarctg f
t

f t

f

=
( )
( )

( )

( ) +
( )

=
( )
( )

2

1

1

1
2
2
2

2

1

2

,

t

f t
f
t
w

z
f
t
b
a
f t
f
t
aarctg f
t

( )

( ) +
( )

=
( ) −
( ) +
( )
(

1
2
2
2

3
1
2
2
2
2

,

)
( )
( )
( )
−
( ) +
( )

−
(
) +

+
( )

f t

aarctg f
t
f t
f t
f
t
w

barctg f
t

f t

1

2

1
1
2
2
2

2

1

1

( )

w.

 

(17)

Область определения функций (17): f1(t) ≠ 0, 

f t
f
t
aarctg f
t

f t
1
2
2
2
2

1

2
( ) +
( ) ≠
( )
( )

,

 

f1(t0) = f2(t0) ≠ 0.

Рассмотрим примеры синтеза параметрических 
уравнений поверхностей конгруэнции (15) и их визуализацию.

б

а

Литература

1. Иванов В.Н. Основы разработки и визуализации объектов аналитических поверхностей и перспективы их 
использования в архитектуре и строительстве [Текст] / 
В.Н. Иванов, С.Н. Кривошапко, В.А. Романова // Геометрия и графика. — 2017. — № 4. — С. 3–14. — DOI: 
10.12737/article_5a17f590be3f51.37534061.
2. Иванов Г.С. Принцип двойственности — теоретическая 
база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2016. — 
№ 3. — С. 3–10. — DOI: 10.12737/21528.

Пример 4. В конгруэнцию (15) с параметрами  
a = 2, b = 1 погружается соосная директрисе (2) коническая винтовая линия:

 
xm = t cos t, ym = t sin t, zm = 3t. 
(18)

Подставляя уравнения (18) в уравнения (17), получаем параметрические уравнения поверхности:

 
x = 2t cos tw,
 
y = 2t sin tw,  
(19)
 
z = 5t(1 – w) + tw.

На рис. 8 изображена линейчатая поверхность 
(19) и ее три направляющие линии. В данном случае 
уравнения (19) соответствуют заданию кинетической 
линейчатой поверхности, которая образуется движение прямолинейной образующей между точками с 
одинаковым угловым параметром на двух конических 
винтовых линиях (14) и (18).

 

Рис. 8. Поверхность (19)

Пример 5. В конгруэнцию (15) с параметрами  
a = 3, b = 2 погружается строфоида, расположенная 
в плоскости общего положения:

3. Кокарева Я.А. Аналитическая модель поверхностей на 
основе координации пространства винтовыми и эллиптическими линиями [Текст] / Я.А. Кокарева // Прикладная математика и вопросы управления. — 2017. — 
№ 1. — С. 27–36. 
4. Кокарева Я.А. Параметрические уравнения конгруэнции прямых, заданной фокальными окружностями 
[Текст] / Я.А. Кокарева // Научное обозрение. — 2014. — 
№ 11. — С. 689–692.
5. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: 
Либроком, 2010. — 560 с.

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018 

 
x
t

t

t t

t

y

m

m

= −
−
(
)

+
−
+
−
(
)

+

=

2
2
6
3

0 5
1

1
1
0 5
1

1

2

2

2

2

,
,

,

−
−
(
)

+
−
−
−
(
)

+

=

2
2
6
3

0 5
1

1
1
0 5
1

1

3
3

2

2

2

2

,
,

,
t

t

t t

t

zm

0 5
1

1
1
2

2

2
,
.
t

t

−
(
)

+
−
+

 

(20)

Полученная поверхность и ее определитель представлены на рис. 9. Пределы изменения параметров 
поверхности: t = –1,5…1,5, w = 0…1.

 
Рис. 9. Пример дважды косого цилиндроида, 
проходящего через коническую винтовую линию и строфоиду

Таким образом, в данной работе на примере использования конгруэнций прямых с директрисами 
винтовыми линиями показан способ синтеза параметрических уравнений поверхностей типа дважды 
косой цилиндроид. Подход, описанный в статье, 
универсален и легко реализуется алгоритмически. 
Полученные параметрические уравнения удобны с 
точки зрения визуализации средствами компьютерной графики, а сами поверхности содержат в себе 
каркас образующих линий: прямые и линии, проективно подобные погружаемой в конгруэнцию линии.

