Геометрия и графика, 2018, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2017

Подписано в печать 25.03.2018.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Иванов Г.С. 
Конструирование одномерных обводов, 
принадлежащих поверхностям, путем их 
отображения на плоскость  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Графский О.А., Пономарчук Ю.В., 
Холодилов А.А. 
Геометрия электростатических полей . . . . . . . . . . . . . . . .10
Сальков Н.А.
Формирование поверхностей при кинетическом 
отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Решетников М. К., Рязанов С.А.
Оценка параметров червячных передач 
на основе методов 3D компьютерной графики. . . . . . .34

Левкин Ю.С.
Шестимерная эпюрная номограмма в 
четырёхоктантовом измерении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Булычев Р.Н., Аюшеев Т.В.
Описание процесса деформирования листового 
материала с использованием параметрического 
твердотельного моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Ерцкина Е.Б., Королькова Н.Н.
О формировании графической культуры будущих  
инженеров в области гидротехнического 
строительства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Савельев Ю.А., Бабич Е.В. 
Компьютерная методика изучения начертательной 
геометрии. Техническое задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

2018. Том 6. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им.  
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2018. Vol. 6. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
Московский технологический университет (Россия).
 
Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
Московский технологический университет, зам. гл. редактора 
(Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
Московский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
Московский технологический университет. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.628                                                                          
DOI: 10.12737/article_5ad07ed61bc114.52669586

Г.С. Иванов 
Д-р техн. наук, профессор,
Московский государственный технический
университет им. Н.Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

Конструирование одномерных 
обводов, принадлежащих
поверхностям, путем их 
отображения на плоскость 

Аннотация. Как известно, дифференциальная геометрия 
изучает свойства кривых линий (касательная, кривизна, кручение), поверхностей (изгибание, первая и вторая основные 
квадратичные формы) и их семейств в малом, т.е. в окрестности точки средствами дифференциального исчисления. 
Алгебраическая геометрия изучает свойства алгебраических 
кривых, поверхностей, а также алгебраических многообразий 
в целом [1; 17]: порядок, класс, жанр, наличие особых точек 
и линий, пересечения семейства кривых линий и поверхностей 
(пучки, связки, конгруэнции, комплексы и их характеристики). Особое место среди них занимают рациональные кривые 
и поверхности:
• их конструирование посредством бирациональных (кремоновых) преобразований [10; 21];
• исследование их свойств путем отображения на прямые и 
плоскости [9; 21; 22];
• конструирование гладких обводов из дуг рациональных 
кривых, принадлежащих поверхностям [10].
Представляется, что основные результаты, полученные в 
этом направлении математиками во второй половине XIX в. 
конструктивно-геометрическими методами, должны составлять 
теоретическое обеспечение способов проектирования технических форм, удовлетворяющих ряду наперед заданных требований с использованием современной вычислительной 
техники и информационных технологий.
Очевидно, что применение мощного аппарата кремоновых 
преобразований целесообразно при конструировании, например, трубопроводов сложной геометрии по заданным линиям 
тока, тонкостенных оболочек по заданному сетчатому каркасу линий кривизны и т.д. По-видимому, этот этап должен 
предшествовать вычислительным процедурам компьютерной 
графики.
Однако в отечественных публикациях по прикладной 
(инженерной) геометрии вопросам исследования поверхностей 
в целом уделяется мало внимания. Использование такого 
подхода для решения указанных прикладных задач автору 
вообще неизвестно.
В связи с этим целью предлагаемой статьи является:
• иллюстрация способа отображения поверхности на плоскость для изучения ее свойств в целом на примере построения плоской модели однополостного гиперболоида;

• конструктивный подход к построению гладких одномерных 
обводов на рациональных поверхностях.
Ключевые слова: нормкривая, однополостный гиперболоид, отображение, стереографическое, криволинейное и косое 
проецирования, преобразование Гирста, одномерный обвод.

G.S. Ivanov 
Doctor of Engineering, Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5, Bld. 2, 2d Baumanskaya St., Moscow, 105005, Russia

Construction of Belonging to Surfaces 
One-Dimensional Contours by Mapping Them 
to a Plane
Abstract. As is known, differential geometry studies the properties of curve lines (tangent, curvature, torsion), surfaces (bending, 
first and second basic quadratic forms) and their families in small, 
that is, in the neighborhood of the point by means of differential 
calculus. Algebraic geometry studies properties of algebraic curves, 
surfaces, and algebraic varieties in general [1; 17]: order, class, 
genre, existence of singular points and lines, curves and surfaces 
family intersections (sheaves, bundles, congruences, complexes and 
their characteristics). Rational curves and surfaces occupy a special 
place among them:
• their design by bi-rational (Cremona) transformations [10; 21];
• investigation of their properties by mapping to lines and planes 
[9; 21; 22];
• construction of smooth contours from arcs of rational curves 
belonging to surfaces [10].
It seems that the main results obtained in this direction by 
mathematicians in the second half of the 19th century by structural and geometric methods should be the theoretical support for the 
design of technical forms that meet a number of pre-set requirements 
using modern computational tools and information technologies.
It is obvious that application of Cremona transformations’ 
powerful apparatus is useful when designing, for example, pipes of 
complex geometry according to set of streamlines, thin-walled shells 
for a given mesh manifold of curvature lines etc. Apparently, this 
stage should precede computer graphics’ calculation procedures.
However, in Russian publications on applied (engineering) 
geometry, only a little attention is paid to the study of surfaces in 
general. The author knows nothing about the use of this approach 
for solving of these applied problems.
In this regard, the aims of this paper are:
• illustration of method for mapping a surface to a plane to study 
its properties in general by the example of construction a flat 
model for a hyperboloid of one sheet;
• constructive approach to the construction of smooth one-dimensional contours on rational surfaces.
Keywords: norm curve, hyperboloid of one sheet, mapping, 
stereographic, curved and oblique projection, Hirst transformation, 
one-dimensional contour.

В первой половине XIX в. появились новые виды 
геометрии: проективная и алгебраическая, неевклидовы геометрии Лобачевского — Бойяи и Римана.  
В итоге сформировалась современная теоретико- 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9

Рис. 1

1. Задание аппарата моделирования. Для обеспечения однозначности соответствия между точками 
поверхности и точками плоскости проекций необходимо, чтобы каждая проецирующая линия (в нашем 
случае — прямая l) пересекала моделирующую поверхность (в рассматриваемом примере — однополостный гиперболоид Ф2) в единственной точке A 
(рис. 2).

 
Рис. 2

Это условие выполняется, если центр проецирования S принадлежит Ф2, т.е. имеем стереографическое проецирование из S ∈ Ф2. В результате получаем квадратичное соответствие Т2 между точками (A′) 
плоскости Ф′ и точками (А) квадрики Ф2, так как 
произвольная прямая a′ плоскости Ф′ отображается 
на Ф2 в конику a2 — сечение квадрики Ф2 проецирующей плоскостью Г (S, a′). Очевидно, что коника  
d = d′, по которой квадрика Ф2 пересекается плоскостью Ф′, является двойной линией отображения Т2.
2. Исследование F- и P-систем
Бирациональные соответствия, будучи однозначными, содержат исключенные точки (F — точки), 

групповая теория построения геометрии, известная 
как «Эрлангенская программа» Ф. Клейна [17; 18]. 
Она утверждает, что геометрия является разделом 
математики, изучающем свойства фигур, инвариантных относительно групп преобразований: топологической, бирациональной, проективной, аффинной 
и преобразований движения.
Конструктивные способы изучения указанных 
свойств фигур рассматриваются в курсах начертательной геометрии, базирующихся на использовании 
тех или иных видов проецирования [9]. Указанные 
выше новые геометрии создали основу для появления 
нелинейной начертательной геометрии [9], базирующейся на обобщенном стереографическом, косом, 
криволинейном и других видах проецирования. Если 
раньше под стереографическим проецированием 
понимали только центральное проецирование сферы 
из ее полюса на касательную в диаметрально противоположной точке плоскость, то теперь понимается 
проецирование моноидальной поверхности из ее 
вершины на произвольную плоскость проекций.
Изначально использование новых видов проецирования было вызвано необходимостью конструктивного доказательства рациональности алгебраических кривых и поверхностей путем их отображения 
соответственно на прямую и плоскость. Например 
(рис. 1), кривая четвертого порядка k4 с тремя двойными точками L, M, N однозначно отображается на 
прямую k′ посредством проецирования пучком кривых второго порядка (li), заданным базисными точками L, M, N и K, где K — одна из четырех точек 
пересечения прямой k с данной кривой k4. Действительно, 
через произвольную точку Ai ∈ k4 проходит единственная проецирующая коника li, определяемая 
пятью точками K, L, M, N, Ai и пересекающая прямую 
k′ в одной свободной точке 
′
Ai  — проекции точки 
Ai. Проецирующая коника li пересекает кривую k4 в 
единственной свободной точке Ai — прообразе точки 
′
Ai , так как из восьми точек пересечения кривых 
li и k4, по два пересечения приходятся на двойные 
точки L, M, N ∈ k4 и одно пересечение на точку K. 
Таким образом, между точками прямой 
′
′
(
)
k
Ai  и 
кривой k4(Ai) устанавливается однозначное соответствие A
A
i
i
∼
′ , доказывающее рациональность кри- 
вой k4.
В дальнейшем новые виды проецирования были 
использованы для изучения свойств поверхностей в 
целом путем их отображения на плоскость [21; 22]. 
Методику такого исследования рассмотрим на примере изучения свойств в целом однополостного гиперболоида путем его отображения на плоскость. 
Отметим основные этапы моделирования и изучения 
свойств поверхности, выраженные через свойства 
модели.

называемые фундаментальными или сингулярными, 
которым соответствуют линии, называемые принципиальными (P — кривые) [10; 21; 22].
Очевидно, такой точкой на квадрике Ф2 является 
центр проецирования S. Действительно, через любую 
точку A квадрики Ф2, отличной от S, проходит единственная проецирующая прямая SA. По этому такой 
точке A соответствует на плоскости Ф′единственная 
точка A′ = SA ∩ Ф′. При приближении точки A к 
центру проецирования S проецирующая прямая SA 
в пределе станет касательной t к Ф2 в точке S. Так 
как точка A может приближаться к точке S по разным 
направлениям, то множество проецирующих прямых 
SAi при Ai → S будет принадлежать касательной плоскости τ, проведенной к Ф2 в точке S. Таким образом, 
проекции 
′
Ai  таких точек будут принадлежать прямой 
s′ = ∩ Ф′, т.е. точка S ′ на Ф2 будет фундаментальной, 
а ей на Ф′ будет соответствовать принципиальная 
прямая s′.
Прямая s′ пересекает двойную (инвариантную) 
конику d = d′ в двух точках 
′
′
F F
1
2
,
, — следах на Ф′образующих f1, f2 гиперболоида Ф2, инцидентных 
точке S. Так как эти образующие являются проецирующими для всех своих точек, то они будут P — 
прямыми на Ф2, соответственным F — точкам 
′
′
F
F
1
2
и
 
и плоскости Ф′. Других нарушений однозначности 
соответствие Т2 не имеет.
Таким образом, рассматриваемое соответствие 

T
A
A
i
i
2
∼
′
(
)   между полями Ф2 и Ф′ содержит следующие F- и P-системы (рис. 3).