6. Михайленко В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре [Текст] / В.Е. Михайленко, В.С. Обухова,  
А.Л. Подгорный. — Киев: Будівельник, 1972. — 208 с.
7. Несвідомін В.М. Комп’ютерні моделі синтетичної геометрії [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 / 
В.М. Несвідомін. — Київ, 2008. — 435 с.
8. Несвідомін В.М. Конструювання лінійчатих поверхонь 
методом з’єднання проективних точкових рядів [Текст] / 
 В.М. Несвідомін // Геометричне та комп’ютерне моделювання. — Харків: ХДУХТ, 2004. — Вип. 8. — С. 43–47.
9. Неснов Д.В. Конгруэнция винтовых линий в нормальных конических координатах [Текст] / Д.В. Неснов // 
Научный альманах. — 2016. — № 11-2 (25). — С. 186–
188. — DOI: 10.17117/na.2016.11.02.186.
10. Обухова В.С. Двуосевое проектирование кривых линий 
[Текст] / В.С. Обухова // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1965. — Вып. I. — С. 39–47.
11. Обухова В.С. Моделирование линейчатых поверхностей 4-го порядка проекционным способом [Текст] /  
В.С. Обухова, А.Л. Подгорный, К. Срока // Прикл. 
геом. та інж. граф. — 1996. — Вып. 60. — С. 23–27.
12. Подгорный А.Л. Дуальные конгруэнции и вопросы их 
конструктивного задания и отображения [Текст] /  
А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1968. — Вып. VII. — С. 3–10.
13. Подгорный А.Л. Конструирование поверхностей оболочек по заданным условиям на основе выделения их из 
конгруэнций прямых [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1969. — 
Вып. VIII. — С. 17–28.
14. Подгорный А.Л. Проекционный способ задания конгруэнций многозначным соответствием плоских полей и конструирование из них поверхностей [Текст] /  
А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1971. — Вып. 13. — С. 98–100.
15. Сименко О.В. Проекціювання променями конгруенції 
циліндричних гвинтових ліній сталого кроку [Текст] / 
О.В. Сименко // Прикладна геометрія та інженерна 
графіка. Праці Таврійського державного агротехнічного університету. — 2004. — Вип. 4. — Т. 23. — С. 86–91.
16.  Скидан И.А. Специальная параметризация конгруэнции 
прямых [Текст] / И.А. Скидан, Н.В. Журба // Прикладная геометрия и инженерная графика: Сб. статей. — 
1993. — Вып. 55. — С. 35–40.
17. Скідан І.А. Загальна аналітична теорія прикладного 
формоутворення на основі глобальної параметризації 
[Текст] / І.А. Скідан // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці Таврійської державної агротехнічної 
академії. — 2001. — Вип. 4. — Т. 13. — С. 21–28.
18. Скідан І.А. Параметричні рівняння гіперболічної конгруенції прямих та їх поверхонь [Текст] / І.А. Скідан, 
Я.А. Кокарєва // Прикладна геометрія та інженерна 
графіка. Праці Таврійського державного агротехнічного університету. — 2010. — Вип. 4. — Т. 46. — С. 27–32.
19. Хейфец А.Л. 3D-модели линейчатых поверхностей с 
тремя прямолинейными направляющими [Текст] /  