 

Рис. 3

3. Исследование свойств семейств линий квадрики Ф2

Этот этап состоит в исследовании свойств образов 
на Ф2 семейств линий (прямых, коник, кубик и т.д.) 
плоскости Ф′. В силу однозначности отображения 
T2
2
′ ↔
(
)
Φ
Φ
 рассматриваемые семейства линий плоскости отображаются в семейства соответственных 
линий поверхности Ф2 с сохранением инцидентности, 
кратности пересечений, касания и т.д.
а) Начнем исследование с изучения образов множеств прямых плоскости Ф′ (рис. 3). Произвольная 
прямая a′ ⊂ Ф′ отображается на Ф2 в конику a2, ин
цидентную точке S, так как ее прообраз a′ пересекает принципиальную прямую s′ в точке 
′
As , а s′ соответствует F-точке S ∈ Ф2. Поэтому поле (∞2) прямых 
плоскости Ф′ отображается в связку (∞2) коник а2 
квадрики Ф2, инцидентных точке S. Несобственной 
прямой u′ плоскости Ф′ на Ф2 соответствует предельная коника u2 — сечение квадрики Ф2 плоскостью γ, 
параллельной плоскости Ф′. Две прямые a′, b′ поля 
Ф′ пересекаются в одной точке, поэтому их образы 
a2, b2, кроме точки S, пересекаются еще в одной 
точке K, образе точки K′ = a′ ∩ b′. Отсюда следует 
известное свойство: две коники a2, b2 ∈ Ф2 всегда 
пересекаются в двух точках.
Пучок (∞1) прямых K′ = (a′, b′, …) плоскости Ф′ 
отображается на Ф2 также в пучок (∞1) коник a2, b2, 
…, инцидентных двум точкам S, K, т.е. сечениям 
квадрики Ф2 пучком плоскостей (ai) с осью SK.
В плоскости Ф′ существуют два частных вида 
пучков прямых с центрами в F-точках 
′
′
F
F
1
2
и
. Прямые 

′
(
)
′
(
)
m
m
1
2
,
 этих пучков отображаются на Ф2 в кривые 
второго порядка, распавшиеся соответственно на 
принципиальные прямые и и собственно их образы 
(m1), (m2) (они на рис. 3 не показаны). Прямые множеств (m1) и (m2) на Ф2 между собой не пересекаются, так как точкам  
′
′
F
F
1
2
и
 соответствуют P-прямые 
f1 и f2. Таким образом, множества прямых (m1) и (m2) 
составляют две серии образующих квадрики Ф2. Так 
как каждая прямая 
′
m1  пучка 
′
( )
F1  пересекает все 
прямые 
′
m2  пучка 
′
(
)
F2  и, обратно, каждая прямая 

′
m2  пучка 
′
(
)
F2  пересекает все прямые 
′
m1  пучка 
′
( )
F1 , 
то имеем известные свойства линейчатых квадрик:
• они содержат два семейства прямолинейных образующих;
• образующие одного семейства не пересекаются 
между собой;
• каждая образующая одного семейства пересекает 
все образующие второго семейства.
б) Далее рассмотрим пути изучения свойств семейств пространственных кривых квадрики Ф2, как 
образов множеств коник плоскости Ф′. Как известно, множество коник плоскости пятипараметрично. 
Их можно задать различными сочетаниями точек, 
прямых (касательных), кругов кривизны и т.д. Из 
этого множества наложенных определенных условий 
инцидентности можно выделить четырех (∞4)-, трех 
(∞3)-, двух (∞2)- и однопараметрические (пучки) 
множества. В свою очередь, эти множества можно 
задать различными комбинациями геометрических 
условий.
Исходя из сформулированной выше цели публикации, остановимся лишь на конструировании семейств простых линий (нормкривых) и гладких 
обводов из их дуг, принадлежащих линейчатой квад- 
рике.

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018                                                              

Произвольной конике a′ плоскости Ф′ на квадрике Ф2  соответствует рациональная пространственная 
кривая четвертого порядка (квартика) a4 с двойной 
точкой S (рис. 4). Точка S на a4:
• будет узловой, если ее прообраз a′ пересекает 
принципиальную прямую s′ в двух действительных 
точках 1′, 2′;
• изолированной, если эти точки будут мнимо-сопряженными. Точка S на b4 будет точкой возврата, так как ее прообраз b′ касается прямой s′ (пересекает в двух совпавших точках 3′ = 4′).
 

Рис. 4

Так как две коники a′, b′ плоскости Ф′ пересекаются в четырех точках A′, B′, C′, D′, то их образы a4, 
b4 на Ф2 также пересекаются в четырех точках A, B, 
C, D — образах точек A′, B′, C′, D′. Кроме этих четырех простых пересечений, они имеют общую двухкратную точку S ↔ s′. Поэтому точка S для квартик 
a4, b4 является дополнительной четырехкратной точкой пересечения.
Каждая квартика a4, b4, … пересекает каждую образующую обеих серий однополостного гиперболоида в двух точках (действительных различных, совпавших и мнимых), так как их прообразы a′, b′, … 
пересекают прямые 
′
(
)
′
(
)
m
m
1
2
,
 пучков 
′
′
(
)
′
′
(
)
F m
F m
1
1
2
2
,
 
в двух точках (действительных различных, совпавших 
и мнимых). Другими словами, образующие обеих 
серий являются бисекантами пятипараметрического 
множества квартик a4, b4, … линейчатой квадрики Ф2 
(в нашем случае — однополостного гиперболоида).
Далее рассмотрим свойство образов множеств 
коник 
′
′
(
)
a b
,
,…  плоскости Ф′, инцидентных ее фундаментальным точкам 
′
′
F F
1
2
,
. Начнем с изучения 
свойств образов четырехпараметрического множества 
коник плоскости Ф′, инцидентных F-точке 
′
F1  или 

′
F2  (рис. 5). Пусть коники 
′
a1  проходят через 
′
F1 . 
Тогда они пересекают каждую прямую 
′
m1  пучка 
′
( )
F1  
в одной точке A′, а каждую прямую 
′
m2  пучка 
′
(
)
F2  в 
двух точках 
′
′
B B
1
2
,
.  Следовательно, квартика a4 рас
падается на p-прямую f
F
1
1
↔
′  и нормкривую a1
3  — 
собственно образ коники ′
a1 . Нормкривая a1
3  пересекает каждую образующую m1 первой серии в одной 
точке A
A
↔
′ , а каждую образующую m2 второй 
серии в двух точках B1, B2 — образах точек 
′
B1 , 

′ =
′ ∩ ′
B
m
a
2
2
1.  Таким образом, четырехпараметрическое 
множество коник 
′
{ }
a1 , инцидентных F-точке 
′
F1  
плоскости Ф′, отображается на Ф2 в четырехпараметрическое множество нормкривых a1
3
{ } , для которых 
образующие (m1) первой серии являются унисекантами, а образующие (m1) второй серии — бисекантами.