А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». — 2008. — № 25. — 
С. 51–56.
20. Abramczyk J. Method for Parametric Shaping Architectural Free Forms Roofed with Transformed Shell Sheeting [Электронный ресурс] / J. Abramczyk // IOP Conf. 
Series: Materials Science and Engineering. — 2017. —  
V. 245. — DOI: 10.1088/1757-899X/245/5/052026. — 
URL: 
http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-89
9X/245/5/052026/pdf (дата обращения: 14.07.2018).
21. Ali A.T. Ruled surfaces generated by some special curves 
in Euclidean 3-Space [Текст] / A.T. Ali, H.S. Abdel Aziz,  
A.H. Sorour // Journal of the Egyptian Mathematical Society. — 2013. — V. 21. — I. 3. — Pp. 285–294. — DOI: 
10.1016/j.joems.2013.02.004.
22. Flöry S. Ruled Surfaces for rationalization and design in 
architecture [Текст] / S. Flöry, H. Pottmann // LIFE information. On Responsive Information and Variations in 
Architecture. Proceedings of the 30th Annual Conference of 
the Association for Computer Aided Design in Architecture 
(ACADIA) — 2010. — Pp. 103–109.
23. Hagen H. Surface interrogation algorithms [Текст] /  
H. Hagen, S. Hahmann, T. Schreiber, Y. Nakajima,  
B. Wordenweber, P. Hollemann-Grundstedt // IEEE Computer Graphics and Applications. — 1992. — V. 12. — I. 5. — 
Pp. 53–60.
24. Maleček K. A Method for Creating Ruled Surfaces and its 
Modifications [Электронный ресурс] / K. Maleček, D. 
Szarková // KoG. — 2001. — V. 6–2001/02. — Pp. 59–66. 
— URL: http://master.grad.hr/hdgg/kog_stranica/kog6gif/
kog6_malecekszarkova.pdf (дата обращения: 14.07.2018).
25. Odehnal B. Computing with discrete models of ruled surfaces 
and line congruences [Электронный ресурс] / B. Odehnal, 
H. Pottmann // Electron. J. Comput. Kinematics. — 2002. — 
V. 1-1. — URL: http://www-sop.inria.fr/coprin/EJCK/
Vol1-1/20_pottmann.pdf (дата обращения: 14.07.2018).
26.  Odehnal B. On rational Isotropie congruences of lines 
[Текст] / B. Odehnal // Journal of Geometry. — 2004. —  
V. 8. — Pp. 126–138.
27. Odehnal B. Subdivision algorithms for ruled surfaces [Текст] / 
B. Odehnal // Journal for Geometry and Grafics. — 2008. — 
V. 12. — I. 1. — Pp. 1–18.
28. Ravani B. Computer aided geometric design of line constructs [Текст] / B. Ravani, J. Wang // ASME J. Mech. 
Design Environment and Plannin. — 1991. — V. 113. —  
Pp. 363–371.
29. Wallner J. Computational line geometry [Текст] / J. Wallner, 
H. Pottmann. — Springer, 2010. — 564 p.
30. Wang J. Discrete Line Congruences for Shading and Lighting 
[Электронный ресурс] / J. Wang, C. Jiang, Ph. Bompas,  
J. Wallner, H. Pottmann // Eurographics Symposium on Geo- 
metry Processing. — 2013. — V. 32 (5). — URL: http://www.
geometrie.tugraz.at/wallner/lineconsgp.pdf 
(дата 
обра- 
щения: 14.07.2018).
31. Zamyatin A.V. Designing of architectural shells on the basis of linear hyperbolic congruence surfaces [Электронный 

 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018                                                                 GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12

ресурс] / A.V. Zamyatin, Y.A. Kokareva // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. — 2017. — 
V. 262. — DOI: 10.1088/1757-899X/262/1/012113. — 
URL: 
http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-89
9X/262/1/012113/pdf (дата обращения: 14.07.2018).

References

1. Ivanov V.N., Krivoshapko S.N., Romanova V.A. Osnovy` 
razrabotki i vizualizacii ob``ektov analiticheskix poverxnostej i perspektivy` ix ispol`zovaniya v arxitekture i stroitel`stve 
[The Principles for Development and Visualization of Analytical Surfaces’ Objects and Perspectives for Their Using 
at Architecture and Building Constructions]. Geometrija i 
grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 4, pp. 3–14. 
DOI: 
10.12737/article_5a17f590be3f51.37534061. 
(in 
Russian)
2. Ivanov G., Dmitrieva I.M. Princip dvojstvennosti – teoreticheskaya baza vzaimosvyazi sinteticheskix i analiticheskix 
sposobov resheniya geometricheskix zadach [The Duality 
Principle Is the Theoretical Basis of Interrelation of Synthetic and Analytical Methods of Solving Geometric Problems]. 
Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 3, 
pp. 3–10. DOI: 10.12737/21528. (in Russian)
3. Kokareva Ya.A. Analiticheskaya model` poverxnostej na osnove koordinacii prostranstva vintovy`mi i e`llipticheskimi 
liniyami [Analytical Model of Surfaces based on the Space’s 
Coordination by Helix and Ellipses]. Prikladnaya matematika i voprosy` upravleniya [Applied mathematics and control 
sciences]. 2017, I. 1, pp. 27–36. (in Russian)
4. Kokareva Ya.A. Parametricheskie uravneniya kongrue`ncii 
pryamy`x, zadannoj fokal`ny`mi okruzhnostyami [Parametric equations for the congruence of lines defined by the focal 
circles]. Nauchnoe obozrenie [Scientific Review]. 2014, I. 11, 
pp. 689–692. (in Russian)
5. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Enciklopedija analiticheskih 
poverhnostej [Encyclopedia of analytical surfaces]. Moscow, 
Librokom Publ., 2010. 560 p. (in Russian)
6. Mihajlenko V.E., Obuhova V.S., Podgornyj A.L. Formoobrazovanie obolochek v arhitekture [Forming of cover in architecture]. Kiev, Budіvel'nik Publ., 1972. 208 p. (in Russian)
7. Nesvidomin V.N. Komp’yuternі modelі sintetichnoi geometrіi. 
Dokt. Diss. [Computer models of synthetic geometry. Doct. 
Diss.]. Kyiv, Kyiv National University of Building and Architecture Publ., 2008. 435 p. (in Ukrainian)
8. Nesvіdomіn V.M. Konstruyuvannya lіnіjchatix poverxon` 
metodom z’єdnannya proektivnix tochkovix ryadіv [Designing of line surfaces by the method of connecting projective 
point series]. Geometrichne ta komp’yuterne modelyuvannya 
[Geometric and computer simulation]. Kharkiv, HDUHT 
Publ., 2004, V. 8, pp. 43–47. (in Ukrainian)
9. Nesnov D.V. Kongrue`nciya vintovy`x linij v normal`ny`x 
konicheskix koordinatax [Congruence helix in a normal 
conical coordinates]. Nauchny`j al`manax [Science Almanac]. 2016, V. 11-2 (25), pp. 186–188. DOI: 10.17117/
na.2016.11.02.186. (in Russian)