Рис. 5

Аналогично, четырехпараметрическое множество 
коник 
′
{ }
a2 , инцидентных F-точке 
′
F2  плоскости Ф′, 
отображается на Ф2 в четырехпараметрическое множество нормкривых a2
3
{ } , для которых образующие 
(m2) второй серии являются унисекантами, а образующие (m1) первой серии — бисекантами.
Таким образом, на линейчатой квадрике Ф2 существуют два семейства нормкривых a1
3
{ } , a2
3
{ } , для 
которых образующие одной серии являются унисекантами, а образующие другой серии — бисекантами.
Коники 
′
{ }
a1 , инцидентные F-точке 
′
F1 , пересекаются еще в трех точках. Поэтому их образы, нормкривые первого семейства a1
3
{ } , пересекаются в 
четырех точках:
• образах на Ф2 указанных трех точек;
• F-точке s, соответственной p-прямой ′
′ ′
(
)
s
F F
1
2 , 
так как каждая из коник множества 
′
{ }
a1  пересекает p-прямую s′ во второй точке 
′
As .
Аналогично, нормкривые второго семейства a2
3
{ }  
пересекаются между собой в четырех точках.
И, наконец, отметим, что нормкривые разных 
семейств a1
3
{ } , a2
3
{ }  попарно пересекаются в пяти 
точках:
• в F-точке S
s
↔ ′ , так как коники ′ ∋
′
a
F
1
1  и  ′ ∋
′
a
F
2
2

пересекают p-прямую s′ дополнительно в точке 

′
As ;
• в четырех точках 1, 2, 3, 4 — образах точек 1′, 2′, 
3′, 4′ попарного пересечения коник ′
′
a a
1
2
,
.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9

Таким образом, указанные два семейства нормкривых линейчатой квадрики попарно пересекаются в 
четырех точках, если принадлежат одному семейству, 
и в пяти точках, если принадлежат разным семействам.
Очевидно, что трехпараметрическому множеству 
коник 
′
{ }
a
 плоскости Ф′, инцидентных F-точкам 

′
′
F
F
1
2
и
, на Ф2 соответствует ∞3 коник a2
{ } , ибо в 
этом случае квартика a4 распадается на две p-прямые 
f
F
1
1
↔
′ , F
F
2
2
↔
′ и собственно образ a2. Эти ∞3 коник 

a2
{ }  являются сечениями квадрики Ф2 множеством 
плоскостей пространства. Среди них есть коника v∞ — 
сечение Ф2 несобственной плоскостью пространства. 
Ей на Ф′ соответствует предельная коника v′ — сечение конической поверхности w2(S, v∞) плоскостью 
Ф′. Коника v′ инцидентна точкам 
′
′
F F
1
2
,
, так как 
квадрики Ф2 и w2 пересекаются по конике v∞ и F-прямым 
f1, f2.
Рассмотренную выше схему исследования свойств 
линейчатой квадрики в целом можно продолжить 
бесконечно изучением образов множеств кривых 
высших порядков плоскости-прообраза и их всевозможных инциденций F-точкам 
′
′
F F
1
2
,
 [22]. Эта задача в творческом плане достаточно тривиальна, хотя 
и трудоемка. Поэтому есть смысл алгоритмизировать 
схему исследования для использования современной 
вычислительной техники как для получения его результатов, так и для их визуализации.
Решение современных прикладных геометрических 
задач возможно в условиях трансформации начертательной геометрии в инженерную [12; 13]. Широкое 
внедрение информационных образовательных технологий [3; 6; 7] должно обеспечить повышение 
общегеометрической подготовки студентов технических университетов [12]. В частности, представляется целесообразным использование предлагаемого 
подхода для составления гладких одномерных обводов или семейств таких обводов, принадлежащих 
конструируемым техническим поверхностям. Он 
сочетает достоинства методов классической алгебраической геометрии и современных вычислительных 
методов математического моделирования технических 
форм. Отличительной особенностью такого подхода 
является использование в качестве составляющих 
дуг рациональных кривых минимально возможного 
порядка.
4. Конструирование гладких одномерных обводов 
на линейчатой квадрике
Сформулированную выше теоретическую предпосылку метода конструирования гладких одномерных обводов, принадлежащих поверхности, обсудим 
на примере построения сопряжения двух образующих 
одной серии однополостного гиперболоида. Сначала 
рассмотрим возможность использования в качестве 
сопрягающей линии дуги нормкривой при заданных 

точках сопряжения. Эта прикладная задача, являющаяся базовой в конструировании осей трубопроводов, решалась многими авторами [11; 14–16]. При 
этом дуга сопрягающей нормкривой (кубической 
окружности) строилась без задания точек сопряжения 
как линия пересечения двух конических поверхностей 
второго порядка, имеющих одну общую образующую.
Рассмотрим возможность решения этой задачи с 
заданными точками сопряжения A ∈ a, B ∈ b с использованием стереографической модели Ф′ линейчатой квадрики Ф2. Так как проективная модель 
получается центральным проецированием Ф2 на Ф′, 
то дуга сопрягающей нормкривой k3 может содержать 
несобственную (ые) точку (и). Поэтому обратим 
особое внимание на условие конструирования дуги 
нормкривой k3, не содержащей бесконечно удаленную 
точку.
Как было показано выше (см. п. 3, рис. 4), семейства образующих (m1), (m2) квадрики Ф2 отображаются на плоскость Ф′ в пучки прямых 
′
( )
F1 , 
′
(
)
F2 . 
Поэтому две скрещивающиеся образующие a и b 
первой серии с заданными точками сопряжения  
A ∈ a, B ∈ b на модели Ф′ изображаются прямыми  
a′ ∋ A′, b′ ∋ B′, инцидентными F-точке 
′
F1  (рис. 6). 
Построение дуги 
 сопрягающей нормкривой k3 
на модели сводится к построению коники k′, инцидентной трем точкам 
′
F2 , A′, B′ и касающейся в точках A′, B′ прообразов a′, b′ данных на Ф2 ее образующих a, b. Напомним, что условие инцидентности 
коники k′ F-точке 
′
F2  обусловлено требованием, что 
ее образ k3 ∈ Ф2 должен быть пространственной кривой третьего порядка (нормкривой).