10. Obuhova V.S. Dvuosevoe proektirovanie krivy`h linij 
[Two-axis design of line curves]. Prikladnaya geometriya i 
inzhenernaya grafika [Applied Geometry and Engineering 
Graphics]. Kiev, Budіvel`nik Publ., 1965. V. I, pp. 39–47. (in 
Russian)
11.  Obuhova V.S., Podgorny`j A.L., Sroka K. Modelirovanie 
linejchaty`h poverxnostej 4-go poryadka proekcionny`m 
sposobom [Modeling of 4th order ruler surfaces in a projection way]. Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, 
KDTUBA Publ., 1996, V. 60, pp. 23–27. (in Russian)
12. Podgorny`j A.L. Dual`ny`e kongrue`ncii i voprosy` ix konstruktivnogo zadaniya i otobrazheniya [Dual congruences and questions of their constructive task and mapping]. 
Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budіvel`nik Publ., 
1968, V. VII, pp. 3–10. (in Russian)
13. Podgorny`j A.L. Konstruirovanie poverxnostej obolochek 
po zadanny`m usloviyam na osnove vy`deleniya ix iz kongrue`ncij pryamy`h [The construction of shell surfaces with 
given conditions on the basis of their separation from congruences of straight lines]. Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika [Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, Budіvel`nik Publ., 1969, V. VIII, pp. 17–28. (in 
Russian)
14. Podgorny`j A.L. Proekcionny`j sposob zadaniya kongrue`ncij 
mnogoznachny`m sootvetstviem ploskix polej i konstruirovanie iz nix poverxnostej [A projection method for specifying congruences by multivalued correspondence of plane 
fields and constructing surfaces from them]. Prikladnaya 
geometriya i inzhenernaya grafika [Applied Geometry and 
Engineering Graphics]. Kiev, Budіvel`nik Publ., 1971, V. 13, 
pp. 98–100. (in Russian)
15. Simenko O.V. Proekczіyuvannya promenyami kongruenczії 
cilіndrichnix gvintovix lіnіj stalogo kroku [Projection of the 
congruence rays of the cylindrical spiral lines of a steady 
step]. Pracі Tavrіjs'kogo derzhavnogo agrotehnologіchnogo unіversitetu [Proc. Of Tavria State Agrotechnological University]. 2004, V. 4, I. 23, pp. 86–91. (in Ukrainian)
16. Skidan I.A., Zhurba N.V. Special`naya parametrizaciya kongrue`ncii pryamy`h [Special parametrization of the congruence of lines]. Prikladnaya geometriya i inzhenernaya grafika 
[Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev, KISI 
Publ., 1993, V. 55, pp. 35–40. (in Russian)
17. Skіdan І.A. Zagal`na analіtichna teorіya prikladnogo formoutvorennya na osnovі global`noi parametrizaczіi [General analytical theory of applied formulation based on global 
parametrization]. Prykladna geometriya ta inzhenerna grafika. Pracі Tavrіjs`koi derzhavnoi agrotexnіchnoi akademіi [Applied Geometry and Engineering Graphics. Proc. of Tavria 
State Agrotechnological Academy]. 2001, V. 4, I. 13, pp. 
21–28. (in Ukrainian)
18. Skіdan І.A., Kokareva Ya.A. Parametrichnі rіvnyannya 
gіperbolіchnoi kongruenczіi pryamyh ta ix poverxon` [Parametric equations of hyperbolic congruences of straight 
lines and their surfaces]. Prykladna geometriya ta inzhenerna 

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 3. 3–12  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2018