 

            а)                                                б)

Рис. 6

Указанными пятью условиями коника k′ определяется однозначно. Поэтому ее дуга 
 может 
содержать точку 
′
∞
V  пересечения с предельной коникой v′ (рис. 6, а) или не содержать (рис. 6, б).  
В первом случае дуга сопрягающей нормкривой k3 
будет содержать несобственную точку V∞, что не 
допустимо при конструировании оси реального трубопровода. Во втором случае решение удовлетворяет поставленным условиям.

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018                                                              

Отметим, что по виду несобственных точек (совпавших в различных комбинациях, мнимых) нормкривые имеют различные аффинные и метрические 
свойства [5; 11]. Эти свойства следует учитывать 
особенно при конструировании осей трубопроводов 
специального назначения, например, динамических. 
Предлагаемый подход позволяет управлять свойствами конструируемых одномерных обводов, принадлежащих заданным поверхностям или двумерным 
обводам, путем выбора

• характеристик и способов задания прообраза k′ 
дуги сопрягающей (составляющей) k конструируемого обвода;
• количества и вида точек пересечения прообраза 
k′ с предельной кривой v′;
• особенностей и характеристик прообраза как отдельной дуги какой-либо плоской кривой, так и 
плоского одномерного обвода, представленного 
в той или иной форме, принятой в компьютерной 
графике [2; 5; 20].

Литература

1. Александров А.Д. Геометрия в целом [Текст] / А.Д. Александров, В.А. Залгаллер // Математическая энциклопедия. — Т. 1. — М., 1977. — С. 943–944.
2. Божко А.Н. Компьютерная графика [Текст] / А.Н. Божко, 
Д.М. Жук, В. Б. Маничев. — М.: Из-во МГТУ им.  
Н.Э. Баумана, 2007. — 396 с.
3. Боровиков И.Ф. Новые подходы преподавания начертательной геометрии в условиях использования информационных образовательных технологий [Текст] /  
И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, В.И. Серегин, Н.Г. Суркова // Инженерный вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 
2014. — № 12.
4. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
5. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / 
Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической 
литературы, 2002. — 472 с.
6. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка как 
интегрирующий фактор образовательного процесса 
[Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Образование 
и общество. — 2014. — № 2. — С. 26–28.
7. Гузненков В.Н. Принципы формирования структуры и 
содержания геометро-графической подготовки [Текст] / 
В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Стандарты и мониторинг в образовании. — 2013. — № 6. — С. 34–39.
8. Ефимов Н.В. Неевклидовы геометрии [Текст] / Н.В. Ефимов // Математическая энциклопедия. — Т. 3. — М., 
1982. — С. 910–914.
9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 
1988. — 158 с.
10. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: 
Машиностроение, 1987. — 192 с.
11. Иванов Г.С. Нормкривая трехмерного пространства 
как частный случай пересечения двух квадрик [Текст] /  
Г.С. Иванов // Труды XXII международной научно-технической конференции «Информационные средства 
и технологии». — Т. 2. — М.: Изд-во МЭИ, 2014. —  
С. 51–56.

12. Иванов Г.С. Как обеспечить общегеометрическую подготовку студентов технических университетов [Текст] / 
Г.С. Иванов, В.О. Москаленко, К.А. Муравьев // Наука и образование, МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2012. —  
№ 8. — URL:http://technomag.edu.ru/doc/445140.
html/
13. Иванов Г.С. Инженерная геометрия — теоретическая 
база построения геометрических моделей [Текст] /  
Г.С. Иванов, В.И. Серегин // Сб. статей международной 
научно-практической конференции «Инновационное 
развитие современной науки». — Уфа: Изд-во БашГУ, 
2014. — Ч. 3. — С. 339–346.
14. Конокбаев К.К. Конструирование обводов из дуг уникурсальных циркулярных кривых посредством кремоновых инволюций [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. 
наук / К.К. Конокбаев. — М.: Изд-во МАИ, 1972. —  
С. 21.
15. Миролюбова Т.И. Геометрические модели фасонных 
элементов однорукавных каналовых поверхностей 
[Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Т.И. Миролюбова. — М.: Изд-во МАИ, 2004, — С. 23.
16.  Мульдеков И.О. Решение конструктивных задач описания кривых и поверхностей на основе методов оптимизации [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / 
И.О. Мульдеков. — М.: Изд-во МГУПП, 1996. — С. 30.
17. Позняк Э.Г. Геометрия [Текст] / Э.Г. Позняк // Математическая энциклопедия. — Т. 1. — М., 1977. — С. 940–
943.
18. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии [Текст] /  
Б.А. Розенфельд, И.М. Яглом // Энциклопедия элементарной математики. — Т. 5. — М., 1966. — С. 394–
476.
19. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. —  
Т. 1. — № 3–4. — С. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
20.  Фокс А. Вычислительная геометрия [Текст] / А. Фокс, 
М. Пратт. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
21. Hudson H.P. Cremona transformation in plane and space. 
Cambridge, 1927. 454 p.
22. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry, 
Oxford, 1985. 480 p.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9

References

1. Aleksandrov A.D., Zalgaller V.A. Geometrija v celom [Geometry as a whole]. Matematicheskaja jenciklopedija [Mathematical encyclopedia]. Moscow, V. 1, 1977, pp. 943–944. 
(in Russian)
2. Bozhko A.N., Zhuk D.M., Manichev V.B. Komp'juternaja 
grafika [Computer graphics]. Moscow, Bauman Moscow 
State Technical University Publ., 2007. (in Russian)
3. Borovikov I.F., Ivanov G.S., Seregin V.I., Surkova N.G. 
Novye podhody prepodavanija nachertatel'noj geometrii v 
uslovijah ispol'zovanija informacionnyh obrazovatel'nyh tehnologij [New approaches of teaching descriptive geometry 
in the terms of use of educational information technology]. 
Inzhenernyy vestnik MGTU im. N.E. Baumana [Engineering 
Bulletin, Publishing house of Bauman Moscow State Technical University]. 2014, I. 12. (in Russian)
4. Glagolev N.A. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Vysshaja shk. Publ., 1963. 343 p. (in Russian)
5. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric 
modeling]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 2002. (in Russian)
6. Guznenkov V.N., Jakunin V.I. Geometro-graficheskaja podgotovka kak integrirujushhij faktor obrazovatel'nogo processa 
[Geometro — graphic training as an integrating factor in the 
educational process.] Obrazovanie i obshhestvo [Education 
and society]. Moscow, 2014, I. 2, pp. 26–28. (in Russian)
7. Guznenkov V.N., Jakunin V.I. Principy formirovanija 
struktury i soderzhanija geometro-graficheskoj podgotovki 
[Principles of formation of the structure and content of geometric-graphic preparation]. Standarty i monitoring v obrazovanii [Standards and monitoring in education]. 2013, I. 6,  
pp. 34–39. (in Russian)
8. Efimov N.V. Neevklidovy geometrii [non-Euclidean geometry]. Matematicheskaja jenciklopedija [Mathematical encyclopedia]. Moscow, V. 3, 1982, pp. 910–914. (in Russian)
9. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noj geometrii 
[Theoretical foundations of descriptive geometry]. Moscow, 
Mashinostroenie Publ., 1988. (in Russian)
10. Ivanov G.S. Konstruirovanie tehnicheskih poverhnostej 
(matematicheskoe modelirovanie na osnove nelinejnyh preobrazovanij) [Designing of technical surfaces (mathematical 
modelling on the basis of nonlinear transformations)]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987. 192 p. (in Russian)
11. Ivanov G.S. Normkrivaja trehmernogo prostranstva kak 
chastnyj sluchaj peresechenija dvuh kvadrik [Normalcy curve 
of three-dimensional space as a special case of intersection of 
two quadrics]. Trudy XXII mezhdunarodnoj nauchno-tehnicheskoj konferencii «Informacionnye sredstva i tehnologii» [Proceedings of the XXII international scientific and technical 
conference «Information means and technologies»]. Moscow, V. 2, MJeI Publ., 2014, pp. 51–56. (in Russian)

12. Ivanov G.S., Moskalenko V.O., Murav'ev K.A. Kak obespechit' obshhegeometricheskuju podgotovku studentov 
tehnicheskih universitetov [How to ensure to obseruations 
training of students in the technical universities]. Nauka i 
obrazovanie, MGTU im. N.E. Baumana [Science and education]. 2012, I. 8. Available at: http:// technomag.edu.ru/
doc/445140.html (in Russian)
13. Ivanov G.S., Seregin V.I. Inzhenernaja geometrija — teoreticheskaja baza postroenija geometricheskih modelej [Engineering geometry — the theoretical basis for the construction 
of geometric models]. Sb. statej mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Innovacionnoe razvitie sovremennoj nauki» [Collection of articles of the international 
scientific-practical conference «Innovative development of 
modern science»]. Ufa, BashGU Publ., 2014, pp. 339–346. 
(in Russian)
14. Konokbaev K.K. Konstruirovanie obvodov iz dug unikursal'nyh cirku-ljarnyh krivyh posredstvom kremonovyh involjucij. Kand. Diss. [Designing the contours of the arcs unicursal circular curves by Cremona of involutions. Cand. Diss.]. 
Moscow, MAI Publ., 1972, p. 21. (in Russian)
15. Miroljubova T.I. Geometricheskie modeli fasonnyh jelementov 
odnorukavnyh kanalovyh poverhnostej. Kand. Diss. [Geometric models of shaped elements of single-arm channel surfaces. Cand. Diss.]. Moscow, MAI, 2004, pp. 23. (in Russian)
16. Mul'dekov I.O. Reshenie konstruktivnyh zadach opisanija 
krivyh i po-verhnostej na osnove metodov optimizacii. Kand. 
Diss. [The solution of design problems of the description 
of curves and surfaces based on optimization techniques. 
Cand. Diss.]. Moscow, MGUPP Publ., 1996, p. 30. (in 
Russian)
17. Poznjak Je.G. Geometrija [Geometry]. Matematicheskaja 
jenciklopedija [Mathematical encyclopedia]. Moscow, 1977, 
V. 1, pp. 940–943. (in Russian)
18. Rozenfel'd B.A., I.M. Jaglom Neevklidovy geometrii 
[non-Euclidean geometry]. Jenciklopedija jelementarnoj 
matematiki [Encyclopedia of elementary mathematics]. 
Moscow, V. 5, 1966, pp. 394–476. (in Russian)
19.  Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. 
Mezhdis-ciplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i 
smezhnyh razdelov vysshej matematiki [Interdisciplinary 
connections descriptive geometry and related sections of 
higher mathematics]. Geometrija i grafika [Geometry and 
graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013, V. 1, I. 3–4,  
pp. 8–12. — DOI: 10.12737/2124. (in Russian)
20. Foks A., Pratt M. Vychislitel'naja geometrija. [Computational 
geometry]. Moscow, Mir Publ., 1982. (in Russian)
21. Hudson H.P. Cremona transformation in plane and space. / 
H.P. Hudson. Cambridge. 1927. 454 p. (in English)
22. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. 
Oxford, 1985. 480 p.

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 3–9 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018                                                              

УДК 514.1                                                                               
DOI: 10.12737/article_5ad085a6d75bb5.99078854

О.А. Графский 
Д-р техн. наук, профессор,
Дальневосточный государственный университет путей 
сообщения, 
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47
Ю.В. Пономарчук 
Канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой,
Дальневосточный государственный университет путей 
сообщения, 
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47
А.А. Холодилов 
Преподаватель,
Дальневосточный государственный университет путей 
сообщения, 
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47
Геометрия электростатических 
полей

Аннотация. Наиболее полно изучены электростатические 
поля как частные случаи электромагнитного поля. Они создаются совокупностью заряженных тел, которые считаются 
неподвижными по отношению к наблюдателю и неизменными во времени [1–3; 19; 20; 27]. Так как любое поле характеризуется основными величинами, то такими величинами для 
электростатических полей являются напряженность E  и 
потенциал ϕ. Поэтому геометрически такие поля характеризуют совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. 
Эти поля рассматривались в диссертации Н.П. Аникеевой [1]. 
В частности, автором отмечается, что в случае разноименных 
равных зарядов «семейства силовых и эквипотенциальных 
линий составляют два ортогональных пучка окружностей» [1, 
с. 59].
Однако необходимо уточнить, что каждая «силовая» окружность gj представляет собой не одну, а две силовые линии, 
которые исходят из положительного заряда и заканчиваются 
на отрицательном заряде. 
Аналогичный обзор по работе [1] можно сделать в отношении картины электростатического поля двух равных положительных зарядов Здесь автор рассматривает семейство ui 
эквипотенциальных линий, которые являются овалами Кассини. 
Верно сказано, что эти овалы относятся к бициркулярным 
кривым четвертого порядка жанра 1 (имеют две двойные 
мнимые точки, которые являются циклическими). Но в семейство этих овалов входит одна кривая нулевого жанра — это 
лемниската Бернулли; она имеет три двойные точки (две из 
них те же циклические, а одна действительная, которая совпадает с началом координат).
Кроме того, отмечено, что «линиями тока являются равнобочные гиперболы gj» [1, с. 63]. Однако здесь также требуется уточнение. Из каждого точечного заряда выходят силовые 
линии, каждая линия имеет два противоположных направления. Одна такая линия «двойного направления» составляет 
только одну ветвь равнобочной гиперболы. Из второго заряда также исходит аналогичная совокупность ветвей равнобочных гипербол.
Ключевые слова: электростатические поля, силовые и 
эквипотенциальные линии, циклические точки, инволюция, 
гармонизм, мнимые элементы.

О.А. Grafsky
Doctor of Engineering, Professor,
Far Eastern State Transport University,
47, Seryshev St., Khabarovsk, 680021, Russia
Yu.V. Ponomarchuk
Ph.D. of Physics and Mathematics, Associate Professor, 
Head of Chair,
Far Eastern State Transport University,
47, Seryshev St., Khabarovsk, 680021, Russia
А.А. Kholodilov
Lecturer,
Far Eastern State Transport University,
47, Seryshev St., Khabarovsk, 680021, Russia

Geometry of Electrostatic Fields

Abstract. Electrostatic fields have been most fully studied as 
special cases of electromagnetic field. They are created by a set of 
charged bodies that are considered immovable in relation to the 
observer and unchanged in time [1–3; 19; 20; 27]. Since any field 
is characterized by basic quantities, then such quantities for electrostatic fields are strength E  and potential ϕ. Therefore, geometrically, such fields are characterized by a combination of force and 
equipotential lines. These fields were considered in the thesis of 
N.P. Anikeeva [1]. In particular, the author notes that in the case 
of dissimilar equal charges "... families of force and equipotential 
lines make up two orthogonal bundles of circles" [1, p. 59].
However, it is necessary to clarify that each "force" circle gj 
represents by itself not one but two lines of force, which emanate 
from a positive charge and terminate on a negative one.
A similar review on the work [1] can be done with respect to 
the picture of two equal positive charges’ electrostatic field. Here 
the author considers a family ui of equipotential lines, which are 
Cassini ovals. It is truly said that these ovals belong to the fourth-order bicircular curves of genre 1 (have two double imaginary points, 
which are cyclic). But these ovals’ family includes one curve of zero 
genre — the Bernoulli lemniscate; it has three double points (two 
of them are the same cyclic ones, and one is real, which coincides 
with the origin of coordinates).
In addition, it has been noted that "... the lines of current are 
equilateral hyperbolas gj» [1, p. 63]. However, clarification is also 
required here. The lines of force exit from each point charge and 
each line has two opposite directions. One such line of "double 
direction" forms only one branch of an equilateral hyperbola. A 
similar set of branches of equilateral hyperbolas also emanates from 
the second charge.
Keywords: electrostatic fields, power and equipotential lines, cyclic 
points, involution, harmonism, imaginary elements.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 10–19

Целью данной статьи является выработка рекомендаций необходимых для построения и анализа 
электростатических полей, которые особенно необходимы при их теоретическом изучении. 
При анализе картины электростатического поля 
двух равных разноименных равных зарядов (рис. 1) 
следует отметить: из всей совокупности силовых 
линий, которые представляют собой дуги окружно

стей, можно сформировать и совокупность окружностей из пары вполне определенных дуг. 

Рис. 1. Электростатическое поле двух разноименных равных зарядов 

Такое парное сочетание дуг и образует эллиптический пучок окружностей, который автор работы 
[1] рассматривает как пучок силовых линий gj (рис. 1).
В этой же работе [1] приводятся оригинальные 
решения для построения пучка эквипотенциальных 
линий ui (пучки ui и gj взаимно ортогональны), основанные на гармоническом отношении четырех 
точек и производятся построения с использованием 
инверсии. Но построению пучка силовых линий, на 
наш взгляд, не уделяется достаточного внимания,  
а в определении мнимых точек пересечения P и Q 
эквипотенциальных линий дается только утвердительный смысл принадлежности их радикальной оси 
окружностей пучка ui.
Рассматривая картину электростатического поля 
двух равных положительных зарядов (рис. 2), следует уточнение по силовым линиям: из двух совокупностей линий, исходящих из двух зарядов, формируются пары таких ветвей, которые и соответствуют 
определенной равнобочной гиперболе. Только в 
таком смысле далее можно говорить о пучке силовых 
равнобочных гипербол.

Рис. 2. Электростатическое поле двух положительных равных зарядов 

Если в первом случае (рис. 1) автором рассматривается построение силовых и эквипотенциальных 
линий, то здесь эти построения отсутствуют, но вполне обоснованно приводится определение базисных 
точек и интерпретация прохождения овалов Кассини 
через пару циклических точек; естественно, что эта 
интерпретация носит абстрактный характер и не 
привязана к исходной картине поля. Отмеченные на 
рис. 2 мнимые точки P и Q взаимного пересечения 
равнобочных гипербол также изображены условно 
как инцидентные окружности m (m ⊃ Z1, Z2), где 
точечные заряды совпадают с действительными фокусами овалов Кассини. При этом ничего не говорится о собственных мнимых фокусах этих овалов.
Автор работы [1] аргументировано подошел к 
исследованиям картины электростатических полей, 
показав, что геометрическое и электростатическое 
истолкование функции комплексного переменного 
и ее производной приводят к конформным отображениям, которые сохраняют величину и ориентацию 
углов. Этим самым объясняют ортогональность силовых и эквипотенциальных линий.
Как не трудно заметить из анализа рис. 1 и 2, семейства плоских силовых и эквипотенциальных линий являются пучками первого порядка (через определенную точку поля, исключая точки Z1 и Z2, проходит единственная силовая и эквипотенциальная 
линия). Эти линии в качестве базисных точек имеют 
фокусы и (или) циклические точки, а также другие 
метрические характеристики.
Как известно, для электростатического поля основными величинами являются напряженность и 
потенциал. Если напряженность есть величина векторная, которая определяется в каждой точке значением и направлением, то потенциал, определяемый 
в конкретной точке некоторым числом, — величина 
скалярная. При этом, электростатическое поле характеризуется совокупностью двух семейств линий: 
силовых и эквипотенциальных. Следовательно, моделирование и анализ полей можно проводить и с 
конструктивных позиций, т.е. графически, и таким 
образом, в более эффективной форме для инженерной практики.
Ниже приведены геометрические исследования 
электростатического поле двух разноименных равных 
зарядов. Это поле можно рассматривать как картину 
поля поперечного перпендикулярного сечения двухпроводной линии [2] или двух заряженных осей [27]. 
Подробный анализ такой картины выполнен в диссертации Н.П. Аникеевой [1], в которой представлены графические построения силовых и эквипотенциальных линий (рис. 1). Здесь автор рассматривает так называемые «базисные точки»: точки, инцидентные всем кривым пучка силовых линий gj и 

GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 10–19 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018                                                              

точки, инцидентные всем кривым пучка эквипотенциальных линий ui. Для рассматриваемого случая 
базисными точками пучка силовых линий gj являются точки Z1 и Z2 (места размещения точечных зарядов) 
и пара круговых, или циклических точек I∞ и I ∞ ; 
базисными точками пучка эквипотенциальных линий 
ui являются две пары мнимых точек: одна пара — те 
же циклические точки I∞ и I ∞ ; вторая пара мнимые 
комплексно-сопряженные точки P и Q, которые в 
работе [1] представлены как инцидентные радикальной оси (ось Oy). Однако эти точки условно показаны на действительной оси ординат. В первую очередь, 
необходимо показать, что в данном случае ось ординат — это радикальная ось гиперболического пучка 
окружностей, которые являются эквипотенциальными линиями ui. С этой целью на рис. 3 проведена 
вспомогательная окружность s, которая пересекает 
окружности пучка ui (достаточно двух окружностей) 
в действительных точках. 

Рис. 3. Построение радикальной оси пучка окружностей ui 

При взаимном пересечении полученных хорд 
определяется точка L, через которую проходит радикальная ось (ось ординат Oy) перпендикулярно 
линии центров (ось абсцисс Ox) окружностей рассматриваемого пучка ui. Для построения мнимых 
точек пересечения этих окружностей можно воспользоваться построениями Ж.-В. Понселе [28] и 
А.Г. Гирша [4; 6]. На рис. 3 штриховой линией проведена вспомогательная окружность s1. Здесь через 
точку K
s
ui
=
∩
1
1  проведена прямая SP, либо можно 
провести дугу окружности g  радиусом OK, тогда 
P Q
g
Oy
,
=
∩
. Либо применить способ (рис. 4), предложенный в [14, с. 126; 11, с. 80], основанный на 
построении окружности g1 и прямой линии f1 (либо 
g2 и f2). Но более простой способ представлен в работах [9; 13].
Геометрический смысл точек P и Q заключается 
в том, что они являются мнимыми, поэтому они 
построены в поле πir (рис. 4) как мнимые продолже
ния окружностей пучка ui: P Q
u
u
ri
i
ri
i
,
=
∩
1
2  (или u
u
ri
i
ri
i

1
3
∩
,  
или u
u
ri
i
ri
i

2
3
∩
). 

Рис. 4. Построение мнимых точек P и Q

На рис. 1 автором диссертации [1] представлен 
оригинальный способ построения окружностей пучка ui (эквипотенциальных линий). Здесь рассматривается гармоническая четверка точек (Z1Z2AB) = –1 
и производится построение с использованием инверсии относительно окружности g  радиуса r = c. 
Следует заметить, что это является обратной задачей, 
которую приводит Н.А. Глаголев [8, с. 66]. Кроме 
того, необходимо отметить, что в этом случае можно 
рассматривать гиперболическую инволюцию, в которой точки Z1 и Z2 являются двойными, а точка O 
(центр радикальной оси) — центром этой инволюции. 
В этих построениях в качестве исходной принимается точка M
g
∈
; здесь Mx = A, 
′ =
M
B
x
(рис. 5). 

Рис. 5. Построение окружностей пучков ui и gj по заданной точке M
g
∈

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2018 
GEOMETRY & GRAPHICS (2018). Vol. 6. Iss. 1. 10–19